Моделирование динамики системы с релаксационным гистерезисным демпфированием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-752

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ С РЕЛАКСАЦИОННЫМ ГИСТЕРЕЗИСНЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ

© 2011 Ф. М. Шакиров

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

(национальный исследовательский университет)

Приведены результаты исследований колебательной системы с гистерезисным демпфированием и виб-розащитным устройством при помощи модели Пойнтинга-Томпсона.

Вибрация, релаксационное гистерезисное демпфирование, оптимизация.

Исследования энергодиссипационных характеристик конструкционных и эласто-мерных материалов [1,2] показывают, что свойство внутреннего трения во многих из них (а в некоторых случаях и внешнего сухого трения) может быть описано с помощью вязкого демпфера, у которого коэффициент вязкого демпфирования ё изменяется обратно пропорционально частоте возмущающего сигнала а: ё = к/а, где к - коэффициент гистерезисного демпфирования. Демпферная сила в этом случае пропорциональна относительному перемещению, но находится в фазе с относительной скоростью через демпфер. А рассеянная за цикл колебаний энергия независима от частоты колебаний, в отличие от вязкого демпфирования, диссипированная энергия при котором линейно зависит от а.

Виброзащитное устройство (ВЗУ) в форме модели Пойнтинга-Томпсона (иначе -Зенера) с гистерезисным типом демпфирования может служить для описания свойств, находящихся в условиях гармонического вибровозмущения составных подвесок в виде комбинации элемента из сплошного материала (эластомерного или конструкционного) и параллельного ему упругого элемента.

Схема колебательной системы (КС) с гистерезисным демпфированием и ВЗУ в форме модели Пойнтинга-Томпсона дана на рис. 1. Допущения математической модели: масса основания значительно больше массы объекта и обе недеформируемые; объект является точечной массой, а КС имеет сосредоточенные параметры; элементы связи объекта с основанием обладают пренебрежимо

малой массой; упругий и диссипативный элементы линейны; колебания являются установившимися однонаправленными.

Движение КС описывается системами уравнений:

для кинематического возмущения (рис.

1, а) -

тХ2 (0 + С [Х2 () - Х1 (0] + с[х2 (?) - *з(0] = 0] (1)

а с[х2 (?) - Хз (?)] = к[Хз (?) - Х1 (?)] \ ,

для силового возмущения (рис. 1,б) -

тХ 2 (0 + С1Х2 (?) + с[х2 (?) - Хз (?)] = ^(/)! (2)

а с[х2 (?) - Х3 (?)] = кХз (?) ] ’

где т- масса защищаемого объекта; с, с1 -соответственно релаксационная и статическая жесткости; х1 @), Х1 - перемещение ос-

нования и его скорость; х2 @), Х2 @) - перемещение и ускорение объекта; хз @), Хз @) — перемещение связи между упругим и диссипативным элементами и ее скорость, Е(0 -внешняя сила, ? - время.

Из передаточных функций (ПФ) и связанных с ними частотных характеристик [з], которые можно получить на основании систем уравнений (1) и (2), рассмотрим наиболее часто используемые для оценки прочности и структурной целостности объекта основания и их связи. При кинематическом возмущении это следующие ПФ: WA ^) - по абсолютному и ^) - по относительному

параметру (перемещение, скорость, ускорение); здесь s - комплексная величина, отражающая применение процедуры преобразования Лапласа. В случае силового возмущения: ($) - по перемещению; ЖСК ($) - по

скорости; ЖУС ^) - по ускорению.

х1 (1)

х2 0)

хз (1)

$ х1(1)

> хз (1)

х2 (1)

а б

Рис. 1. Схема КС с гистерезисным демпфированием и ВЗУ в форме модели Пойнтинга-Томсона (Зенера) при различных направлениях осцилляции: а - вертикальной, б - горизонтальной

Указанные ПФ, модули и аргументы частотных ПФ приведены в табл. 1. Здесь т -коэффициент передачи, V - коэффициент динамического усиления, ц = а/(оо - безразмерная частота возмущения,

, 2<Т 3 1 2 N +1 2<Т , .

А — ----3 5 +-— 5 +-----•--5 + 1 .

Nm0 ®0 N ®0

в — (1 - ц2)2 + [с (N + 1 - ц2)/N ]2;

р - угол сдвига фаз; оо = (с1/т)0'5 - собственная частота недемпфированной КС; N = с/с1

- безразмерная жесткость; X — С /2ц - частотно-зависимый безразмерный коэффициент демпфирования; С — к / с1 - коэффициент потерь; индексы частотных функций соответствуют индексам ПФ. Графики АЧХ по табл. 1 представлены на рис. 2.

Выражения резонансных значений модулей частотных ПФ и соответствующих им безразмерных резонансных частот в функции коэффициента потерь С и безразмерной жесткости N представлены в табл. 2. Графики указанных функций приведены на рис. 3.. .6.

Аналитические выражения оптимальных величин коэффициента потерь Сот , которые обеспечивают соблюдение условий минимаксов АЧХ, получаются подстановкой в выражение резонансной частоты цр по табл. 2 частотной координаты инвариантной точки. Координата определяется из условия равенства ординат предельных резонансов АЧХ.

Выражения координат инвариантных точек и оптимальных значений коэффициента потерь как функций безразмерной жесткости представлены в табл. 3 для рассмотренных выше модулей частотных ПФ. Графическая иллюстрация указанных функций приведена на рис. 7.

Объем публикации не позволяет привести полный анализ представленного аналитического и графического материала. Поэтому ограничимся лишь формулировкой выводов на его основе.

Поведение КС с ВЗУ в форме модели Пойнтинга-Томпсона (Зенера) и гистерезис-ным демпфированием во многом похоже на поведение КС с вязким демпфированием и тем же видом ВЗУ, но имеет и явные отличия. Так, для рассмотренных АЧХ характерно:

1) при нулевом (С = 0) и бесконечном (С = ¥) гистерезисном демпфировании АЧХ имеют предельные положения, через точку пересечения которых - инвариантную точку

- проходят линии АЧХ при конечных уровнях демпфирования (0 < С < ¥ - рис.2. Предельный резонанс при С = 0 локализован на недемпфированной собственной частоте ю0, второй (при С = ¥) - на частоте = =Юо(1+^0’5. Обе резонансные кривые по виду идентичны резонансной кривой консервативной КС;

2) с ростом уровня гистерезисного демпфирования в системе максимумы АЧХ вначале снижаются, проходят через минимум, совпадающий с инвариантной точкой и зависящий только от величины безразмерной жесткости N а затем возрастают (рис.2.7). Безразмерные резонансные частоты при этом только возрастают (в отличие от случая вязкого демпфирования) от цр = 1 при С = 0 до Цр = (1+^0,5 при С = ¥;

3) инвариантные точки АЧХ при гисте-резисном демпфировании совпадают с инвариантными точками аналогичных АЧХ при вязком демпфировании в пределах одной и той же по структуре КС (рис. 7,а);

Таблица 1. Параметры передаточных функций

Нагру- жение Передаточная функция Модуль частотной ПФ (АЧХ): Дщ), Чл) Аргумент частотной ПФ (ФЧХ): ф(ц)

Кинематическое N +1 2Х , — 5 + 1 т (5) N ®о Да (л)=у + Г£( N +1) ]2 N ( ) _[_ агс*8&2 / б), при 0 > 0 ^ |_р _ аг^(Сц2/ б) при 0 < 0 где б _ 1 _ц2 + С2+1)(^ +1 _ц2)/N2

Ил (5) ” А В

- ^ 3 53 \ 5 2 т(5) = ^ А а° т* (л)=1 Л +(Л)2 В ( ) _ [_ агс*Я(С / б), при б > 0 ^ [_р _ аг^(С / б), при б < 0, где б _ 1 _ц2 + С2N +1 _ц2)/N2

Силовое 2Х 5 + 1 тп (5) = ^— А пп (л)='| 1+(£)2 В ( ) _ [_ аг^(С / б), при б > 0 Л [_р _ аг^(С / б) при б < 0, где б _ 1 _Ц2 + С2N +1 _ц2)/N2

2Х 3 5 2 + 1 5 (5) = ^ А а° Уск (Л)= Л+(1) ■ В „ 1 _ ц 2 + С (N + 1 _ ц 2)/N2 Фск (Ц ) _ 2р + агЩ с

2Х 3 53 + \ 52 т.(5) = А “0 уус (Л)='\ Л +( Л )2 В ( ) _|_р _ аг^(С / б), при б > 0 ^УС Ц |_ 2р _ аг^(С / б), при б < 0, где б _ 1 _Ц2 + С2N +1 _ц2)/N2

Таблица 2. Выражения резонансных значений передаточных функций

Резонансное значение модуля частотной ПФ: тР, пР Безразмерная резонансная частота: щ

тАр _ V [ N2 + ^ + 1)2С2]^2 + с2)/ N С N2 + (N +1)£2

N2 + £2

ткр _,1 [N2 + (N + 1)2С2](N2 + С2)/NX2 І N2 + (N +1)2£2

N2 + (N +1)£2

Упр _ (N2 + С2)/NX її N2 + (N +1)£2

N2 + £2

, 0,5( N2 + С2) 4 N2 + ^ +1)2£2

СКР | №2 + (N + 1)2С2](N2 + С2) _ N2 _ (N + 1)С2 N2 + £2

Пуср _т/^С2 4 N2 + ^ +1)2£2

N2 + (N +1)£2

Таблица 3. Выражения координат инвариантных точек и оптимальных значений коэффициента потерь

АЧХ Координаты инвариантных точек Оптимальный коэффициент потерь СОПТ

Лин(М) тИн№

До Пс ^2( N +1)/( N + 2) (N + 2)/N N/л/ N +1

> І л/^ + 2)/2 (N + 2)/N N/л/ N +1

Уп ^ + 2)/2 2/N N

Уск Л/(N + 2)/2 д/2^ + 2)/ N ^ ^ + 4)/^ + 4)

4) один из пары низко- и высокочастотных модулей всех рассмотренных частотных ПФ зависит от гистерезисного демпфирования, второй - нет (в отличие от случая

вязкого демпфирования), а темпы затухания низко- и высокочастотных колебаний равны соответствующим показателям консервативной КС (рис.2);

а 6

Рис.2. АЧХ по абсолютному (а) и относительному (б) параметрам (кинематическое возмущение), по перемещению (в), скорости (г) и ускорению (б) при силовом возмущении

а б

Рис. 3. Резонансные характеристики по абсолютному параметру при кинематическом возмущении

а

Рис.4. Резонансные характеристики по относительному параметру (кинематическое возмущение)

и ускорению (силовое возмущение)

а

б

Рис. 5. Резонансные характеристики по перемещению (силовое возмущение)

а

Рис. 6. Резонансные характеристики по скорости (силовое возмущение)

Рис. 7. Координаты инвариантных точек (а) и оптимальные величины коэффициента потерь (б) в зависимости от параметра безразмерной жесткости

5) как и при вязком демпфировании, диапазоны низко- и высокочастотной виброизоляции являются функциями уровня демпфирования (параметра С ) и безразмерной жесткости N (рис.2). Диапазоны виброизоляции в низкочастотной области не меньше, а в высокочастотной - не больше аналогичных диапазонов консервативной КС;

6) уровень гистерезисного демпфирования в КС можно оптимизировать при данном значении параметра N с целью достижения минимальной величины резонансного пика АЧХ - рис.3.7;

7) резонансные значения всех АЧХ мало чувствительны к изменению уровня демпфирования в окрестности оптимума

(Сопт ) - рис.3...6;

8) при малых уровнях гистерезисного демпфирования (С < 0,2) и величинах безразмерной жесткости N > 1,0 резонансные значения всех рассмотренных АЧХ очень близки (рис.3.6) и в пределах 10%-ой ошибки могут быть определены из выражения: Жр(С ) » 1/С ;

9) резонансные частоты функций

тя (V), Пп (V), Пск (V), Пус (V) очень чувствительны к малым отклонениям гистерезисно-го демпфирования от оптимального значения (СоПт), а резонансные частоты функций тА (V) и ус (V) - мало чувствительны

(рис.3.6);

10) при малых величинах гистерезисного демпфирования (С <0,1) резонансные

частоты всех АЧХ приблизительно равны недемпфированной собственной частоте юо для всех значений параметра N ;

11) одновременное обеспечение относительной устойчивости резонансных значений АЧХ и их резонансных частот к флуктуациям гистерезисного демпфирования в окрестности оптимальной величины (£ОПТ) возможно для функций тА (л) и ус (л), тогда

как для функций /Ля (л), уп (л), Пск (л), Пус (л)-нет (рис. 3.6).

При заданном параметре шо, величина которого обычно зависит от статической осадки КС, выбор значений параметров £ и N для рассматриваемой модели может иметь или не иметь компромиссного характера в зависимости от того, модуль какой частотной передаточной функции является при этом приоритетным.

Библиографический список

1. Писаренко, Г.С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов [Текст]: справочник / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наукова Думка, 1971. - 375 с.

2. Чегодаев, Д.Е. Демпфирование [Текст] / Д.Е. Чегодаев, Ю.К. Пономарев. -Самара: СГАУ, 1997. - 334 с.

3. Динамические свойства линейных виб-розащитных систем [Текст] / отв. ред. К.В. Фролов. - М.: Наука, 1982. - 208 с.

MODELING OF DYNAMICS OF SYSTEM WITH RELAXATION HYSTERETIC DAMPING

© 2011 F. M. Shakirov

Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University)

The paper describes a hysteretic relaxation damping model and results of the study on its basis of dynamics of

system.

Vibration, relaxation hysteretic damping, optimization.

Информация об авторах

Шакиров Фарид Мигдетович, кандидат технических наук, доцент, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). Тел.: (846) 334-47-77. Область научных интересов: динамика виброзащитных систем с конструкционным демпфированием.

Shakirov Farid Migdetovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). Phone: (846) 334-47-77. Area of research: dynamic of system, Vibration, relaxation hysteretic damping.