CC BY
98
УДК 621.331.3.024+51-74
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМЫ АВТОНОМНОГО МОБИЛЬНОГО РОБОТА
А.В.Зубрилин
Описывается методика получения имитационной математической модели энергетической подсистемы автономного мобильного робота на основе аппарата теории массового обслуживания, с использованием уравнений Эрланга.
Ключевые слова: автономный мобильный робот, система массового обслуживания, система электропитания, уравнения Эрланга, энергоснабжение.
Одной из основных задач, требующих решения, при создании автономных мобильных роботов (АМР) является максимизация времени автономного функционирования без восстановления энергозапаса. Это объясняется главной характеристикой мобильных роботов - автономностью -способностью робота существовать и выполнять свое функциональное предназначение в протяженных времени и пространстве. Автономное функционирование достигается наличием системы автономного электропитания, обеспечивающей максимальное время функционирования при минимальных массогабаритных параметрах и с возможностью оперативного восстановления. Так как потребление электроэнергии является переменным во времени и зависит от многих факторов, то возникают сложности в определении параметров источников питания. В настоящее время подобные задачи расчета энергетической подсистемы решаются индивидуально для каждого отдельного случая, что увеличивает трудоемкость проектирования. Для общей оценки работы системы был предложен метод моделирования энергетической подсистемы АМР на основе математического аппарата теории массового обслуживания.
Рис. 1. Функциональная схема энергетической подсистемы АМР
Случайный процесс, протекающий в заданной системе массового обслуживания, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: включаются и выключаются различные потребители энергии. В системе токопотребители являются обслуживающими единицами, поэтому их иногда называют каналами обслуживания. Энергетическая подсистема будет представлять из себя п-канальную систему массового обслуживания с включением и выключением потребителей (рис. 2).
Рис. 2. Граф состояния системы с п-ым числом каналов
Граф представляет из себя физическую систему X с конечным множеством состояний:
X0 — все потребители выключены,
XI — включен один потребитель,
Хк — включены к потребителей из п,
Хп — все п потребители включены.
Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности.
Ро(г), Рі(і),...., Рп (г)
Очевидно, для любого момента времени:
X Рп (г) = 1 (1)
Вычисляются дифференциальные ур авнения для в с ех в ер оятн о стей, начиная с Р)(г) . Зафиксируем момент времени г и найдем вероятность Р0(г + Аг) того, что в момент г + Аґ система будет находиться в состоянии Xо (рис. 3). Это может произойти двумя способами:
Рис. 3. Граф состояний 2-канальной системы
А — в момент Ґ система находилась в состоянии Xо , а за время Аг не перешла из нее в X!.
В — в момент І система находилась в состоянии Xl, а за время
Ді канал выключился, и система перешла в состояние Xо .
Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из X2 в X) через Xl) за малый промежуток времени можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с Р(А) и Р(В) . По теореме сложения вероятностей имеем:
Р)(г + Ді)» Р( А) + Р( В) (2)
Вероятность события А находят по теореме умножения. Вероятность того, что в момент І система была в состоянии Xо , равна Р)(г) . Вероят-
_ „-іДі
ность того, что за время не включится ни один потребитель, равна Є точностью до величин высшего порядка малости:
є~ХДі »1 - ід (3)
Следовательно,
Р( А)» Р)(г) • (1 -1Д ) (4)
Найдем Р(В). Вероятность того, что в момент І система была в
состоянии Xl равна Р1(І) . Вероятность того, что за время Ді потребил -1Д
тель выключится, равна 1 — Є с точностью до малых величин высшего
порядка.
1 - є~ш »тДг (5)
Следовательно,
Р(В)» Р1(г) тдг (6)
Отсюда
Ро(і + Ді )» Р)(і ) • (1 - ІДі ) + Р_(і ) • цДі (7)
Перенося Ро(і) в левую часть, деля на Ді и переходя к пределу при Ді------® о , получим дифференциальное уравнение для Ро (і) :
—5Р = -Ро(і) •1 + Р1(і) т (8)
Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний.
Возьмем любое к (о < к < п) и найдем вероятность Рк (і + Ді) того, что в момент І + Ді система будет в состоянии Хк (рис. 4).
Рис. 4. Граф состояний п-канальной системы для значений к
Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий:
А — в момент І система была в состоянии Xк, а за время Ді не перешла из него ни в Xk+1 , ни в Xk -1;
В — в момент І система была в состоянии Xk-1, а за время Ді перешла в Xk;
С — в момент І система была в состоянии Xk+1, а за время Ді перешла в Xk.
Найдем Р( А) . Вычислим сначала вероятность того, что за время Ді не придет ни один канал включится и не выключится:
є-хді • Є-\ш» Є-(т+1) Ді (9)
Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:
є_(т+1)Аі = 1 - (т+і)Ді
Откуда
Аналогично
(1о)
Р( А)» Рк (і ) • [1 - (т + 1)Аі ] (11)
Р( В) » Рк ч(г) •ХА (12)
Р(С)» Рк+1(г )• тАг (13)
Рк (г + Аг) » Рк (г) •[1 _ (т +1) Аг ] + Рк _1(г) •1Аг + Рк+1(г) •(14)
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для Рк (г):
—= _Рк (г) •(1 + т) + Рк _1(г) •1 + Рк+1(г) •т (15)
ш
Уравнения для последней вероятности Рп (г):
шэ
Рис. 5. Граф состояний п-канальной системы для конечных значений
Имеем
Рп (г + Аг) » Рп (г) (1-тАг) + Рп-1(г)•1Аг (16)
где (1 — тА) - вероятность того, что за время Аг не выключится ни один потребитель;
1Аг - вероятность того, что за время Аг включится один потребитель.
Получаем дифференциальное уравнение для Рп (г) :
—^ = — Рп (г)• т + Рп—1(г)• 1 (17)
—г
Таким образом, получена система дифференциальных уравнений
для вероятностейР)(г), Р[(г),...,Рк(г) ,..., Рп(г).
—= _Р0(г) ^ + Р1(г) т —г
К( ) - -Рк (І) • (1 + т) + Рк-1(І) •1 + Рк+1(І) •т, . .
—І (18)
—Ш = — Рп (г )• т + Рп—1(г )• 1.
—г
Интегрирование системы уравнений происходит при начальных условиях Ро(г) = 1, Р1 (г) =... = Рп (г) = 0. Продифференцировав полученную систему уравнений Эрланга построим графики переходных процессов:
Рис. 6. Графики переходных процессов вероятностей состояния системы при различных значениях X и ц
4о
Полученные графики переходных процессов будут изменятся в зависимости от отношения интенсивности включения 1 и интенсивности выключения т: когда 1 больше т (рис. 6, а); когда 1 и т равны (рис. 6, б); когда т больше 1 (рис. 6, в).
Общая суммарная мощность системы будет изменяться от вероятности включения и выключения потребителей в системе и от их количества. Изменение мощности напрямую зависит от вероятности включения и выключения различных источников питания в определенные промежутки
времени, но при Аг----------® ¥ система переходит в установившееся значе-
ния, а значит и потребляемая мощность тоже будет иметь некоторое средневзвешенное значение.
Приняв, что все потребители в системе на свое обслуживание требуют какое-то определенное значение мощности N0 и каждый элемент
будет потреблять одинаковую мощность: N о = N1 = N 2 = ... = N п .
В общем суммарная мощность бортового источника должна иметь значение:
Мобщ = N0 п (19)
Но малые габариты мобильного робота и большие экономические затраты не позволяют установить максимально возможный источник питания, поэтому для оптимизации привяжем значения вероятностей включения и выключения системой элементов - потребителей к мощности, затрачиваемой одним элементом. Получено что:
Р0 — 0 • N о
Р — 1N о
Р2 — 2 • N о (20)
Рп — п^0
Тогда общая суммарная мощность будет изменяться от вероятности включения и выключения потребителей в системе и от их количества. В таком случае формула примет вид:
п
Nобщ = X Р1 • Ni (21)
I=о
Поскольку было принято, что в системе все потребители энергии затрачивают на свое обслуживание одинаковую мощность N о , то в таком случае формула примет вид:
п
Nобщ = N0 • Х Р •i (22)
i=0
Используя значения вероятностей из уравнений Эрланга, рассчитана зависимость отношения общей мощности источника питания к потребляемой мощности одного элемента - потребителя N общ / N о по времени
и составлены графики переходных процессов изменения потребляемой мощности при различных соотношениях 1 и т: когда ц больше 1 (рис. 7, а), когда 1 и т равны (рис. 7, б), когда 1 больше т (рис. 7, в).
Рис. 7. Графики изменения потребляемой мощности системы
при различных X и ц
Полученные зависимости отображают в целом изменение мощности по времени в зависимости от количества элементов - потребителей, их интенсивности включения и выключения. Данный метод позволит вероятностно оценивать потребление электроэнергии, не нуждаясь при этом в статистических данных. Так как системы автономного электропитания используются в различных областях техники, то предложенный метод найдет свое применение не только в робототехнике.
Список литературы
1. Введение в теорию массового обслуживания. Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. ЛКИ, 2005, 400с.
2. Теория вероятностей. Вентцель Е.С. 4-е изд., стереотип. М.: Наука, Физматгиз, 1969, 576с.
Зубрилин Алексей Васильевич, студент, draconis-crimson@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет.
MODELLING OF THE ENERGY SUBSYSTEM OF THE AUTONOMOUS MOBILE ROBOT
A.V. Zubrilin
The technique of obtaining a simulation of mathematical model based on the energy subsystem autonomous mobile robot of the theory of mass service, using the Erlang equations.
Key words: autonomous mobile robot, queuing system, power supply system, Erlang equations,energy supply.
Zubrilin Aleksey Vasilyevich, student, draconis-crimson@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University.
УДК 519.217.2
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ АППАРАТНО-ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ТРЕНАЖЕРА С ПОМОЩЬЮ СЕТЕЙ ПЕТРИ-МАРКОВА
А.Н. Ивутин
Показана возможность создания сети Петри-Маркова, моделирующей работу аппаратно-программных средств тренажера моделью алгоритма управления движением. Реализованный в аппаратно-программной среде алгоритм представляет собой виртуальный объект, подобный реальному транспортному средству.
Ключевые слова: тренажерная система, алгоритм, полумарковский процесс, сеть Петри-Маркова
Проиллюстрируем возможность создания сети Петри-Маркова (СПМ), моделирующей работу аппаратно-программных средств тренажера моделью алгоритма управления движением, показанной на рис. 1. Алгоритм реализуется в программной среде ЭВМ, связь с обучаемым оператором осуществляется через оборудование макета рабочего места оператора. Реализованный в аппаратно-программной среде алгоритм представляет собой виртуальный объект, подобный реальному транспортному средству [1].
Позиции СПМ моделируют следующие состояния ЭВМ и ТС: а11 -опрос состояния имитатора ключа зажигания; а12 - если ключ зажигания повернут, опрос состояния имитатора ключа стартера; а1,3 - если имитатор ключа стартера повернут, опрос состояния имитатора рычага передачи; а14
- если имитатор рычага передачи находится на нейтральной передаче, то проверка угловой скорости виртуального двигателя; а15 - если угловая скорости вращения вала виртуального двигателя нулевая, то начало интегрирования дифференциального уравнения стартера совместно с дифференциальным уравнением вала двигателя; а16 - формирование признака ошибки действия оператора (попытка завести двигатель при включенной передаче); а17 - формирование признака ошибки действия оператора (попытка завести вращающийся двигатель); а18 - расчет приращения угловой скоро-
