CC BY
158
УДК 531
Моделирование фрикционного износа полимерных композиционных материалов с учетом температуры контакта
С.А. Бочкарева1,2, С.В. Панин1,4, Б.А. Люкшин1'23, П.А. Люкшин1, Н.Ю. Гришаева1,2,
Н.Ю. Матолыгина1, В.О. Алексенко1,4
1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия 2 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, 634050, Россия
3 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
4 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия
В работе рассматривается подход к моделированию процесса трения и износа полимерных композиционных материалов в условиях трибосопряжения. Процесс взаимодействия материала с контртелом моделируется на основе решения задачи контактного взаимодействия методом конечных элементов, что позволяет определить параметры напряженно-деформированного состояния контактирующих тел. Учитывается физически нелинейный характер деформирования полимерных композиционных материалов. Подход позволяет рассчитывать температуру на контактных поверхностях из условия превращения работы сил трения и энергии пластического деформирования в тепловую энергию поверхностных слоев трущихся тел. На основе решения нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов моделируется процесс распространения тепла в контактирующих телах и потери тепла за счет конвекции. Модифицирование метода конечных элементов для решения контактной задачи теплопроводности позволяет не вводить дополнительные предположения о распределении тепла между контактирующими телами. С учетом полученного распределения температуры в конечных элементах изменяются деформационно-прочностные свойства полимерного композиционного материала при нагреве (модуль упругости, теплоемкость, предел текучести, предел прочности). Процесс износа реализуется удалением конечных элементов из расчета при выполнении критериев разрушения. Полученные параметры напряженно-деформированного состояния и температуры аппроксимируются на новую сетку конечных элементов для новой расчетной области, полученной в результате удаления элементов. Исследуется влияние температуры и шероховатости на процесс трения и износа полимерных композиционных материалов и покрытий на стальной подложке. Результаты моделирования сопоставляются с экспериментальными данными для сверхвысокомолекулярного полиэтилена, полученными при сухом трении скольжения стального контртела по полимерному образцу.
Ключевые слова: полимеры, трение, износ, моделирование, температура, метод конечных элементов
DOI 10.24411/1683-805X-2019-11006
Modeling of frictional wear of polymer composites with account for contact temperature
S.A. Bochkareva12, S.V. Panin14, B.A. Lyukshin123, P.A. Lukshin1, N.Yu. Grishaeva12,
N.Yu. Matolygina1, and V.O. Aleksenko14
1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia 2 Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, Tomsk, 634050, Russia 3 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia 4 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia
The paper discusses an approach to modeling friction and wear of polymer composite materials in a friction unit. The interaction between the material and the counterbody is modeled by solving a contact interaction problem using the finite element method. The parameters of the stress-strain behavior of the contacting bodies are determined, with taking into account a physically nonlinear deformation of polymer composites. The approach is applied to calculate the contact surface temperature from the condition that the work of friction forces and the plastic strain energy are converted to the thermal energy of the surface layers of the friction bodies. A nonstationary heat conduction problem is also solved by the finite element method to model heat propagation in the contacting bodies and heat loss due to convection. In order to avoid additional assumptions about heat distribution between the contacting bodies, a modified finite element method is used for the solution of the heat conduction problem. With regard to the obtained temperature distribution in the finite elements, the deformation-strength properties of the polymer composite material are changed during heating (elastic modulus, heat capacity, yield strength, tensile strength). The wear process is modeled by removing finite elements from the calculation when the fracture criteria are fulfilled. The determined parameters of the stress-strain state and temperature are approximated to a new finite element mesh for a new computational domain obtained after the removal of elements. The effect of temperature and roughness on the friction and wear of polymer composites and coatings on a steel substrate is investigated. The modeling results are compared with the experimental data for ultrahigh molecular weight polyethylene produced in dry sliding friction of a steel counterbody on a polymer substrate.
Keywords: polymers, friction, wear, modeling, temperature, finite element method
© Бочкарева C.A., Панин C.B., Люкшнн Б.А., Люкшин П.А., Гришаева Н.Ю., Матолыгина Н.Ю., Алексенко В.О., 2019
1. Введение
Полимерные композиционные материалы за счет совокупности физико-механических свойств и возможности их варьирования путем модификации состава и структуры, а также устойчивости к воздействию внешних сред являются распространенным классом конструкционных материалов, который постоянно расширяется за счет синтеза новых полимерных матриц и модификации уже имеющихся. Полимерные композиционные материалы находят применение в качестве износостойких материалов, работающих в трибосо-пряжениях в широких температурных диапазонах и при высоких нагрузках. Однако, поскольку большинство полимеров не обладает исходной высокой износостойкостью, ее повышение может быть достигнуто различными способами, приводящими к изменению структуры и свойств наполненных/армированных/модифицированных материалов. Получило распространение введение в полимеры нано- и микронаполнителей (в том числе твердосмазочных) в форме частиц, волокон и тканей, облучение потоками ионизирующего излучения, химическая модификация и пр. При этом повышение межфазовой адгезии достигается за счет обработки смесей в планетарных шаровых мельницах, введения компатибилизаторов, экструзионного смешения смесей и пр. [1, 2]. В качестве наиболее распространенных антифрикционных полимерных матриц следует назвать политетрафторэтилен, полиамид, сверхвысокомолекулярный полиэтилен. В ряде случаев, введением твер-досмазочных наполнителей материалы для антифрикционных приложений получают на основе высокотемпературных высокопрочных суперконструкционных пластиков, например полиэфирэфиркетона [3], поли-имида [4] и др.
При изучении процессов, развивающихся при трении и износе, помимо традиционно анализируемых в механике деформируемого твердого тела деформационно-прочностных свойств материалов, важными параметрами, которые необходимо принимать во внимание, являются характеристики геометрии контактирующих поверхностей — волнистость и шероховатость. Они определяют фактическую площадь контакта, что впервые было отмечено в работах И.В. Крагельского [5], E.P. Bowden, D. Tabor [6]. При трении одновременно реализуется множество элементарных контактов, происходит превращение механической энергии относительного движения в тепловую энергию поверхностных слоев трущихся тел, что приводит к изменению физико-механических свойств материала. Кроме того, взаимодействие контактирующих в трибосопряжении тел сопровождается наиболее интенсивным протеканием деформационных, химических, термических и прочих процессов прежде всего на поверхности контакта. Параметры окружающей среды (температура, влажность,
наличие агрессивных сред), условия трибонагружения (скорость, нагрузка, наличие смазочной среды), характер изнашивания (окислительный, абразивный, усталостный, деформационный и пр.) способны существенно изменять реакцию материала, нагружаемого в трибосопряжении [7-9].
Процессы, развивающиеся при трении и изнашивании, являются многомасштабными [10], поэтому их исследование представляет значительную сложность как с позиции экспериментального изучения, так и всестороннего теоретического анализа с учетом вышеуказанного многообразия. По этой причине на сегодняшний день не существует теоретических, в частности численных, методов, позволяющих в рамках единого связного рассмотрения учесть многоуровневый характер развивающихся процессов. Несмотря на заметное количество публикаций, в которых отмечается возможность многомасштабного изучения контактных задач в условиях трибосопряжений, все они в большинстве своем основаны на учете преимущественно развивающегося процесса (например деформирования) либо рассматривают материал как сплошную среду с эффективными характеристиками. В последнем случае при решении задач численными методами активно привлекается метод гомогенизации [11]. При этом для случая полимерных (композиционных) материалов, как правило, характеризуемых невысокими (по сравнению с металлами или керамикой) температурами плавления, учет температуры может оказаться весьма эффективным. По этой причине данная идея была принята авторами в качестве одной из основополагающих в данной работе.
Сложность расчета температурных полей в контактирующих телах обусловлена необходимостью учета теплоотдачи в окружающую среду, а также трудностью постановки условий на границах расчетной области [12]. Важным фактором при трении также является появление пятен контакта, температурные «вспышки» в пределах которых могут сопровождаться существенным локальным разогревом [13] и деградацией структуры и свойств материала, что относится, прежде всего, к наполненным полимерам.
Кроме того, в поверхностных слоях тел, находящихся в трибоконтакте, как уже отмечалось выше, могут протекать химические реакции, возникать электростатическое напряжение, межмолекулярная адгезия, появление частиц износа и другие явления, на которые влияют скоростной, нагрузочный, температурный режимы.
По этой причине повышение и прогнозирование износостойкости конструкционных материалов, прежде всего на полимерной основе, определяется решением комплекса взаимосвязанных задач контактной механики [8, 9, 14, 15].
Механика контактных взаимодействий основана на решении задачи о контакте двух упругих тел с искрив-
ленными поверхностями, впервые предложенном H.R. Hertz. Основополагающими в этой области являются работы J.F. Archard [16], И.В. Крагельского [5], F.P. Bowden, D. Tabor [6] и др., которые вызвали появление первых теорий и моделей, основанных на учете адгезии (модель Johnson-Kendal-Roberts, Дерягина-Мюллера-Топорова [17, 18]). Решение проблемы контакта шероховатых поверхностей впервые было предложено J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson [19].
В настоящее время развиваются различные подходы и методы решения задач контактной механики, которые направлены на более глубокое изучение факторов износа с целью контролируемого управления структурой полимеров и их износостойкостью. В работе [20] обобщены некоторые подходы и методы, используемые для решения задач контактной механики. Они включают аналитические решения, основанные на моделях Greenwood-Williamson, Archard, фрактальных теорий Persson [21] и т.д., а также численные методы: метод граничных элементов [22, 23], метод конечных элементов [24, 25], подвижных клеточных автоматов [26], методы молекулярной динамики [27] и др.
Современные методы, разработанные для описания шероховатости поверхности, основаны на спектральном анализе и имитируют оцифрованные шероховатые поверхности без каких-либо предположений о распределении неровностей. Для снижения времени расчетов используются автокорреляционные функции, преобразование Фурье, различные гибридные методы [28] и т.д. Чтобы учесть влияние на износ неровностей различного порядка, интенсивно развиваются многоуровневые модели для прогнозирования износа, например [29-31] идр.
При трении на контактирующих поверхностях, как правило, реализуются одновременно несколько механизмов износа. Классификация видов износа довольно разнообразна [32]. При этом адгезионный, абразивный, коррозионный, деформационный и усталостный типы износа обычно характеризуются как независимые. Однако моделей, которые могли бы учитывать одновременно все реализующиеся виды износа, в литературе не представлено.
В силу относительно невысоких температур плавления и наличия свободных (ненасыщенных связей) одним из наиболее распространенных механизмов износа полимеров является адгезионный. Его отличительной особенностью является перенос продуктов износа полимера (например в виде пленки переноса) из-за локального сцепления между контактирующими поверхностями [9, 11, 12, 33, 34]. В результате могут образовываться тонкие полимерные пленки, выполняющие роль твердой смазки либо третьего тела, что снижает интенсивность изнашивания.
В настоящее время доступные вычислительные средства основаны на смешанных аналитических и численных подходах, направленных на решение трибо-логических проблем: контактное моделирование шероховатых поверхностей, в том числе при наличии смазки (гидродинамическое моделирование); моделирование межмолекулекулярного взаимодействия; расчеты давления, подповерхностного напряжения, прогибов; расчет коэффициента трения в условиях смазки (моделирование кривой Stribeck); расчет контактных температур в твердых телах; моделирование частиц износа, пленки переноса и эволюции шероховатости поверхности. Проблемы, которые могут быть решены с помощью компьютерных программ, стремительно расширяются, но не позволяют охватить одновременно весь комплекс проблем механики контактных взаимодействий без существенных упрощений.
В настоящей работе предложен подход к моделированию поведения полимерных композиционных материалов в условиях трибосопряжения, основанный на учете температуры контактирующих тел и ее влияния на развитие процесса износа. Результаты моделирования сопоставляются с экспериментальными данными, полученными при сухом трении скольжения стального контртела по полимерному образцу на примере сверхвысокомолекулярного полиэтилена.
2. Постановка задачи и методы исследования
Постановку задачи теоретических исследований (фрикционное взаимодействие тел) проводили по аналогии с экспериментами по сухому трению скольжения по схеме «вал-колодка» на машине трения 2070 СМТ-1. При этом в стальной держатель зажимается пара образцов, контактирующих со стальным контртелом. Свер-
Рис. 2. Оптические фотографии поверхности износа
Рис. 3. Схема расчетной области
ху к держателю прикладывается нагрузка Р, определяемая массой зафиксированных на штоке грузов (рис. 1).
Со стороны контртела на образцы действует постоянная прижимающая сила, равная 58 Н. Частота вращения контртела составляет 100 об/мин, что соответствует скорости скольжения 0.3 м/с. Температура окружающей среды принимается равной 25 °С. В качестве материала исследований был взят сверхвысокомолекулярный полиэтилен, в качестве материала контртела — сталь ШХ15. Размеры полимерных образцов (колодка, далее образец) равнялись 0.007х0.007х х0.01 м3. В качестве показателя сопротивления полимерного материала образца к изнашиванию принималась площадь дорожки трения (рис. 2), которая определялась по оптическим фотографиям с помощью программы анализа изображений путем выделения контура и последующего вычисления ограниченной им площади. Характеристики материалов приведены в табл. 1.
Схема расчетной области для моделирования фрикционного взаимодействия показана на (рис. 3) и представляет собой прямоугольную область, ориентирован-
ную по нормали к поверхности трения и параллельно плоскости УХ (рис. 3). Размеры области 1 (образец, рис. 3) составляют 0.02x0.005 м, диаметр контртела (область 2 в виде сегмента на рис. 3) — 0.06 м.
В литературе показано, что свойства полимерных материалов, в частности сверхвысокомолекулярного полиэтилена, с ростом температуры существенно изменяются [35, 36]. При проведении расчетов учитывается физическая нелинейность поведения материала под нагрузкой, в частности изменение модуля упругости (рис. 4) и удельной теплоемкости сверхвысокомолекулярного полиэтилена при увеличении температуры [36]. При этом в диапазоне температур от 50 до 80 °С каждые 10°С нагрева удельная теплоемкость линейно возрастает на 100 Дж/(кг-°С).
Для определения влияния температуры на параметры напряженно-деформированного состояния контактирующих тел в условиях трибосопряжения решаются последовательно: 1) контактная задача определения напряженно-деформированного состояния с учетом нормальной и касательной нагрузок, возникающих при
Таблица 1
Свойства материалов
Свойства материалов (Т = 20 °С) Сверхвысокомолекулярный полиэтилен (образец) Сталь (контртело)
Модуль упругости Е, МПа 540 2 • 105
Коэффициент Пуассона V 0.35 0.20
Коэффициент линейного температурного расширения ат, 1/°С 8 • 10-5 12 • 10-6
Плотность р, кг/м3 934 7832
Удельная теплоемкость С, Дж/(кг • °С) 1800 500
Коэффициент теплопроводности вдоль оси ОУ Xу, Вт/(м- °С) 0.42 52.00
Коэффициент теплоотдачи k, Вт/(м2 • °С) 0.60 0.10
Удельная теплота плавления qm, Дж/кг 2.86-105 -
Рис. 4. Зависимость модуля упругости сверхвысокомолекулярного полиэтилена от температуры: 20 (1), 25 (2), 40 (3), 60 (4), 80 °С (5) [36]
трении; 2) задача нестационарной теплопроводности, позволяющая учесть распределение температуры в контактирующих телах и ее влияние на изменение их свойств. Температура рассчитывается из условия, что работа сил трения и работа пластического (неупругого) деформирования, полученные в процессе деформирования, переходят в тепло.
Задачи решаются в плоской постановке методом конечных элементов [37-39]. Исходный код написан на языке программирования Fortran.
2.1. Определение параметров напряженно-деформированного состояния
Задача определения напряженно-деформированного состояния основана на решении плоской задачи теории упругости методом конечных элементов. Решение методом конечных элементов основано на минимизации полной потенциальной энергии системы, которая записывается в виде функционала П. Условие минимума
^ = V (4 Auk i 5Auk j + Cijki Auk ,i5Aui j)d V -
- J Api 5Дщ dS - J aj5Дщ,j d V - J p°5AщdS = 0 (1)
S V S
позволяет получить систему линейных уравнений относительно узловых перемещений ui, решение которой с учетом граничных условий дает искомое решение.
Нижняя граница образца AD (рис. 3) считается жестко закрепленной, т.е. перемещения u, v вдоль осей X и Y равны нулю:
u\ad = 0 VAD = 0 (2)
На боковых границах образца AB и CD формулируется условие равенства нулю касательных т и нормальных напряжений a n:
т = 0, an =0. (3)
На верхнюю границу образца BC со стороны контртела EF действует нормальная распределенная нагрузка pn, суммарная величина которой определяется прило-
женной силой 58Н. Для обеспечения заданной нагрузки после каждого шага проверяется условие
X(an cos фLxt) > 58 ± 5 %. (4)
i
Это означает, что сумма проекций полученных нормальных напряжений an на ось Yво всех контактирующих узлах (на границе образца ВС) не должна превышать заданную величину нагрузки с погрешностью ±5 %. Здесь Lx — длина стороны конечного элемента на контакте, прилегающей к узлу; ф — угол наклона стороны Lx к оси X; t — размер расчетной области по оси Z (0.007 м). Если нагрузка превышает заданный уровень, то величина прижимающей нагрузки на стороне EF уменьшается и шаг выполняется заново.
Вне контакта на границе контртела EGF и верхней границе образца ВС ставятся условия равенства нулю касательных т и нормальных напряжений a n, как и на боковых сторонах AB и CD (рис. 3).
На каждом шаге по нагрузке проверяются условия касания поверхностей тел (границ ВС и EGF, рис. 3). В сопряженных узлах ставятся условия, позволяющие избежать пересечения поверхностей тел. В общем случае узел одного тела может контактировать не только с узлом другого тела, но и с некоторой точкой, находящейся на грани элемента (рис. 5). Если узлы m и l принять за основные, а узел k считать зависимым, то смещение для него будет вычисляться через перемещения основных узлов [40]:
vk = vl (1 - h) + h vm, (5)
где 0 < h < 1 определяет положение точки k на контактной границе lm:
h =
(Ук- yi)2 +(xk- xi)2
(6)
(Ут - У1) + (хт -Х) Тогда уравнения методом конечных элементов пре образуются следующим образом:
ЭП
ЭП 9vk
dvl dvl dvk dvl ЭП dv
ЭП эпл уч + — (1 - h),
(7)
Рис. 5. Схема контакта конечных элементов в общем случае
Эти условия означают, что система уравнений является переопределенной, что при построении глобальной матрицы жесткости элемента учитывается следующим образом. Уравнение, соответствующее зависимому узлу к, нужно исключить. Так как матрица жесткости симметрична, то строка и столбец в матрице жесткости, соответствующие перемещениям по оси У в зависимом узле, умноженные сначала на h, складываются с соответствующей строкой и столбцом для первого основного узла, затем умноженные на (1 -И) складываются с соответствующей строкой и столбцом для второго основного узла. Исключение уравнения заканчивается путем замены нулями соответствующей строки и столбца в матрице жесткости. Это приводит к вырожденности системы, что устраняется умножением в строке, замененной ранее нулями, диагонального элемента на «большое» число, а свободный член обнуляется [37]. После объединения элементных матриц эта процедура даст заведомо неправильный результат — равенство нулю перемещений в этом узле, поэтому после решения системы уравнений перемещения в узле к определяются по формуле (5).
Если суммарная нормальная нагрузка достигла 58Н в контактирующих узлах, задается касательная нагрузка к поверхности контртела по закону Амонтона-Кулона:
ъ=/ъ
где — сила трения;/— коэффициент трения скольжения; Ъп — сила нормального взаимодействия в узлах контакта, которая уже известна из предыдущего шага:
ъп = СТ АЛ
где стп — нормальные напряжения на контакте. Для жесткого контртела перемещения всех узлов при касательной нагрузке принимаются равными нулю. Чтобы избежать пересечения поверхностей и обеспечить условие скольжения контактирующих узлов образца на границе ВС вдоль жесткой поверхности контртела (например, узел к должен «скользить» по стороне 1т , рис. 5), ставится условие в каждом из контактирующих узлов, связывающее перемещения этого узла по осиХ (ик) и по оси У (vk):
ик = Vk ^ а, (8)
где а — угол наклона контактирующей стороны контртела 1т к осиХ, который вычисляется для узла к как с^а = (хт ~х1)/(ут - у).
Соответствующие производные от функционала запишутся следующим образом:
ЭП = ЭП + ЭП дик = ЭИ + ЭИ t а
^к ^к ^к ^к ^к дик ' Это условие требует изменения глобальной матрицы жесткости аналогично формуле (7). Строки и столбцы для ик, разделенные на tgа, нужно сложить с соответствующими строками и столбцами для vk. Далее уравнение, соответствующее ик (строки и столбцы матрицы
жесткости), нужно исключить из системы уравнений. Но чтобы сохранить симметрию матрицы жесткости, уравнение оставляем, используя прием для учета граничных условий в перемещениях [37]: диагональный элемент в строке, соответствующей ик, умножаем на «большое» число (например 106), а свободный член обнуляется. После решения системы уравнений перемещения ик определяются по формуле (8).
Если нормальная нагрузка на каком-либо шаге становится меньше 58Н, то на верхней границе контртела увеличивается прижимающая нормальная нагрузка, пока не выполнится условие (4).
В разработанной авторами программе заложена возможность учета анизотропии как механических, так и теплофизических свойств материалов [39]. Программа протестирована сравнением с аналитическим решением задачи Герца для контакта упругого полупространства и жесткого цилиндра. Результаты в случае задания нагрузки в перемещениях совпадают с аналитическим решением с точностью до 1%, а в случае задания нагрузки в напряжениях отличаются в пределах 3-4 %. В обоих случаях продемонстрирована сеточная сходимость.
2.2. Температура в области контакта при трении
Расчет температуры тел производится из условия, что работа сил трения, полученная в процессе деформирования, переходит в тепло, которое распределяется между контактирующими телами. Работа сил трения
в узле равна:
А( Ff) = 2nrnтFf, где г — радиус контртела; т — время вращения; п — количество оборотов в секунду.
При пластической деформации энергия также переходит в тепло. Пластическое формоизменение испытывают в основном поверхностные слои полимера. Тогда на границе контакта (в соответствующих конечных элементах) к полученному вследствие работы сил трения тепловому потоку добавляется количество теплоты А(ер), полученное вследствие пластического деформирования материала.
Энергия формоизменения, затрачиваемая на пластическое деформирование п-го конечного элемента, составляет разность между полной Ж и упругой потенциальной энергией в этом элементе: Д£р) = Ж -
Энергия, накапливаемая в единице объема (в элементе) при деформировании материала, есть удельная потенциальная энергия деформации:
Ж = 2 %, 2 У
где Сту — компоненты тензора напряжений в элементе; егу — компоненты тензора деформаций в элементе.
Удельная работа внешних сил, производимая на упругих перемещениях, численно равна энергии упругой деформации
^е = 1 е(е)?/- ,
2 У
где Е(е)у — компоненты тензора упругих деформаций в элементе.
Тогда количество тепла Q (Дж) составляет Q = + ^(Ер). (9)
Распределение тепла в материалах определяется с помощью решения нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов [37-39] со следующими граничными условиями. В контактирующих узлах полимерного материала задается поверхностная плотность теплового потока (граничные условия II рода):
91 * = (т)>
где 91 * — тепловой поток (Вт/м2), распространяющийся за счет теплопроводности от поверхности внутрь тела; д* (т) — тепловой поток, поступающий на поверхность тела в зависимости от времени. В нашем случае тепловой поток, поступающий через сторону конечного элемента на контактирующей поверхности, равен
9* (т) = Q/ (т5),
где S = Лх — площадь поверхности теплообмена; Lx — сторона конечного элемента, через которую поступает тепло; Q — количество теплоты, которое определяется формулой (9).
Применяя для плотности теплового потока закон Фурье, граничные условия II рода в контактирующих узлах можно записать в виде
Л дТ
X У~ду =
для случая, когда ось Y ориентирована по нормали к поверхности теплообмена.
Принимается, что на каждый узел, принадлежащий стороне элемента, через которую идет тепловой поток, приходится половина его величины.
Отвод тепла на свободных от контакта границах обеспечивается конвекцией [37, 40]. В узлах на свободных от контакта границах (кроме верхней границы контртела EF и нижней границы образца АБ) заданы условия, определяющие конвективный обмен тела с воздухом (граничные условия III рода) в соответствии с законом теплоотдачи Ньютона [40]:
91 * = к (Тс - Т). Таким образом, можно записать:
X.
дт
ду
= -к(Т - Тс), х;
дТ
дх
= -к (Т - Тс),
циенты теплопроводности вдоль осейХ и Y соответственно; Тс — температура окружающей среды (в расчетах принимается равной 25 °С); Т — текущая температура поверхности. Знак «минус» показывает, что тепло теряется телом. В качестве начального условия задается поле температуры во всей расчетной области, в момент времени т = 0 температура равна 25 °С.
Так как в контактирующих узлах температура и тепловые потоки тел равны, то ставятся граничные условия (граничное условие 4 рода [40]), в нашем случае для теплового потока:
911 * = 921 *, Х1у
ЭТ, ду
= Х
дТ2
2 у'
ду
211, = Т^
Так как в общем случае координаты узлов не совпадают, связь между температурами в сопряженных узлах будет аналогична зависимости перемещений (5):
Тк = Т (1 - И) + hTm. (10)
Тогда методом конечных элементов уравнения преобразуются аналогично формуле (7):
дх
дТ/
дх
дТт
дТ дТк дТ
дХ , дх дТ дТк
(1 - И),
дх
дТт
дХ д^к = дх
дТк дТт
+ ^ И.
дТт дТк
Матрица теплопроводности меняется аналогично матрице «жесткости» в случае зависимости перемещений (см. п. 2.1). Условие зависимости температуры в узлах согласно (10) при решении задачи нестационарной теплопроводности позволяет получить распределение и изменение температуры поверхностей на элементарных контактах без дополнительных предположений о перераспределении тепла по поверхностям тел.
Решение уравнения теплопроводности дТ =. д 2Т д 2Т
ф"д7= Х' э7+Х >
при заданных условиях эквивалентно с вариационной точки зрения минимизации функционала
х = 1 о.5
Хх1 —
дх
+ Ху
Гэг \
ду
+ 2Ф^ Т дt
d V +
где к — коэффициент теплоотдачи; X х, X у — коэффи-
+ 1 9Т+ | 2(Т - Тс)^2.
Минимизация функционала через узловые параметры, в данном случае по температуре, приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
эЭТ} = [С ^№ }=0,
где [С] — матрица демпфирования; [К] — матрица «теплопроводности»; — вектор нагрузок; {Т} — вектор узловых температур.
2.3. Моделирование износа
Для моделирования процесса трения и износа описанные выше задачи решаются на каждом шаге по нагрузке (и по времени) в следующей последовательности:
1) определяются параметры напряженно-деформированного состояния полимерного образца под действием нормальной и касательной нагрузок;
2) рассчитывается количество тепла в области контакта, полученное при трении;
3) находится распределение температуры в каждой конечно-элементной ячейке и задаются соответствующие ей свойства материала;
4) задается касательная и (при необходимости) нормальная нагрузка, далее процесс повторяется.
Блок-схема алгоритма решения задачи фрикционного взаимодействия с реализацией процессов трения и износа методом конечных элементов представлена на рис. 6.
На каждом шаге проверяются критерии разрушения максимальных нормальных и касательных напряжений и критерий интенсивности напряжений и деформаций, соответствующие пределу текучести материала при текущей температуре. При выполнении одного из указанных критериев предполагается, что реализуется ме-
ханизм разрушения с уносом материала. Далее из расчета удаляются элементы, в которых выполнился критерий разрушения. Формируется новая измененная граница контакта, конечно-элементная сетка перестраивается, а все значения параметров напряженно-деформированного состояния, полученные на предыдущем шаге, в том числе и свойства материалов, в узлах и элементах новой сетки получаются линейной интерполяцией.
На рис. 7 приведены конечно-элементная сетка в области контакта поверхностей в увеличенном масштабе и ее изменение при удалении элементов поверхности, отражающее процесс износа.
На рис. 8, а приведено изображение конечно-элементной сетки для поверхности с шероховатостью 50 мкм (максимальная высота профиля), отражающее процесс ее разрушения через 27 мин трения. На рис. 8, б показано изменение профиля шероховатой поверхности в результате износа в увеличенном масштабе в начальный момент времени и через 10 мин трения.
В местах появления концентраторов, связанных с уносом элементов, сетка разбивается на более мелкие элементы. На рисунках это видно в виде «сгущений» белого цвета в местах разбиения. Модель позволяет рассматривать элементы микронных размеров в явном виде (шероховатость поверхности и/или наличие включений) в структуре полимерного материала в заданном масштабе и учитывать наличие адгезии между включениями и матрицей, анизотропию свойств матрицы, наличие возникающих пятен контакта (рис. 7).
3. Результаты и обсуждение
Изложенная выше модель и алгоритм решения проблемы фрикционного взаимодействия были реализованы в виде компьютерной программы, тестирование которой проведено путем решения нескольких задач. Первая из них соответствовала описанию трибосопряжения, приведенному выше в разделе 2 для случая сплошного (монолитного) полимерного образца сверхвысокомолекулярного полиэтилена. Затем тестирование проводили путем варьирования как строения полимерного образца
Рис. 6. Блок-схема алгоритма моделирования процесса износа. НДС — напряженно-деформированное состояние
Рис. 7. Конечно-элементная сетка в области контакта поверхностей: до (а) и после удаления элементов (б)
0.00500 0.00495
0.026
0.028
0.030
0.032
0.034
0.036
Рис. 8. Конечно-элементная сетка, отражающая процесс износа полимерного покрытия (на примере сверхвысокомолекулярного полиэтилена) (а), изменение профиля шероховатой поверхности в результате износа (б)
(рассматривали композит «металлическая подложка -полимерное покрытие»), так и параметров триботехни-ческих испытаний (шероховатости и коэффициента трения).
3.1. Трибоконтакт «полимерный образец - стальное контртело»
В данном подразделе в качестве полимерной колодки использовали однородный (монолитный) сверхвысокомолекулярный полиэтилен, при этом размер образца составлял 20x5 мм (см. описание в разделе 2). В результате решения задачи о напряженно-деформированном состоянии определяется распределение деформаций и напряжений в контактирующих телах трибо-сопряжения, а в результате решения нестационарной задачи теплопроводности — распределение температуры в них.
На рис. 9, а, б показаны поля напряжений и деформаций в момент времени t = 10 мин после начала испытаний, на рис. 9, в — температурное поле. Выбор времени обусловлен тем, что стадия приработки практически завершилась и изнашивание носит стационарный характер (соответствует стадии установившегося износа). За счет удаления части ячеек из конечно-элементной сетки поверхность контакта характеризуется определенной шероховатостью. С этим прежде всего связано появление «всплесков» напряжений, деформаций в зоне трибоконтакта (рис. 9).
На рис. 9, в видно, что температура контртела на несколько градусов превышает таковую для полимерного образца, что связано с большей теплопроводностью стали. Данный результат традиционно фиксируется в экспериментальных исследованиях, и в случае высоких скоростей скольжения и нагрузок именно контакт дорожки трения образца с разогретым контртелом обусловливает кратную интенсификацию процесса изнашивания [41]. Однако в области наиболее плотного контакта стального вала с полимерной колодкой это различие температур максимально нивелируется.
На рис. 9, б видно, что максимальный уровень деформаций на поверхности полимерного образца не пре-
вышает 1.5 МПа, что примерно на порядок ниже его предела текучести. С другой стороны, проведенные тестовые расчеты показали, что вклад работы пластических деформаций в изменение температуры по сравнению с величиной работы сил трения незначителен. По этой причине в дальнейших расчетах ее не учитывали.
Таким образом, показано, что предложенный метод моделирования позволяет количественно воспроизводить и качественно оценивать параметры деформационных процессов, развивающихся на трибоконтакте
Е, % 0.004
а, Па 1500000
500000
1.040
.040
0.040
0.035
0.030
0.020
0.025
Рис. 9. Поверхности распределения деформаций (а), напряжений (б) и температуры (в) в образце сверхвысокомолекулярного полиэтилена (снизу) и контртеле (сверху) в момент времени t = 10 мин
«стальное контртело - полимерный образец», в предположении об определяющей роли температуры. Чтобы оценить возможную роль теплоотвода далее в качестве образцов рассматривали композит «стальная подложка - полимерное покрытие», причем толщину последнего варьировали в определенном диапазоне, при сохранении постоянных геометрических размеров колодки.
3.2. Температура на трибоконтакте «полимерное покрытие - стальное контртело»
Для учета влияния теплоотвода от поверхности три-боконтакта проведено моделирование трения полимерной пластины, имитирующей футеровочный слой (называемый далее покрытием), жестко закрепленный на металлическом упругом (стальном) основании. При этом толщину покрытия варьировали от 0.5 до 3.5 мм (при полной толщине композиционного металлопо-лимерного образца 5 мм). На рис. 10 приведены расчетные зависимости средней температуры на трибокон-такте композитов «стальная подложка - полимерное покрытие» от времени трибонагружения. Данные зависимости получены для гладкой поверхности как без учета износа (рис. 10, а), так и с учетом удаления изношенного материала (рис. 10, б). На рис. 10 видно, что независимо от учета изнашивания увеличение толщины покрытия сопровождается повышением температуры на трибоконтакте на несколько градусов, что обусловлено уменьшением теплоотвода через стальную подложку. Также из графиков на рис. 10 видно, что первоначально температура интенсивно повышается до времени трибонагружения t < 10 мин, что соответствует стадии приработки. Величина температуры в это время достигает значений Т = 40-50 °С. Данный факт обусловлен как увеличением площади фактического контакта (на стадии установившего износа), так и наступлением баланса между фрикционным нагревом и теплоотдачей в стальную подложку. В расчете данный эффект достигается за счет учета конвекции и зависимости теплоемкости от температуры.
На зависимостях температуры от времени трибонагружения (рис. 10, б), построенных с учетом износа,
Т, °С
201-.--——-.-.-^
0 5 10 15 20 25 U мин
наблюдаются осцилляции, которые связаны прежде всего с удалением «изношенных» элементов сетки с поверхности и дальнейшим повышением температуры изнашиваемой поверхности за счет индуцированного этими процессами повышения шероховатости. При построении расчетных зависимостей шаг по времени составляет Дt = 30 с, что позволяет фиксировать колебания температуры с учетом кинетики протекающих процессов.
Качественно расчетные зависимости согласуются с экспериментальными данными по изнашиванию образцов сверхвысокомолекулярного полиэтилена (см. рис. 10, б, кривая 4). Следует заметить, что на приведенной экспериментальной кривой изменения температуры шаг измерений по времени составляет 5 мин, поэтому приведенные графики сглаживают ее изменение. Кроме того, измерения проводили бесконтактным инфракрасным термометром, который характеризует температуру контртела в средних по некоторой площади значениях, что не позволяет выявить полученный в расчетах ступенчатый характер изменения.
3.3. Износ полимерного покрытия в трибоконтакте со стальным контртелом
Поскольку температура является относительно медленно изменяющимся параметром, то величина износа, определяемая площадью фактического контакта (соответствует площади поверхности трения (рис. 1, б) и вычисляемая как длина зоны контакта, умноженная на ширину контртела), должна возрастать быстрее и менее однородно. Проведены численные расчеты по изнашиванию металл-полимерных двухслойных композитов при разной толщине покрытия (рис. 11). В отличие от временных зависимостей температуры, в данном случае величина износа слабо зависит от толщины полимерного покрытия.
Тем не менее очевидным трендом на стадии установившегося изнашивания является практически нулевая интенсивность износа образцов с более тонким покрытием (500 мкм (кривая 1), 2000 мкм (кривая 2)), в то время как в более толстом величина износа ниже
Т, °С
204-.-.-г-1
0 10 20 и мин
Рис. 10. Расчетные зависимости температуры поверхности трения сверхвысокомолекулярного полиэтилена от времени без учета (а) и с учетом износа (б) при разной толщине покрытия: 500 (1); 1500 (2); 3500 мкм (3); 7 мм, эксперимент (4)
мм2
з г'
-
1 Г 1 .¿■с. - ------
4
10 20 30 40 50 и мин
Рис. 11. Расчетные зависимости износа сверхвысокомолекулярного полиэтилена от времени при разной толщине покрытия: 500 (1); 2000 (2); 4000 мкм (3); 7 мм, эксперимент (4)
(рис. 11, кривая 3). С учетом самой высокой температуры в трибоконтакте (рис. 10, кривая 1) можно предположить, что наблюдаемый результат обусловлен более сильным нагревом контактирующих тел, в то время как в более тонких покрытиях за счет отвода тепла металлической подложкой удается снизить интенсивность изнашивания.
Согласно экспериментально полученной временной зависимости интенсивности изнашивания от времени
триботехнических испытаний образца сверхвысокомолекулярного полиэтилена следует, что результаты оценки величины износа качественно совпадают с экспериментальными данными (рис. 11, кривая 4).
На рис. 12 изображены рассчитанные поверхности износа для покрытий с коэффициентом трения 0.12, толщиной 500 (через 47 мин трения) и 4000 мкм (через 55 мин). Поверхности построены по аналогии с рис. 2. Видно, что площадь износа на рис. 12, б заметно больше.
3.4. Влияние шероховатости полимерного покрытия на температуру и износ
Как было указано выше, а также согласно данным многочисленных литературных данных, шероховатость поверхности полимера оказывает значительное влияние на интенсивность износа. Проведены тестовые расчеты температуры и величины износа покрытия сверхвысокомолекулярного полиэтилена толщиной 500 мкм на стальной подложке при одинаковом коэффициенте трения fí = 0.12 для гладкой и шероховатой поверхности (рис. 13). Показано, что температура поверхности слабо зависит от шероховатости; при времени трибоиспы-таний t = 30 мин она лишь несколько ниже в случае гладкой поверхности (Т = 52 °С), в то время как повышение шероховатости до 20 мкм (под шероховатостью в
0.00495 0.00485 0.00475 0.00465 -1-=—1-——ц
0
0.0050 0.0048 0.0046 0.0044
У, м 0.0050 0.0047
0.0040 7, м
0.0000
.040
• 0020
0.035
0.030
0.025
0.020
.040
^ м
0.0048 0.0043
0.0040
7, м 0.0020
0.0000 0.020
X, м 0.035
0.030 0.025 х м
0.030
0.025
0.000 0.007 7, м
0.020
0.000 0.007 7, м
Рис. 12. Поверхности износа покрытия: 500 мкм ^ = 47 мин) (а); 4000 мкм ($ = 55 мин) (б)
Рис. 13. Расчетные зависимости температуры (а) и износа (б) покрытия сверхвысокомолекулярного полиэтилена толщиной 500 мкм от времени с поверхностью: гладкой (7); шероховатой 20 мкм (2); шероховатой 50 мкм (3)
данном случае подразумевается максимальный перепад высот) и далее до 50 мкм повышает ее лишь до Т = = 60 °С (рис. 13, а).
В то же время величина износа интенсивно возрастает с увеличением шероховатости (рис. 13, б). Видно, что для гладкой поверхности полимерного покрытия первые 7 мин испытаний вообще не наблюдается износа; затем, при времени трибонагружения более 20 мин, его величина (выражаемая в единицах площади дорожки трения) достигает 5 = 30 мм2 и далее меняется достаточно слабо (кривая 1). В то же время повышение шероховатости до 20 и далее до 50 мкм существенно меняет наблюдаемый тренд. Таким образом, в рамках разработанной модели показано, что при заданных параметрах трибонагружения температура не является ключевым параметром, контролирующим интенсивность развития процессов изнашивания, что согласуется с экспериментальными данными авторов статьи.
3.5. Влияние коэффициента трения полимерного образца в трибоконтакте со стальным контртелом
Из литературных данных известно, что ключевым фактором, определяющим сопротивление изнашиванию полимерных композитов, является коэффициент трения. Для оценки зависимости от коэффициента трения проведен тестовый расчет температуры и износа в
монолитном образце сверхвысокомолекулярного полиэтилена (без подложки) толщиной 5 мм для изначально гладкой поверхности. Результаты расчетов показали, что при уменьшении коэффициента трения с 0.12 до 0.08 (что соответствует диапазону его изменения согласно экспериментальным данным [41]) температура в трибоконтакте снижается от 62 до 37 °С (рис. 14, а). Данный результат не полностью коррелирует с экспериментальными данными авторов, согласно которым изменение коэффициента трения при заданных условиях трибонагружения не сопровождается столь заметным изменением температуры. Однако, поскольку в экспериментах изменение коэффициента трения ^ реали-зовывали, например, за счет введения твердосмазочных наполнителей, помимо указанного фактора определяющим могло быть изменение типа надмолекулярной структуры и пр.
Временные зависимости величины износа построены для времен трибонагружения до 90 мин. Их интерпретация представляется не совсем однозначной, в том числе по причине отличия от временных зависимостей температуры (рис. 14, а). С одной стороны, при времени триботехнических испытаний t=90 мин величина износа оказывается тем ниже, чем меньше fí (рис. 14, б). Данный результат является закономерным и ожидаемым. С другой стороны, изменение величины износа
- а" 2 гр—J
/ Lr 3
10 30 50 70 t, мин
Рис. 14. Расчетные зависимости температуры (а) и износа (б) образцов сверхвысокомолекулярного полиэтилена (однородный полимерный материал) при варьировании коэффициента трения: 0.12 (7), 0.10 (2), 0.08 (3)
Рис. 15. Расчетные зависимости температуры (а) и износа (б) для полимерного покрытия (на примере сверхвысокомолекулярного полиэтилена) толщиной 500 мкм с разной величиной коэффициента трения: 0.12 (1), 0.10 (2), 0.08 (3)
как на стадии приработки, так и на стадии установившегося износа происходит неравномерно. Например, при времени t = 20 мин износ полимерного образца, имеющего минимальный коэффициент трения, оказывается максимальным: 5 = 40 мм2. В то же время образцы с большими значениями коэффициента трения 0.10 и 0.12 до времени трибонагружения t = 60 мин характеризуются минимальным износом, который только затем начинает интенсивно возрастать. Наиболее вероятной причиной этого является постепенный нагрев полимера, сопровождающийся ухудшением его физико-механических свойств.
3.6. Влияние коэффициента трения полимерного покрытия в трибоконтакте со стальным контртелом
Выше оценивали влияние теплоотвода в металлическую подложку композиций «полимерное покрытие -стальная подложка». Проведен тестовый расчет влияния коэффициента трения на температуру и износ в случае покрытия сверхвысокомолекулярного полиэтилена толщиной 500 мкм (рис. 14). Анализ данных, приведенных на рис. 14, а, а также их сопоставление с данными на рис. 15, а показывают, что температура в трибоконтакте снижается при уменьшении коэффициента трения.
Анализ величины износа (рис. 15, б) также проведен на основании сравнения с данными для однородного (монолитного) полимерного образца (рис. 14, б). Полимерное покрытие с максимальным значением ^ = = 0.12 изнашивается наиболее интенсивно, причем как на стадии приработки, так и после времени t = 45 мин, когда износ возрастает лавинообразно. До времени трибонагружения t = 50 мин значения износа по характеру и по интенсивности достаточно схожи в образцах всех трех типов. Данная закономерность весьма близка к данным экспериментальных исследований авторов для различного типа композитов на основе сверхвысокомолекулярного полиэтилена [41]. В-третьих, до времени трибонагружения 80 мин образцы с полимерным по-
крытием с коэффициентом трения 0.8 и 0.10 изнашиваются сходным образом независимо от различной температуры в них (ср. с данными на рис. 14, а).
Сопоставление полученных данных с результатами, приведенными на рис. 11 и 13, показывает, что, с одной стороны, теплоотвод в стальную подложку и, соответственно, изменение температуры в трибоконтакте не оказывают существенного влияния на величину износа полимерного покрытия. По этой причине при исследованных условиях трибонагружения температура не оказывает заметного влияния на величину износа. С другой стороны, варьирование шероховатости и коэффициента трения оказывает заметное влияние на изменение температуры, но длительное время может не сопровождаться увеличением интенсивности износа.
Отдельным фактором, требующим более подробного изучения, является влияние толщины покрытия на интенсивность развития деформационных процессов и, как следствие, на сопротивление изнашиванию полимерного слоя на стальной подложке. Эти исследования будут проведены в следующих работах авторов.
4. Заключение
В работе предложен подход к моделированию трения полимерных композиционных материалов в условиях трибосопряжения. Распределение температуры в покрытии получено с учетом перехода механической энергии трения на контакте в тепло. Модификация метода конечных элементов для решения контактной задачи теплопроводности позволяет не вводить дополнительные предположения о распределении тепла между контактирующими телами
Разработанные физические и математические модели, вычислительные алгоритмы позволяют определять в плоском приближении детальные распределения параметров напряженно-деформированного состояния с учетом неоднородности структуры материала, распределения температуры и ее влияния на свойства полимерного материала. Моделирование процесса износа и эволюции поверхности позволяет прогнозировать
износостойкость полимерного материала с учетом влияния структурных элементов микронных размеров (шероховатости, включений и т.д.).
Выявлено, что основной вклад в увеличение температуры контактирующих поверхностей вносит работа сил трения, вклад от пластической работы при деформировании покрытия не является существенным. Показано влияние на температуру и износ сверхвысокомолекулярного полиэтилена разных значений шероховатости и коэффициента трения.
В целом подход к расчету температуры в области трибоконтакта может быть применим и при использовании других методов, касающихся разработки моделей трения и износа.
Хотя моделирование фрикционного взаимодействия методом конечных элементов имеет определенные недостатки и сложности при реализации, представленные результаты не только качественно соответствуют экспериментальным данным, но и позволяют получать количественные оценки параметров процесса трения и износа.
Работа выполнена в рамках Плана фундаментальных научных исследований государственных академий наук 2013-2020 гг. (направление 23.2), а также поддержана грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации НШ-5875.2018.8. Авторы выражают благодарность РФФИ и БРФФИ за финансирование исследования в рамках проекта № 18-58-00037_Бел_а (Т18Р-286).
Литература
1. Panin S.V., Kornienko L.A., Nguen Suan T., Ivanova L.R., Shil'ko S.V., Pleskachevskii Yu.M., Vat'yanatepin N. Mechanical and tribological characteristics of nano- and microcomposites with UHMWPE-PTFE polymer-polymer matrix // J. Frict. Wear. - 2015. - V. 36. - No. 6. -P. 502-508. - doi 10.3103/S1068366615060124.
2. Panin V.E., Panin S.V., Kornienko L.A., Vannasri S., Ivanova L.R., Shil'ko S.V Effect of mechanical activation of ultra-high-molecular-weight polyethylene on its mechanical and triboengineering properties // J. Frict. Wear. - 2010. - V. 31. - No. 2. - P. 121-127. - doi 10.3103/S106836661.
3. KumarD., Rajmohan T., VenkatachalapathiS. Wear behavior ofPEEK
matrix composites // Rev. Mater. Today. - 2018. - V.5. - P. 1458314589.
4. Chen B., Li X., Li X., Jia Y., Yang J., Yang G, Li C. Friction and wear properties of polyimide-based composites with a multiscale carbon fiber-carbon nanotube hybrid // Tribology Lett. - 2017. - V. 65. -No. 3. - doi 10.1007/s11249-017-0891-z.
5. Kragelskii I.V Friction and Wear. - London: Butterworth, 1965. -
150 p.
6. Bowden F.P., Tabor D. Friction and Lubrication of Solids. - Oxford: Clarendon Press, 1964.
7. Трение, изнашивание и смазка. Справочник. Кн. 1 / Под ред. И.В. Крагельского, В.В. Алисина. - М.: Машиностроение, 1978. -400 с.
8. Основы трибологии (трение, износ, смазка) / Под ред. А.В. Чичи-надзе. - М.: Машиностроение, 2001. - 664 с.
9. Myshkin N.K., Kovalev A.V. Adhesion and surface forces in polymer tribology—A review // Friction. - 2018. - V. 6. - No. 2. - P. 143-155.
10. Панин B.E., Почивалов Ю.И., Моисеенко Д.Д., Максимов П.В., Бикинеев ГШ. Трибоконтакт в парах трения как многоуровневая иерархически организованная система // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13. - № 6. - С. 27-34.
11. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -P. 1152-1211. - doi 10.1016/j.actamat.2009.10.058.
12. Амосов А.П. Теплофизические модели трения инертных и взрывчатых материалов. - М.: Машиностроение, 2011. - 363 c.
13. Браун Э.Д., Буяновский И.А., Воронин Н.А. и др. Современная трибология. Итоги и перспективы / Под ред. К.В. Фролова. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 476 с.
14. Brostow W., Kovacevic V, Vrsaljko D. Tribology of polymers and polymer-based composites // J. Mater. Education. - 2010. - V. 32. -No. 5-6. - P. 273-290.
15. Briscoe B.J. Interfacial Friction of Polymer Composites. General Fundamental Principles. Friction and Wear of Polymer Composites / Ed. by F. Klaus. - Amsterdam: Elsevier, 1986. - P. 25-59.
16. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction // Proc. R. Soc. - 1957. - V. 243. - No. 1233. - P. 190-205.
17. Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces // Proc. R. Soc. - 1966. - V. 295. - No. 1442. - P. 300-319. -doi 10.1098/rspa.1966.0242.
18. Deryagin B.V., Muller V.M., Toporov Yu.P. Effect of contact deformation on the adhesion of particles // J. Colloid. Interf. Sci. - 1975. -V. 53. - P. 314-326. - doi 10.1016/0021-9797(75)90018-1.
19. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids // Proc. R. Soc. - 1971. - V. 324. - P. 301-313.
20. Muser M.H., Dapp W.B., Bugnicourt R. et al. Meeting the contact-mechanics challenge // Tribol. Lett. - 2017. - V. 65. - P. 118. - doi 10.1007/s11249-017-0900-2.
21. Persson B.N.J. Theory of rubber friction and contact mechanics // J. Chem. Phys. - 2001. - V. 115. - No. 8. - P. 3840-3861.
22. Putignano C., Afferrante L., Carbone G., Demelio G. A new efficient numerical method for contact mechanics of rough surfaces // Int. J. Solids Struct. - 2012. - V. 49. - No. 2. - P. 338-343. - doi 10.1016/j.ij solstr.2011.10.009.
23. Akchurin A., Bosman R., Lugt P.M. A stress-criterion based model for the prediction of the size of wear particles in boundary lubricated то^а^ // Tribol. Lett. - 2016. - V. 64. - P. 35. - doi 10.1007/s11249-016-0772-x.
24. Popov V.L., Psakhie S.G. Numerical simulation methods in tribology // Tribol. Int. - 2007. - V. 40. - P. 916-923.
25. Buczkowski R., Kleiber M. Statistical models of rough surfaces for finite element 3D-contact analysis // Arch. Comp. Meth. Eng. - 2009. -V. 16. - P. 399-424. - doi 10.1007/s11831-009-9037-2.
26. Ding J., McColl I.R., Leen S.B., Shipway P.H. A finite element based approach to simulating the effects of debris on fretting wear // Wear. -2007. - V. 481. - P. 481-491.
27. Yang C., Persson B.N.J. Molecular dynamics study of contact mechanics: Contact area and interfacial separation from small to full contact // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V. 100. - P. 024303.
28. Ezawa Y., Okamoto N. Development of contact stress analysis programs using the hybrid method of FEM and BEM // Comput. Struct. -1995. - V. 57. - P. 691-698.
29. Polonsky I.A., Keer L.M. A numerical method for solving rough contact problems based on the multi-level multi-summation and conjugate gradient techniques // Wear. - 1999. - V. 231. - No. 2. - P. 206219. - doi 10.1016/S0043-1648(99)00113-1.
30. Jackson R.L., Streator J.L. A multi-scale model for contact between rough surfaces // Wear. - 2006. - V 261. - No. 11-12. - P. 13371347. - doi 10.1016/j.wear.2006.03.015.
31. Дмитриев А.И., Смолин А.Ю., Попов В.Л., Псахье С.Г. Многоуровневое моделирование процессов трения и износа на основе численных методов дискретной механики и феноменологической теории // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - С. 15-24.
32. Kato K. Classification of wear mechanisms/models // J. Eng. Tribol. -2002. - V. 216. - P. 349-355.
33. Myshkin N.K., Petrokovets M.I., Kovalev A.V. Tribology of polymers: Adhesion, friction, wear, and mass-transfer // Tribol. Int. - 2005. -V. 38. - P. 910-921. - doi 10.1016/j.triboint.2005.07.016.
34. Persson B.N.J., Scaraggi M. Theory of adhesion: Role of surface roughness // J. Chem. Phys. - 2014. - V. 141. - No. 12. - P. 124701.
35. КондратюкА.А., КлопотовА.А., МуленковА.Н, ЗиганшинА.И., Васендина Е.А. Особенности изменения удельной теплоемкости наполненных композитов // Изв. вузов. Физика. - 2012. - Т. 55. -№ 5/2. - С. 151.
36. Сверхвысокомолекулярный полиэтилен высокой плотности / Под ред. И.Н. Андреевой, Е.В. Веселовской, Е.И. Наливайко и др. -Л.: Химия, 1982. - 80 с.
37. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. - Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 2013.
38. Люкшин П.А., Люкшин Б.А., Матолыгина Н.Ю., Панин C.B. Определение эффективных теплофизических характеристик // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 5. - С. 103-110.
39. Люкшин Б.А., Панин C.B., Бочкарева С.А., Гришаееа НЮ., Корниенко Л.А., Люкшин П.А., Матолыгина НЮ., Реутов А.И. Компьютерное моделирование и конструирование наполненных композиций. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2015. - 264 с.
40. Иосилевич Г.Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. - М.: Машиностроение, 1981. - 223 с.
41. Люкшин Б.А., Шилъко C.B., Панин C.B., Машков Ю.К., Корниенко Л.А., Люкшин П.А., Плескачевский Ю.М., Кропотин O.B., Бочкарева С.А., Матолыгина НЮ., Черноус Д.А., Гришаева НЮ., Реутов Ю.А. Дисперсно-наполненные полимерные композиты технического и медицинского назначения / Под ред. А.В. Герасимова. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2017. - 311 с.
Поступила в редакцию 03.10.2018 г., после доработки 03.10.2018 г., принята к публикации 07.11.2018 г.
Сведения об авторах
Бочкарева Светлана Алексеевна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, доц. ТУСУР, svetlanab7@yandex.ru
Панин Сергей Викторович, д.т.н., проф., зам. дир. ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, svp@ispms.tsc.ru
Люкшин Борис Александрович, д.т.н., проф., внс ИФПМ СО РАН, зав. каф. ТУСУР, проф. ТГУ, lba2008@yandex.ru
Люкшин Петр Александрович, к.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, petrljuk@ispms.tsc.ru
Гришаева Наталья Юрьевна, к.ф.-м.н., технолог ИФПМ СО РАН, доц. ТУСУР, anohina@mail2000.ru
Матолыгина Наталья Юрьевна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, ksa@ispms.tsc.ru
Алексенко Владислав Олегович, инж.-иссл. ИФПМ СО РАН, асп. ТПУ, vl.aleksenko@mail.ru
