CC BY
5МАТЕМАТИКА (MATHEMATICS) УДК 531.381; 534.013
Макеев Н.Н.
научный сотрудник Саратовский научный центр РАН (г. Саратов, Россия)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА В СВЕТОВОМ ПОТОКЕ
Аннотация: приводятся результаты исследований свойств либрационных и ротационных движений твёрдого тела, движущегося относительно центра инерции в стационарном поле сил светового излучения, и их интерпретация для различных режимов движения тела. Определены свойства движения тела в режиме автоколебаний.
Ключевые слова: твёрдое тело, динамическая модель, маятниковое движение, световой поток, давление света, автоколебания.
Введение
Исследование динамики абсолютно твёрдого тела в поле сил светового давления (СД-поле) проводилось на основе термомеханической модели, принятой в работе [1]. Настоящая работа является продолжением исследований, представленных в статье [2], в которой приняты две динамические модели исследования движения тела в СД-поле и приведены результаты исследования с применением первой из них. В настоящей статье представлены результаты применения второй динамической модели.
1. Динамическая модель Ван дер Поля
Рассмотрим динамическую систему (ДС) [2]
в + 2пв + шв —Ъвъ = 0 (1) при условиях (ш, щ) > 0. В уравнении (1) обозначено: в - угол нутации, определяющий положение тела [2]; щ, щ, щ - заданные термомеханические параметры поверхности тела [1]; его конфигурационные параметры:
п = ащ, а = (2А2)-1, ш = 2а (щ + щ), Ъ = ащ. Предполагается, что величины параметров щ2, щ3 имеют одинаковый порядок малости и щ >> (|щ|,\щ\); £> 0 - безразмерный малый параметр. Положим
щ =ещ0 (у = 2,3) и тогда п = £п0, Ъ = еЪ0, где п0=ащЪ0 = ащ2. В этом случае ДС (1) принимает стандартный вид
в + 2еп°в + а2рв — еЪ0в3 = 0, юр=^А-1 щ . (2) Проводя асимптотическое интегрирование ДС (2) методом разделения движений (методом Ван дер Поля) [3], в результате получаем решение этой системы в первом приближении
в(1)(г) = А(*)8П1 \юрг + 4(г)]. (3)
Здесь функция амплитуды А и аддитивной фазы & определяются равенствами
3 В
А (г) = Аехр(— п0г), 3(г) = 4 + 3 В (А2 — А0), (4)
8 п
где обозначено А = А(0), 4 =4(0), Рр= (2юр)—1Ъ0.
Согласно равенствам (4) амплитуда колебаний осциллятора возрастает со временем при щ3 < 0 (случай отрицательной диссипации) и асимптотически при г ^ + убывает до нуля при щ3 > 0 (при положительной диссипации). Фаза & в случае, при котором щ3 > 0, асимптотически при г ^ + ю приближается к постоянному предельному значению. Для фиксированного значения г с возрастанием значений параметра щ3 величина этой фазы приближается к начальному значению &0. В консервативном силовом СД-поле величины А, &
постоянны. Таким образом, величины этих параметров существенно зависят от знака и величины параметра диссипации т3.
Второе приближение решения уравнения (2) имеет вид
0(2)(t) - A sin (m t + 3) + — A3sin 3(mt + 3)
1
и определяется равенствами
A (t) = A, [1 + C0 exp (2 n01)]
0лп - V2
32
3 = PP
'il a4 -3 A2 + Лр 128 4 v
• (5)
В равенствах (5) заданы величины параметров
A(t) < A = (8/3)12, Со = (A,/A)}2 -1, Лр = (n0/^)2, причём во втором приближении характер изменения амплитуды сохраняется. При m3 > 0 для больших значений t справедливо асимптотическое равенство
A (t) = A (Со)-V2exp(- n01), в силу которого из второго уравнения (5) следует
3(t ) = 3) + рр
В равенстве (6) обозначено
Лvt + v(a2 - а2) - ^ ¡л(а4 - а4)
• (6)
а = ■
A_
A
ао =
A) 1
a? "=
Структура выражения для присоединенной фазы & в равенстве для второго приближения существенно отлична от структуры выражения для первого приближения: равенство (6) при т3 Ф 0 аддитивно содержит секулярную часть. Таким образом, переход ко второму приближению порождает изменение характеристик состояния нелинейного осциллятора, находящегося в неконсервативном СД-поле.
Рассмотрим движение осциллятора в СД-поле в режиме автоколебаний. Принимая для ДС параметрические условия [3], приведём уравнение (1) к виду
в + п (2 -в2)в + тв = 0, а, полагая в = 212 х, / = т 12 г, приведём это уравнение к безразмерной стандартной форме уравнения Ван дер Поля [3]
j
x"- sm0 (1 - x2)x' + x = 0, (7) где m0 = 2n0 m 1/2 > 0; штрих обозначает дифференцирование по переменной т. Применяя к уравнению (7) вычислительный алгоритм [4], в результате получим в первом приближении решение вида
x(1)(г) = A(г)cos 3(г), (8)
где обозначено
A(г) = Ap [1 - apf (sr)]-1/2, 3(г) = 3 + г, f (sr) = exp (- sm0г), ap = 1 - 4 A-2, A0 = A(0) * 0, 30 =3(0).
В силу равенства (9) имеем A (г) ^ Ap = 2 при г ^ + да. Если A0 = 2, то A (т) =
Ap для любых значений т, что соответствует стационарному динамическому режиму, обладающему сильной устойчивостью (термин [4]). Тогда для A0 ф 0 имеем A(г) ^ Ap при г^ + да. Следовательно, для первого приближения (8) любая
либрация в СД-поле асимптотически при г ^ + да стремится к данному
стационарному динамическому режиму.
Второе приближение решения для осциллятора (7) имеет вид
( 1 ^ x(2)(г) = A cos 3--AA2sin 33 , (10)
V 4 У
где Л =1 вш0 - новый малый параметр. Здесь величина А(т) определяется 8
равенством (9), а функция присоединённой фазы <9(т) - уравнением
3 = 1 - 8A;
1 - a 2 + — A4
. (11)
32
Выделяя главную при т ^ + да часть асимптотического выражения (9) для А (т), в результате получаем
А (т) = Ар + ар/ (Лт), (12) где обозначено / (Лт) = ехр (- 81т). Согласно выражениям (11), (12) имеем
3
3(т) = 30 + т- Л^^ (Лт), (13)
]=1
здесь функции
17 ,
f (At) = 3ap [1 - f (Ar)]s f2 (At) = — a2p [1 - f 2(Ar)]s f (At) = 36 At.
о
При A0 = Ap из выражения (13) следует
3(т) = 30 + (1 -36A2)t. (14)
Равенство (14) соответствует стационарному режиму движения тела, при котором приближение (10) принимает вид
X(2) (т) = Д (cos 3 - A sin 33).
2. Приближённое периодическое решение
Введём уравнение движения тела в СД-поле в безразмерной форме [2, 3] X + cx + X - X3 = о, c=[ a2 (щ + m)]-12 m. Применяя к этому уравнению алгоритм преобразования Ляпунова [3] при m3 = 0, для начальных условий 0(0) = в0, в (0) = 0 в результате получаем
в(т) = 00
где обозначено
1 2
cos т+--Е (cos т- cos 3т)
32
+ O (00),
Г = -, £ = 1 + ..., ^ =
е 8 в
а величина в обозначает угловую координату положения устойчивого равновесия тела в СД-поле.
Таким образом, либрационное движение тела в СД-поле реализуется либо в виде нелинейных колебаний осциллятора Дуффинга, либо в форме автоколебаний, порождаемых осциллятором Ван дер Поля. При этом либрационный режим движения в консервативном СД-поле существует в виде периодических движений тела, а в неконсервативном поле - в виде монотонно затухающего движения с достижением в пределе состояния равновесия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата // Космические исследования. 1992. Т. 30. Вып. 3. С. 312-320.
2. Макеев Н.Н. Маятниковые движения твёрдого тела в поле светового излучения // Вестник науки. Международный научный журнал. 2023. Т. 3, № 7 (64). С. 281 - 286.
3. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.
4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 504 с.
Makeev N.N.
Researcher Saratov Scientific Center of Russian Academy of Sciences (Saratov, Russia)
PENDULUM MOTIONS OF A SOLID BODY IN THE FIELD OF LIGHT RADIATION
Abstract: the results of studies of the properties of libration and rotational motions of a solid moving relative to the center of inertia in a stationary field are presented the forces of light radiation and their interpretation for different modes of body movement. The properties of body motion in the self-oscillation mode are determined.
Keywords: solid body, dynamic model, pendulum motion, luminous flux, light pressure, self-oscillation.
