CC BY
14
И. Ю. Выгодчикова, канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского», г. Саратов,
VigodchikovaIY@info.sgu.ru, irinavigod@yandex.ru
Моделирование динамических рядов многозначной структуры на базе равномерного приближения в метрике Хаусдорфа1
Разработкой методологии анализа временных рядов занимались многие исследователи: G. E. P. Box, G. M. Jenkins, N. N. Taleb, S. Johansen, C. A. Sims, А. Ю. Лоскутов, Б. П. Без-ручко, В. Б. Байбурин и многие другие. Один из эффективных методов анализа временных рядов — критерий равномерного приближения по Чебышёву, который не рассматривался в литературе применительно к многозначным отображениям с использованием расстояния Хаусдорфа. В работе приводится метод анализа и оценки параметров математической модели многозначного динамического ряда, составленного из диапазонов значений некоторого показателя с использованием в качестве критерия оптимальности максимума из локальных расстояний Хаусдорфа между диапазонами значений показателя и значениями аппроксимирующей функции. Цель работы — разработка математического метода моделирования динамических рядов, представленных диапазонами, на базе развития метода равномерного приближения функций на случай многозначных отображений с использованием метрики Хаусдорфа, а также создание эффективного в аспекте доступности аппаратно-программной реализации в реальном режиме времени алгоритма.
Ключевые слова: динамический ряд, диапазон, многозначное отображение, минимакс, метрика Хаусдорфа, аппроксимация.
Введение
Рассмотрим многозначный динамический ряд, в котором каждому дискретному значению времени соответствует не одно, а несколько численных значений показателя объекта, распределенных между минимальным и максимальным значениями (эти значения составляют диапазон значений показателя). В целях повышения качества моделирования целесообразно принять допущение о равномерном распределении зна-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-06-00582).
чений показателя внутри каждого диапазона, однако это допущение не является принципиальным требованием. Классические методы регрессионного анализа [1] сложно адаптировать к данным, имеющим многозначную структуру [2]. В последнее время все чаще применяется совокупность нескольких методов анализа временных рядов. К примеру, в работе [3] выполнено прогнозирование уровня перегрузки канала связи с применением адаптивного метода Хольта совместно с частотной фильтрацией динамического ряда методом преобразования Фурье. Однако преобразование Фурье малоинформативно при анализе нестационарных
сигналов и не дает представления о локальных свойствах сигнала при быстрых временных изменениях его спектрального состава, сложно адаптируется к многозначным рядам.
Существующие методы анализа недооценивают возможность появления экстремально редких событий [4], искажающих вид распределения рассматриваемого показателя. Приведем обоснование метода моделирования динамических рядов, представленных диапазонами, на базе развития метода равномерного приближения функций на случай многозначных отображений с использованием метрики Хаусдорфа [2].
Основные модели аппроксимации на базе минимаксного критерия
Условия применения регрессионного анализа, основанного на методе наименьших квадратов, на практике выполняются достаточно редко. Однако этот подход отличает наличие обоснованной и несложно реализуемой схемы вычислений. Обоснование метода минимакса на базе расстояния Хаусдорфа и его реализация для моделирования многозначных динамических рядов были приняты в качестве основного требования к результату настоящей работы.
Приведем задачу П. Л. Чебышёва [5, с. 13, 31]. Для целого n > 0 зададим аппроксимирующую функцию
Pn (A, t) = a0 + a,t +... + antn
с вектором коэффициентов
A = (a0,a,,...,an) eRn+1.
Рассмотрим дискретный сигнал yk = y(tk), к e 0, N, N > n +1, образованный некоторым экономическим показателем и измеренный для значений T = {t0 < t, < ... < tN} . Требуется минимизировать максимальное уклонение алгебраического полинома от значений дискретной функции в этих узлах, по всем узлам сетки:
где
pch (A) = max fch (A, tk) ^ min, (1)
к = 0,N AeR"+1
fch (A, tk) = yk - pn (A, tk) . (2)
В [6; 7] приведены примеры применения задачи (1), в [8] рассмотрено обобщение задачи (1) на прямоугольную сетку. Рассмотрим следующее обобщение задачи (1) [9; 10].
Пусть в узлах сетки Т заданы диапазоны значений показателя ) = [у1к ;у2к], У2,к ^ У1,к , к = 0,N (рис. 1). , ,
Значение показателя, А
У
Из этих расстояний нужно выбрать максимум >* и минимизировать ;
У 2,k
tn
tk
N
Узлысетки, t
Рис. 1. Диапазоны динамического ряда
Fig. 1. Ranges of time series
0
Рассматривается задача минимизации максимального по всем узлам дискретной сетки ^ (а) > Н1 (а) расстояния от значения аппроксимирующего полинома до дальнего конца диапазона ) (задача минимизации максимального из расстояний Хаусдорфа [2] между диапазонами значений показателя и значениями аппроксимирующей функции):
р(A) = maxmax{y2k -pn(A,tk);
k e0,n
p„(A, tk) - yi,k}—> Am&.
(3)
Ф (CT) =i ^ iy 2, jk + (1 - ii У1, j , k-4emH°,
, k [iy1jt + (1 - i) y2j, k-нечетн°,
k = 0, „ +1, i = 0,1
(5)
Приведем математические факты, применяемые для решения задачи оценки параметров модели многозначного ряда, представленной в виде полинома
рп (А, 0 = а0 + а/ +... + а/и,
на базе критерия (3).
Свойства решения задачи Обобщим свойства решения задачи (3) из [10]. Как и в [5, с. 26], базисом назовем упорядоченное множество (п+2) точек вида
а = {,о < - <tл+1><= Т . (4) Амплитудными на базисе а назовем функции, определяемые формулами
С использованием амплитудных функций диапазонам многозначного ряда на каждом базисе ставится в соответствие два однозначных ряда {ф0к} и (ф1 к} таким образом, что при четном к ряду {ф0 к} принадлежит верхнее значение ,у2к диапазона, а ряду {ф1 к} принадлежит нижнее значение у1 к, а при нечетном к наоборот (рис. 2).
Сформулируем для амплитудных функций дискретные задачи интерполяции П. Л. Чебышёва [5, с. 14]:
Pi (Л о) =
=ж1ф', k (аь p„(A,i —>
Pi* (о)=
= min pi (A, о) = Pi (At (о), о), i = 0,1.
AeR"*1
(6)
По критерию решения дискретной задачи П. Л. Чебышёва [5, с. 14] для задач (6) однозначно определены числа ^ (а) и Н1 (а), удовлетворяющие равенствам (для / = 0 или / = 1)
Значение
показателя
Ф0,0
Ф1,0
j
Ф1,1
Ф0,1
ГФ0.2 Ф1,2
j
j
Рис. 2. Ряды из {ф0, к} и {ф1, к} Fig. 2. Time series of {ф0 k} ® (ф, k}
Узлы базиса
0
, (=
У2,л - Pn (A (аХ tJl X если (к+i) - четно,
- У1,]к + Pn (A(а),tл), если (к+i)—нечетно,
Положим
к = 0, n +1. (7)
m = max-
k=0,N
m(a) = max
к=0,n +1
У2,к - Ух,к
2
У2, j
"Ух,
M =
rji У 2,к у1, к
tк е! :-= m
(8) (9) (10)
| М | — количество элементов множества М.
Ясно, что т(а) < т для любого а. Если Т = а, то т(а) = т. Выполняются следующие неравенства:
р (A) > m , VA е R "+1; р (A) > р, (A,a), VA е R"+1, i = 0,1.
(11) (12)
Pi*(a) <р* = min р(A),
A е Rn +1
тремальным. Такие события можно считать событиями типа «черный лебедь» [4]. При достаточно стабильной тенденции будем применять термин «ключевое событие».
Свойства решения задачи (3) позволят свести процесс решения к итерационному отысканию решений систем линейных равнений.
Эффективный алгоритм решения задачи (3)
Пусть у1к Ф у2к хотя бы для одного к е 0, N. Процедура решения задачи для случая, когда самых широких сегментов не менее чем (п+2), изложена в [13]. Далее рассматриваем произвольный случай.
1. Пусть < ... < tl } сМ . Решаем относительно А систему
Pn (A К ) =
у1,4 + у2,гк , т. —к--, к = 0, n
(15)
Для любого базиса а выполняется неравенство
1 = 0,1. (13)
Пусть в е (0,1} таково, что
^ (а) = тах(^,(а), /ц(а)}. (14)
Приведем свойства решения задачи (3) [10].
Теорема 1. Для того чтобы вектор А* е RИ+1 являлся решением задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: а) р( А) = т; б) для некоторого базиса а с Т вида (4) выполняются соотношения (7) для АА = А{ (а), г = 0 или г = 1, при этом р( А) = ^ (а).
Теорема 2. Для того чтобы вектор А* е R"+1 являлся единственным решением задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие б) теоремы 1 или условие а) этой теоремы с требованием существования во множестве М не менее чем (п+1) элементов.
Базис, удовлетворяющий условию б) теоремы 1, по аналогии с [5, с. 31] назовем экс-[ 132 ]
и проверяем равенство р(A) = m . Если оно выполняется, вектор V, > ... > Vn > 0 будет решением задачи (3). Если нет, произвольно выбираем начальный базис и переходим к шагу 2.
2. Решаем на текущем базисе а = {tj < ... <tj } с T две подзадачи (6), применяя чебышёвскую интерполяцию [5, с. 14] для функций (5) (т. е. на каждом базисе нужно решить системы (7) относительно компонент вектора A(а) и величины hi(а) для i = 0, 1).
Имеем f (A (а), к0) > hp (а). Анализируем возможность включения в базис узла tk,, для которого
f (A (а), к0) = max f( A (а), к). (16)
к =0,N
3. Пусть к0 удовлетворяет неравенству
f (A (а),к0) > he (а). (17)
В таком случае переходим к новому базису
а = {^0 <"• <U с
путем добавления в исходный базис а узла t^ и исключения из исходного базиса одного узла так, что новый базис обладает следующими свойствами:
2
10) _ _ (фр, л(а) - Pn(A(а) Л)) • • - Pn(a (а) <0
при любом k = 0, n;
20) |фр,л (а) - Pn (Ав(а), л )| = const при любом k = 0, n +1, k Ф k .
Свойство 10 означает, что при переходе от узла Л к узлу tл изменяется знак разности между значением амплитудной функции и значением полинома. Условие 20 означает, что по модулю эти разности одинаковы во всех узлах нового базиса за исключением узла tk^, в котором эта величина больше (рис. 3).
После построения нового базиса переходим к следующему шагу, выбрав в качестве нового текущего базиса а базис а .
Указанная процедура преобразования базиса аналогична известному алгоритму Валле-Пуссена [5, с. 26]. Из теоремы 1 и свойств задачи (1) вытекает неравенство hp (а) > hp (а), которое ввиду [10] и (11) — (14) в случае единственности решения позволяет монотонно (в части роста hp) перебирать базисы до достижения равенства р* = hp (а).
4. Если f (Ар (а), к0) = hp (а), то либо на текущем шаге получено решение исходной задачи, либо множество решений задачи (3) содержит бесконечно много элементов, и его можно охарактеризовать, отыскав крайние точки [11].
С использованием данного алгоритма составлен комплекс программ, в частности [14; 15].
Прикладной пример
Любое государство или империя проходит несколько этапов в процессе своего развития. Это этапы зарождения, становления, расцвета и нередко распада. Процесс можно представить в виде временных зависимостей показателей развития государства, в частности размера территории.
Комплексная методика, созданная на базе методов нелинейной механики, методов математической экономики и негладкого анализа, приведена в [16; 17].
Рассмотрим метод анализа площади региона, созданный на базе новых показателей минимаксной аппроксимации в метрике Хаусдорфа, реализуемой в задаче (3). На рис. 4 приведены данные о динамике пло-
' Значение показателя
ys,k0
Включаем tk0 в базис вместо tjk
\
фр,к+1
... tj k-2
jk-1
tk
Узлы базиса
j L k0 ljk+1
Рис. 3. Смена узлов базиса
Fig. 3. Change basis node
0
щади региона, на нижнеи кривои учтено территориальное изменение, вызванное кратковременным присоединением ряда территории. По виду графиков сделать какие-либо выводы о динамике развития империи достаточно сложно.
Для анализа взяты обе линии графика (рис. 4), и их сопоставлением проводится исторический анализ влияния кратковременных изменении площади региона.
Основным результатом анализа площади региона, в нашем случае — достаточно крупного, на длительном интервале времени будет модель, показывающая динамику развития временного ряда, а также несколько дат, принципиально важных исторически и являющихся определяющими в развитии динамического процесса. Такие события иногда называют событиями типа «черный лебедь» [4]. Если с задачей построения математической модели традиционные методы анализа временных рядов справляются достаточно успешно, то вторая задача мало изучена, выявить подобные события классическими методами сложно ввиду принципиального различия реальных данных и аппроксимирующей функции в каждом наблюдении. Именно здесь становятся принципиально
важными свойства решения задач (1), (3), т. е. локализация максимальных отклонений в (n+2) точках. Эти точки и будут «черными лебедями».
Под «черными лебедями» (или экстремально редкими событиями) подразумевают события, которые происходят довольно редко, влекут заметные последствия и с трудом поддаются прогнозу.
Для аппроксимации обычно используется полином степени не выше второй, поэтому при росте числа узлов сетки величина (n+2) становится значительно меньше числа узлов (N+1). Далее согласно математическим законам исключение из сетки «черных лебедей» приведет к изменению решения задачи, поэтому прогнозировать данные явления путем сглаживания или фильтрации шумов невозможно.
Рассмотрим линейный полином p ( A, t) = pi ((a0, a ), t) = a0 + a t.
j-j — 1 yi,k + y2,k j-j
Пусть y =-> -. Приведем
N + 1 k=0 2
примеры показателей зашумленности по критерию (3): a1 — скорость роста, Va =p* —
A S, км2
// // ✓ / / / » 4
/1 / / / X /
t, годы -1-1-1->•
0
1100 1250 1400 1550 1700 1850
—•— Площадь предполагаемого развития региона — — ■ Площадь реального развития региона
Рис. 4. Изменение площади региона во времени
Fig. 4. Time variations of the region area
1 200 000
1 000 000
800 000
600 000
400 000
200 000
абсолютная максимальная ошибка аппроксимации, Vr = р* / y — относительная ошибка.
При анализе исходных данных о площади реального развития региона (см. рис. 4) предварительно проводится укрупнение интервалов (рис. 5) с целью задания сегментов для расчета показателей. При укрупнении выбираются минимальное и максимальное значения площади за анализируемый интервал времени, определяющие границы диапазона для модели (3).
Анализ динамического процесса за указанный промежуток показывает достаточно неустойчивую картину. Расширение диапазонов многозначного ряда происходит в 1550, 1750 и 1900 гг. (рис. 5). Первая дата попала в промежуток отклонения предполагаемой площади от реальной, поэтому можно сделать вывод о существенном влиянии кратковременного присоединения территорий на динамику дальнейшего развития площади региона.
Моделирование помехоустойчивой зоны Обоснуем преемственность результата аппроксимации на базе задачи (1) с учетом возможных измерительных погрешностей и установленных свойств задачи (3). Пусть N > п. Тогда решение задачи (1) существует и единственно [5, с. 31]. Положим рС, = min рл(A) = рл(Ach),
AeR"+1
аch = [tj < ... < t] } с T - экстремальный базис [1, с. 31].
Теорема 3. Пусть pCh > 0 . Возьмем
У2,
:Ул + Ph y, k = yи,
если рп (^, th) - у]к = р^, и Уи к = У к ,
Уы = У к , если Рп (АсЬ , t]k ) - У к =-рЪ , к = 0,... п + 1. Для любого tk еТ \ аск возьмем
У1,к = Рп (АсН , Ч ) - Р*Л , У2,к = Рп (АЛ, Ч) + Рл. В таком случае решение задачи (3) единственно, р* = р( Аск) = р^, и это решение является как верхним, так и нижним узлом для функций со значениями У1к и У2к [12; 18].
Доказательство. Достаточно воспользоваться критерием решения задачи (1) [5, с. 31] и теоремами 1 и 2, взяв в качестве базиса экстремальный базис из [5, с. 31] (выполняется второе условие этих теорем). Утверждение теоремы теперь вытекает из определения «ужа» [12; 18].
В качестве подмножеств сетки, на которых «верхний уж» попеременно касается то верхней границы диапазона, то нижней, можно взять < ... < 0 < ... < к+1}) приУ;0 -Р^Аь д > 0 ^о -Р^Аь Ьо) < 0).
А в качестве подмножеств сетки, на которых «нижний уж» попеременно касается то нижней границы диапазона, то верхней,
900 000 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0
-100 000
—D • y1 -A- y2 --p(t)
t годы
1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900
Рис. 5. Динамика площади региона, обозначения для задачи (3), /1(/,, k ), y2(y2, k ) Fig. 5. The square of region, notes for the task (3), y1(y1 k), y2(y2 k)
можно КЗЯТЪ < ... < tJn+J ({- < ... < t-J).
■70
при % -рМс^ ^ > 0 % -рМ^ ^ < 0).
Алгоритм построения помехоустойчивой зоны: применяем модель (1), выбираем ключевые позиции, в них допустима односторонняя погрешность (теорема 3), а для остальных допускаем погрешность с радиусом, не превышающим разницу между минимальным значением целевой функции (1) и значением функции (2) в этом узле. Согласно теореме 1 решение задачи аппроксимации полученных таким образом диапазонов совпадет с решением задачи аппроксимации исходной функции. Ввиду этого исходные данные можно уточнять до тех пор, пока не будут выверены все ключевые позиции, — для экстремального базиса, указывающего на альтернанс [5, с. 31]. Для остальных измерений можно оставить определенную выше погрешность.
Обоснование алгоритма построения помехоустойчивой зоны вытекает из теорем 1-3.
Приведем результаты моделирования динамики численности населения. Целью эксперимента было нахождение удачной модели в виде алгебраического полинома мини-
мально возможной степени и анализ допустимых погрешностей.
Для моделирования помехоустойчивой зоны применим следующие данные (табл. 1).
Таблица 1. Изменение численности населения за 7 лет
Table 1. Seven-year population growth
Номер периода Фактическое значение показателя, млн человек
8 500,42
9 502,19
10 503,38
11 504,96
12 504,58
13 505,67
14 507,42
Рассмотрено 7 периодов (лет), с 2008 по 2014 г., в вычислениях использованы значения 8, ..., 14.
На рис. 6-8 приведена демонстрация подбора наиболее удачной степени аппроксимирующей функции на базе локальных ошибок
л Численность
населения ,4!
а/' . 'Ж /
.■У * rt^ / _ _ «X /
/ / ' -iP'
/ / .уг
/
" /
4 Номер периода -т-т-т->
13
14
7 8 9 10 11 12
— Значение показателя численности населения
- -О- - Аппроксимация линейной функцией по минимаксному критерию
—— Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратов
Рис. 6. Аппроксимация по МНК и по минимаксной задаче (1) первой степени
Fig. 6. Approximation by OLS and minimax (1) first degree
508
507
506
505
504
503
502
501
500
аппроксимации и анализа коэффициента детерминации (^-квадрат), а также сопутствующие ключевые даты (где уклонение фактических данных от аппроксимирующей функции было максимальным). Приведены вычисления для степеней аппроксимирующей функции с первой по пятую, продемонстрированы результаты для первой (рис. 6), третьей (рис. 7) и пятой (рис. 8) степеней аппроксимирующей функции. Используемые
критерии аппроксимации — метод наименьших квадратов (МНК), минимаксный метод, основанный на решении задачи (1).
Коэффициенты линейной аппроксимирующей функции с рис. 6 и показатели качества для миминаксного метода и МНК приведены в табл. 2.
Коэффициенты аппроксимирующей функции с рис. 7 и показатели качества для минимаксного метода и МНК приведены в табл. 3.
Таблица 2. Показатели качества аппроксимации для рис. 6
Table 2. The quality of approximation to Fig. 6
Коэффициент Аппроксимация линейной функцией по минимаксному критерию Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратов
«0 492,81 492,63
a1 1,04 1,041
Максимальная ошибка 0,71 0,87
Максимальная ошибка, % базы 0,14% 0,17%
.R-квадрат 0,9385 0,9441
Ключевые события
8 11 12
11
— - Значение показателя численности населения
• О • Аппроксимация кубическим полиномом по минимаксному критерию —±—Аппроксимация кубическим полиномом по методу наименьших квадратов
Рис. 7. Аппроксимация по МНК и по минимаксной задаче (1) третьей степени
Fig. 7. Аppгoximation by OLS and minimax (1) third degree
Таблица 3. Показатели качества аппроксимации для рис. 7
Table 3. The quality of approximation to Fig. 7
Коэффициент Аппроксимация линейной функцией по минимаксному критерию Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратов
ао 390,45 399,14
а1 28,78 26,97
а2 -2,45 -2,35
а3 0,071 0,069
Максимальная ошибка 0,43 0,65
Максимальная ошибка, % базе 0,09% 0,13%
.-квадрат 0,97 0,98
Ключевые события 8 10 11 12 14 11
Коэффициенты аппроксимирующей функции с рис. 8 и показатели качества для минимаксного метода и МНК приведены в табл. 4.
Для степени полинома выше третьей показатели качества регрессии (.-квадрат и мак-
симальная ошибка аппроксимации) улучшаются незначительно. Поэтому для анализа целесообразно использовать степени 1, 2 и 3. Нужно отметить, что минимаксный метод уже при первой степени аппроксимирующей
13
14
7 8 9 10 11 12
— — Значение показателя численности населения
• □" - Аппроксимация полиномом пятой степени по минимаксному критерию
—- Аппроксимация полиномом пятой степени по методу наименьших квадратов
Рис. 8. Аппроксимации по МНК и по минимаксной задаче (1) пятой степени
Fig. 8. Approximation by OLS and minimax (1) five degree
508
507
506
505
504
503
502
501
500
Таблица 4. Показатели качества аппроксимации для рис. 8
Table 4. The quality of approximation to Fig. 8
Коэффициенты Аппроксимация линейной функцией по минимаксному критерию Аппроксимация линейной функцией по методу наименьших квадратов
а0 724,82 724,82
а1 -93,1 -93,1
а2 14,017 14,017
а3 -0,91 -0,91
а4 0,02153444 0,02153446
а5 0,0000032 0,0000034
Максимальная ошибка 0,4 0,5
Максимальная ошибка, % к базе 0,08% 0,10%
К-квадрат 0,98302547 0,98337037
Ключевые события 8 9 10 11 12 13 14
12
—•— Фактическое значение показателя - i> ■ Аппроксимация по минимаксу степени 3 —^— Нижние границы (y1) —— Верхние границы (y2)
Рис. 9. График устойчивости показателя численности населения к измерениям показателя
Fig. 9. Schedule area of sustainability measurement indicator population growth
функции выявил временные точки с заметными отклонениями от тенденции — периоды 8, 11 и 12, тогда как МНК зафиксировал эти события только при аппроксимации полиномом второй степени.
Выявление допустимых погрешностей в измерениях численности населения. Полученная по минимаксному критерию аппроксимирующая функция не изменится для исходных данных, включающих односторонние погрешности (в отличие от МНК, при применении которого коэффициенты аппроксимирующей функции меняются с каждым изменением исходных данных) (рис. 9).
Отметим основные результаты эксперимента: достигнута возможность сильного сжатия данных без потери существенной информативности (до количества коэффициентов аппроксимирующего полинома), получены ключевые даты и возможность допущения погрешности измерений без потери качества аппроксимации.
Заключение
В работе приведен метод моделирования многозначных динамических рядов на базе развития и обобщения задачи аппроксимации дискретной функции полиномом П. Л. Чебышёва на случай многозначных отображений с использованием в качестве критерия аппроксимации расстояния Хаусдорфа.
На базе свойств решения оптимизационной задачи разработан итерационный метод оценки коэффициентов аппроксимирующей функции, на базе которого создан эффективный в аспекте аппаратно-программной реализации в реальном режиме времени алгоритм.
Выполнены вычислительные эксперименты по моделированию динамики площади региона и численности населения.
Список литературы
1. Кремер Н. Ш, Путко Б. А. Эконометрика. 3-е изд.,
перераб. и доп. М., 2010. — 328 с.
2. Sendov Blagovest Khristov. Hausdorff approximations. Sofia, 1979. — 372 с.
3. Байбурин В. Б., Близникова М. П., Гельбух С. С. Способ прогнозирования нагрузки внешнего канала связи корпоративной телефонной сети // Вестник СГТУ 2014. Выпуск 4 (77). C. 180-185.
4. Taleb Nassim Nicholas. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. N. Y. : Random House, 2007. — 401 р.
5. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в мини-макс. М.: Наука, 1972. — 368 с.
6. Выгодчикова И. Ю., Евстифеева С. А. О моделировании денежных накоплений индивида в режиме монотонной ренты // Математическое моделирование в экономике, страховании и управлении рисками: сб. мат-лов IV Междунар. молодежной науч.-практ. конф.: в 2 т. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2015. С. 48-53.
7. Выгодчикова И. Ю. О методе аппроксимации экономических данных, основанном на задаче П. Л. Чебышёва и ее обобщении // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия «Экономика. Управление. Право». 2012. Т. 12. Выпуск 1. С. 77-80.
8. Выгодчикова И. Ю. Алгоритм оценки параметров линейной множественной модели регрессии по минимаксному критерию // Прикладная информатика. Т. 10. № 4 (58). 2015. С. 105-116.
9. Выгодчикова И. Ю. О методе аппроксимации многозначного отображения алгебраическим полиномом // Вестник СГТУ 2013. Выпуск 2 (70). C. 7-12. Серия «Математика и механика».
10. Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2006. Т. 6. № 1-2. С. 11-19.
11. Выгодчикова И. Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2003. Выпуск 5. С. 15-18.
12. Выгодчикова И. Ю. Наилучшее приближение дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом: дисс. ... канд. физ-мат. наук: 01.01.09. Саратов, 2004. — 110 с.
13. Выгодчикова И. Ю. О монотонном алгоритме решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2004. Выпуск 6. С. 27-30.
14. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013610926. Вычислительный
алгоритм для отыскания одного из решений задачи наилучшей аппроксимации сегментной функции алгебраическим полиномом с использованием свойств амплитудных функций / И. Ю. Выгодчико-ва, В. Ф. Кириченко. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 09.01. 2013.
15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013610838. Комплекс процедур для отыскания решения задачи наилучшей аппроксимации сегментной функции алгебраическим полиномом с идентифицируемым условием единственности / И. Ю. Выгодчикова, В. Ф. Кириченко. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 09.01.2013.
16. Awrejcewicz J., Krysko V. A, KutepovI. E, Vygodchiko-va I. Yu., Krysko A. V. Quantifying chaos of curvilinear beam via exponents // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. Vol. 27. No. 1-3. P. 81-92.
17. Awrejcewicz J., Krysko A. V., Papkova I. V, Vygod-chikova I. Y., Krysko V. A. On the methods of critical load estimation of spherical circle axially symmetrical shells // Thin-Walled Structures. 2015. Vol. 94. P. 293-301.
18. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976. — 568 с.
References
1. Kremer N. Sh., Putko B. A. Ekonometrika [Econometrics]. 3-e izd., pererab. i dop. Moscow, 2010. 328 p.
2. Sendov Blagovest Khristov. Hausdorffapproximations. Sofia, 1979. 372 p.
3. Baiburin V. B., Bliznikova M. P., Gelbukh S. S. Spo-sob prognozirovaniya nagruzki vneshnego kanala svy-azi korporativnoi telefonnoi seti [A method for predicting the load of external trunk in a corporate telephone network]. VestnikSGTU, 2014, vypusk 4 (77), pp. 180-185.
4. Taleb Nassim Nicholas. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. New York, Random House, 2007. 401 p.
5. Dem'yanov V. F., Malozemov V. N. Vvedenie v mini-maks [Introduction to minimax]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 368 p.
6. Vygodchikova I. Yu., Evstifeeva S. A. O metode ap-proksimacii jekonomicheskih dannyh, osnovannom na zadache P. L. Chebyshjova i ejo obobshhenii [About the modeling of the money savings based at the scheme of monotone financial flows]. Proceedings of the III International Youth Scientific and Practical Conference «Mathematical Modeling in Econom-
ics and Risk Management» [Sbomik materialov IV Mezhdunarodnoj molodjozhnoj nauchno-praktiches-koj konferencii «Matematicheskoe modelirovanie v strahovanii, jekonomike i upravlenii riskami»] (Saratov, 2-5.12.2015). Saratov: Sarat. univ. Publ, 2015, pp. 48-53.
7. Vygodchikova I. Yu. O metode approksimatsii ekonomi-cheskikh dannykh, osnovannom na zadache P. L. Che-bysheva i ee obobshchenii. Proceedings of Saratov University. The new series. Series Economics. Management. Righ, 2012, vol. 12, issue 1, pp. 77-80.
8. Vygodchikova I. Yu. Algoritm otsenki parametrov lin-einoi mnozhestvennoi modeli regressii po minimaks-nomu kriteriyu [Estimating the parameters of a multiple linear regression model according to the minimax criterion]. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied informatics, 2015, vol. 10, no. 4 (58), pp. 105-116.
9. Vygodchikova I. Yu. O metode approksimatsii mnogo-znachnogo otobrazheniya algebraicheskim polinomom. Vestnik SGTU, 2013, issue 2 (70), pp. 7-12. Seriya Matematika i Mekhanika.
10. Vygodchikova I. Yu. O edinstvennosti resheniya zada-chi nailuchshego priblizheniya mnogoznachnogo oto-brazheniya algebraicheskim polinomom. Proceedings of Saratov University. The new series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics. 2006, vol. 6, no. 1-2, pp. 11-19.
11. Vygodchikova I. Yu. O krainikh tochkakh mnozhest-va reshenii zadachi o nailuchshem priblizhenii mnogo-znachnogo otobrazheniya algebraicheskim polinomom. Matematika. Mekhanika: Sb. nauch. tr. Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 2003, vypusk 5, pp. 15-18.
12. Vygodchikova I. Yu. Nailuchsheepriblizhenie diskret-nogo mnogoznachnogo otobrazheniya algebraicheskim polinomom. Dissertatsiya na soiskanie uchenoi stepe-ni kandidata fiziko-matematicheskikh nauk: 01.01.09 Saratov, 2004. 110 p.
13. Vygodchikova I. Yu. O monotonnom algoritme resh-eniya zadachi priblizheniya mnogoznachnogo oto-brazheniya algebraicheskim polinomom. Matematika. Mekhanika: Sb. nauch. tr. Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta, 2004, vypusk 6, pp. 27-30.
14. The certificate of state registration of computer programs № 2013610926. ispol'zovaniem svoistv am-plitudnykh funktsii [Computational algorithm for finding one solution for the best approximation of the segment function by a polynomial with algebraic properties of the amplitude functions]. I. Yu. Vygodchikova, V. F. Kirichenko. Registered in the FIPS 09.01.2013.
15. The certificate of state registration of computer programs № 2013610838. Vychislitel'nyi algoritm dlya otyskaniya odnogo iz reshenii zadachi nailuchshei ap-
proksimatsii segmentnoi funktsii algebraicheskim po-linomom s Kompleks protsedur dlya otyskaniya resh-eniya zadachi nailuchshei approksimatsii segmentnoi funktsii algebraicheskim polinomom s identifitsirue-mym usloviem edinstvennosti [A set of procedures for finding the solution of the problems of the best approximation of the segment function by a polynomial with algebraic identified by the uniqueness] // I. Yu. Vygodchikova, V. F. Kirichenko. Registered in the FIPS 09.01.2013.
16. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Kutepov I. E., Vygodchikova I. Yu, Krysko A. V. Quantifying chaos of curvi-
linear beam via exponents. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2015, vol. 27, no. 1-3, pp. 81-92.
17. Awrejcewicz J., Krysko A. V., Papkova I. V., Vygodchikova I. Y., Krysko V. A. On the methods of critical load estimation of spherical circle axially symmetrical shells. Thin-Walled Structures, 2015, vol. 94, pp. 293-301.
18. Karlin S., Stadden V. Chebyshevskie sistemyi ikhprim-enenie v analize i statistike [Chebyshev systems and their applications in analysis and statistics], Moscow, Nauka Publ., 1976. 568 p.
I. Vygodchikova, Saratov State University, Saratov, Russia, VigodchikovaIY@info.sgu.ru, irinavigod@yandex.ru
Modeling of time series multi-valued structures based on uniform approximation in the Hausdorff metric1
The development of the methodology of time series analysis has been studied by many researchers. This G. E. P. Box, G. M. Jenkins, N. N. Taleb, S. Johansen, C. A. Sims, A. Yu. Loskutov, B. P. Bezruchko, V. B. Bayburin, and many others. One of the effective methods of time series analysis is the criterion of uniform approximation by Chebyshev, which has not been considered in the literature in relation to multivalued mappings by using the Hausdorff metric. The paper presents method of analysis and parameters estimation of a mathematical model of multivalued time series, composed of ranges of values of a certain indicator using as a criterion of optimality the maximum of the local Hausdorff distances between ranges of values and the values of the approximating function.
The aim of this work is to develop a mathematical method of modeling the time series which are represented by ranges, based on the development of the method of uniform approximation of functions in case of set-valued maps using the Hausdorff metric, and the creation of effective, from the point of view of availability of hardware and software implementations in real-time, algorithm.
Keywords: time series, range, multivalued mapping, minimax, Hausdorff metric, approximation. About authors:
I. Vygodchikova, PhD in Physics & Mathematics, Associate Professor For citation:
Vygodchikova I. Modeling of time series multi-valued structures based on uniform approximation in the Hausdorff metric. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied Informatics, 2016, vol. 11, no. 6 (66), pp. 129-142 (in Russian).
1 Research was supported by grant RFBR 16-06-00582. [142 ] -
