CC BY
32
УДК 004.94:519.63
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПРОБНОГО ТЕЛА КРИОГЕННОГО ГРАВИМЕТРА
А.А. Кудряш, Г.Е. Шунин, В.Н. Ястребков
В рамках формализма Лагранжа получена нелинейная система уравнений движения сферического пробного тела криогенного гравиметра. Разработана программа для численного решения этой системы дифференциальных уравнений второго порядка в системе компьютерной математике БсПаЪ
Ключевые слова: уравнения движения, пробное тело, криогенный гравиметр, программа, моделирование
В качестве чувствительного элемента криогенного гравиметра обычно используется бесконтактный подвес сверхпроводящего пробного тела (ПТ) сферической или аксиально-симметричной формы в неоднородном магнитном поле сверхпроводящих короткозамкнутых аксиально-симметричными катушек с током [1]. Для оценки порога чувствительности и линейности отклика гравиметра необходимо учитывать перекрёстные связи между степенями свободы ПТ и нелинейности, вносимые системой подвеса ПТ. Построение уравнений движения сферического ПТ с учётом этих факторов является основной целью данной работы.
Следуя стандартной процедуре [2, 3] для описания движения ПТ, введем две системы координат: одну «неподвижную», т.е. инерциальную систему
{0,/1;/2,/3} и движущуюся систему координат {О', ё1,е2,е3}, которая предполагается жестко связанной с ПТ и участвующей во всех его движениях. Тогда координаты любой точки ПТ в системе
{О, /1; /2, /3 } выразятся через координаты точки О' и матрицу углов поворота а следующим образом:
х = г + а1Я1, где а. = (/,., е^) , 11 - координаты
произвольной точки ПТ в подвижной системе координат. Скорость произвольной точки ПТ будет определятся выражением
1 = ? + (1)
где г - линейная скорость точки О', Я - радиус вектор точки произвольной точки ПТ, О - угловая скорость ПТ.
Для ПТ массой М, движущегося в инерциаль-ной системе координат, функция Лагранжа равна [2]
(
\
1 = 1——У(х)сЬп-и(г,п,9>2,9>3), (2)
м{ 2
где У(Х) - потенциальная энергия, связанная с гравитационным полем, а и {г - та часть потенциальной энергии, которая обусловлена магни-
Кудряш Андрей Андреевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8(473)246-42-22
Шунин Генадий Евгеньевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, профессор, тел. 8(473)246-42-22
Ястребков Виктор Николаевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8(473)246-42-22
тоупругими связями ПТ с корпусом. Потенциальная энергия и (г, <р1,<р2,<рз) зависит от относительного расстояния г между ПТ и корпусом, а также от углов ( ,ф2 поворота ПТ относительно корпуса. При небольших размерах устройства потенциал гравитационного поля У(Х) можно разложить в ряд Тейлора по степеням х.
V(XI,х2,хз) = V(0) + glxl +1V +..., (3)
где g 1 =-
V
5х.
дУ
и V ц =-
1 дх. дх.
первые и вторые
производные гравитационного потенциала. Подставив (1) и (3) в (2) и пренебрегая членами, связанными с гравитационными градиентами, получим
ь = ]-1 (? + [п,Ц2ат - gi | (г,. + -
м м
-и{г,(р1,(р2,(рэ).
£рк , тож-
Используя символ Леви-Чивита дество [а, Ь]2 = а2Ь2 — (а, Ь)2, и обозначив = V
получим
Ь =
МУ2
2
пп,I
+
+ -
2
+мРк
-Mglrl-U(f,(pl,(p2,(pъ),
(4)
р = — Г Я^ш, I = Г(В? б..- Я Я )ш,
м Г 1 1 Г \ к 1 1 1'
м м м
где р . (у = 1, 2, 3) - координаты центра масс ПТ, / - тензор инерции ПТ. Тензор инерции симметричен: I = I , и, следовательно, может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей ё]. ё2. £\. В этом случае
I ппI 1 = I (2 + ^2 + ),
(5)
где I, ^, ^ - главные моменты инерции. Распишем остальные слагаемые, входящие в функцию Лагранжа в явном виде:
£,,kv,& Pk =
Pi P2 P3
= P (V2^3 " V3^2 )"
Р2 (" ) + Р3 (^2 " ) ;
МЕгГ = М (§1Г1 + &2Г2 + §3Г3 ); (6)
ёг«кРк = £1 («11Р + а12Р2 + «^3 ) +
+&(«1Р + «22Р2 + «23Р3 ) + &(°31Р1 + «32Р2 + «33Р3 ) • Если в качестве углов поворота р;, характеризующих вращение подвижной системы координат относительно неподвижной, выбрать углы Эйлера, то компоненты вектора угловой скорости О,
по подвижным осям е1,е2, еъ выражаются через углы Эйлера и их производные [3]:
Ц = ф2 sinp - ф3 sin р cosр.
(7)
L = - M(v2 + v22 + v2) + Mg3p cosp2 - Mgr +
П2 = e/>, cos с/), + cosine/), sin с/),.
Q3 = <p3 cos p+p.
Далее будем рассматривать аксиально-симметричное ПТ с / = /2 = I.
Поместим начало подвижной системы координат в центр приложения подъемной силы, действующей со стороны катушек магнитного подвеса на ПТ. Пусть ось /3 совпадает с направлением ускорения силы тяжести и, кроме того в начальный момент времени оси еъ и /3 совпадают с осью аксиальной симметрии подвеса. Тогда g = g2 = 0 и в силу аксиальной симметрии подвеса p = p2 = 0, что приводит, при учёте выражений (4) - (7), к следующему
выражению для функции Лагранжа: -
2
+Мpv¡ (р2 cos + ф3 sin <р2 sin р) -
-Mpv2 (р2 sin^j -фг sin <р2 cos^) +
+Ф1 sin2 <р2) + ^/3(í¿>3 cos<p2 +Ф-
-U (^ Г, ^PxPiP) • (8)
Рассмотрим теперь чувствительный элемент со сферическим ПТ. Найдем зависимость потенциальной энергии U(r, r, Г, P, P, %) от токов и ин-дуктивностей сверхпроводящих цепей. Пусть магнитный подвес состоит из одной сверхпроводящей цепи Ь\Ь2 с током I0. При этом ПТ находится только в магнитном поле катушки L1, а катушка L2 удалена от пробного тела и закрыта сверхпроводящим магнитным экраном. Тогда потенциальная энергия будет иметь вид [4]
U (Ъ ^ < P2P ) =
i
Ф2
(9)
2 А (Г2, ^ РР2Р3 ) + А2 Здесь Ф - магнитный поток, захваченный в цепи, Ь1 и Ь2 - соответственно индуктивности первой и второй катушек.
Для упрощения дальнейших расчетов предположим, что ПТ имеет сферическую форму, а катушка Ь1 обладает аксиальной симметрией. Поместим начало подвижной системы координат в центр приложения подъемной силы, действующей со стороны катушки Ь1 на ПТ. Тогда Ь1 не зависит от углов поворота ПТ р, р, р, так как вращение ПТ не изменяет индуктивности. Очевидно, что в силу аксиальной симметрии подвеса зависимость индуктивности
Ь\ от смещений ПТ по осям /, и /2 может быть только четной. В этом случае, при малых смещениях ПТ от положения равновесия, с точностью до членов третьего порядка малости зависимость индуктивности от координат имеет вид
А = А0 + А3 (Г3 — Г30 ) + 1А1 1Г1 + 1 А22Г2 +
+1А33 ( Г3 — Г30 ) + 1А 13Г1 (Г3 — Г30 ) +
+1А223Г2 (Г3 — Г30 ) + 1А333 (Г3 — Г30 ) , (10)
2 6
где Ь0 - значение индуктивности Ь1 в равновесном положении ПТ с координатами (0, 0, г30); Ь'ъ - значение первой производной индуктивности Ь1 по координате г3, взятое в равновесном положении; Ц1, Ь22, А3"3, Ц[3, Ь'223, А333 - значения вторых и третьих производных Ь1 соответственно по координатам г, г, г, взятые также в равновесном положении.
Учитывая, что для сферического ПТ /3 = I,
Р3 = 1 + 12 = Г2 , V2 + V2 = V2, ¿1 = А22 = Агг, А13 = Агз = А^.3, из выражений (8), (9) и (10) получаем следующее выражение для функции Лагранжа с точностью до членов третьего порядка по обобщённым координатам
Ь = + V2) + +ф1+ ф1 + 2рфъ соэ ср2) -
-т^г, +1102¿3 (Г3 - Г30) +1102Ь'У -
- -1
—I, ■
-112
í
- -L"
\
V L0 + L2 2
'2L3LI - -L,
V Lo + L2 2 r
/ 3T'T"
3L3L33
(r3 - r3o )2 -
A
3L"
L„ + L,
2 (L0 + L2 )
r 2 (r3 - r30)-
- - L" Л
L1-
(r3 - r30 )3.
Динамика ПТ описывается системой уравнений Лагранжа
d
(DL^
dL = 0, (n = -,...,6), (11)
да да да
1п / 1п 1п
где qn и ¿]п соответственно обобщённые координаты и скорости ПТ, а Q - диссипативная функция.
v- v2 v3
Для диссипативной функций можно принять следующую модель [3]
Q = 1(яг2 + Н/2 + N,<p2 +N2<p22 +N3<%), (12)
где Hi и Ni - коэффициенты трения (i = 1, 2, 3).
Подставив (7) и (9) в (8) и вычислив, производные получим нелинейную систему уравнений
[ z + 2 hz + a>2z = Аg + ar2 + bz2, \r + 2h г + co2r = 2arz.
K. r r
В ней введены следующие обозначения:
(13)
1
Л? = & - go =-—Л>Ц;
2m
к=
2m
h =
H
2m
о = — L,
z 0
m
1
о
^ 0 rr
2m
a = -—Io2 2 m
J'2 1
L" 1J «
J + J 2 zz
V L0 + L2 2
' 2L'L"
b = -1102 2 0
3L" L"
_z zz
L0 + L2
3L
v L0
r3
-1L
(L0 + L2 У
-L2 2
-1L-2 z
Уравнения движения ПТ по угловым степеням свободы (, (, ( не рассматривались, так как они не вносит вклада в измерительную степень свободы г при выполнении условия р = 0.
В общем случае система из шести дифференциальных уравнений, описывающая динамику левитирующего пробного тела, была получена в работе [4]. В матричной форме она может быть записана в виде
Х + АХ + ВХ = /(Х,Х),
где X - вектор-столбец отклонений размерностью (6^1), А - диагональная матрица (6*6) коэффициентов вязкости, В - диагональная матрица (6 *6) коэффициентов жёсткости, / - вектор-функция (6*1), описывающая гравиинерционные силы, нелинейности и перекрёстные связи.
Для решения такой системы дифференциальных уравнений в БоШЬ [5] необходимо свести её к системе дифференциальных уравнений первого порядка путём замены
Х = У.
В результате система будет иметь вид
Г х=у,
Г = -АГ -ВХ + /(X,7).
Таким образом, система из шести уравнений 2-го порядка сводится к системе из 12 уравнений
первого порядка, которую уже можно решать с помощью функций Scilab.
Разработанная скрипт-программа состоит из файла-сценария с расширением sce и двух файлов с расширением sci, в одном из которых содержатся функции, описывающие динамику рассматриваемого тела, а в другом - функции, отвечающие за создание графического интерфейса.
В файле-сценарии задаются начальные условия для решения системы дифференциальных уравнений и графические параметры (создаётся графическое окно, задаются свойства графических осей и изображается исследуемое тело). После этого вызывается функция, реализующая соответствующий графический интерфейс.
Что касается двух sci-файлов, то в одном из них описывается динамика исследуемого тела (другими словами, в нём записывается правая часть системы дифференциальных уравнений), а также описываются матрицы взаимной ориентации двух ортогональных систем, выраженные через углы Эйлера. Другой файл содержит описание функций, отвечающих за графический интерфейс: функций, создающих контур изображаемого тела; функции, отображающей тело в графическом окне; функций, создающих анимацию и управляющие элементы.
Для тестирования функционирования программы исходная система уравнений была упрощена и сведена к следующему виду:
Ч, + <*А +ai2<li = ci sin(2írt), где i = 1, ..., 6.
Эта система решалась при различных значениях коэффициентов, и результаты численных расчётов сравнивались с аналитическими решениями. Разность между аналитическим и численным решениями имеет порядок 10-9 С помощью этой программы можно осуществлять компьютерное моделирование динамики ПТ криогенного гравиметра при заданных числовых значениях коэффициентов в уравнениях движения и в начальных условиях.
Литература
1. Жернаков О.А. Современное состояние и перспективы развития зарубежной гравиизмерительной техники / О.А. Жернаков, Д.А. Егоров // Гироскопия и навигация. - 1998. - № 1(20). - C. 35-47.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1973. - 208 с.
3. Селезнев В.П. Навигационные устройства. - М.: Машиностроение, 1974. - 600 с.
4. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Динамика пробного тела криогенного гравиинерциального датчика // Известия АН. Сер. Физ. 1997. Т.61. №5. С.972-980.
5. Описание программы Scilab. - Электрон. дан. - Режим доступа: http//www.scilab.org
Воронежский государственный технический университет
z r3 r30;
SIMULATION OF MOVEMENT OF A TRIAL BODY OF CRYOGENIC GRAVIMETER
A.A. Kudryash, G.E. Shunin, V.N. Yastrebkov
Nonlinear system of the equations of motion for the spherical trial body of cryogenic gravimeter was obtained within Lagrange formalism. A program for numerical solution of this system of six differential equations of second order was developed in the system of computer mathematics Scilab
Key words: equations of motion, trial body, cryogenic gravimeter, program, modeling
