CC BY
8которые могут быть получены из граничного условия азз(х,у,Ь/2) = р(х,у). При этом функции В могут быть вычислены как средние значения моментов £Р:
ВК1...Кв = < рК^Кэ > .
В случае изотропного однородного материала уравнения для функций Юо, Ю1 и Ю2 значительно упрощаются и принимают вид
V
В0ДД-ш0 = --рт, В0ДДш1 = 0, В0ДДш2 + В2ДДДш0 =
п3
В этих уравнениях Во и В2 играют роль коэффициентов жесткости. Второе уравнение удовлетворяется для = 0. Складывая первое уравнение с третьим, предварительно умноженным на П2, получаем
ПДД В2 ДР Р
Данное уравнение можно переписать в традиционном виде:
-ААи, =
В В '
что соответствует уравнениям теории пластин Рейсснера-Миндлина.
4. Заключение. Метод осреднения позволяет получать теории изгиба пластин чисто математически без использования гипотез. Для изотропной однородной пластины последовательные приближения дают соотношения известных теорий пластин (Кирхгофа-Лява в первом приближении и Рейсснера-Миндлина в третьем).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959.
2. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids and Struct. 1984. 20, N 4. 333-350.
3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.
4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
5. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2006. № 6. 71-79.
6. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 47-51.
7. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // ASME J. Appl. Mech. 1951. 18. 31-38.
8. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // ASME J. Appl. Mech. 1945. 12. A68-77.
Поступила в редакцию 20.04.2012
УДК 531.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА ПРИ ВКАТЫВАНИИ ГРЕБНЯ КОЛЕСА НА РЕЛЬС С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОДХОДА ДИРАКА
А. В. Влахова1
Построена математическая модель, позволяющая провести аналитическую оценку условий схода железнодорожного экипажа при вкатывании гребня его колеса на рельс в зависимости от параметров конструкции экипажа и условий его движения. Модель опреде-
1 Влахова Анастасия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат.
ф-та МГУ, email: vlakhova@mail.ru.
ляется первичными связями Дирака между обобщенными координатами и импульсами, и ее решение в общем случае не близко к решению классической модели непроскальзывания колес. Первичные связи возникают из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к бесконечной жесткости сил крипа в точках контакта колес и рельсов и к нулевому значению отношения масс колесной пары и экипажа.
Ключевые слова: сход с рельсов, крип, неголономные связи, первичные связи Дирака.
An approach to formulate a mathematical model is proposed to describe the railway vehicle motion when its wheel flange is rolling on the railhead. This model makes it possible to construct an analytical estimate of the vehicle derailment with respect to the vehicle construction and the motion conditions. This model is based on the primary Dirac constraints and its solution is not similar to the solution of the classical no-slip nonholonomic model. The primary Dirac constraints are caused by the degeneration of the system's Lagrange function when the contact creep force stiffness tends to infinity and the ratio of the wheelpair mass to the vehicle mass tends to zero.
Key words: derailment, creep, nonholonomic constraints, primary Dirac constraints.
ным, с поворотом вправо; каждое из колес взаимодействует с рельсом в одной точке, и точки контакта 0\, О2 лежат на одинаковом расстоянии I от средней линии пути. Здесь и далее индексы 1, 2 придаются обозначениям, относящимся соответственно к левому и правому по ходу движения колесам, т.е. экипаж, показанный на рис. 1, движется "на читателя".
Назовем невозмущенным движение, при котором продольная плоскость симметрии экипажа касается средней линии пути, и обозначим через О их точку касания. Введем трехгранник ОхоУого с осями Охо и Ого, направленными по касательной к средней линии вперед по ходу движения и по вертикали соответственно. Пусть Оо — угловая скорость ОхоУого относительно неподвижной системы отсчета; Но — радиус кривизны пути в точке О; О°, О° — точки контакта колес с рельсами в невозмущенном движении; Н — радиус колес в этих точках; Н — расстояние от центра масс С экипажа до плоскости ОхоУо в невозмущенном движении. Свяжем с корпусом экипажа трехгранник Схуг. Его ориентация относительно трехгранника ОхоУого задается поворотами на угол крена 7 вокруг оси Охо и угол курса (виляния) Ф вокруг оси Ог, переводящими ось Су параллельно оси Ау вращения пары. Точка С в системе ОхоУого имеет координаты (0, У, Н + 2). При движении экипажа в зоне \У| ^ До свободного хода — зазоре между гребнями колес и боковыми гранями рельсов — будем полагать 7г = 7к. Далее предполагается, что, как и для железнодорожных вагонов, отношение масс колесной пары и экипажа ^ ~ 10-1 -10-2. Будем считать, что центр масс корпуса экипажа совпадает с точкой С.
В рамках сделанных предположений движение экипажа описывается смещением X точки О вдоль средней линии пути, боковым относом У и вертикальным смещением 2 его центра масс, углами виля-
Рис. 1
1. Постановка задачи. Гребни колесной пары, обращенные внутрь рельсовой колеи, ограничивают ее поперечные смещения относительно средней линии пути. По статистике аварий железнодорожного транспорта [1], режим движения, при котором гребень перестает скользить по боковой грани головки рельса и начинает вкатываться на нее, является одним из наиболее опасных. В работе оцениваются условия схода железнодорожного экипажа при таком движении. Рассмотрим простейшую модель экипажа [2], образованную абсолютно жесткими корпусом и колесной парой. Экипаж симметричен относительно продольной плоскости, его корпус не совершает галопирующих движений. Поверхность каждого из колес моделируется двумя сопряженными коническими поверхностями с малым углом конусности 7к ~ 0,05 для рабочей поверхности и большим углом конусности 7г ~ 1 для гребня [2, 3]. Предполагается, что путь является недеформируемым, плоским, горизонталь-
ния Ф и крена y, а также углом ф поворота колесной пары вокруг оси Ay. Рассматривая установившиеся движения экипажа, при которых его путевая скорость Vx = X изменяется на временах T ~ 102 с, на несколько порядков превосходящих характерные времена T ~ 10_1-10_2 с изучаемых в работе поперечных движений, положим [4] Vx = const. Для таких движений характерные значения переменных Y/l, Z/l, Ф, Y, Vy/Vx, Vz/Vx, QxR/Vx, QzR/Vx не превосходят величины ei ~ 10_2. Здесь Vy = Y, Vz = Z, Qx = 7, Qz = Ф; точкой обозначено дифференцирование по времени T. Параметры yk, До/l, l/Ro также являются величинами порядка e1 .
Будем рассматривать качение экипажа без отрыва колес от рельсов. Соответствующие уравнения связей в линейном приближении по e1 имеют вид
Uiz = - [Vy - VxФ + QH] sin Yr + (Vz + Qxl) cos Yr = 0, Ü2z = Vz - Qxl = 0, (1)
где Uiz, U2z — проекции скоростей точек Oi, O2 на оси Oizi, O2Z2 трехгранников OiXiyiZi и 02%2У2%2, получающихся из систем Oixyz и O2xyz с осями, сонаправленными осям системы Cxyz, поворотами на угол Yr вокруг оси OiX и угол —YK вокруг оси O2X соответственно.
Для описания проекций касательных составляющих Pix, Piy контактных сил в точке Oi на оси O¿x¿, Oiyi соответственно будем использовать модель Картера [2-5]:
Pix = —KixNiUix/eVx, Piy = —KiyNiUiy/eVx, (Pix/kíxNi)2 + (Py/KiyNi)2 < 1 (i = 1, 2). (2)
Здесь Uix, Uiy — соответствующие проекции скоростей точек O i; Kix, Kiy — коэффициенты кулонова трения скольжения; Ni — нормальные составляющие контактных сил в точках Oi. Для сухих и чистых поверхностей колес и рельсов ширина зоны крипа e ~ 10_3, в эксплуатационных условиях движения, когда взаимодействующие поверхности загрязнены водой и смазочным материалом, e ~ 10_2 [3]. Области контакта колес и рельсов предполагаются достаточно малыми [6], поэтому модель (2) не включает угловые скорости и моменты верчения. Обозначив через Ri радиусы колес в точках Oi и приняв Q = ф, с учетом (1) получим
Uix = (1+ l/Ro) Vx — lüz — QRi, U2x = (1 — l/Ro) Vx + lüz — VR2, Vz =üxl = Uiy sin Yr/2,
(3)
Uiy = —2lUy/(H sin Yr — 2l cos Yr), U2y = Uiy cos Yr, Uy = Vy — VxТФ.
В случае H sin Yr — 2l cos Yr = 0 выражения во второй строке (3) следует заменить на U2y = Uiy cos Yr, Uy = Vy — V^ = 0. Здесь связи (1) налагают одно ограничение на Vy, Vz, Qx.
Уравнения качения системы составляются из уравнений изменения количества движения и кинетического момента экипажа относительно точки C в проекциях на оси трехгранника Cxyz и уравнения изменения кинетического момента колесной пары в проекции на ось Ay. Обобщенная координата ф является циклической и в уравнения не входит. Значения Ni могут быть определены из системы двух линейных уравнений, которая получается после дифференцирования (1) по T и учета правых частей соответствующих уравнений качения. Они должны удовлетворять условиям Ni > 0.
2. Построение асимптотической модели качения экипажа. Будем рассматривать e, ei, ц в качестве малых параметров задачи. В [2] для оценки опасности движения экипажа использовалась модель, базирующаяся на условиях непроскальзывания колес относительно рельсов. Она оправдана для e ~ 10_3, когда компоненты скоростей точек контакта колес и рельсов пренебрежимо малы по сравнению с обобщенными скоростями системы. Из (3) следует, что при e ~ 10_2 условия непроскальзывания теряют обоснование. Действительно, после введения вспомогательной переменной AQ = Vx/R — Q, оценкой характерного значения которой служит eVx/R, величина каждого из слагаемых в правых частях соотношений для Uix, Uiy (i = 1, 2) будет соизмерима с характерным значением eVx левых частей этих соотношений. Тем самым предельный переход к бесконечной жесткости сил крипа (нулевым значениям скоростей точек контакта) переводит эти соотношения в тождества 0 = 0.
В настоящей работе с использованием подхода [7] для систем с малыми массами показано, что упрощение модели движения экипажа может проводиться при помощи подхода Дирака. Действительно, при e, ei, ц = 0 лагранжиан системы вырождается и часть обобщенных импульсов обращается в нуль (в системе возникают первичные связи): pi = MVy = 0, Р2 = MVz = 0, рз = /xQx = 0, P4 = IzQz = 0, = IQ = 0. Здесь M — масса экипажа; Ix, Iz — его моменты инерции относительно осей Cx и Cz; I — момент инерции колесной пары относительно оси Ay. Первые четыре связи реализуются благодаря малости обобщенных скоростей Vy, Vz и Qx, Qz по сравнению с Vx и Q соответственно, последняя, как и в [7], — в силу малости массы колесной пары по сравнению с массой экипажа. Пренебрежение величинами e, ei, ц приводит к
тому, что уравнения исходной системы, описывающие изменение этих малых скоростей и величины О, переходят в квазистатические соотношения. Обоснование модели с первичными связями проводится путем построения предельной модели методами разделения движений [5, 8]. Упрощенная модель имеет вид
Y = Vy, Ф = Oz, Z = lj =
0
при \Y\ ^ A0,
Vy = ^Ф + Uy
Oz =
1
ARi - AR
V. +
IU1y sin 7г/2 при Y> A0,
U2x - Ulx AR ( У7к при |F| <Г До,
(4)
Ro 2lR J 2l |^(Y - A0) tg7г при Y> A0,
AR2 = -Yyk, UiX = sVxPiX/KiXNi (i = 1, 2), Uy = -Uiy(H sin y - 2l cos Yr)/2l.
Значения Pix, P2x находятся из системы уравнений
Pix + P2x = Mn/R, Pix - P2x = Mz/l.
Система для отыскания Ni, N2, Piy, P2y, Uiy, U2y имеет вид
Piy cos 7г + P2y - Ni sin Yr + Fy = 0, Piy sin Yr + Ni cos Yr + N2 - Mg = 0, (l sin Yr + H cos Yr)Piy + HP2y + (l cos Yr - H sin Yr)Ni - lN2 + Mx = 0, Piy = -KiyNiUiy/eVx, U2y = Uiy cos Yr.
(5)
(6)
Здесь Mq — момент трения в оси пары; Fy, Mx, — соответствующие проекции на оси трехгранника Cxyz внешних возмущающих сил и моментов; g — ускорение свободного падения. Первые три уравнения системы (6) позволяют найти Ni, N2, Uiy, после чего с учетом четвертого и пятого уравнений могут быть получены Piy, p2y, U2y. Для известных Ni и известных из (5) значений Pix выражения для Uix (i = 1, 2) могут быть найдены с использованием восьмого соотношения в (4). В случае H sin jr — 2l cos Yr = 0 последнее соотношение в (4) следует заменить на Uy = 0. При движении экипажа в зоне \Y| ^ До свободного хода в (4), (6) принимается jr = jK = 0. В общем случае решение системы (4)—(6) не близко к многообразию, определяемому условиями непроскальзывания колес экипажа.
Обсудим возможности исследования, предоставляемые системой (4)—(6). В рамках классической него-
лономной модели значения Pyj (j = 1, 2) не могут быть найдены (кинематически неопределимый случай [5]). Модель [2], базирующаяся на условиях непроскальзывания, позволяет рассматривать движение экипажа в зависимости от его путевой скорости, формы гребня и радиуса кривизны пути. Построенная в работе модель дает возможность дополнительно изучить, как влияют на динамику экипажа высота его центра масс, силы взаимодействия колес и рельсов, коэффициенты трения контактирующих поверхностей, внешние возмущающие силы и моменты.
Вычисляемые из (5), (6) компоненты контактных сил должны удовлетворять неравенствам из (2). При отсутствии внешних сил и моментов из (5) следует Pix =0 (i = 1, 2), и условия выполнения этих неравенств могут быть найдены из геометрических соображений. В силу (6) задача о качении экипажа сводится к задаче о равновесии сил, действующих на него в плоскости Oyz, при наличии трения. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы линии действия сил пересекались в одной точке (на рис. 2 она обозначена через D), а линии OiD и O2D действия сил Pi , P2 не выходили из области пересечения углов трения, построенных в точках Oi, O2. Для движения
Рис. 2
экипажа в зоне свободного хода это условие всегда верно. В случае вкатывания колеса на рельс для равновесия сил Pi, P2, Mg необходимо и достаточно, чтобы точка D находилась внутри отрезка M\M2, служащего пересечением оси Oz с областью BKSQ, ограниченной прямыми OiB, OiS и O2B, O2S, которые образуют углы трения BO^^S = а1 и BO2S = а2 (tgа1 = к1у, tgа2 = к2у). Для к1у, к2у < tg7г это условие дается неравенствами, второе из которых при Yr = const совпадает с критерием Надаля [3, 9]:
к2у Р2у
P1y sin Yr + N1 cos Yr
Р1у cos Yr — N1 sin Yr
< Kiy tg7r + l tg Yr - Kly '
Из рис. 2 следует, что при уменьшении а\, а2 длина отрезка М\Ы2 уменьшается и вероятность вкатывания колеса на рельс снижается. Этот вывод отвечает данным из [1], согласно которым уменьшение коэффициента трения в местах контакта гребней и рельсов способствует предотвращению схода железнодорожного транспорта. Как следует из (7), вкатывание может происходить и в случае, когда угол конусности образующей гребня в точке контакта меньше своего максимального значения. Это свидетельствует о том, что критерий Надаля не всегда позволяет корректно судить о безопасности движения. Такое же заключение было сделано ранее в [9] путем численного моделирования.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермаков В.М., Певзнер В.О. О сходах порожних вагонов // Железнодорожный транспорт. 2002. № 3. 29-33.
2. Новожилов И.В., Филиппов В.Н. К оценке условий вкатывания гребня железнодорожной колесной пары на головку рельса // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2002. № 4. 21-29.
3. Харрис У.Дж, Захаров С.М., Ландгрен Дж, Турне Х., Эберсен В. Обобщение передового опыта тяжеловесного движения: вопросы взаимодействия колеса и рельса / Пер. с англ. М.: Интекст, 2002.
4. Новожилов И.В. Разделение движений рельсового экипажа // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1980. № 1. 55-59.
5. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.
6. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989.
7. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2009.
8. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. 3, № 4. 611-642.
9. Погорелов Д.Ю., Симонов В.А. Показатель для оценки опасности схода подвижного состава путем вкатывания колеса на головку рельса // Вкник СНУ iм. В. Даля. 2010. № 5 (147), ч. 1. 64-70.
Поступила в редакцию 20.06.2012
