Моделирование динамики многослойной сети осцилляторов Курамото с использованием технологии параллельных вычислений

Кирсанов Даниил Викторович; Недайвозов Владимир Олегович; Горемыко Михаил Владимирович; Лопатин Дмитрий Валерьевич

увеличить вычислительную производительность за счет использования мощности графического процессора.

На рис. 1 представлен алгоритм выполнения параллельных вычислений. Первым шагом мы задаем начальные данные - массивы фаз, частот, и генерируем матрицу связи с помощью алгоритма, описанного ранее. После чего программа входит в цикл по времени, в котором и происходит передача данных на графический процессор. Далее на GPU выполняется параллельный расчет динамики фаз всех элементов. Готовые результаты вычислений передаются обратно на центральный процессор, где осуществляется запись всех данных в файл и перебор цикла по времени, который повторяется снова, пока время не достигнет заданного максимального значения.

С помощью разработанной модели была численно рассчитана динамика процессов конкуренции в многослойной сети осцилляторов при изменении управляющих параметров - количества nc входящих связей и силы связи Нами также был рассчитан параметр порядка внутри слоев сети [15-16]

123456789 10

А

Рис. 2. Двухпараметрическая зависимость параметра порядка г от силы связи X и количества исходящих связей элементов, пс

, M N ¡

r(t) = -L У y/'(í) Л mí-tl-tV

(5)

который характеризует среднюю степень синхронизации фазовых осцилляторов внутри слоя, усредненную по всем слоям сети.

Рис. 1. Реализация алгоритма расчета сети осцилляторов Ку-рамото с использованием параллельных вычислений на графическом процессоре GPU

Соответствующая двухпараметрическая зависимость показана на рис. 2. Из рис. 2 видно, что при низком значении плотности входящих связей каждого элемента синхронизация проходит менее успешно, чем при высоких значениях количества входящих связей. Несмотря на тот факт, что суммарный вес входящих связей каждого элемента не зависит от параметра nc, степень синхронизации системы демонстрирует зависимость от данной величины. Подобная картина свидетельствует о том, что топология сети сильно влияет на ее динамические характеристики даже когда суммарная сила связи, воздействующая на элемент, остается постоянной. Данное поведение системы согласуется с результатами, полученными в ходе анализа другого типа синхронизации в сложных сетях, а именно, обобщенной синхронизации [17-18].

Таким образом, в данной работе был разработан алгоритм численного моделирования динамики сети осцилляторов Курамото с использованием технологии парралельного вычисления на графическом процессоре NVidiaCUDA. Разработанный алгоритм был использован для расчета синхронных состояний в многослойной сети осцилляторов Курамото.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Onnela J.P., Saramki J., Hyvnen J. А. Structure and tie strengths in mobile communication networks // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 2007. V. 104. P. 7332-7336.

2. Stehlé J., Voirin N., Barrat A. Dynamical and bursty interactions in social networks // Phys. Rev. E. 2010. V. 81. № 3. P. 035101.

3. McPherson M., Smith-Lovin L., M Cook J. Birds of a Feather: Homophily in Social Networks // Ann. Rev. Sociol. 2001. V. 27. P. 415-444.

4. Короновский А.А., Храмов А.Е. Самоорганизованная критичность в иерархических структурах управления // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 6. С. 27-34.

5. Лопатников Д.И., Храмов А.Е., Короновский А.А. Некоторые аспекты изменения численности народонаселения США с точки зрения нелинейной динамики // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 1-2. С. 146-156.

6. Valencia M., PastorM.A., Fernandez-Seara V.A. Dynamic small-world behavior in functional brain networks unveiled by an event-related networks approach // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. № 5. P. 050905.

2367

7. Ulhaas P.J., Pipa G., Lima B., Lucia Melloni L., Neuenschwander S., Nikolic D., Singer W. Neural synchrony in cortical networks: history, concept and current status // Frontiers Neurosc. 2009. V. 3. P. 17-36.

8. Hramov A.E., Harchenko A.A., Makarov V.V., Khramova M.V., Koronovskii A.A., Pavlov A.N., Dana S.K. Analysis of the characteristics of the synchronous clusters in the adaptive Kuramoto network and neural network of the epileptic brain // Proc. SPIE. 2016. V. 9917. P. 9917-9925.

9. Koronovskii A.A., Hramov A.E., Grubov V.V., Moskalenko O.I., Sitnikova E. Yu., Pavlov A.N. Coexistence of intermittencies in the neuronal network of the epileptic brain // Phys. Rev. E. 2016. V. 93. P. 032220.

10. Van Ooyen A. Competition in the development of nerve connections: a review of models // Network: Computation in Neural Systems. 2001. V. 12. P. 1-47.

11. van Luijtelaar G., Lüttjohann A., Makarov V.V., Maksimenko V.A., Koronovskii A.A., Hramov A.E. Methods of automated absence seizure detection, interference bystimulation, and possibilities for prediction in genetic absence models // Journal of Neuroscience Methods. 2016. V. 260. P. 144-158.

12. Makarov V.V., Koronovskii A.A., Maksimenko V.A., Hramov A.E., Moskalenko O.I., Buldu J.M., Boccaletti S. Emergence of a multilayer structure in adaptive networks of phase oscillators // Chaos, Solitons & Fractals. 2016. V. 84. P. 23.

13. Makarov V.V., Koronovskii A.A., Maksimenko V.A., Khramova M.V., Hramov A.E., Pavlov A.N., Moskalenko O.I., Buldu J.M., Boccaletti S. Multilayer structure formation via homophily and homeostasis // Proc. SPIE. 2016. V. 9707. P. 9707-9711.

14. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled nonlinear oscillators // International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics, Lecture Notes in Physics. N. Y: Springer, 1975. V. 39. P. 420-422.

15. Moskalenko O.I., Phrolov N.S., Koronovskii A.A., Hramov A.E. Synchronization in the network of chaotic microwave oscillators // Eur. Phys. J. Special Topics. 2013. V. 222. P. 2571-2582.

16. Gutiérrez R., Amann A., Assenza S. Emerging Meso- and Macroscales from Synchronization of Adaptive Networks // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. P. 234103.

17. Moskalenko O.I., Koronovskii A.A., Hramov A.E., Boccaletti S. Generalized synchronization in mutually coupled oscillators and complex networks // Phys. Rev. E. 2012. V. 86. P. 036216.

18. Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., Shurygina S.A., Hramov A.E. Generalized synchronization in discrete maps. New point of view on weak and strong synchronization // Chaos, Solitons & Fractals. 2013. V. 46. P. 12-18.

Поступила в редакцию 25 сентября 2016 г.

Кирсанов Даниил Викторович, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., г. Саратов, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected]

Недайвозов Владимир Олегович, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., г. Саратов, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected]

Горемыко Михаил Владимирович, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., г. Саратов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Лопатин Дмитрий Валерьевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического моделирования и информационных технологий, е-mail: +[email protected]

UDC 537.86

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2366-2369

STUDY OF DYNAMICS OF THE MULTI-LAYER NETWORK OF KURAMOTO OSCILLATORS USING THE PARALLEL COMPUTING TECHNOLOGY

1)1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov 77 Politechnicheskaya St., Saratov, Russian Federation, 410054 E-mail: [email protected] 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]

We develop the algorithm of numerical simulation of the dynamics of a network of Kuramoto oscillators using theparallel computing technology NVidia CUDA on the graphics processing unit (GPU). Developed numerical scheme used to study synchronous states in multilayer networks of Kuramoto oscillators whose layers have the property of homeostasis.

Key words: complex network; method of parallel computations; Kuramoto oscillator; multiplex network; simulation

2368

REFERENCES

1. Onnela J.P., Saramki J., Hyvnen J. A. Structure and tie strengths in mobile communication networks. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 2007, vol. 104, pp. 7332-7336.

2. Stehlé J., Voirin N., Barrat A. Dynamical and bursty interactions in social networks. Phys. Rev. E., 2010, vol. 81, no. 3, p. 035101.

3. McPherson M., Smith-Lovin L., M Cook J. Birds of a Feather: Homophily in Social Networks. Ann. Rev. Sociol., 2001, vol. 27, pp. 415444.

4. Koronovskiy A.A., Khramov A.E. Samoorganizovannaya kritichnost' v ierarkhicheskikh strukturakh upravleniya [Self-organized criti-cality in hierarchical management structures]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Prikladnaya nelineynaya dinamika — Izvestiya VUUZ. Applied nonlinear dynamics, 2000, vol. 8, no. 6, pp. 27-34. (In Russian).

5. Lopatnikov D.I., Khramov A.E., Koronovskiy A.A. Nekotorye aspekty izmeneniya chislennosti narodonaseleniya SShA s tochki zreniya nelineynoy dinamiki [Some aspects of USA population number changing with nonlinear dynamics view]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Prikladnaya nelineynaya dinamika — Izvestiya VUZ. Applied nonlinear dynamics, 2002, vol. 10, no. 1-2, pp. 146-156. (In Russian).

6. Valencia M., Pastor M.A., Fernandez-Seara V.A. Dynamic small-world behavior in functional brain networks unveiled by an event-related networks approach. Phys. Rev. E., 2008, vol. 77, no. 5, p. 050905.

7. Ulhaas P.J., Pipa G., Lima B., Lucia Melloni L., Neuenschwander S., Nikolic D., Singer W. Neural synchrony in cortical networks: history, concept and current status. FrontiersNeurosc., 2009, vol. 3, pp. 17-36.

8. Hramov A.E., Harchenko A.A., Makarov V.V., Khramova M.V., Koronovskii A.A., Pavlov A.N., Dana S.K. Analysis of the characteristics of the synchronous clusters in the adaptive Kuramoto network and neural network of the epileptic brain. Proc. SPIE, 2016, vol. 9917, pp. 9917-9925.

9. Koronovskii A.A., Hramov A.E., Grubov V.V., Moskalenko O.I., Sitnikova E.Yu., Pavlov A.N. Coexistence of intermittencies in the neuronal network of the epileptic brain. Phys. Rev. E., 2016, vol. 93, p. 032220.

10. Van Ooyen A. Competition in the development of nerve connections: a review of models. Network: Computation in Neural Systems, 2001, vol. 12, pp. 1-47.

11. van Luijtelaar G., Lüttjohann A., Makarov V.V., Maksimenko V.A., Koronovskii A.A., Hramov A.E. Methods of automated absence seizure detection, interference bystimulation, and possibilities for prediction in genetic absence models. Journal of Neuroscience Methods, 2016, vol. 260, pp. 144-158.

12. Makarov V.V., Koronovskii A.A., Maksimenko V.A., Hramov A.E., Moskalenko O.I., Buldu J.M., Boccaletti S. Emergence of a multilayer structure in adaptive networks of phase oscillators. Chaos, Solitons & Fractals, 2016, vol. 84, p. 23.

13. Makarov V.V., Koronovskii A.A., Maksimenko V.A., Khramova M.V., Hramov A.E., Pavlov A.N., Moskalenko O.I., Buldu J.M., Boccaletti S. Multilayer structure formation via homophily and homeostasis. Proc. SPIE, 2016, vol. 9707, pp. 9707-9711.

14. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled nonlinear oscillators. International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics, Lecture Notes in Physics. New York, Springer, 1975, vol. 39, pp. 420-422.

15. Moskalenko O.I., Phrolov N.S., Koronovskii A.A., Hramov A.E. Synchronization in the network of chaotic microwave oscillators. Eur. Phys. J. Special Topics, 2013, vol. 222, pp. 2571-2582.

16. Gutiérrez R., Amann A., Assenza S. Emerging Meso- and Macroscales from Synchronization of Adaptive Networks. Phys. Rev. Lett., 2011, vol. 107, p. 234103.

17. Moskalenko O.I., Koronovskii A.A., Hramov A.E., Boccaletti S. Generalized synchronization in mutually coupled oscillators and complex networks. Phys. Rev. E., 2012, vol. 86, p. 036216.

18. Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., Shurygina S.A., Hramov A.E. Generalized synchronization in discrete maps. New point of view on weak and strong synchronization. Chaos, Solitons & Fractals, 2013, vol. 46, pp. 12-18.

Received 25 September 2016

Kirsanov Daniil Viktorovich, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation, Student, e-mail: [email protected]

Nedaivozov Vladimir Olegovich, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation, Student, e-mail: [email protected]

Goremyko Mikhail Vladimirovich, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Research Worker, e-mail: [email protected]

Lopatin Dmitriy Valerevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Mathematical Modeling and Information Technology Department, e-mail: +[email protected]

Информация для цитирования:

Кирсанов Д.В., Недайвозов В.О., Горемыко М.В., Лопатин Д.В. Моделирование динамики многослойной сети осцилляторов Курамото с использованием технологии параллельных вычислений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2366-2369. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2366-2369

Kirsanov D.V., Nedaivozov V.O., Goremyko M.V., Lopatin D.V. Modelirovanie dinamiki mnogosloynoy seti ostsillyatorov Kuramoto s ispol'zovaniem tekhnologii parallel'nykh vychisleniy [Study of dynamics of the multi-layer network of Kuramoto oscillators using the

2369

parallel computing technology]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2366-2369. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2366-2369 (In Russian).

2370

УДК 51-76, 612.821.89

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2370-2374

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ПАТТЕРНОВ ДВИЖЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МНОГОКАНАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОЭНЦЕФАЛОГРАФИИ ЧЕЛОВЕКА

Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А. 410054, Российская Федерация, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 E-mail: [email protected] 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]

Предложен подход к распознаванию паттернов и классификации состояний на данных электроэнцефалографии (ЭЭГ) в процессе движения человека по аудио-команде. На базе вейвлетной математики создан подход к анализу различных волновых паттернов, сосуществующих в различные моменты времени при регистрации когнитивных процессов. Разработанные подходы апробированы на данных, регистрируемых в описанных дизайнах психофизиологических экспериментов добровольцев с нормальной физической подготовкой. Ключевые слова: электроэнцефалография; вейвлетное преобразование; дешифровка сигналов; паттерны двигательной активности

В настоящее время электроэнцефалография как раздел электрофизиологии является одним из основных методов получения информации о работе головного мозга человека [1-5]. Сегодня этот метод активно используется в прикладной медицине и в научных исследованиях для анализа активности головного мозга и создания инженерно-технологических изделий в рамках интерфейсов «мозг-компьютер» [6-8].

Настоящая статья посвящена поиску и классификации паттернов электрической активности головного мозга человека, возникающих в процессе выполнения некоторых характерных движений, - движения рук, сжатие пальцев в кулак и движения ног. Для получения исходных данных ЭЭГ использовалось электроэнцефалографическое оборудование «Энцефалан-ЭЭГР-19/26» (ООО НПКФ «Медиком МТД», РФ). Частота дискретизации ЭЭГ составляла 250 Гц, частотный диапазон данных составлял от 0,016 до 70 Гц с аппаратным режекторным фильтром на 50 Гц. Для записей ЭЭГ был использован монополярный метод регистрации и стандартная международная система размещения электродов «10-20» со стандартными обозначениями электродов [6; 9].

Команды для выполнения движений подавались с помощью аудиальных записей и воспринимались лежащим добровольцем на слух. Каждая экспериментальная запись включала в себя по 10 мин. фоновых записей ЭЭГ добровольца до и после активной фазы выполнения же. В целом длительность записи каждого эксперимента достигала 35-45 мин. Промежуток между началом двух подаваемых команд составлял порядка 10-15 с.

Оценка динамики колебательных процессов и дальнейшая классификация различных паттернов осно-

вана на использовании непрерывного вейвлетного преобразования [10-11]:

+ W , S

W (s, t0) = J (1)

где х(Г) - временная реализация экспериментального сигнала; ^ж ( (¡) - материнский вейвлет; 5 - временной

масштаб, определяющий ширину вейвлета; символ * обозначает комплексное сопряжение. В качестве материнского вейвлета был использован комплексный вейвлет Морле [11]:

vCn) = (1/^л )exp(/Q0^)exp(-^2/2)

(2)

с параметром = 2п, что обеспечивает однозначную взаимосвязь между временным масштабом 5 вейвлетного преобразования и частотой / фурье-преобразования, а именно / = l/s [6]. Вейвлетный анализ является на сегодня одним из наиболее мощных математических инструментов для обработки сложных нестационарных зашумленных данных, ограниченных короткими временными рядами [6; 11]. Материнский вейвлет Морле хорошо зарекомендовал свое использование в нейрокогнитивных исследованиях полученными ранее хорошими результатами его применимости к ЭЭГ данным у людей и животных [12-17].

Тогда, выполнив процедуру (1) для каждого регистрируемого сигнала ЭЭГ, получаем результирующий сигнал Г). Рассчитаем для Г) скелетоны, харак-

2370

Study of dynamics of the multi-layer network of Kuramoto oscillators using the parallel computing technology

Текст научной работы на тему «Моделирование динамики многослойной сети осцилляторов Курамото с использованием технологии параллельных вычислений»