CC BY
20Моделирование фазовых переходов на основе Р-адического анализа и дерева Кэлли
Пхиьо Вэй Лин
аспирант, кафедра «Прикладная математика», МГТУ «СТАН-КИН», phyopwailinnmipt@gmail.com
Уварова Людмила Александровна
д.ф.-м.н., профессор, кафедра «Прикладная математика», МГТУ «СТАНКИН», uvar11 @yandex.ru
В настоящей работе предложена математическая модель для описания фазового перехода «жидкость - газ » на основе дерева Кэлли, р-адического анализа и р-адической квазигиббсо-вой меры. А также проверить хаотические аттракторы в нелинейной динамической системе. Ввиду хаотической природы фазовых переходов аппарат нелинейных динамических систем представляется пригодным для их описания. Этот подход является центром этой работы. Также в настоящее время эффективно использовать р-адический анализ как для разработки теории нелинейных динамических систем, так и для применения полученных теоретических результатов в приложениях. Здесь можно отметить теорему Островского, Малера и Хен-зеля, известную в р-адическом анализе. В последних работах [2-4] показана целесообразность р-адического анализа для изучения нелинейных динамических систем. В этой работе нас интересует возможность фазового перехода, связанного с хаотическим поведением р-адической динамической системы. Этот подход используется для моделирования процессов фазовых переходов типа «жидкость-газ». Молекулярная структура фаз моделируется узлами и системой связей. Ключевые слова: динамические системы, хаотические системы, р-адический анализ, гамильтониан, фазовые переходы, квазигиббсова мера
Работа поддержана РНФ (грант № 18-11-00247).
I. Введение
В настоящее время исследования в области хаотических систем вызывают большой интерес. В частности, это связано с необходимостью поиска хаотических аттракторов, многие из которых имеют практические приложения [1]. Поскольку хаос может быть детерминированным, то при изучении таких систем важнейшее значение имеют нелинейные динамические системы. Одним из основателей теории динамических систем является Анри Пуанкаре, опубликовавший ряд работ по этой проблеме и предложивший ряд методов исследования таких систем, успешно применяемых и в настоящее время (в частности, для исследования коллективных эффектов). Пуанкаре опубликовал две классические монографии: «Новые методы небесной механики» (18921899) и «Лекции по небесной механике» (1905-1910). В них он успешно применил результаты своих исследований к проблеме движения трех тел и детально изучил поведение решений (частота, устойчивость, асимптотика и т. д.). Эти документы включали теорему о рекуррентности Пуанкаре, которая утверждает, что некоторые системы через достаточно длительное, но конечное время вернутся в состояние, очень близкое к начальному состоянию. Александр Ляпунов разработал фундамент современной теории устойчивости динамических систем, а также ряд важных методов аппроксимации. В конце 20-го века палестинский инженер механик Али Х. Найфе применил нелинейную динамику в механических и инженерных системах. Его новаторская работа в области прикладной нелинейной динамики оказала влияние на конструирование и обслуживание машин и конструкций, которые широко распространены в повседневной жизни, таких как корабли, краны, мосты, здания, ракетные двигатели и др.
Линейные динамические системы с постоянными коэффициентами могут быть решены в терминах элементарных функций и поведения всех классифицированных орбит. Но и в этом случае для анализа решений и приложений тип траектории может быть более важным, чем одна конкретная траектория. Нелинейные динамические системы в зависимости от параметров, входящих в неё, могут приводить к неединственности решений и к аттракторам различных видов. Основными особенностями хаотических систем являются высокая чувствительность к начальным условиям, долгосрочная непредсказуемость, сильная зависимость от параметров бифуркации и случайное поведение. Хаотические системы очень чувствительны к начальным условиям. Эта чувствительность широко известна как эффект бабочки (Rössler, 1976; Lorenz, 1963; Sprott, 1994; Azarand Vaidyanathan, 2016, 2015; ZhuandAzar, 2015). Показатель Ляпунова является мерой расхождения фазовых точек, которые изначально очень близки и могут использоваться для количественного определения хаотических систем. Положительный максимальный показатель Ляпунова и компактность фазового пространства
X X
о го А с.
X
го m
о
м о м о
о
CS
о
CS
о ш m
X
3
<
m О X X
обычно принимаются как определяющие условия для хаотической системы.
Ввиду хаотичности фазовых переходов аппарат нелинейных динамических систем представляется применимым для их описания. Такой подход находится в фокусе настоящей работы. Также в настоящее время эффективным является применение р-адичкского анализа как для развития теории нелинейных динамических систем, так и для применения получаемых теоретических результатов в приложениях Здесь можно отметить известную в р^ю анализе теорему Островского, Малера и Хензеля. В недавних работах [2-4] была показана целесообразность р-адического анализа для изучения нелинейных динамических систем. В настоящей работе нас интересует возможность фазового перехода, связанного с хаотическим поведением р -адической динамической системы. Этот подход используется для моделирования процессов фазовых переходов типа «жидкость-газ». Молекулярная структура фаз моделируется узлами и системой связей.
II. P-адические числа и P-адический анализ
Остановимся на некоторых базовых понятиях р-ади-ческих чисел и р-адического анализа. Р-адические числа были описаны Куртом Хензелем в 1897 году. Поле Qp р-адических чисел является дополнением к рациональным числам. Р в «р-адический» является переменной и может быть заменено простым числом. При работе с натуральными числами, если р принимается за фиксированное простое число, то любое положительное целое число может быть записано как расширение базового р в виде
I
alPl (1)
I
aiPl (2)
адическая функция на р-адических целых числах, то имеет место тождество, записанное в такой же самой форме.
Лемма Хензеля, названная в честь Курта Хензеля, является результатом модульной арифметики и формулируется следующим образом: если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю простого числа р, то этот корень соответствует единственному корню того же уравнения по модулю любой большей степени р.
Показатели Ляпунова - мера предсказуемости системы и чувствительности к изменениям ее начальных условий (стабильность) ^ргой, 2003). Их можно рассматривать как среднюю логарифмическую скорость разделения или сходимости двух соседних точек двух временных рядов Хг и У£, разделенных начальным расстоянием Дй0 = ||Х0 -У0\\2
п
Л= lim
im— 'V ^^nZ—i
ln
ARr
(4)
где а; являются целыми числами в {0, ...,р-1}. Например, двоичное расширение 35 равно 1х 25+ 0х 24+ 0х23+ 0х22+ 1х 2*+ 1х 2°, часто записанное в сокращенной записи 1000112.
С р-адическими числами связаны бесконечные суммы вида:
где к - некоторое (не обязательно положительное) целое число, и каждый коэффициент а;можно назвать р-адической цифрой. При таком подходе мы получаем р-адические разложения р-адических чисел. Те р-адиче-ские числа, для которых а; = 0 для всех К0, называются р-адическими целыми числами.
Р-адический анализ - математический анализ функций р-адических чисел. Теорема Александра Островского (1916) утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение на рациональных числах Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо р-адическому абсолютному значению. Теорема, предложенная Куртом Малером (1958) выражает непрерывные р-адические функции в терминах полиномов. Тогда в любом поле действительных чисел справедливо разложение в ряд Ньютона:
/(х) = £ (А*/)(0) Х(Х -1)(Х ~ 2)-(Х ~ к + 1), (3) к=0 к ! где (А/)(х) = /(х +1) - /(х) - разностный оператор. В теореме доказано, что, если f - непрерывная р-
В хаотической системе, по крайней мере, один показатель Ляпунова А должен быть положительным, количественно определяя «чувствительность к начальным условиям» (vander Stappen, 1996).
Синхронизация хаотических систем - это явление, которое возникает, когда две или более хаотических систем связаны или когда хаотическая система управляет другой хаотической системой. Различные типы синхронизации хаотических систем, а именно полная синхронизация, обобщенная синхронизация, проективная синхронизация, Лаг синхронизация и кластерная синхронизация.
Хаотические системы имеют апериодическое поведение в течение длительного времени. Важное значения для выявления характеристических свойств хаотических систем имеют точки покоя. Хаотические системы можно подразделить на две группы: хаотические системы с самовозбуждающимися аттракторами и хаотические системы с скрытыми аттракторами. Аттрактор называется самовозбуждающимся, если бассейн притяжения данного аттрактора (то есть, множество начальных данных, для которых траектории стремятся к аттрактору) пересекается с любыми окрестностями его стационарных точек. Соответственно, если это не выполняется, то аттрактор называется скрытым. Хаотические системы, имеющие устойчивую точку равновесия (а) или не имеющие точки равновесия (б), рассматриваются как находящиеся под скрытыми аттракторами. Хаотические системы с бесконечным числом точек равновесия и системы с кривой, плоскостью или поверхностью равновесия также рассматриваются как системы, имеющие скрытые аттракторы. Хаотические системы, такие как системы Лоренца, Чена, Лу и Спротта являются системами с самовозбуждением. Скрытые аттракторы также имеют место во многих электромеханических системах, таких как асинхронные двигатели, буровые системы и другие. Обычные хаотические системы, такие как система Лоренца, система Ресслера, система Чена или система Лю, имеют счетное число точек равновесия.
III. Фазовые переходы жидкости - пара(газа)
В 1860-е гг. английский ученый Т. Эндрюс детально исследовал свойства углекислого газа при различных давлениях и температурах. Если сжимать газ при постоянной достаточно низкой температуре, то давление газа
сначала будет увеличиваться, однако, начиная с некоторого значения У2, оно остается постоянным, а в сосуде начнет появляться жидкость. По мере сжатия вещества количество газа (пара) будет уменьшаться, а количество жидкости увеличиваться. При объеме все вещество превратится в жидкость. Качественный характер экспериментальной зависимости давления газа от объема при постоянной температуре (изотерма Эндрюса) приведен на рис. 1 (изотерма Эндрюса).
relume (Г)
Рис.1. Эндрю Pv изотерма
Следующее наблюдается из этого графика
1. При высоких температурах, таких как T4, изотермы похожи на изотермы идеального газа.
2. При низких температурах кривые имеют совершенно разные виды. Рассмотрим, например, типичную кривую abcd.
3. По мере увеличения давления объем газа уменьшается (кривая от a до b).
4. В этот момент начинается ожижение, и объем быстро уменьшается, поскольку газ превращается в жидкость с гораздо более высокой плотностью. Это преобразование происходит при постоянном давлении P.
5. В точке С сжижение завершено, и, таким образом, компакт-диск является свидетельством того, что жидкость нельзя легко сжать. Таким образом, отметим, что ab представляет газообразное состояние, bc, жидкость и пар в равновесии, а cd показывает только жидкое состояние.
Если проделать опыт при более высокой температуре, то кривая зависимости давления от объема пойдет выше, в частности, увеличится давление насыщенного пара Рн. (постоянное, не изменяющееся с объемом давление, при котором сосуществуют пар и жидкость). Действительно, при повышении температуры увеличивается число испаряющихся молекул, т.е. чтобы пар остался равновесным, должно увеличиться и число влетающих из пара в жидкость молекул, а для этого должны увеличиться плотность и давление пара. С повышением температуры длина горизонтального участка изотермы уменьшается. Также Эндрюс обнаружил, что существует температура, при которой горизонтальный участок изотермы стя- гивается в точку (критическая температура^). При критической температуре плотности вещества в жидком и газообразном состояниях становятся одинаковыми, т.е. фактически исчезает всякое различие между жидкостью и газом. При этой температуре обращается в нуль теплота испарения и поверхностное натяжение на границе жидкости и пара. Критической температуре соответствуют также вполне определенные для
данного вещества критические значения давления Рк и объема Vк.
При температурах выше критической температуры тепловое движение настолько сильно, что вещество может существовать только в газообразном состоянии при любых высоких давлениях и плотностях.
Конечно, в принципе можно сжать газ до высоких плотностей, но при снятии нагрузки молекулы вещества мгновенно разлетаются, занимая весь предоставленный им объем, как и положено молекулам газа. Отсюда ясно, почему до работ Эндрюса исследователи не могли получить в жидком состоянии такие вещества как азот, кислород, водород и некоторые другие, даже сжимая их до очень высоких давлений, просто у этих веществ низкая критическая температура (150 К и ниже), и поэтому для сжижения их нужно сильно охлаждать. Здесь мы не рассматриваем состояния веществ при очень больших сжатиях, имеющих место в звёздах. Рассмотренный выше переход обусловлен молекулярными взаимодействиями. Аналогично, молекулярные процессы обусловливают фазовый переход « жидкость - газ ».
Для превращения жидкости в пар при постоянной температуре необходимо сообщить жидкости дополнительное количество теплоты q, а при обратном процессе конденсации пара эта теплота поглощается. Эта дополнительная теплота (скрытая теплота парообразования), в процессе испарения расходуется на преодоление сил межмолекулярного притяжения в жидкости.
Существуют фазовые переходы, похожие по своим свойствам на превращение газ-жидкость или жидкость - газ. К таким переходам относятся все переходы между агрегатными состояниями, например, плавление или возгонка, и некоторые другие. Эти переходы, называемые переходами первого рода, обладают следующими общими свойствами:
1. Фазы, между которыми происходит фазовый переход, могут находиться в состоянии равновесия друг с другом.
2. Состояния, между которыми осуществляется фазовый переход, сильно отличаются по своим свойствам: в этих состояниях у вещества различаются плотности, степень хаотичности молекулярного движения и другие свойства.
3. При переходах первого рода наблюдается скачок плотности (или объема).
4. Такие переходы начинаются с образования зародышей новой фазы внутри старой. Затем эти зародыши растут до тех пор, пока все вещество перейдет в новое состояние.
5. Если процесс роста зародышей подавлен, то вещество может достаточно долго находиться в состоянии, нехарактерном для новых внешних условий (его называют метастабильным). Например, хорошо очищенную и многократно прокипяченную воду в хорошем сосуде можно нагреть до температуры 105 градусов Цельсия, и она не закипит, несмотря на то, что температура кипения обычной воды 100 градусов.
6. Для всех таких переходов существует скрытая теплота, связанная с сильным различием свойств состояний. Скрытая теплота положительна, если переход осуществляется из более упорядоченного в более хаотичное состояние, а при переходе наоборот из более хаотичного состояния в менее хаотичное эта величина отрицательна. Например, скрытая теплота плавления положительна, а теплота кристаллизации отрицательна.
X X
о
го А с.
X
го m
о
м о м о
о сч о сч
о ш m
X
3
<
m О X X
IV. Дерево Кэлли
Дерево Кэлли — это граф без петель, который строится следующим образом. Построение начинается с центрального узла, из которого исходят г ветвей единичны длины. Конец каждой ветви также является узлом. Таким образом, мы получаем г узлов, которые образуют первую оболочку дерева Кэлли. Из каждого узла выходит 2 — 1 новых ветвей, образуя г(г - 1) узлов второй оболочки. Процесс можно продолжать до бесконечности. Так получается бесконечное дерево Кэлли с г ветвями, исходящими из каждого узла.
V„ =
{ап.1Уш){х) = |°
(7)
Рис. 2. Дерево Кэлли при г = 3. Показаны только первые два слоя.
Таким образом, классическое дерево Кэлли может рассматриваться как решетка бесконечной размерности.
ПустьГ+ = (V,Ь) - полубесконечное дерево Кэлли порядка к > 1 с корнем х° (каждая вершина которого имеет ровно к + 1 ребер, за исключением корня х0, имеющего к ребер). Здесь V-множество вершин, а L-множе-ство ребер. Вершины х и у называются ближайшими соседями и обозначаются через/ = (х,у), если существует ребро, связыва-ющее их. Совокупность пар (х,х1) _(хсг_1,у)называется путем из точки х в точку у. Расстояние й.{х,у),х,у еУ на дереве Кэлли, является длиной кратчайшего пути из х в у.
Шп ={хеУ1с1(х,х0) =п},
Ln = {I =< х,у >е L lx,y е Vn} (5)
Множество прямых наследников х опре -деляется
так
S(x) = {уе Wn+1:d(x,y) = 1},хе Wn (6)
Заметим, что любая вершина хфх° имеет k прямых преемников, а х° -k + 1.
В настоящей работе мы рассматриваем молекулы, находящееся в газовой и в жидкой фазах, как узлы дерева Кэлли. Центральный узел и часть узлов, получающиеся построением, располагаются на границе (поверхности) раздела фаз. В общем случае, длины ребёр, приходящиеся на жидкую и газовую фазы, могут быть различными. Это может быть определено заданием соответствующей функции на графе.
V. Р-адическая квазигиббсова мера
Поскольку фазовый переход непосредственно связан с изменением энергии, то для моделирования этого процесса можно рассматривать квазигиббсову меру.
Пусть Ф- пространство состояний,
Ф= {1,2,...,q},q > 2. Значения q присваиваются вершинам дереваГ+ = (Г,А). Тогда конфигурация а на V определяется как функция xeV^ a(x) еФ ; аналогичным образом определяются конфигурации on and u> на Vn и
Wn, соответственно. Множество всех конфигураций наV (соответственно!^ , Wn)совпадает с П = Ф1'.Видно, чтоП^ =Q.Vn i xQ.Wn.Используя это, для заданных конфигураций^.! ейУп гиые D.Wnопределим их объединения с помощью
(ап_1(х),если х е Vn_1, о>(х),если х е Wn
Ясно, что о-п_! уш е Q.Vn.
Для проведения анализа р-адической модели используется гамильтониан вида:
H = HV+Hg (8)
Hv(a)=]v ^ Se(xv)a(yv), (х,у)еьу
HgW =]g ^(.Х,у)е1д Sa(Xg)a(yg), (9)
Индекс v относится к жидкой фазе, индекс g относится к газовой фазе, Jv, Jg - константы связи, Stj - символ Кронекера, Lv, Lg характеризуют геометрию множеств. В данном случае, это части дерева Кэлли. Вершины, располагающиеся на границе раздела являются неподвижными точками формально (статистически неподвижными ввиду движения молекул в жидкой фазе). В зависимости от количества состояний и связей величина гамильтониана (энергия Гиббса) может быть конечной или бесконечной. Такой переход может происходить скачком, что свидетельствует о возможности фазового перехода и, соответственно, о нарушении связей.
В заключении отметим, что в работе предложена математическая модель для описания фазового перехода « жидкость - газ » на основе дерева Кэлли, р-ади-ческого анализа и р-адической квазигиббсовой меры.
Литература
1. Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology and Chemistry. - 2001. -478 c.
2. Morris W. Hirsch. Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. / Stephen Smale, Robert L. Devaney_//_Academic Press. - 2003. - ISBN 9780-12-349703-1.
3. Anatole Katok. Introduction to the modern theory of dynamical systems. / Boris Hassel blatt // Cambridge University Press. - 1996. - ISBN 978-0-521-57557-7
4. Katok, A. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. / Boris Hassel blatt // Cambridge University Press. - 1995. - ISBN 978-0-521-34187-5.
5. Kathleen T. Alligood. Chaos. An introduction to dynamical systems. / Tim D. Sauer // Springer Verlag. -2000. - ISBN 978-0-387-94677-1.
6. Shao Fu Wang. The dynamic analysis of a chaotic system / Da-Zhuan Xu. //Advances in Mechanical Engineering. -2017. - Vol. 9(3) - С. 1-6.
7. Khrennikov A. p -adic deterministic and random dynamical systems. / Nilsson M // Dordreht : Kluwer Academic Publisher. - 2004. - 336 с.
8. Khrennikov A. p -adic valued distributions in mathematical physics. - Dordrecht : Kluwer Academic Publisher, 1994. - 432 с.
9. Wang Z, Local bifurcation analysis and topological horseshoe 4D of a hyper-chaotic system / Zhou L, Chan Z // Nonlinear Dynamics - 2016. - № 83 - С. 2055-2066.
10. Farrukh Mukhamedov. Phase transition and chaos: P -adic Potts model on a Cayley tree. / OtabekKhakimov. // Chaos, Solitons and Fractals - 2016. - № 87. - С. 190-196.
11. Mukhamedov F. A dynamical system approach to phase transitions p -adic Potts model on the Cayley tree of order two. // Rep Math Phys - 2012 - №70 - C. 385-406.
12. Dragovich B. / p -Adic Numbers Ultrametric Anal Appl/ Khrennikov A, Kozyrev SV , Volovich IV . // p -adic mathematical physics. - 2009. № 1 - C. 1-17.
13. Khrennikov A. On p -adic Gibbs measures of countable state Potts model on the Cayley tree. / Mukhamedov F, Mendes J F. // Nonlinearity - 2007. - C. 20:29 - C. 23-37.
14. Rozikov U. A. Periodic Gibbs measures for the Potts model on the Cayley tree. / Khakimov R. // Theor Math Phys - 2013 № 175 - C.699-709.
15. Rozikov U. A, p -adic Gibbs measures and Markov random fields on countable graphs. / Khakimov O. N. // Theor Math Phys - 2013. - № 175. - C. 518-25.
Modeling of phase transitions based on p-adic analysis and the Cally tree
Phyo Wai Linn, Uvarova L.A. STANKIN Moscow state technical University» In this paper, we propose a mathematical model for describing the liquid-gas phase transition based on the Cayley tree, p-adic analysis, and p-adic quasigibbs measure. And also verify chaotic attractors in nonlinear dynamical system. In view of the chaotic nature of phase transitions, the apparatus of nonlinear dynamical systems seems to be applicable for their description. This approach is the focus of this work. Also, at the present time, it is effective to use p-adic analysis both for the development of the theory of nonlinear dynamical systems and for the application of the obtained theoretical results in applications. Here we can note the theorem of Ostrovsky, Mahler and Hensel, known in p-adic analysis. In recent works [2-4], the expediency of p-adic analysis for studying nonlinear dynamical systems was shown. In this work, we are interested in the possibility of a phase transition associated with the chaotic behavior of a p-adic dynamical system. This approach is used to simulate the processes of phase transitions of the "liquid-gas" type. The molecular structure of the phases is modeled by nodes and a system of bonds. Keywords: dynamical systems, chaotic systems, p-adic analysis, Hamiltonian, phase transitions,
References
1. Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications
to Physics, Biology and Chemistry. - 2001 .-- 478 p.
2. Morris W. Hirsch. Differential Equations, dynamical systems, and
an introduction to chaos. / Stephen Smale, Robert L. Devaney // Academic Press. - 2003. - ISBN 978-0-12-349703-1.
3. Anatole Katok. Introduction to the modern theory of dynamical
systems. / Boris Hassel blatt // Cambridge University Press. -1996. - ISBN 978-0-521-57557-7
4. Katok, A. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. / Boris Hassel blatt // Cambridge University Press. -1995 .-- ISBN 978-0-521-34187-5.
5. Kathleen T. Alligood. Chaos. An introduction to dynamical systems. / Tim D. Sauer // Springer Verlag. - 2000. - ISBN 9780-387-94677-1.
6. Shao Fu Wang. The dynamic analysis of a chaotic system / Da-
Zhuan Xu. // Advances in Mechanical Engineering. -2017. - Vol. 9 (3) - pp. 1-6.
7. Khrennikov A. p -adic deterministic and random dynamical systems. / Nilsson M // Dordreht: Kluwer Academic Publisher. -2004 .-- 336 p.
8. Khrennikov A. p -adic valued distributions in mathematical physics. - Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1994 .-- 432 p.
9. Wang Z, Local bifurcation analysis and topological horseshoe 4D
of a hyper-chaotic system / Zhou L, Chan Z // Nonlinear Dynamics - 2016. - No. 83 - P. 2055-2066.
10. Farrukh Mukhamedov. Phase transition and chaos: P -adic Potts model on a Cayley tree. / OtabekKhakimov. // Chaos, Solitons and Fractals - 2016. - No. 87. - P. 190-196.
11. Mukhamedov F. A dynamical system approach to phase transitions p -adic Potts model on the Cayley tree of order two. // Rep Math Phys - 2012 - No. 70 - P. 385-406.
12. Dragovich B. / p-Adic Numbers Ultrametric Anal Appl / Khrennikov A, Kozyrev SV, Volovich IV. // p -adic mathematical physics. - 2009. No. 1 - P. 1-17.
13. Khrennikov A. On p -adic Gibbs measures of countable state Potts model on the Cayley tree. / Mukhamedov F, Mendes J F. // Nonlinearity - 2007. - P. 20:29 - P. 23-37.
14. Rozikov U. A. Periodic Gibbs measures for the Potts model on the Cayley tree. / Khakimov R. // Theor Math Phys - 2013 No. 175 - P. 699-709.
15. Rozikov U. A, p -adic Gibbs measures and Markov random fields on countable graphs. / Khakimov
X X
o
0D >
c.
X
0D m
o
ho o ho o
