CC BY
53
УДК 622.451
МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОВЕТРИВАНИИ ВЫРАБОТОК БОЛЬШОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Н.М. Качурин, С.А. Воробьев, А.Д. Левин, Ф.М. Ботов
Рассмотрены аэрогазодинамические процессы при проветривании выработок большого поперечного сечения. Обоснованы математические модели движения воздуха в выработках, имеющих большую площадь поперечного сечения. Показано, что моделирование аэрогазодинамических процессов при проветривании выработок большого поперечного сечения основывается в общем случае на системе уравнений Рейнольдса, описывающей течение вязкого, сжимаемого теплопроводного газа в трехмерной постановке.
Ключевые слова: уравнение неразрывности, уравнение движения, математическая модель, вязкость, турбулентность, метод конечных объемов.
Моделирование аэрогазодинамических процессов при проветривании выработок большого поперечного сечения основывается в общем случае на системе уравнений Рейнольдса, описывающей течение вязкого, сжимаемого теплопроводного газа в трехмерной постановке, которая состоит из основных уравнений сохранения [1 - 4]:
^ + —(ри. ) = о,
дt дх.]) '
д / \ д / * *\ дР „ (ри-) + (ри*иг) = -— + +
(1)
д
дх.
дt
/
ди ди.
дх.
V .
+
дх
дх
2 ди, „ 2 „
3^ эХ76* - 3р5*к
(2)
д г тт\ дР
—(рН)--+
дt дt дх,.
3 (ри.Я) = д
дх
í х^+Е
дh
\
д
дх.
и.
Г ди, ди,Л
V дх,
дх
2
}
ди
V
дх. Рг, дх. ^
+ ^+
У
2
эх;- зр5*к
_дк
дх
, 1 * * Н = п + — и и. + к,
2 ] 1
(3)
(4)
(5)
где р - плотность воздуха; и. - компоненты средней скорости воздуха (. = 1, 2, 3); t - время; х. - пространственные координаты; и*- пульсационные скорости(. = 1, 2, 3); Р - статическое давление воздуха; £ - энтропия; тей. -
г
3
эффективная вязкость; т - динамическая вязкость; т - турбулентная вязкость; 5- - дельта Кронекера; к - кинетическая энергия турбулентности; Н -полная энтальпия; h - статическая энтальпия.
Для замыкания данной системы уравнений используется полуэмпирическая модель турбулентности, состоящая из двух уравнений переноса: - кинетической энергии турбулентности
Э(рк) Э(ри7к) _ Э
Э,
Эй Эи,
+
Эх, Эх
Эх]
Эи 2
Эх
- 1Л
А
о
Эк
к у
Эх,
+ ^ +
Эх, 3
рк+т?
Эи,
Эх
Эи,,
I У
Эх
ре:
(6)
- скорости диссипации кинетической энергии турбулентности
Эх
Эх
е +—
к
"е!
Э(ре) Э(ри7е) __Э_ Э, + __
Эи. Эи —^+—-
^ Эх- Эх.
т,
о
Эе
е У
Эх
Эи 2
Эх, 3
рк+т,
Эи,
Эх
Эи,,
I У
Эх,,
+ й +
рСе2е
т _ рс
к
е
(7)
(8)
где ст - коэффициент к - е модели турбулентности.
Дискретизация уравнений осуществляется методом конечных объемов. Дискретизация расчетной области производится при помощи многоблочных, неортогональных, адаптивных, структурированных сеток. Каждая подобласть представляется в виде трехмерной матрицы сеточных узлов & j, ф, где 1 £ j, k £ ID. В каждом сеточном узле определены все зависимые переменные.
Для описания распределения узлов внутри сеточной подобласти вводится понятие потокового элемента, который по своей сути является конечным элементов и на котором определены функции формы конечного элемента. На рис.1 представлен гексаэдрический потоковый (конечный) элемент, определяемый восемью узлами.
Для потокового элемента с номерами узлов (ij,k)-(i+1j+1,k+1) область элемента может быть определена в терминах локальной неортогональной системы координат s, ^ u в виде записи через функции формы конечного элемента:
х^,,,и) = N1х— + N2х.+1-,к + NзXi-+l,k + N4х.+1-+1,к +
+ N5Xi-,k+1 + N6Xi+l-,k+1 + N7Xi-+l,k+1 + N8Xi+l-+l,k+l; у^,г,и) = N^1--^ + N2Уi+l-,k + ^у^^ + N4Уi+l-+l,k +
+ N5Уi-,k+l + N6Уi+l-,k+l + Nту.- +1М1 + NgУi+l-+l,k+l'}
2(5,г,и) = N12,^ + N22+1,^ + N32^+1^ + N42+1+1,к +
+ N52^+1 + N2+1^+1 + N72^+1^+1 + N^+1^+1^+1', где функции формы потокового элемента N записываются как N1 = 1/8(1 - s)(1 - г)(1 - и); N2 = 1/8(1 + s)(1 - г)(1 - и); N3 = 1/8(1 - 5)(1 + г)(1 - u); N,1 = 1/8(1 + s)(1 + г)(1 - и);
N5 = 1/8(1 - 5)(1 - г)(1 + и); N6 = 1/8(1 + 5)(1 - г)(1 + и);
N7 = 1/8(1 я)(1 + 1 + и); N8 = 1/8(1 + в)(1 + ¡)(1 + и).
Рис. 1. Гексаэдрический потоковый (конечный) элемент
Диапазон изменения локальных неортогональных координат 5, г, и: -1 <5, г, и<1. Численная схема представляет собой полностью консервативный метод контрольных объемов. Для определения контрольных объемов внутри расчетной области, дискретизированной регулярными массивами потоковых элементов, вводится понятие октантов. Октант (квадрант в двумерной постановке) определен так, что каждый потоковый элемент состоит из восьми октантов, каждый из которых связан с одним из восьми узлов потокового элемента.
Для каждого потокового элемента октанты определены через диапазон изменения локальных координат s, ^ и следующим образом:
1) -1 < 5 < 0, -1 < г < 0, -1 < и < 0,
2) 0 < 5 < 1, -1 < г < 0, -1 < и < 0,
3) -1 < 5 < 0, 0 < г < 1, -1 < и < 0,
4) 0 < 5 < 1, 0 < г < 1, -1 < и < 0,
5) -1 < 5 < 0, -1 < г < 0, 0 < и < 1,
6) 0 < 5 < 1, -1 < г < 0, 0 < и < 1,
7) -1 < 5 < 0, 0 < г < 1, 0 < и < 1,
8) 0 < 5 < 1, 0 < г < 1, 0 < и < 1.
На рис. 2 представлен потоковый элемент, подразделенный на октанты. Шесть поверхностей каждого из восьми октантов потокового элемента подразделяются на две группы так, что три поверхности октанта совпадают с поверхностями потокового элемента, а три оставшиеся находятся внутри потокового элемента. Последняя группа формирует поверхности контрольного объема и связанные с ними точки интегрирования, на которых определяется интеграл по поверхности.
Рис. 2. Подразделение потокового элемента на октанты
(один октант вынесен)
После применения процедуры интегрирования с использованием теоремы Гаусса, которая предусмотрена в методе контрольных объемов, уравнения (1), (2), (3), (6), (7) примут вид:
|т || р а и I +1 Р = (9)
Э' . и
я
Э-I |ри^и I + |ри.и^. =-1Pdnl + |SU1dи +
Эг
+
I
т
Эи Эи
V дх] Эх.
2
ди,
3' eff Эх, ~1] V ~1У
2
dn
I"\\РШи1 Ы^ I + IРи1Шп
Эг
=I
Эг
' ЭТ т Э^ л 1— + —--
Эх Рг. Эх
V з х з У
+ <
и.
т
Эи Эи,
Эх Эх
V з г
2 Эи
2
Г- Эх, 5'- 3 ^к
+1 SEd и Эk
ч
Эх
dnJ.;
—1 Iрк dи | +1ри. к dnJ = I
Эг
+1
и
{\ - /
тг
О
Эк
Эх
к у .
+1S ^ и+
тг
Эи. Эи. —+ —3
V Эх. Эх.
Эи 2
У Эхз 3
рк+тг
Эи,
Эх
Эи,,
I У
Эх
-Э| I ре dи | +1ри.е dnJ = I
О
Л
Эе
е У Эх.
dnJ +1 £е d и
+
(10)
(11)
dи-1 ре dи; (12)
+К к
'е1
тг
Эи Эи,
+
V Эх. Эх.
Эи 2
Эх. 31
рк + тг
Эи,
Эх
Эи,,
I У
Эх
р^е 2е
)d и, (13)
где се1, се2 - коэффициент к - е модели турбулентности; dni - произведение компоненты вектора внешней нормали на площадь октанта в декартовой системе координат.
Интеграл по поверхности отвечает за интегрирование потоков консервативных величин, интеграл по объему учитывает действие источника. На рис. 3 представлен конечный объем и потоковый элемент. Каждый конечный объем определяется двадцатью четырьмя билинейными поверхностями в трехмерной постановке или восемью линейными сегментами в двумерной постановке. Интегральные уравнения (9) - (13) записаны для каждого контрольного объема, полученного путем соединения середин противоположных сторон в каждом элементе. Непрерывный интеграл по поверхности переводится в дискретную форму и оценивается через так называемые точки интегрирования. Место положения точек интегрирования для одного потокового элемента в двумерном представлении показано на рис. 4.
и
и
5
5
Г
s
и
5
5
5
и
5
и
и
и
и
5
5
г
Рис. 4. Расположение точек интегрирования на двумерном
билинейном элементе
В трехмерной постановке потоковый элемент состоит из восьми октантов и двадцати четырех поверхностей, содержащих точки интегрирования. В дискретной форме интегральные уравнения (9) - (13) могут быть записаны в следующем виде:
Уо1
.0 \
дг
+
ф
(14)
pVol
Г (Л иг - иг
+ = -^(ГАп, \р + s*Vol +
'р
'р
+1
и
eff
Э и Э и
—L + —1
dXj Эх
2 ди, „ 2 „ --LI ,.,.--О--DO К
3^eff Эх, v 3 у
А/7.
(15)
ip
pVol
н-н
At
0 Л
= 1
^ЭГ 4 Эh
Эх Prt Эх
Vol
У V
Л
An
r Р _ р° ^
ip
j
V j
J J
At
ip
ip
U:
l^eff
Гд и Эм;Л —L + —J-
Эх, Эх,
V j 1
2 du, „ 2 „ Э£ .
^ J
(16)
pVol
о Л
к-К
At
+Z(P «¿4)»*=I
11+
ik о
Эк
Эх,
к у
гр
Д/7
+ к Vol +
+
Эг/ Эг/
—L + —¿
Эх Эхг
Э и 2
Эл0 3V
Р к+Ц,
Эи,
Эх,
Эг/,.
/ У
Эх,
Vol - peVol
(17)
pVol
— 8° ^ V У
у
с
M-, |i + —
о
Л
Эе
* у Эх/
Ли.
+ SeVol +
'Р
+
К
С,
el
Эм Э м
—L + —¿
Эх, Эх,
V j 1
Э г/. 2
Эх7 3 v
рк + ц,
Эи,
Эх
Эг/,
/ у
Эх,,
РСе2£
(Vol, (18)
где Vol - величина контрольного объема; нижний символ «ip» - точка интегрирования, суммирование производится по всем точкам интегрирования; Arij - произведение компоненты вектора внешней нормали на площадь грани; At - шаг по времени; верхний символ 0 определяет параметр, взятый на старом временном уровне; верхняя черта над членом, учитывающем влияние источника, обозначает осредненное значение на контрольном объеме.
Следует отметить: фундаментальное преимущество метода конечных объемов означает то, что потоки в точке интегрирования на соприкасающихся поверхностях соседних контрольных объемов равны, т.е. поток, истекающий из одного контрольного объема и втекающий в прилегающий объем, идентичен. Для аппроксимации по времени используется схема Эйлера первого порядка точности. Такая аппроксимация не накладывает жестких ограничений на размер шага по времени
Ко/
(19)
М
Стандартный подход метода конечных элементов (через функции формы конечного элемента) используется для оценки производных для всех диффузионных членов. Например, производная по направлению х в точке интегрирования ¡р
Эф Эх
гр п ЭХ
Ф„ • (20)
'р
Суммирование производится по всем функциям формы элемента. Производная от функции формы в декартовой системе координат может быть выражена в виде локальных производных функции формы через якобиан матрицы преобразования координат.
Для повышения устойчивости схемы оценка градиента производится в точках интегрирования, расположенных на пересечении поверхности интегрирования с ребром потокового элемента (линейно-линейная интерполяция). Применение такого подхода снижает степень аппроксимации ЭА7Э{.у, /, и) до первого порядка точности как для ортогонального, так и
для искривленного элемента. В противном случае при оценке градиента в точках интегрирования, расположенных согласно рис. 4 (три - линейная интерполяция), можно обеспечить второй порядок точности для ортогонального элемента и первый - для искривленного. В случае качественной сеточной дискретизации можно использовать метод со вторым порядком интерполяции диффузионных членов, что снижает схемную вязкость и позволяет более точно и физически обоснованно описывать происходящие процессы.
Список литературы
1. Качурин Н.М., Коновалов О.В., Качурин А.Н. Аэрологическое обоснование и математические модели вентиляции тоннелей при их строительстве//Безопасность жизнедеятельности. 2010. № 5. С. 6-12.
2. Математические модели аэрогазодинамики тоннелей при их строительстве / Н.М. Качурин [и др.] // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 246-255.
3. Качурин Н.М., Овсянников Г.Д., Панарин В.М. Аэрогазодинамика тоннелей и обеспечение безопасности при их строительстве// Известия ТулГУ. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. Вып. 5. С. 69-76.
4. Разрушение горных пород шарошками и диспергирование примесей в жидкостях/ Н.М. Качурин [и др.]. М.; Тула: Изд-во «Гриф и К0», 2003,330 с.
Качурин Николай Михайлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, ecology@tsu.tula.ru , Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Воробьев Сергей Александрович, науч. сотр., vorobjov@rudmet.ru, Россия, Белгород, Белгородский национальный исследовательский университет,
Левин Александр Дмитриевич, асп., galina_stas@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ботов Фетах Магомеднабиевич, асп., galina_stas@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODELING AEROGASDYNAMICAL PROCESSES BY VENTILATING MINE
WORKINGS WITH LARGE CROSS-SECTION
N.M. Kachurin, S.A. Vorobev, A.D. Levin, F.M. Botov
Aerogasdynamical processes by ventilating mine workings with large cross-section were considered. Mathematical models of moving air in mine workings with large cross-section were substantiated. It's shown that modeling aerogasdynamical processes by ventilating mine workings with large cross-section bases at system of Renolds equations, which describing flowing viscous, compressible heat-conducting gas in three-dimensional space.
Key words: continuity equation, equation of motion, mathematical model, viscous, turbulence, finite-volumes method.
Kachurin Nikolai Mihailovich, Doctor of Sciences, Full Professor, chief of a chair, ecology @tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Vorobev Sergei Alexandrovich, scientific associate, vorobjov@rudmet. ru, Russia, Belgorod, Belgorod National Researching University,
Levin Alexander Dmitrievich, postgraduate, galina_stas@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Botov Fetah Magomednabievich, postgraduate, galina_stas@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
