CC BY
5
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 531.36
DOI: 10.22227/1997-0935.2022.3.331-340
Моделирование амплитуды колебаний статически неопределимой плоской рамы, испытывающей ударную нагрузку, с учетом контактной деформации
Анатолий Александрович Битюрин
Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ); г. Ульяновск, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Рассматриваются поперечные колебания стойки жестко заделанной статически неопределимой плоской рамы, испытывающей падение груза заданной массы и предударной скорости. Вертикальная стойка рамы имеет начальную кривизну, наличие которой влияет на максимальную амплитуду возникающих при ударе поперечных колебаний. Материалы и методы. Удар груза о ригель рамы моделируется при учете деформации в области контакта, что оправдано с точки зрения точности проводимых расчетов, поскольку в противном случае величина ударной силы окажется завышенной. При моделировании поперечного удара груза о ригель рамы принимается, что падающий груз имеет форму цилиндра с определенной длиной образующей. Используется линеаризация зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей. Стойка рамы с учетом ее связи с ригелем и основанием представляет собой жестко заделанный по обоим концам однородный стержень. При ударном воздействии груза на ригель рамы верхний конец стойки воспринимает начальный изгибающий момент и поперечную силу, величины которых зависят от массы и предударной скорости груза, а также от формы закрепления ригеля и соотношения осевых моментов инерции сечений ригеля и стойки в плоскости рамы. С применением метода начальных параметров рассчитывается максимальный прогиб идеально прямой и искривленной стойки при различной предударной скорости груза. Максимальный прогиб моделировался для e е искривленной и идеально прямой стойки при различных предударных скоростях груза одинаковой массы. ¡t т
Результаты. Получена зависимость величины максимального прогиба вертикальной стойки рамы от предударной 2. и скорости падающего груза. С к
Выводы. Выявлена зависимость максимального прогиба стойки от ее начального состояния. При наличии началь- G g ной кривизны максимальный прогиб существенно увеличивается. С приближением предударной скорости падающе- s Г го груза к величине, соответствующей критической продольной силе, наблюдается замедление роста максимального С У прогиба. Исследование актуально для расчетов элементов конструкций самого различного назначения, испытываю- M • щих воздействие ударной нагрузки. о S
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: рама, стойка, ригель, прогиб, колебания, груз, скорость, масса, деформация У 1
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Битюрин А.А. Моделирование амплитуды колебаний статически неопределимой плоской о 7 рамы, испытывающей ударную нагрузку, с учетом контактной деформации // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 3. n 0
С. 331-340. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.3.331-340 ш 3
о
Благодарности. Автор выражает благодарность рецензентам за проявленное внимание, полезные замечания и рекомендации. 0 n
ZJ ))
Автор, ответственный за переписку: Анатолий Александрович Битюрин, sntk_2015@mail.ru.
Modeling of the oscillation amplitude of a statically indeterminate flat frame subjected to the impact load with account taken of
the contact deformation
§ 2
n g
Г œ t ( an
cd cd
Anatoliy A. Bityurin
Ulyanovsk State Technical University (UlSTU); Ulyanovsk, Russian Federation 1 °
e1
ABSTRACT:
a *
Introduction. The article addresses transverse vibrations of a post in a rigidly fixed statically indeterminate flat frame . n
subjected to the falling load, having pre-set mass and pre-impact velocity. The post of a vertical frame has initial curvature jf ^
affecting the maximum amplitude of transverse vibrations triggered by the impact. u C
Materials and methods. In the course of modeling, the frame beam impact takes account of deformations in the contact area q q
to ensure the accuracy of calculations, because otherwise the impact force value will be overestimated. It is assumed that WW
the falling load has the shape of a cylinder featuring a certain length, when the transverse load impact on a frame beam is 22
simulated. The linearization of the relationship between the force and the deformation of cylindrical surfaces is used. The frame 2 2
post, connected to the beam and the base, is a homogeneous rod rigidly fixed at both ends. Following the load impact on 22 the frame beam, the top end of the post absorbs the initial bending moment and the shear force, whose values depend on the
© А.А. Битюрин, 2022
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
mass the and pre-impact velocity of the load, the beam attachment method, and the ratio between axial moments of inertia in beam and post sections in the plane of the frame. Using the method of initial parameters, the maximum deflection of a perfectly straight and curved post is calculated for different pre-impact velocity values of the load. The maximum deflection was modeled for curved and perfectly straight posts at different pre-impact velocities of a load having the same mass. Results. The dependence between the value of maximum deflection of a vertical frame post and the pre-impact velocity of the falling load was obtained.
Conclusions. Simulation results were used to identify the dependence between the maximum deflection of the post and its initial state. In case of initial curvature, the maximum deflection increases significantly. As the pre-impact velocity of the falling load approaches the value corresponding to the critical longitudinal force, a slowdown in the growth of maximum deflection is observed. The work is particularly relevant for the calculations of structural elements subjected to impact loads.
KEYWORDS: frame, post, beam, deflection, vibrations, load, velocity, mass, deformation
FOR CITATION: Bityurin A.A. Modeling of the oscillation amplitude of a statically indeterminate flat frame subjected to the impact load with account taken of the contact deformation. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(3):331-340. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.3.331-340 (rus.).
Acknowledgements: The author would like to thank reviewers for their attention to his work, as well as their useful comments and recommendations.
Corresponding author: Anatoliy A. Bityurin, sntk_2015@mail.ru.
N N
N N
О О
tv N
WW К (V U 3 > (Л
с и to I»
i - £
<D <u
о ё
о
о о СО <
cd
8 « ™ §
(Л "
со E
E о
CL О
^ с
ю о
s «
о E
CO ^
T- ^
CO CO
■s
il
О tn
ВВЕДЕНИЕ
Решение задач расчета механических систем на динамическую нагрузку имеет неоспоримую практическую значимость, поскольку неучет динамического характера взаимодействия элементов конструкций существенно сказывается на точности проводимых расчетов, а нередко приводит и к неверному результату [1-22].
Основную сложность решения таких задач представляет их нелинейность. К динамическим задачам следует отнести расчет колебательных процессов под действием внезапно приложенных или ударных нагрузок. Особенно усложняется решение задач, в которых, помимо возникающих сил инерции при динамическом взаимодействии, дополнительно учитываются появляющиеся деформации в области ударного взаимодействия тех или иных элементов.
В строительной отрасли актуально решение динамических задач, требующееся при расчетах стержневых систем, в частности рамных конструкций, на ударную нагрузку. Ударное влияние на рамные конструкции имеет широкое распространение как в технологическом процессе, так и в случае возникновения аварийных ситуаций. К ним можно отнести взрыв, землетрясение, то или иное воздействие транспорта и проч. В этой связи обозначенная проблема очень важна.
В известных исследованиях [23-27] динамический расчет реализовывался для идеальных прямолинейных стержневых элементов, не имеющих дефектов в виде кривизны, трещин в материале и т.д., и при отсутствии начальных внешних воздействий в виде изгибающего момента и поперечной силы. Однако в реальных конструкциях подобная ситуация практически не наблюдается, поскольку всегда присутствуют те или иные дефекты или несовершенства в виде кривизны, эксцентриситета. В случаях с плоской рамой возникает дополнительная начальная нагрузка в жестких узлах. Следует также отметить, что расчеты на динамическую нагрузку производились без учета появляющихся деформа-
ций в области контакта соударяемых тел, т.е. как для абсолютно жестких сред, что приводило к завышенным значениям ударных сил и неверным величинам возникающих деформаций.
Вследствие упругой деформации в месте контакта процесс удара усложняется, и происходит несколько повторных соударений. Впервые учет местных деформаций в месте контакта для стержня осуществлен С.П. Тимошенко [28]. В дальнейшем его теория была использована другими исследователями, в частности Б.М. Абрамовым и А.Б. Абрамовым [29]. В своей работе они рассматривают колебания и усилия, возникающие от удара упругого стержня о середину двухопорной балки [8]. Частным случаем является удар твердого тела о балку и продольный удар упругого стержня о жесткую преграду.
В современных научных трудах обсуждается решение задач устойчивости упругих арок при наличии стягивающих нитей [30], исследуются изгиб-ные волны в балке, имеющей повреждения в материале [31], разрабатываются модели изгиба упругих тонких стержней с применением метода конечных элементов [32]. Как отмечено авторами публикаций [30-32], намеченные подходы к решению поставленных задач актуальны для повышения точности соответствующих технических расчетов.
Таким образом, проблема моделирования влияния тех или иных внешних воздействий, в том числе и динамических, на дальнейшее поведение различного рода стержневых систем, имеющих широчайшее распространение, на сегодняшний день довольно ярко выражена, несмотря на нередко кажущееся ее отсутствие или несущественность.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
В настоящей работе разрабатывается модель расчета максимального прогиба вертикальной стойки плоской статически неопределимой рамы (рис. 1). Рама заделана по обоим концам и испытывает действие падающего на нее груза массы т2, имеющего
V0 m2
i
l/2
\
Щ
±-
l/2
У
поперечных сдвигов и продольных колебаний, следующие [29]:
Ф4 (d*y/dx4)+(d2y/dt2) - г2 ( d4y/dx2dt2 )=0,
Ф4 = E1I1/ml,0<x<l-0.
(1)
Волновое уравнение для ударного груза (стерж-
ня)
(d2y / dt2)-a2(d2y / dx2) = 0, a2 = E2/p 1+0< x<l + L,
(2)
где Е1 и Е2 — модули упругости материала ригеля и груза; I и г — момент и радиус инерции сечения ригеля; m — масса единицы длины ригеля; р — плотность материала груза (стержня).
В дальнейшем для удобства решения делается следующая замена:
~/7777
Рис. 1. Схема соударения груза с рамой Fig. 1. Collision between the load and the frame
предударную скорость V0. Груз представляет собой цилиндр с длиной, образующей L, что позволяет использовать линеаризацию зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей [29]. Учитывается начальная кривизна y0 стойки рамы.
Сила действующая на ригель при ударе падающего на него груза, а также продолжительность ее действия, рассчитываются с учетом местной деформации в зоне удара, которая считается пропорциональной ударной силе [29]. Размеры поперечного сечения падающего груза, представляющего собой цилиндрический стержень, считаются малыми, что дает возможность рассматривать ударную силу как сосредоточенную.
В процессе удара на искривленную вертикальную стойку — жестко заделанный стержень по обоим торцам, будут воздействовать кратковременные продольная и поперечная нагрузки, изгибающий момент, вследствие чего возникнут поперечные колебания стойки. Амплитуда колебаний будет рассчитана методом начальных параметров с применением волновой модели продольного удара, учитывая, что указанные выше нагрузки являются кратковременными [33-36].
С использованием подхода [29], рассмацэиваю -щего удар стержня о шарнирно-опертую балку, рассчитывается максимальное значение ударной силы в месте контакта груза и ригеля рамы в зависимости от предударной скорости V0.
При моделировании поперечных колебаний ригеля принимаем его в виде балки, жестко заделанной по обоим торцам. Уравнения поперечных колебаний с учетом инерции поворота, но без учета
х: = х для 0 <х<1—0,
(3)
х: = 1 + а(х-1) для 1+0 <х<1 + Ь,
где а — некоторая постоянная. Соответствующим выбором а можно упростить ортогонализацию собственных функций. Для значений x = 0, I, l + Ь соответствуют величины х1 = 0, I, I + аЬ [29].
Уравнение (1) не изменится, уравнение (2) примет вид:
-a2a2( d2 y/dxl) +d2 у/dt2 =0;
-ф4 (x1)( d4 y/dx^j —a2( x: )a2 ( d2 y/dxj2) + +d2yjdt2 -r2(x1)(d4y/dxldt2 ) = 0,
(4)
(5)
ф4(х1) = ф4,г2(х1) = г2 приО^х^-О, (6) ф4(х1) = г2(л:1) = 0, при Z+O^Xj <l + aL.
y =Z Ук =Un (t ) ^k (*1 ),
(7)
где функции Хк — разрывные в точке х = 1 в точке касания балки и груза [29].
Подставив ук в уравнение (5) и разделив переменные, получим
Т =0,
(8) (9)
Ф4 {х, - а2 {х, )а2 Хк +
+ г2 {х )юкХк = 0,
где юк — неизвестные частоты колебаний.
Далее, после задания начальных и граничных условий [29], определяется параметр а с целью орто-гонализации функции Хк. Решая полученные уравнения (9) для интервалов 0 < х1 < I - 0 и I + 0 < х1 < I + + аЬ с учетом заданных граничных условий:
Х^о^япЦ*! )+р^/г(52х1), 0<х </-0 (10)
< п
8 8 ITH
кк
G Г
S 3
0 со § СО
1 2
У 1
J to
^ I
n ° o
=! (
о =?
о §
СЯ
§ 2
n 0
2 6 r 6 t (
ф )
ii
1 7 a '
i
s □
(Л У
с о <D *
WW
2 2 О О 10 10 10 10
L
h
к =1
к=1
сч N
сч N
О о
N N
(0Р>
¡г <»
и 3
> (Л
с «
и I»
I
<и <и
о ё —■ ^
о
о <£ со < со
8 «
2 ■ ^ от 13 от Е
Е о
£ ° ^ с
ю о
£ « о Е
СП ^ т- ^
ОТ О
О (О
и £
=[улсо8((о4/аа)](/ + аХ-х1) /ч-О^ </+ аХ,
(11)
где
^ = (ф4 г4ю^ + 4ф4 ±г2Юк). (12)
Задаваясь произвольно одной постоянной [29] и используя заданные граничные условия, Рк, ук и юк рассчитываются из следующих выражений:
СО8(51/) + 52Р4:СА(.5,2/)=0
(13)
-я! сов^О+я^сй^/) +(с/2Е111)х
ъК/в^Чю^/вМ®/^)х
х (у*со8(ю4£/а)-8ш(51/-Р**А(*2/))=0>
где — площадь сечения груза (стержня). С учетом формул (13)-(15) находим:
Р* =-(^со Б^ОМ^гО)»
(14)
(15)
(2т1з1(£>к/с)=(2т131/а&)С£((дк£/а)-
где 9=т^/ X.
Уравнение (18), в которое нужно подставить значения ^ и s2, определяет частоты ю
Отмечается, что колебания достаточно полно описываются несколькими первыми членами ряда (7)
г4юк << 4ф4, тогда, разложив s1, s2 и ^гЛ(о2к + 4ф4 по степеням £=(г4юк/4ф4), можно ограничиться двумя первыми членами разложения [29]. В этом случае уравнение (18) существенно упростится. Однако при исследовании удара необходимо учитывать высокочастотные колебания, при которых величина
^-(^Лг И^ОДА"4®* +4ф4),
(16)
(17)
(18)
г юк соизмерима с 4ф4 [29].
Функции Т() из уравнения (8) примут вид
Тк =Ак )+ Вк С08(ш^).
Задаются начальные условия:
а) у=0 при 0 <хх <аЬ\
б =/(*!>,
где f (х1) =0 при 0 < х 1 < / - 0 /+0<х :</ + аХ;
а) X ВкХк = 0;
к=1
<»
б) X^^ = Г(х 1).
(19)
(20)
и f ( Х1) = V при
Из уравнения (21 а) Вк = 0.
Далее, опуская математические преобразования [29] и вводя обозначения 81 ={ш 2/2 т^), §2 =(с/3/6Е11^, ф// = фк, получим оконча-
тельное выражение для расчета ударной силы Р, возникающей в месте контакта груза и ригеля рамы:
Числитель и подынтегральное выражение в знаменателе дроби в уравнении (22) зависят только от характеристик балки, множитель перед интегралом зависит также и от массы падающего груза.
Учитывая вид закрепления ригеля рассматриваемой рамы и приложенную по середине его длины ударную силу, устанавливаем величину продольной нагрузки, действующей на вертикальную стойку N = = 0,329 Р [37].
В процессе ударного взаимодействия к стойке будут приложены продольная сила N, изгибающий момент М и поперечная сила Q (рис. 2), после завершения действия которых стойка будет совершать поперечные колебания. Максимальный прогиб стойки рамы удобно вычислять методом начальных параметров, которыми будут являться продольная и поперечная силы, изгибающий момент, а также начальная кривизнау0 [33]. Для этого применительно к стойке (рис. 2) решается дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня постоянного поперечного сечения, несущего равномерно распределенную массу [33]:
(сС//) + V2 (сС2у/й^) - и4у=0, (23)
(21) где у — прогиб оси стержня (стойки); £ = х^ — относительная координата; V2 = Ш2/Ы^ и4 = (тю2№/Е12); N — продольная сила (положительная при сжатии); h — высота стойки; Ы — жесткость стойки при из-
гибе; т — интенсивность массы; ю2 — частота свободных колебаний стойки.
Составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (23):
Р=(т2Го/12)4ЁТЦ^х вЦф^//2+(8,Ф!/4/)х (22)
к=\
I 2
/1)х/со$(рк-(з1г((рк/1)х/с1кркУ) йх.
X4 + V2!2 - и4 = 0 и его корни будут [33]
11 =-(2/2 , г?2 =-(2/2 )+^/(У74 )И.
(24)
(25)
В зависимости от направления продольной силы (сжатие или растяжение) и4 и V2 принимают
к=1
У = Z [AShbjS+;S)>
j=1,2
<j>=dy/dt,M=-d2y/dZ,2, Q"=-d3y/dF3
или в рядах:
M=- £ X2J (A;shk;%+B;chX;, (31)
J=1,2
QN =- Z X {X;Z+Bj shX;Z). (32)
Рис. 2. Начальные параметры стойки рамы Fig. 2. Initial parameters of the frame post
как положительные, так и отрицательные значения, поэтому корни (25) могут быть вещественными, чисто мнимыми или комплексными сопряженными числами.
Общий интеграл уравнения (24) при отсутствии кратных корней можно записать в виде ряда
(26)
(27)
где А,, В— постоянные интегрирования; Х. — корни характеристического уравнения (24).
Выражение (26) для прогибов стержня дает возможность составить формулы усилий и углов поворота сечений стержней, если воспользоваться дифференциальными зависимостями [33]
<р=(ф/&), М =-Е12^2у1с1х2),
(2"=-Е12^ъУ1(1Хъ),
где ф, М — амплитуды угла поворота и изгибгиоще-го момента в сечениях; QN— амплитуда поперечной силы, перпендикулярной к изогнутой оси стержня [33].
Для удобства обозначения примем ф = Нф, ММ=МН2/Е12, й* = й*Н3/Е12. (28)
Тогда искомые зависимости запишутся в более простой форме
Для получения формул метода начальных параметров необходимо постоянные интегрирования А. и Ввыразить через усилия и перемещения сечения стойки рамы. Начало координат возьмем на верхнем конце стойки, где приложены начальные параметры М0 и Q Эти параметры включают в себя начальный изгибающий момент, связанный с наличием кривизны стойки, а также момент и поперечную силу, возникающие со стороны ригеля в процессе удара. Введем приведенные величины: М0, ))0, определяемые по выражению (28).
Подчинив выражения (27), (30)-(32) условиям при ^ = 0,5,у = у0, ф=ф0,М = М0, й=й0, получим следующую систему уравнений для определения постоянных А1, А2, В1, В2:
В1 +В2 =Уо ЛК +4^2 = Фо >
-В^-В^^Щ, (33)
^(кло+Ц д2))=а.
Если значения постоянных А1, А2, В1, В2, найденные из системы (33), подставить в зависимости (27), (30)-(32), получим формулы метода начальных параметров [33]:
у=-^X?X2Е^+ф0Е™ -М0Е™ -йоЕ{, (34) ф =-X?X?Е"+ф0рV -М0Е™ -йоЕ- (35)
мм=х1 х 2 р"+<р0 рV1 - м0 рV - й р 1¥, (36)
Q=-У0X?х42е^+ц>0x1 х\Е™ -M0х\х\El -
- Qoх2 х2 Е',
(37)
где
Е =
(29)
р = X X; {AchX;5 + Bjshxj5Е (30)
;=i,2
[ 1/(-х21 )](shX2^/Х2 -shxr^/Х?), (38)
Е1 =(diJd£) =[ 1/(ä-2-Xj)](chX2^/Xj -
- chx1 xj), (39)
Еf =(d2E Jdg)=[l/(x\-x\)](shX2^/X2 -
- shx, ij/X,), (40)
Е™ =( d3 Е j d ) =[\j (Я, 2 -X2 )(chx 2
- chxx £), (41)
Е™ =( d4i j d ü4) =[ l/(x 2-X2 )(X2 shx 2 ü-
-x1 shx1ü), (42)
EV =( d5 е J d^ (=[ i/(xj -X? (](xj chx 2
-xj chxx (43)
< n
л
ITH
kK
G Г
M 2
o n
l 2 У 1
J CD I
i °
2 S o
3 (
0i? n
^ )S ся
^ S
o 2
X 2 6 r CT t ((
CD )
ii
i 7 i
i
■ £
Ü) 3 Л у с о <D X „W „W ( Ю
о о 10 10 10 10
N N
N N
О О
tV N
WW ¡г (u
U 3 > 1Л С И 2
U I»
i - £
<u <u
P £
о
CO CO
■s
О tn
^ =( с6 X 5/с ъ6) =[ У (х 2 -X? )](? зик 2 ъ-
-X? я^ЦЪ), (44)
где и — корни характеристического уравнения, которые могут быть вещественными, мнимыми или комплексными числами в зависимости от величины и знака начальных параметров.
Формулы (34)-(37), полученные В.Г. Чуд-новским [33], выражают перемещения и усилия в любом сечении стойки в зависимости от начальных параметров. Таким образом, данный подход дает возможность рассчитать максимальный прогиб стойки с учетом действующей на нее нагрузки и имеющейся начальной кривизны.
Используя метод начальных параметров, выражение для максимального прогиба стойки рамы от падающего груза запишется в виде:
Ф0,
hy0 . Mh
где фMо = Е1
Qo =
ghi
EL
Ут
=2 У FIV
Ph2
(0,022+0,329 y0) F111
о
о со < со S:
8« Si §
со " сл IE
Е О
CL ° ^ с
ю о
S3 ц
о Е
СП ^ т- ^
0,0165 Phh
OI,
F11.
0,022 EI2 5
EI,
тике, имеем выражение циклической частоты поперечных колебаний в плоскости рамы при действующей продольной нагрузке на стойку:
»= l -
(49)
где Ркр — критическая продольная нагрузка.
Анализируя формулу (49), можно заключить, что с ростом продольной силы частота поперечных колебаний сжатой стойки и будет уменьшаться и станет равна нулю при достижении продольной силы величины Р по Эйлеру, что отмечено в трудах [34-36].
Частоту свободных поперечных колебаний стойки ю2 по первой форме и = 1 можно рассчитать по формуле [1, 37]
ю2 =(2/ h2 ))Ж]ш]
(50)
(45)
. Момент
2 Е2
М будет складываться из изгибающего момента М = 0,022Р, возникающего в жестком узле рамы при ударе груза [37], и изгибающего момента М01 = = 0,329Ру0 от действия продольной силы, приложенной к искривленной стойке. Поперечная сила Q в соответствии с работой [37] будет равна 0,0165Р, где Р — ударная сила. При расчете величин Q и М01 в соответствии с [37] учитывалось соотношение моментов инерции сечений ригеля и стойки в плоскости рамы /1//2 = 10,5. Тогда выражение (45) после подстановки примет вид
(46)
Для прямолинейной стойки (у0 = 0) выражение для максимального прогиба запишется в виде
0,0165РА3 .,,,
(47)
Максимальное отклонение сечений стойки рамы от положения равновесия, которое и будет максимальным прогибом, легко определится по известной формуле [1]:
(48)
где у — максимальный прогиб, равный максимальной координате рассматриваемого сечения в момент прекращения действия внешних нагрузок; ю2 — циклическая частота свободных поперечных колебаний стойки при отсутствии нагрузки. Учитывая формы связей стойки, устанавливаем параметр £ = = 0,5. Для первой формы поперечных колебаний (п = 1), как наиболее часто встречающейся на прак-
Параметр р выбирается с учетом вида закрепления стойки по обоим торцам [1].
Предполагая гармонический закон колебательного процесса, имеем
У = УтхCOS Оt ) и / = Утях$COS (Вt ). (51)
При малых значениях t максимальная скорость сечений будет
(52)
Подставляя значения частоты свободных колебаний ю2 и скорость у' в формулу (48), получим искомый максимальный прогиб стойки рамы, равный максимальному перемещению ее сечений y^. В этом случае имеет место учет силы инерции, дей-срвующей при динамической нагрузке.
Рассмотрим удар груза в виде цилиндрического стержня массы m2 = 30 кг о стальную жестко заделанную статически неопределимую раму (рис. 1). Предударная скорость груза 1 м/с. Предполагается, что груз падает на середину ригеля рамы, представляющего собой стержень длиной l = 2 м двутаврового сечения № 16 (I = 873 см4). Ригель жестко связан со стальной стойкой высотой h = 2 м прямоугольного поперечного сечения 0,05 х 0,08 м2. Стойка имеет начальную кривизну y0 = 5 мм в плоскости рамы, в связи с чем начальный угол поворота Ф0 =(2 y J h) = 0,005 рад.
Расчет ударной силы P проводился в соответствии с уравнением (22) через интервалы времени 1 • 10-5 с. Продолжительность ударного взаимодействия составила 7 • 10-5 с, среднее значение ударной силы 20 кН.
Учитывая форму закрепления ригеля, а также соотношение моментов инерции сечений стойки и ригеля, в соответствии с публикацией [37] продольная сила N составит 6,58 кН, при P^ = 1081 кН для стойки исследуемой рамы. Рассматривая стойку отдельно от остальной конструкции (рис. 2), устанавливаем значения Q = 330 Н,
М01 = 440 Нм, М02 = 32,9 Нм. Циклическая частота свободных колебаний стойки ю2 = 408,8 рад/с, параметры V2 = 0,24, и2 = 500,55. Для расчета коэффициентов Е?п, Е111 и Е™ вычисляем корни характеристического уравнения по формулам (25): II = -22,493; ^ = 22,253.
Подставляя значения ^2 и Ц в формулы (40)-(42), учитывая = гХ1, получим Е° = = -3,49^ 10-4; Е?ш = -2,77-10-3; Е:™ = -0,0189. После подстановки этих значений в выражение (34) для у получим у = -0,22 мм. Однако такое значение прогиба возникает при постоянной продольной силе N. При кратковременном ее действии участок стойки будет только выведен из положения равновесия и далее предоставлен самому себе. Для гармонического закона изменения координаты сечения стойки х = М2 имеем (53):
у =-0,22зтЭ?, (53)
где у указан в мм.
Циклическая частота колебаний кратковременно сжатой стойки рамы, рассчитанная по выражению (49), равна и = 407,6 р/с. Отклонение сечения с координатой х = Ы2 искривленного участка стойки при t = 7 х 105 секунды в соответствии с (53) будет равно -5,13 • 10-3 мм. Согласно уравнению (52), поперечная скорость сечения х = Ы2 после прекращения действия продольной нагрузки равна 0,0814 м/с. Тогда получаем величину максимального прогиба стойки рамы при свободных колебаниях в соответствии с уравнением (48): у* = 0,2 мм. Проведя аналогичные расчеты для прямолинейной стойки (у0 = 0), получим у*ах = 0,14 мм.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Используя для расчета максимального прогиба стойки рамы представленную методику расчета, в работе были получены значения амплитуд поперечных колебаний при различных значениях предударной скорости груза ¥0 с учетом начальной кривизны у0 = 5 мм, и для идеально прямолинейной стойки. Результаты моделирования представлены
на графике (рис. 3). Числовые значения у*ах в зависимости от У0 для обоих случаев сведены в таблицу.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1. При увеличении предударной скорости груза имеет место возрастание величины максимального прогибадля обоих случаев (линии 1 и 2).
2. Как видно из графика, для прямолинейной стойки при одинаковых величинах предударной скорости груза ¥0 максимальный прогиб будет ниже — линия 2, чем в случае с искривленной стойкой — линия 1 (рис. 3).
3. При увеличении предударной скорости от 20 до 25 м/с наблюдается некоторое снижение крутизны графика, что может свидетельствовать о приближении соответствующей величины продольной силы N к ее критической величине для рассматриваемой стойки рамы. Подобная закономерность была отмечена в работах [34-36].
y , мм / mm
max'
V0, м/с / m/s
Рис. 3. График зависимости максимального прогиба стойки от скорости падения груза
Fig. 3. Dependence between the maximum deflection of the post and the velocity of the load
Значения максимального прогиба в зависимости от предударной скорости груза в случае искривленной и прямолинейной стойки
Values of maximum deflection depending on the pre-impact velocity of the load in the case of a curved and rectilinear post
Уо V0 = 1 м/с m/s V0 = 5 м/с m/s V0 = 10 м/с m/s V0 = 15 м/с m/s V0 = 20 м/с m/s V0 = 25 м/с m/s
y0 = 5 мм mm У* = 0,2 мм ^ max ' mm y* = 1,1 мм ^ max ' mm У* = 1,6 мм ^ max ' mm У* = 3,1 мм ^ max ' mm У* = 4,4 мм ^ max ' mm У* = 5,3 мм ^ max ' mm
y0 = 0 мм mm У* = 0,14 мм у max ' mm У* = 0,6 мм у max ' mm У* = 0,9 мм у max ' mm У* = 1,8 мм у max ' mm У* = 2,9 мм у max ' mm У* = 3,4 мм у max ' mm
< П
8 8 iH
kK
G Г
0 CO n CO
1 S
У 1
J to
u-
^ I
n °
S> 3 o
zs ( o?
о n
CO CO
0)
l\J CO
о
r §6 c я
h о
c 9
SS )
ii
1 7 i
. DO
■ T
s У с о <D X WW
2 2 О О 2 2 2 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ щего деформацию в области контакта соударяемых
тел, изложена методика расчета максимального проВ представленном исследовании с помощью гиба вертикальной стойки плоской статически неметода начальных параметров и подхода, учитываю- определимой рамы. Учет местной деформации, как
3
2
1
указано выше, дает возможность получить более точные результаты расчета ударной силы, поскольку в этом случае учитывается рассеяние энергии удара. Моделируя соударение тел, как абсолютно жестких, значения ударной силы получаются завышенными, поэтому применение методики расчета, разработанной в труде [29] с использованием линеаризация зависимости между усилием и деформацией цилиндрических поверхностей, следует считать оправданным.
Применение метода начальных параметров для расчета максимального прогиба кратковременно сжатой стойки рамы от действия продольной ударной силы также оказалось достаточно эффективным,
поскольку этот метод позволил учесть изгибающий момент и поперечную силу, возникающие при ударе, в жестком узле рамы. Необходимо подчеркнуть, что эти два силовых фактора возникают в плоскости рамы. Колебания стойки в перпендикулярной плоскости в данной работе не рассматриваются.
Дальнейшее развитие обозначенных в статье подходов в своей совокупности даст возможность расчета более сложных стержневых систем, воспринимающих ударную нагрузку. Такие задачи актуальны при моделировании воздействий взрывов, землетрясений и прочих аварийных ситуаций, сопровождающихся динамическим воздействием на различные конструкции.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
N N N N
о о
N N
мм К (V U 3 > (Л
с и со N
i
- £
ф ф
о ё
о
о о
со <
cd S:
8«
Si §
ОТ "
от Е
Е О
£ °
^ с
ю о
S с!
о Е
СП ^
т- ^
от от
£ w
■S
iE 3s
О (О
1. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М. : Машиностроение, 1970. 734 с.
2. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М. : Физматгиз, 1961. 399 с.
3. Новацкий В. Динамика сооружений / пер. с пол. канд. техн. наук доц. Л.В. Янушевича. М. : Госстройиздат, 1963. 376 с.
4. Безухое Н.И., Лужин О.В., Колкунов Н.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М. : Изд-во лит. по строительству, 1969. 424 с.
5. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М. : Наука, 1987. 352 с.
6. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М. : Гостехиздат, 1956. 600 с.
7. Снитко Н.К. Динамика сооружений. Л. ; М. : Госстройиздат, 1960. 356 с.
8. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1991. 334 с.
9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М. : Физматгиз, 1961. 339 с.
10. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. Л. : Судпромгиз, 1963. 551 с.
11. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М. : Наука, 1971. 807 с.
12. Kollar L., Dulacska E. Bucking of shells for engineers. Budapest : Akademiai Kiado, 1984. 303 p.
13. Petersen C. Statik und Stabilitat der Baukonstruktionen. Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1982. 960 p.
14. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2013. № 3. С. 131-141.
15. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Динамика стержня при продольном ударе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2009. № 2. С. 105-111.
16. Беляев А.К., Ильин Д.Н., Морозов Н.Ф. Динамический подход к задаче Ишлинского-Лаврен-тьева // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2013. № 5. С. 28-33.
17. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. Поперечные колебания стержня, вызванные кратковременным продольным ударом // Доклады академии наук. 2013. Т. 452. № 1. С. 37. DOI: 10.7868/ S0869565213260095
18. Беляев А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О статической и динамической неустойчивости тонких стержней // Механика деформируемого твердого телаv : тр. 7-й Всерос. конф. Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ, 2013. С. 80-84
19. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Статика и динамика стержня при продольном нагру-жении // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2014. Т. 7. № 1. С. 76-89. DOI: 10.14529/ттр140107
20. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Еще раз о задаче Ишлинского-Лаврентьева // Доклады академии наук. 2014. Т. 455. № 4. С. 412-415.
21. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е. О динамической потере устойчивости стержня при продольной нагрузке, меньшей эйлеровой // Доклады Академии наук. 2014. Т. 453. № 3. С. 282. DOI: 10.7868/ S0869565213330128
22. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Устойчивость стержня при длительном осевом сжатии // Проблемы прочности и пластичности. 2015. Т. 77. № 1. С. 40-48.
23. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Доклады АН СССР. 1949. Т. 65. № 6. С.776-782.
24. Малый В.И. Длинноволновое приближение в задачах о потере устойчивости при ударе // Известия АН СССР. МТТ. 1972. № 4. С. 138-144.
25. Малый В.И. Выпучивание стержня при продольном ударе. Малые прогибы // Известия АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 181-186.
26. Малый В.И. Выпучивание стержня при продольном ударе. Большие прогибы // Известия АН СССР. МТТ. 1975. № 1. С. 52-61.
27. Малышев Б.М. Устойчивость стержня при ударном сжатии // Известия АН СССР. МТТ. 1966. № 4. С. 137-142.
28. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. : Физматгиз, 1959.
29. Абрамов А.Б., Абрамов Б.М. Определение усилий при продольно-поперечном ударе // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1975. № 9. С. 58-64.
30. Тарасов В.Н. Об устойчивости подкрепленных арок // Вычислительная механика сплошных сред. 2019. Т. 12. № 2. С. 202-214. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.18
31. Бриккель Д.М., Ерофеев В.И., Леонтьева А.В. Распространение изгибных волн в балке, материал которой накапливает повреждения в процессе эксплуатации // Вычислительная механика сплошных сред. 2020. Т. 13. № 1. С. 108-116. DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.1.9
32. Саркисян С.О., Хачатрян М.В. Построение модели изгиба микрополярных упругих тонких
Поступила в редакцию 28 января 2022 г. Принята в доработанном виде 2 марта 2022 г. Одобрена для публикации 10 марта 2022 г.
Об авторе: Анатолий Александрович Битюрин — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства; Ульяновский государственный технический университет (УлГТУ); 432027, г Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32; SPIN-код: 1975-6911, Scopus: 541237, ResearcherlD: AFO 2909-2022, ORCID: 0000-0002-9984-0004; sntk_2015@mail.ru.
REFERENCES
стержней с круговой осью и ее реализация методом конечных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. 2020. Т. 13. № 3. С. 256-268. DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.3.20
33. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых систем. Киев : Изд-во Акад. наук УССР, 1952. 416 с.
34. Битюрин А.А. Моделирование амплитуды поперечных колебаний однородного стержня при ударе о жесткую преграду с учетом собственного веса // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2018. № 2. С. 16-23. DOI: 10.15593/peim. mech/2018.2.02
35. Битюрин А.А. Моделирование максимального прогиба ступенчатого стержня, имеющего начальную кривизну, при ударе о жесткую преграду // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2019. № 5. С. 131-141. DOI: 10.1134/ S0572329919050064
36. Битюрин А.А. Математическое моделирование амплитуды поперечных колебаний однородных стержней при продольном ударе // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2021. № 2. С. 98-109. DOI: 10.31857/ S0572329921020045
37. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев : Наукова думка, 1988. 736 с.
1. Filippov A.P. Oscillations of deformable systems. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1970; 734. (rus.).
2. Rakhmatulin Kh.A., Dem'yanov Yu.A. Strength under intense short-term loads. Moscow, Fizmatgiz, 1961; 399. (rus.).
3. Novatsky V. Dynamics of structures / translation from the Polish cand. tech. Sciences Assoc. L.V. Yanu-shevich. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1963; 376. (rus.).
4. Bezukhov N.I., Luzhin O.V., Kolkunov N.V. Stability and dynamics of structures in examples and problems. Moscow, Publishing house lit. on construction, 1969; 424. (rus.).
5. Panovko Ya.G., Gubanova I.I. Stability and vibrations of elastic systems. Modern concepts, paradoxes and errors. Moscow, Nauka Publ., 1987; 352. (rus.).
6. Bolotin V.V. Dynamic stability of elastic systems. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1956; 600. (rus.).
7. Snitko N.K. Building dynamics. Leningrad; Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1960; 356. (rus.).
8. Alfutov N.A. Fundamentals of calculating the stability of elastic systems. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991; 334. (rus.).
9. Bolotin V.V. Non-conservative problems of the theory of elastic stability. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961; 339. (rus.).
10. Papkovich P.F. Proceedings on the structural mechanics of the ship. Vol. 4. Stability of rods, ceilings and plates. Leningrad, Sudpromgiz Publ., 1963; 551. (rus.).
11. Timoshenko S.P. Stability of rods, plates and shells. Moscow, Nauka Publ., 1971; 807. (rus.).
< П
IH
kK
G Г
0 CO n CO
1 s
У 1
J to
u-
^ I
n °
S> 3 o
zs ( o?
о n
CO CO
n 2 n 0
s 6
r 6 t (
SS )
i!
® 7 !
. DO
■ T
(Л У
с о !!
WW
2 2
О О
2 2
2 2
N N N N
o o
CH N WW
* (V
U 3
> in
C M
to N
i - £
<D <1J
O £
o
o o co <
cd
8 « Si §
CO " co IE
E o
CL ° c
Ln O
S «
o E
CD ^
T- ^
CO CO
■s
il
0 (0
££
12. Kollar L., Dulacska E. Bucking of shells for engineers. Budapest, Akademiai Kiado Publ., 1984; 303.
13. Petersen C. Statik und Stabilitat der Baukonstruktionen. Braunschweig; Wiesbaden, Vieweg, 1982; 960.
14. Morozov N.F., Tovstik P.E. The rod dynamics under short longitudinal impact. Bulletin of St. Petersburg University. Maths. Mechanics. Astronomy. 2013; 3:131-141. (rus.).
15. Morozov N.F., Tovstik P.E. The rod dynamics under longitudinal impact. Bulletin of St. Petersburg University. Maths. Mechanics. Astronomy. 2009; 2:105111. (rus.).
16. Belyaev A.K., Il'in D.N., Morozov N.F. Dynamic approach to the Ishlinsky-Lavrent'ev problem. Mechanics of Solids. 2013; 5:28-33. (rus.).
17. Morozov N.F., Tovstik P.E. Transverse oscillations of a rod caused by a short-term longitudinal impact. Reports of the Academy of Sciences. 2013; 452(1):37. DOI: 10.7868/S0869565213260095 (rus.).
18. Belyaev A.K. On the static and dynamic instability of thin rods. Mechanics of a Deformable Solid Body: Proceedings of the 7th All-Russian Conference. 2013; 80-84. (rus.).
19. Morozov N.F., Tovstik P.Ye., Tovstik T.P. Static and dynamics of a rod at the longitudinal loading. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software". 2014; 7(1):76-89. DOI: 10.14529/ mmp140107 (rus.).
20. Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P. Once again about the Ishlinsky-Lavrentiev problem. Reports of the Academy of Sciences. 2014; 455(4):412-415. (rus.).
21. Morozov N.F., Tovstik P.E. On the dynamic buckling of a rod under a longitudinal load less than the Euler one. Reports of the Academy of Sciences. 2014; 453(3):282. DOI: 10.7868/S0869565213330128 (rus.).
22. Morozov N.F., Tovstik P.E., Tovstik T.P. Stability of a rod under the long-term axial compression. Problems of Strength and Plasticity. 2015; 77(1):40-48. (rus.).
23. Lavrentiev M.A., Ishlinsky A.Yu. Dynamic forms of buckling of elastic systems. Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1949; 64(6):776-782. (rus.).
24. Maly V.I. Long-wavelength approximation in problems of stability loss upon impact. Izvestiya AN SSSR. MTT. 1972; 4:138-144. (rus.).
25. Maly V.I. Buckling of a rod during a longitudinal impact. Small deflections. Izvestiya AN SSSR. MTT. 1973; 4:181-186. (rus.).
Received January 28, 2022.
Adopted in revised form on March 2, 2022.
Approved for publication on March 10, 2022.
Bionotes: Anatoliy A. Bityurin — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Industrial and Civil Engineering; Ulyanovsk State Technical University (UlSTU); 32 Severniy Venets st., Ulyanovsk, 432027, Russian Federation; SPIN-code: 1975-6911, Scopus: 541237, ResearcherID: AFO 29092022, ORCID: 0000-0002-9984-0004; sntk_2015@mail.ru.
26. Maly V.I. Buckling of a rod during a longitudinal impact. Large deflections. Izvestiya AN SSSR. MTT. 1975; 1:52-61. (rus.).
27. Malyshev B.M. Stability of a rod under shock compression. Izvestiya AN SSSR. MTT. 1966; 4:137142. (rus.).
28. Timoshenko S.P. Fluctuations in engineering. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. (rus.).
29. Abramov A.B., Abramov B.M. Determination of efforts during longitudinal - transverse impact. Izvestiya vuzov. Construction and Architecture. 1975; 9:58-64. (rus.).
30. Tarasov V.N. On the stability of reinforced arches. Computational Continuum Mechanics. 2019; 12(2):202-214. DOI: 10.7242/1999-6691/2019.12.2.18 (rus.).
31. Brikkel D.M., Erofeev V.I., Leonteva A.V. The propagation of bending waves in a beam, the material of which accumulates damage during its operation. Computational Continuum Mechanics. 2020; 13(1): 108116. DOI: 10.7242/1999-6691/2020.13.1.9 (rus.).
32. Sargsyan S.O., Khachatryan M.V. Building a bending model for micropolar elastic thin rods with a circular axis and its implementation by the finite element method. Computational Continuum Mechanics. 2020; 13(3):256-268. DOI: 10.7242/19996691/2020.13.3.20 (rus.).
33. Chudnovsky V.G. Methods for calculating vibrations and stability of rod systems. Kyiv, Publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1952; 416. (rus.).
34. Bityrin A.A. Simulation of the amplitude of transverse vibrations of a homogeneous rod upon impact against a rigid obstacle taking into account its own weight. PNRPUMechanics Bulletin. 2018; 2:1623. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.2.02 (rus.).
35. Bityurin A.A. Modeling of the maximum deflection of a stepped rod having an initial curvature upon impact against a rigid barrier. Mechanics of Solids. 2019; 5:131-141. DOI: 10.1134/S0572329919050064 (rus.).
36. Bityurin A.A. Mathematical modeling of the amplitude of transverse vibrations of homogeneous rods under longitudinal impact. Mechanics of Solids. 2021; 2:98-109. DOI: 10.31857/S0572329921020045 (rus.).
37. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. Handbook of Strength of Materials. Kyiv, Naukova Dumka Publ., 1988; 736. (rus.).
