CC BY
20
шага
МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ФИНАНСОВЫХ КРАХОВ
(обзор по материалам зарубежных публикаций)
В. И. ГУСЕВ, кандидат технических наук, доцент
С.Е. СМИРНОВ, кандидат технических наук, доцент, Всероссийский заочный финансово-экономический институт (Москва)
Фондовый рынок являет собой структуру, аналогичную наиболее сложной природной динамической системе - человеческому сознанию. Цены на фондовом рынке образуют паттерны (образцы) различных масштабов, давая трейдерам (продавцам) веру в возможность предсказаний. Было предпринято множество попыток моделирования фондовых рынков; недавно к ним добавились работы физиков, указавших на подобие рынков и далеких от равновесия динамических систем.
В работе авторов D. Sornette, A. Johansen сосредоточивается внимание на экстремальном поведении фондовых рынков, а именно — на двух самых больших финансовых спадах, разразившихся в двадцатом столетии [ I ]. Сложные системы часто обнаруживают свою структуру и организацию более в стрессовых ситуациях, нежели в равновесии. Изучение этих двух больших крахов дает возможность извлечь важную новую информацию о динамике финансовых рынков. В частности, о поведении рынка перед крахом и после него, и проблема, таким образом, принадлежит к более обшей проблеме описания переходного поведения, предшествующего состоянию конечного равновесия -в предположении его существования.
От момента открытия в среду 23 октября 1929 г. до закрытия во вторник 29 октября 1929 г. Нью-Йоркская фондовая биржа потеряла почти 30% своих капиталов. Часто одной из составляющих основу и начало краха является то, что трейдеры полагают «бычий» тренд непрерывным, в то время как эффективность, в конце концов, возвращает рынок к своим истинным параметрам, обусловленным общими экономическими условиями. Похожим образом основные рыночные индексы США упали на 30% или больше в период от момента открытия 14 октября 1987 г. до закрытия 19 октября 1987 г., к тому же все главные мировые рынки испытали существенный спад в следующем месяце в
противоположность обычным умеренным корреляциям отдачи в других странах. Большое количество работ было выполнено в попытке объяснения причин краха 1987 г., значительных по результатам, достигнутым в понимании свойств и структуры рынков, однако никакой очевидной причины установлено не было. Возможно, наиболее весомой частью сценария является роль стратегии страхования портфеля при усилении спада.
Эти два краха имели весьма похожую основу, которая кроется в коллективной организации рыночных торгов, ведущей к режиму, известному как «критическая точка».
Используется формализм ренормализационной группы (РГ) для величин рыночного индекса 1 в предположении, что индекс в данный момент времени может быть соотнесен с величиной индекса в момент времени посредством преобразований: X' = ф(х), (1)
где x = t - t. Момент времени tc есть время глобального краха и называется ренормгрупповым потоком отображения. Здесь
F(x) = I(tJ - I(t) так, что F= 0 на критической точке, и m есть константа, описывающая скейлинг эволюции индекса при изменении масштаба времени (уравнение (1)). Функция g(x) представляет несингулярную часть функции F(x). Функция F(x) непрерывна и функция / (х) дифференцируема.
В качестве простого нетривиального решения вместо строго решения уравнения (2) в виде показательного закона авторами D. Sornette, A. Johansen предложено:
I(t) =А + B(tc- t)u\] + Ccos(mlog(te- 0- /)1- (3)
Это уравнение включает первую фурье-компо-ненту общей лог-периодической коррекции пове-
дения наблюдаемой переменной по чистому показательному закону (в данном случае — рыночного индекса), демонстрируя сингулярное поведение в момент времени краха т.е. которое становится масштабно-инвариантным на критической точке К Уравнение (3) хорошо аппроксимирует данные Б&Р500 в периоде примерно за два года перед крахом 1987 г. Выражение (3) очень хорошо аппроксимирует две наиболее важные структуры, которые видны невооруженным глазом, т.е. ускоряющееся увеличение перед крахом по меньшей мере за два годадо событий и крупномасштабные осцилляции, линейная частота которых увеличивается при приближении к краху.
Общая форма решений уравнения ренормали-зационной группы приводит к следующей модификации уравнения (3): (г, - г)2
Логарифм (S&p5()0)
1(т) = А + В
1 +
г,
I /I 1Тс~'
+ —log(l +
la At
At
г [1 + С cos(w log(r(. - т) +
(4)
I9M! 1481 ] 9X2 1983 19М 1985 1Ш 1987 ¡988 /„) Гол
ОшпСвд 11.15
0.1 -
0.1)5
-0,05
Ma iU
"' -h: ft"
j p
iilj.....
. f>(
где А, В, С —линейные переменные, а
а, /. А/, о), Дсо, ф - нелинейные переменные. Уравнение (4) использовано для подгонки к индексу Доу-Джонса перед крахом 1929 г. и к индексу 5&Р500 перед крахом 1987 г. - и в том, и в другом случаях примерно за 8 лет до событий.
На рис. 1 и 2 показаны наилучшие подгонки логарифмов индекса 8&Р500 перед крахом 1987 г. и логарифма индекса Доу-Джонса перед крахом 1929 г. Видно, что общий тренд данных хорошо улавливается предложенным отношением в периоде восьми лет. Для квантификации этого положения вычислена относительная ошибка этой подгонки кданным (см. рис. \а\л \в); ошибка составляет менее 10% во всем временном интервале. На рис. 1а тонкая линия представляет наилучшую подгонку по уравнению (4) на всем временном интервале, в то время как толстая линия есть подгонка по уравнению (3) на подинтервале от июля 1985 до конца 1987 г., но представлено на полном временном интервале, начиная с 1980 г. Сравнение с тонкой линией позволяет визуально оценить частоту сдвига, описываемую уравнением (4).
Использование самих индексов I дает похожие решения, но подгонка была совсем не устойчива и с большим вырождением. Это явление наблюдается за счет суперпозиции среднего показателя тренда.
В работе авторов N. Уапс1е\уа11е, РЬ. Воуегоих, А. Мтгщиег, М. Аь^оов [2] подчеркнуто подобие
¡1 'V Щ ¡/I Ш iif'f 5 i i Г * i |{]
¡1«, р
I ;)>', | ¡1 .
|| '1 1,1 I' I IJ
1ч)Н „1,41 '"' :il! 111
■O.I 5
1921
1922
1923
1924
1925
192(>
1927
¡928
I920
¡93!)
I«/
Рис. 1: (a) - зависимость логарифма индекса Нью-Йоркской фондовой биржи S&P500 с января 1980 по сентябрь 1987 г. и наилучшая подгонка уравнением (4) (топкая линия)-, (/>) - относительная ошибка подгонки к данным по уравнению (4).
Крах 14 октября 1987 г. соответствует году 1987,78. Тонкая линия представляет наилучшую подгонку с параметрами: МНК=0,43, /.= 1987,81 лет. а=0,68, а)=8,9, До)=18, Д/=11 лет, А=5,9, В= -0,38, С=0,043. Толстая линия получена подгонкой по уравнению (3) на подинтервале от июля 1985 до конца 1987 г. и представляет полный временной интервал с начала 1980 г. Параметры этой подгонки по уравнению (3): МНК=6,2, /.= 1987,74 год, ы=0,33, го=7,4, А=412, В= - 165, С — - 0,07. Сравнение с топкой линией позволяет видеть частоту сдвига, описанную посредством уравнения (4).
между экономическим крахом и фазовым переходом и исследуется крах октября 1987 г. с точки зрения классической теории фазовых переходов, между крахом и прыжком «физического количества» на критической точке
Известно, что в точке фазового перехода удельная теплоемкость А С претерпевает некоторый конечный прыжок ДСили поведение подобное
С =
А
- 'Г + спД') + с*(0 1тя r<t-
А' (5)
-('-0 + c;„t (') + Qa') для />tt,
а
»"">" ив—ягмп««м№ -mwi .....а
ПЕРИОДИЧНОСТЬ - 2 РАЗА В МЕСЯЦ
Логарифм инлсш Доу-Джонса к
Ошибки
Рис. 2: (а) - временная зависимость логарифма индекса Доу-Джонса в периоде от июня 1921 по сентябрь 1929 г. и наилучшая подгонка по уравнению (4); (Л) - относительная ошибка подгонки к данным по уравнению (4).
Крах 23 октября 1929 г. соответствует 1929,81 году. Параметры подгонки: МНК=0,041, / = 1929,84 год, «=0,63, (о=5,0, Дш= -70, Д/=14 лет, /1=61, ¿= - 0,56, С=0,08.
где первый член представляет вклад флуктуаций, второй - обычный вклад поля, третий - фон, который часто имеет место благодаря «загрязнению», и - независимо. Критические показатели а и а' могут принимать положительные или отрицательные значения. Вклады полей С ,и С' ..аналитичны по /.
Собычно асимметрично относительно В так называемой полевой аппроксимации прыжок |Ст|.
г) - С'т1 есть мера количества релеван-
тных компонентов системы и независима от пересечения масштабов. Следует заметить, что первый и второй члены иногда рассматриваются как единый вклад.
На рис. 3, можно видеть эволюцию индекса Доу-Джонса с января 1980 по декабрь 1988 г. В так называемый «черный вторник» 19 октября 1987 г. индекс Доу-Джонса упал на 20%.
25011
19X0
19К2
Рис. 3. Дневная эволюция Индекса Доу-Джонса с января 1980 по декабрь 1988 г.
Точечная кривая представляет собой фон со скоростью г» 0,1 уг\ и непрерывная кривая в диапазоне от /'до г - «аномальный рост» со скоростью 0,3V/'1
Если крах предсказуем, следующим шагом должно стать предсказание амплитуды ДСэтого события. Действительно, эта информация должна позволить экономическим агентам хеджировать портфели на рынках производных ценных бумаг посредством «колл» или,«пут» опционов. Эта проблема уменьшается фактом отделения фонового вклада С1к от индекса С. Действительно, СЬа представляет собой «естественную» эволюцию фондового рынка вне какой-то эйфорической («аномальной») эволюции. Это классический шаг в теории фазовых переходов перед тем как искать критические показатели.
Предположим, во-первых, что естественная эволюция финансового индекса задана как
Сь = а ехр(П)
(6)
с временем /в годовых единицах и г, намного меньшем единицы, т.е. показателем роста низкой скорости около 5 - 7% в год. Другие случаи, подобные растянутому показателю или высокопорядковому полиному, могли бы вводить дополнительные параметры и искать базовые аргументы. Показатель фона проиллюстрирован на рис. 3 точечной линией. На I* переход от низкого показателя скорости (/*« 0,1_уг') к высокому (гх 0,3>т') также показан посредством непрерывной линии.
На рис. 4 собраны апостериорные предсказания-меры для АС основных индексов около краха 1987 г. Амплитуда дана в процентах. Эти амплитуды получены как разности между осредненным недельным индексом перед прыжком и таким же индексом после прыжка. Линейный фон также использован для сравнения. Для основных индексов
ааа
Рис. 4. Гистограмма амплитуд предсказательных прыжков и реальные прыжки для некоторых финансовых индикаторов.
Линейный и экспоненциальный фон отличаются оттенками серого цвета - они использованы для экстраполяции индекса.
предсказание, полученное вычитанием экспоненциального фона, выглядит близким к реальному прыжку. Экстраполяция с линейным фоном дает результаты, худшие, чем с экспоненциальным.
Фондовые рынки являют собой структуры, аналогичные наиболее сложной динамической системе, изучаемой естественными науками, а именно - человеческому мозгу [3] В данной работе уделяется внимание экстремальному поведению фондовых рынков, фокусируя анализ во временных масштабах, где отклонения от равновесия могут становиться важными.
Предлагаемая модель состоит в том, что строится иерархия трейдеров, взаимодействующих через имитационный процесс. Хорошо известно, что имитация может быть рациональным поведением в постоянном шуме неполной информации. Эта модель решается аналитически и обеспечивает точные количественные соотношения между критическими показателями и лог-периодической частотой, с одной стороны, и поведением трейдеров - с другой.
В данной модели рассматриваются соотношения с индивидуальными трейдерами как трейдерами порядка 0. В соответствии с иерархической организацией эти трейдеры являются организованной группой т трейдеров, и мы рассматриваем каждую такую группу как единичного «трейдера» порядка I. Эти группы (или «трейдеры») порядка I также организованы в группы т, формируя группы порядка 2 и т.д. Таким путем получается иерархическая организация, где группа порядка п образована /и" индивидуальных трейдеров. Для простоты, но без потери общности, мы берем т=2. Анализ для других величин т может быть выполнен подобным же образом, всего лишь с изменением численных величин.
В момент 0 индивидуальные трейдеры нулевого уровня иерархии имеют заданную величину функции полезности, которая определяет их готовность и время покупки акции. Все трейдеры вначале имеют одинаковую функцию полезности а. Трейдеры предполагаются гетерогенными в том смысле, что время, необходимое им для анализа, различно для каждого из них и, следовательно, каждый трейдер имеет характеристическое время для формирования своего решения и вхождения в рынок. Поведение трейдеров, таким образом, различно в отношении времени их действий. Предположим, что трейдер / имеет предпочтительное время /.для покупки акции и что эти времена f. распределены в соответствии с функцией плотности вероятности /?ц(/), которая кумулятивно распределена как
Р0 (/) - Ja, (f)clt' = l - exp j-k J[ci(/')] ¿/j. (7)
Для постоянной o(t') это дает
PQ(t)= l -exp{-kat}, (8)
где /. время покупки /-го трейдера;
р - чувствительность к времени-покупки на функции полезности.
Рассмотрим количественно эффект приобретения трейдером 1 в момент времени г, у другого трейдера, который хотел бы купить в момент / без этой информации. Для множества таких пар трейдеров распределение времени-покупки для оставшегося трейдера получается из уравнения (1) посредством взятия функции полезности, равной - a до момента / и равной 2р/рст от / до решения
/J (/)==1-ехр{-кстр[/ +2Р(/-/ )|}.
(9)
Выполняя это вычисление для ансамбля, множество трейдеров может быть подобным, т.к. это множество гомогенно на этом уровне и Рп(() должно быть тогда также равно 1- ехр{-кст'12}. Идентифицируя это выражение с уравнением (3), получаем фундаментальный результат: время-покупать трейдера модифицировано из его начальной величины /2 к раннему времени /|2 влиянием другого трейдера, который купил в момент /(в соответствии с
/12= /,+2-Р^-/,). (Ю)
Фундаментальный параметр модели 2~|! кван-тифицирует взаимодействия между трейдерам и на одном уровне иерархии.
Предложенная модель позволяет дать строгое определение краха. Действительно, в пределе бесконечного числа трейдеров (и следовательно, иерархических уровней) существование краха, про-
исходящего в некоторый момент времени / определено как факт того, что при / < / количество покупателей остается маленьким и функция полезности положительна. В ходе времени эти величины прогрессивно ускоряются до момента времени /с, в который конечная часть трейдеров отдает приказы покупать и уже входит в рынок, таким образом подвергая его массированному удару.
Теперь представим решение этой модели. Начнем с наивысшего порядка п иерархии, имея в виду, что существует начальное М= 2"трейдеров на рынке, и будем спускаться вниз к наинизшим уровням. Для т=2 этот уровень образуется двумя группами трейдеров порядка п-1. Решающим ингредиентом этой модели является то, как долго обе группы заключают в себе трейдеры, которые не хотят покупать акции и остаются в ожидании. Обе эти группы полностью не связаны друг с другом - что бы ни случилось внутри каждой из них. Только в одном случае - когда все трейдеры одной группы купили акцию, то тогда функция полезности других подвергается воздействию и, как следствие, время-покупать ее трейдеров уменьшается в соответствии с уравнением (10). Другими словами, группа одна трейдеров «не видит» трейдеров других групп по-отдельности, а только в их совместных действиях того же или высших порядков.
В работе авторов D. Sornette, A. Johansen [3] получены универсальные лог-периодические осцилляции, сопровождающие асимптотический показательный закон, т.е. в частности, ценовые вариации могут быть выражены в терминах р(т), эта модель дает простой иллюстративный пример для реальных наблюдений лог-периодических осцилляций рыночных цен. Эти осцилляции ассоциированы с дискретной иерархией, т.е. с дискретной масштабной инвариантностью структуры взаимодействий трейдеров, так как результаты получены из возможности описать дискретную иерархию посредством уравнения, связывающего последующие уровни, и это есть лог-периодическое решение:
/■,(/)=?„ (/)+[1-/>0 (t)]Pi(0+ +{\-PQ(t)][l-Pl(f)]P1(f)+...... (11)
Первый член в этом уравнении соответствует спонтанной покупке отдельного трейдера (акту отдельного трейдера на уровне 0), второй член соответствует покупке трейдера, внушенной другим трейдером (приказ покупки на уровне 1 ) и т.д. Ряд уравнения (11) может быть переписан как
F^t^P^D+V-P^tM^it). (12)
70000
ЙКШ
50000
£ 30000 * 20000
10000
о
0.Ш45 0,045 0,0455 0,046 0.W65 0,047 0.0475 0,048 (ОТ5 (il) Время
Т"1—'—'——'—г
-2,0 -2,5 -3,0 -3,5 -4,0 -4,5
(в) Время
Рис. 5: (а) - количество трейдеров (именуемых разрушающими элементами), которые отдают приказ покупать, как функция времени; (в) - кривые в логарифмических координатах, показывающие количество трейдеров, которые продали («банкроты») для пяти неупорядоченных реализаций, показывающих приблизительно показательный закон поведения, сопровождаемые большими и сложными лог-периодическими структурами. Сравнение этих пяти реализаций показывает большую степень вариабельности. Отметим ускоряющийся показательный закон и лог-периодическую структуру шагоподобных прыжков, сопровождающих это ускорение.
Если pn(t) демонстрирует лог-периодические осцилляции, его интеграл Pn(t) также делает это и тогда мы ожидаем, что FJJ) покажет такое же поведение при проверке уравнения (12). Нарис. 5 иллюстрируется количество трейдеров, которые отдали приказы как функция времени, заметен характеристический показательный закон, который сопровождается лог-периодической структурой на многих различных масштабах при приближении краха.
ЛИТЕРАТУРА
1. D. Sornette, A. Johansen. Large finansiai crashes, PHYS1CA A 245 P. 411.
2. N. Vandewalle, Ph. Boveroux, A, Minguet, M. Ausloos. The crash of October 1987 seen as a phase transition: amplitude and universality, Physica A 255, 1998.
3. D. Sornette, A. Johansen. A hierarchical model of finansiai crashes, Physica A 261, 1998 p. 581.
4. Помо И., Берше П., Видаль К. Порядок в хаосе, М., Мир, 1991.
5. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику, М., Наука, 1990.
6. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала, M., Мир, 2001.
7. Зам В.Б. Синергетическая экономика, М., Мир, 1999.
8. R.N. Mantegua, Н.Е. Stanley. In Introduction to Econophisics, Cambridge University Press, 2000.
