Моделирование динамики и балансировка гибкого ротора по n-й форме изгиба оси Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.9.06-251:531.31

Моделирование динамики и балансировка гибкого ротора по п-й форме изгиба оси

О. О. Полушкин, О. А. Полушкин

(Донской государственный технический университет)

Посредством моделирования динамики гибкого ротора установлены закономерности, определяющие упругий прогиб его оси по собственным формам изгиба и связанные с этим распределённые дисбалансы. Разработана оригинальная методика идентификации параметров модели и балансировки таких роторов по собственным формам изгиба.

Ключевые слова: гибкие роторы, динамика, балансировка, моделирование.

Введение. Вследствие конечности изгибной жёсткости оси любого реального ротационного агрегата (ротора) машины он имеет бесконечное множество критических скоростей со*,,/ вращения, соответствующих каждой из / = 1, 2, п, ... собственных форм изгиба его оси [1]. Там же обосновывается, что к гибким следует относить роторы, максимальная эксплуатационная скорость соэ которых отвечает условию соэ > 0,857со^1. Гибкий ротор балансируется по п-й форме изгиба [2], если сокр(я 1( < со3 < и>крп. При п= 1 сокр(я 1( = 0 и гибкий ротор балансируется по 1-й форме изгиба,

если 0,857(0^ < < шкр1.

У каждого реального ротора, сбалансированного на низкой скорости со5 «со^ по традиционной технологии динамической балансировки с коррекцией дисбалансов в двух плоскостях коррекции у опор, объективно наличие исходного неупругого искривления оси, названного в [1] линией эксцентриситетов масс ротора. Эта линия представляет собой пространственную кривую отклонений (эксцентриситетов) центров масс элементарных сечений ротора, перпендикулярных его оси, от оси его вращения (прямой, соединяющей центры опор). Эту кривую можно разложить по собственным формам исходного неупругого изгиба [3], каждая из которых лежит в некоторой плоскости, содержащей ось вращения ротора.

Вследствие исходного изгиба оси ротора по каждой из собственных форм дисбалансы от него распределяются неравномерно по этой форме. С приведением ротора во вращение со скоростью со > со5 усилия от этих дисбалансов ведут к упругой деформации оси по всем собственным формам её изгиба. Чем ближе со к со^,> / = 1, 2, ..., п, ..., тем значительнее эта деформация по /-й собственной форме. При со = сокр/ наступает резонанс по /-й форме изгиба.

Существующие методы балансировки гибких роторов (высокочастотная балансировка) не имеют общей теоретической основы. Учёт упругих изгибных деформаций оси гибкого ротора при его балансировке и в эксплуатации «крайне усложняет процесс балансировки и затрудняет установление общей методики балансировки, пригодной для гибких роторов любой категории» [3].

Представленные ниже решения позволяют устранить эти недостатки и создать общий алгоритмический подход к последовательной балансировке гибкого ротора по каждой из /= 1, 2, ..., п собственных форм изгиба.

Моделирование динамики ротора, сбалансированного по / = 1, 2, (#? - 1)-й собст-

венным формам. Объект исследования — двухопорный ротор в виде однородного гладкого кругового цилиндра с исходно изогнутой осью по всем собственным формам. Этот ротор предварительно сбалансирован динамически на низкой скорости вращения со5 «: шкр1 по традиционной

1621

технологии в двух плоскостях коррекции у опор. Кроме того, он последовательно сбалансирован по /= 1, 2, ..., (п - 1)-й собственным формам по специальным методикам, о которых речь пойдёт ниже. Полагаем проведённые балансировки идеальными, поэтому вращение такого ротора со

скоростью шч,(п_1) < со < Шкрп

не вызовет дополнительных прогибов оси по / = 1, 2, ..., (л - 1)-й

собственным формам, а вызовет лишь дополнительный прогиб оси по / = л-й собственной форме. Дополнительный упругий прогиб оси по более высоким формам изгиба при этом будет пренебрежимо малым.

На рис. 1, а сплошной линией представлена схема исходного искривления оси ротора по / = л-й собственной форме, а пунктирной линией — её искривление по той же форме после приведения ротора во вращение со скоростью сокр(я 1( < со < <х>крп.

Представим исходное искривление оси ротора по л-й собственной форме изгиба как результат её пластической деформации под действием чередующихся по направлению и равных по модулю сил Р, приложенных к ротору в л точках на его оси (см. рис. 1, б). Для описания этого

искривления нашли реакции ЯА = 0,5Р, /?в =(-1)л+1 0,5Р опор ротора от действия приложенных

сил. Разбив балку на участки 1, 2, ..., л + 1, записали для каждого участка выражение для изгибающего момента и, использовав известный из [4] метод расчёта деформаций балок, получили общие уравнения смещений у„ поперечных сечений оси балки, изогнутой под действием приложенной к ней совокупности усилий Р.

-|2

Уп = (-1)'

/

4£7

/

/2

п=ИУ

4£7

4л

— для (/ -1)—< х < — + (/ -1)—; ' л 2 п у п

ЗІ2 4 п2

12 п3

(1)

для

/ 1Ч/ ./

—+(/ -1 )-<*</—,

2л 4 ’ п п

где / = 1...Л — номер участка балки, содержащего выпуклую или вогнутую волну л-й собственной формы изгиба оси; Е — модуль упругости материала упруго деформируемого вала ротора; 7— момент инерции сечения вала ротора.

Экстремальное значение /птах прогиба оси (стрелы прогиба) на каждой /-й волне л-й собственной формы изгиба оси ротора определили из (1) как

р1ъ

У = У

7 /?тах 7 п

(2)

48£7л3

Из (2) нашли значение сил Р, которыми нагружена балка по схеме рис. 1, б, которое обеспечивает стрелу прогиба Уптах при л-й собственной форме изгиба этой балки:

я = ( ,4807^

V / 13 7 птах

(3)

Подставив модуль этой силы в (1), получили окончательные выражения для описания исходного неупругого искривления оси ротора по л-й собственной форме:

1622

1623

, ./-і 12л3 Уп=(~1) —Уп

, ,/-112л3 Уп=(~1) —Уп

х-(і-1)1 у ’ п

■-(/-1)-

4л

х-(і-1)1 у ’ п

— для (/ -1)—< х < — + (/' -1)—;

1 л 2л 1 л

З/2

4л

12 л3

(4)

— для

—+ (/ -1)-<Л-</-.

2л 4 ’ п п

Построенная по этим уравнениям линия уп исходного неупругого искривления оси ротора по л-й собственной форме изгиба представлена сплошной линией на рис. 1, а. Такое искривление оси ротора приводит к возникновению на каждом из его участков длиной //л дисбалансов, распределённых с непостоянной интенсивностью:

с1т(х) = т0упс1х . (5)

Используя последнее, нашли значение £>ия главного вектора дисбалансов, обусловленных исходным изгибом оси ротора на участке //л. Для этого подставили в (5) первое из уравнений (4) и после проведения интегрирования получили

1/п

//2/7

Рип = [ С1ип{х)=2т0 | У пс!х = %~~У птах • о о ° п

Приведение рассматриваемого ротора во вращение со скоростью со

(6)

«,(„-!) вызо-

вет дополнительное (к исходному) упругое искривление его оси по л-й собственной форме. Оно представлено пунктирной линией на рис. 1, а и вызвано действием лишь инерционных усилий от дисбалансов, распределённых по (5) и представленных на рис. 1, в. Найдём этот прогиб, оперируя значениями дисбалансов, а не инерционными усилиями, им пропорциональными.

Заменив на каждом участке //л распределённый дисбаланс эквивалентным ему главным

вектором дисбалансов £>ия, определённым по (6), нашли реакции опор:

ЪА = О,50„я, О в = (-1)л+10,50*. (7)

Выделив на левом участке сечение с координатой х1 (рис. 1, в), определили равнодействующий дисбаланс от распределённой нагрузки при 0 < х < х1 —

___ -і _____________________

Ох, = [ л?0 у пс1х ,

что после подстановки первого из уравнений (4) с / = 1 и проведения интегрирования позволило получить

— Л7ПЛ — Ох, =-рУ„

л

Координату плоскости приведения дисбаланса Ох, определили как

Л7П "

*1С = [ * • Уп<Ь'

о

что после подстановки (4), (8) и проведения интегрирования дало

1624

(

2 4 х\

(9)

3 15 3 — - 2х2

л2 1

Изгибающий момент Ми1 в сечении х1 с учётом (7)...(9) привели к виду

т

Ми1 =~^УпП

г 5 1 л2 з 1 л4 5Л

—х,-------------------т-х, +---------—X,

16 1 2 /2 1 5 /4 1

(Ю)

V /

Дифференциальное уравнение упругой оси ротора на участке 0 < х^ < //2л имеет вид

Л 1 „4 Л

2" '-'2 ™ 5 1 л2 з 1 п 5

-----Л-,----------------+--------------------------7-х,

16 1 2 /2 1 5 /4 1

&у _ СО Л7

'^х[~в"~пУптах

'1 — " ~ ' У

Интегрируя дважды последнее уравнение с начальными условиями: л-! - 0 у - 0,

х. =——>^— =0, в первом приближении получили уравнение упруго деформированной оси ро-2л

тора на участке 0 < х1 < //2л от действия неуравновешенности, обусловленной исходным неупругим искривлением этой оси по л-й собственной форме, при приведении ротора во вращение со скоростью 0)ч,(п_1) <(0<(0крп -

(1) (1) СО2 /77 ( 61 I2 5 з 1 л2 5 1 л4 Л

У - Упу - в • п У птах ^ Х1 д6 Х1 + ^ ' ¡2 Х1 ш ' /4 Х1 J ‘ (П)

На участке //2л < ^ < //л упругий изгиб оси будет симметричным относительно точки х1 = //2л, в которой имеет место экстремум упругого прогиба оси (рис. 1, г):

У^тах=ап-УПтах, ^ =0,01^1, (12)

£7 • Л

где ап — коэффициент упругого приращения стрелы прогиба оси ротора по л-й собственной форме изгиба при его вращении со скоростью сокр(я_1( < со < <х>крп.

Последний результат получили подстановкой * = //2л в (11). Анализируя его, отметим, что значение а„ представляет собой не что иное, как аналитическое выражение квадрата отношения со/со^, так что

ш«р»=10п\1-§т = ш«рГп2- (13)

Поэтому для рассматриваемого ротора любая л-я критическая скорость больше первой критической со^1 в л2 раз, и поскольку шкр(п_1} < со < о)крл, то ап < 1.

Как отмечено выше, уравнения (11), (12) позволяют лишь в первом приближении оценить дополнительный упругий прогиб оси ротора от исходного её искривления по л-й собственной форме со стрелой уптах* 0 (рис. 1, а). Найденные по этим уравнениям значения у{^ {хг) и

/путах приводят к появлению новых распределённых неравномерно дисбалансов (показаны на

рис. 1, г) дополнительно к дисбалансам от исходного неупругого искривления оси ротора по л-й собственной форме. Эти дополнительные дисбалансы ведут к новому дополнительному упругому прогибу оси ротора по л-й собственной форме и т. д. Учитывая это и используя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нашли стрелу прогиба оси ротора в установившемся его вращении со скоростью со:

1625

У путах = У„тах1Х = , а„ < 1 . (14)

к=1 у~зп

Заметим, что при ап ->■ 1 стрела дополнительного упругого прогиба оси нежёсткого ротора по л-й собственной форме у{„у}тах ->■ да. При отсутствии исходного неупругого искривления оси ротора по л-й собственной форме (уятах =0) расчёт по (14) даёт у'"^ах =0 при ап <1. При ап = 1 тот же случай приводит к неопределённости, отражающей неустойчивое состояние ротора, когда бесконечно малое значение уятах приводит к неограниченному росту у^ах, характерному

для резонансного режима.

Поскольку упругий и исходный (неупругий) прогибы оси ротора по каждой л-й собственной форме (п = 1, 2, ...) лежат в одной осевой плоскости, суммарная стрела прогиба оси по л-й собственной форме определится как

—(со) — —(со) V

У птах = Ултах + Улутах = ЛП^Х ■ (15)

— 3 п

п

При ап >1 расчёт по (14) даёт у^1ах <0 и (15) приводит к ^“'х < упп1а/ ■ Это согласуется

с теорией колебаний валов, констатирующей уменьшение неупругой деформации валов при их вращении со скоростями выше критических. Однако при пуске машины переход со = со может

привести к негативным для всей конструкции машины последствиям и потому недопустим без проведения балансировки по л-й собственной форме.

Для жёстких роторов ап* 0, и потому для них у^'1ах = 0 и Y^l = уптах.

Механико-математическая модель неуравновешенности ротора, балансируемого по п> 1-й собственной форме изгиба. На каждом участке ротора, имеющем длину //л, деформации оси на скорости со будут приводить к возникновению результирующего локального вектора D* распределённых неравномерно дисбалансов (рис. 1, г), определяемого с помощью (6) как

—ы 5 т — (ш) 5 т v

/ _ u III уЛ t _ III у лтах /н г\

ип --/ лтах — —■ *-* --/ I ±ОI

8 л 8 л 1-ап

—(со) —(со)

где Уптах определено по (15), а ап <1 по (12). Приложен Dm в центре каждого рассматриваемого участка ротора длиной //л (аналогично тому, как приложены векторы Dm на рис. 1, в).

—(со)

Приведём всю совокупность определённых по (16) результирующих дисбалансов Оип к

-(со) ---(со)

главному вектору Dcm и главному моменту Mon дисбалансов ротора в целом, имеющих место при вращении его со скоростью сокр(я_1( < со < и>крп :

т = . L . (17)

2 2 2

При принятой на рис. 1 системе отсчёта деформаций оси ротора, когда на первом слева участке оси протяжённостью //л имеет место у< 0, DctI будет всегда направлен в сторону

— -М

уятах на этом участке и приложен в центре пролёта / между опорами ротора. При этом Dcm #0 и

--(со)

Mon = 0 будет иметь место лишь для нечётных номеров л собственных форм изгиба оси ротора. Главный момент А/а? дисбалансов ротора будет иметь место лишь для чётных значений л при

1626

D^l = 0. Этот момент лежит в плоскости исходной деформации оси ротора по чётной /7-й собственной форме изгиба и при принятой и оговорённой выше системе отсчёта этих деформаций он будет направлен против часовой стрелки. При отсутствии исходного искривления оси ротора по /7-й собственной форме стрела такого искривления на участке //л оси ротора уятах = 0, и значе-

—(со) (со)

ния Dcrn, Mon обращаются в ноль при любом сокр(я 1( < со < шкрп.

Если рассматриваемый ротор при уятах * О привести во вращение со скоростью со на балансировочном станке, то измерительная система станка зафиксирует в плоскостях коррекции 1,

—(со) —(со)

2 необходимость установки в них корректирующих дисбалансов £>ы, CW, параллельных при нечётном и антипараллельных при чётном п\

—(со) —(со)

„И _ tjM 0,51-С М оп тгИ _ 0,5/-Л М оп оол

Lsknl — —UcTn--------------f Lsknl — —UcTn---------1-----, v-*-®/

В В в в

где А, С— расстояния от опор ротора до ближайших плоскостей коррекции; В— расстояние между плоскостями коррекции; /= А + В+ С.

Уравнения (17), (18) и соотношения (12), (16), раскрывающие входящие в них величины, представляют собой механико-математическую модель неуравновешенности ротора, балансируемого по (/7 > 1)-й собственной форме изгиба. Входом этой модели является варьируемое значение cov(n_i) < со < шкрп. Собственные свойства модели характеризуются значением и углом стрелы

уятах исходного искривления оси ротора по п-й собственной форме изгиба, а также параметрами /77, Е, J, /, А, В, С конструкции ротора, определяющими по (12) комплексную характеристику а„ и

—(со) (со)

входящими в (18). Выходы модели — характеристики неуравновешенности ротора (D ип f D стп f

—(со) —(со) —(со)

Mon , Dkm, Dknï ), определяемые по (16)...(18) при любом сокр(я < со < шкрп.

Идентификация параметров механико-математических моделей неуравновешенности роторов и их балансировка. Практическое использование построенной модели неуравновешенности для решения задач балансировки ротационных агрегатов машин при их проектировании, производстве, эксплуатации, ремонте требует знания всех характеристик и параметров собственных свойств. К ним относятся отмеченные выше у/тах — стрелы исходного неупругого прогиба оси ротора по i = 1, 2, ..., п,... собственным формам изгиба, а также значения /77, Е, J, /, А, В, С. Все эти характеристики для полного множества ротационных агрегатов каждого наименования являются случайными величинами с различными уровнями рассеивания их значений.

На проектной стадии создания ротационного агрегата конструктор имеет дело с оценочными (практически предельными, наиболее вероятными) значениями характеристик и параметров собственных свойств объекта моделирования, что позволяет прогнозировать с помощью модели неуравновешенное состояние ротационного агрегата на работающей машине и обеспечивать тем самым принятие обоснованных решений по его балансировке. Поэтому все параметры модели неуравновешенности проектируемого ротационного агрегата могут быть с той или иной достоверностью определены по различного рода справочным источникам. При этом в расчётах должны приниматься такие их значения, которые обеспечивают прогнозирование практически предельного возможного неуравновешенного состояния проектируемого ротора.

Использование модели неуравновешенности для проведения балансировки конкретного типоразмера ротора требует знания точных значений всех параметров и характеристик собственных свойств модели каждого балансируемого экземпляра ротора. Если этот типоразмер ротора необходимо балансировать по / = /7-й собственной форме, то он должен проходить балансировку

1627

последовательно по / = 1, 2, л-й собственным формам. При этом для каждой из форм должна

быть построена модель неуравновешенности с точными значениями всех параметров и характеристик собственных свойств.

Выражение для а„ по (12) можно представить как

а„= 3„.т2; (!„ =0,01^1. = Ь., (19)

получив выражение для комплексной характеристики 3„ собственных свойств модели неуравновешенности ротора, балансируемого на любой л-й собственной форме. По своему физическому смыслу — величина обратная квадрату шкрп по (13). Эта характеристика определяется параметрами т, /, Е, _7 модели, о которых речь велась выше. При балансировке ротора по любой собственной форме точному определению должны подвергаться значения уятах и 3„, т. к. именно эти характеристики и определяют выходы модели по (16)...(19) как функции со.

Балансировка по 1-й собственной форме изгиба требует проведения низкочастотной балансировки на скорости со5 «сокр1, что предопределяет специфику балансировки роторов по этой

форме, теоретически обоснованную и практически апробированную [1]. Там же представлена методика идентификации значения Зь входящего в (19).

С решением последней задачи и расчётом Зл по последнему уравнению, идентификации подлежит лишь параметр уятах — стрела исходного искривления оси ротора по /7-й собственной форме изгиба (рис. 1, а).

Приводя ротор во вращение на балансировочном станке со скоростью сокр(я_1( < со < <х>крп,

будем иметь зафиксированными измерительной системой станка значения и углы корректирую-

—(ш) —(ш)

щих дисбалансов £>ы, йш в плоскостях коррекции у опор ротора. Для нечётных значении л >1 эти дисбалансы будут параллельными, для чётных — антипараллельными.

Имея определёнными эти дисбалансы, исходя из (17), (18), получили общее выражение

для значения результирующего вектора ~5'т распределённых неравномерно на участке //л дисбалансов ротора:

пН _ (пН , г>М \

иип \икп1 ^ кп21

1-(-1)л+1 + (-1 у В

2 2 /

Последнее с помощью (16) позволяет идентифицировать значение параметра у„

(20)

1-И)" ,1 + ИГ В

2 2 I

Угол уп1 вектора уятах на первой волне в системе координат, связанной с ротором, определяется как у„1 = Ф1 + п, где ф: — зафиксированный балансировочным станком угол корректирующего дисбаланса .

Последующая балансировка ротора по каждой из /' = 2, 3,..., л форм изгиба сводится к установке во всех л точках экстремума изгиба его оси корректирующих дисбалансов 00 = -Оип, определённых по (6).

Заключение. Для ротора, имеющего сокр(я_1( < соэ < <х>крп и потому требующего последовательной

балансировки по / = 1, 2, ..., л-й собственным формам изгиба оси, все параметры его механикоматематических моделей неуравновешенности при балансировке по каждой собственной форме

1628

определяются по представленным выше соотношениям. Эти модели могут успешно использоваться для решения задач балансировки как при проектировании роторов, так и в их производстве и эксплуатации.

Библиографический список

1. Полушкин, О. О. Балансировка нежёстких роторов: монография / О. О. Полушкин. — Рос-тов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ, 2011. — 169 с.

2. ГОСТ 19534-74. Балансировка вращающихся тел. Термины. — Москва: Изд-во стандартов, 1974. — 29 с.

3. Левит, М. Справочник по балансировке / М. Левит. — Москва: Машиностроение, 1992. —

464 с.

4. Дарков, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. — 3-е изд. — Москва: Высшая школа, 1969. — 734 с.

Материал поступил в редакцию 16.12.2011.

References

1. Polushkin, О. О. Balansirovka nezhyostkix rotorov: monografiya / О. О. Polushkin. — Rostov-na-Donu: Izd. centr DGTU, 2011. — 169 s. — In Russian.

2. GOST 19534-74. Balansirovka vrashhayushhixsya tel. Terminy'. — Moskva: Izd-vo standartov, 1974. — 29 s. — In Russian.

3. Levit, M. Spravochnik po balansirovke / M. Levit. — Moskva: Mashinostroenie, 1992. — 464 s. — In Russian.

4. Darkov, A. V. Soprotivlenie materialov / A. V. Darkov, G. S. Shpiro. — 3-e izd. — Moskva: Vy'sshaya shkola, 1969. — 734 s. — In Russian.

DYNAMIC SIMULATION AND FLEXIBLE ROTOR BALANCING IN tfh BEND SHAPE О. O. Polushkin, O. A. Polushkin

(Don State Technical University)

Some mechanisms of determining the flexible rotor axis elastic buckling in the eigenmode bend and thereto related distributed unbalances are specified through its dynamic simulation. A new method of identifying the model parameters and balancing of such rotors in the eigenmode bend is evolved.

Keywords: flexible rotors, dynamics, balancing, modeling.

1629