Модели технологий заготовки кормов из трав с операцией провяливания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел II. Животноводство.

РАЗДЕЛ II. ТЕХНОЛОГИИ И ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА МЕХАНИЗИРОВАННОГО ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ ЖИВОТНОВОДСТВА В СЕВЕРО-ЗАПАДНОЙ ЗОНЕ РОССИИ

УДК 631.31.35

A. М. ВАЛГЕ, канд. техн. наук;

B. Д. ПОПОВ, д-р техн. наук

МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЙ ЗАГОТОВКИ КОРМОВ ИЗ ТРАВ С ОПЕРАЦИЕЙ ПРОВЯЛИВАНИЯ

Разработаны динамическая и вероятностная модели технологии заготовки кормов с операцией провяливания. Проанализировано влияние погодных условий Ленинградской области на показатели операции провяливания.

1. Динамика технологии

Технологии заготовки кормов из трав состоят из ряда операций, которым подвергается трава, для того чтобы превратиться в корм того или другого вида. Для большинства кормов основными операциями являются:

- скашивание;

- ^овяливание;

- подбор;

- погрузка с транспортировкой;

- закладка в хранилище.

Скашиваемая трава имеет влажность 70-80% и для удаления лишней влаги применяется операция ^овяливания, продолжающаяся от одного до трех и более дней в зависимости от требуемой конечной влажности травы и погодных условий.

В процессе технологии трава проходит все операции, то есть технологию можно представить как динамическую систему, развивающуюся как во времени, так и в пространстве координат состояния травы. Изменение состояния происходит под действием машин, выполняющих конкретные операции. Если их производительность при-

89

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

нять за вектор управления, то технологию можно представить в виде следующей математической модели:

Z = и (1)

при начальных условиях: z i (0) = Q , z i (0) = 0, где Z - вектор состояния травы на каждой из операций; U -вектор управления травой на каждой из операций.

Раскрывая составляющие векторов, уравнение (1) можно записать в следующем виде:

z 1 ( t ) = ui при Q > 0 скашивание

z 2 ( t + т ) = u 2 при z i ( t ) > 0 провяливанее (2)

z 3 ( t ) = u3 при z 2 ( t ) > 0 подбор

z 4 ( t ) = u4 при z 3 ( t ) > 0 погрузка с транспортировкой

z 5 ( t ) = u5 при z 4( y ) > 0 загрузка в хранилище.

Решение системы (2) может быть выполнено численным методом.

В случае выпадения осадков уборка травы прекращается, часть травы на всех операциях получает дополнительное увлажнение. Работа возобновляется после прекращения выпадения осадков. Решение системы (2) продолжается при других начальных условиях, соответствующих конкретной ситуации. Учитывая, что в системе (2) правые части не содержат слагаемых с собственными и соседними переменными, решение системы может быть выполнено графическим способом для любых начальных условий. На рис.1, а и рис.1, б такое решение приведено.

Для решения системы (2) принимаем одну размерность для всех операций, например «га». По оси ординат откладывается значение объема работ, который должен быть выполнен всеми операциями (например, 100 га). По оси абсцисс откладывается время в днях. Если производительность на каждой из операций постоянна ( u = const ), то объем работ выполненных на каждой операции определяется уравнением прямой линии:

y. = U X t /оч

Si I пров (3)

Для согласования операций по производительности должно соблюдаться соотношение:

90

Раздел II. Животноводство.

ui ^ ui+l (4)

На рис. 1, а прямая 1 показывает операцию скашивания, которая начинается при t = 0 и заканчивается при t = 6. Длительность провяливания в данном примере принята равной трем дням. Прямая 2 показывает операцию сгребания после провяливания. Прямые 3, 4, 5 показывают развитие операций подбора, транспортирования, загрузки в хранилище. Они могут начинаться совместно с операцией 2 или с некоторой задержкой.

Объем

уборки, а)

Рис. 1. Динамика технологий заготовки кормов c провяливанием: при отсутствии осадков в период уборки (а) и при выпадении осадков на четвертый день уборки (б):

1 - скашивание; 2 - провяливание; 3 - подбор; 4 - погрузка; 5 - транспортировка в хранилище; 6 - укладка в хранилище

91

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

Уборка заканчивается на 13 день после выполнения всего объема работ. Количество травы, находящейся на каждой из операций, получается следующим построением. Скошенная трава переходит в стадию провяливания. Длительность провяливания составляет три дня, после чего начинается операция подбора. Интенсивность подбора должна быть не ниже скашивания, поэтому проводим линию 2 параллельно линии 1 (см. рис.1, а). До начала подбора количество травы на стадии провяливания увеличивается, так как продолжается скашивание, после трех дней провяливания количество провяливаемой травы стабилизируется и составляет:

4l = Щ Х Крое , (5)

где Щ - производительность на скашивании; ^прое - время

провяливания до заданной влажности.

После скашивания всей площади на 6-ой день уборки, количество провяливаемой травы уменьшается и достигнет нуля после 9 дня при завершении операции провяливания. Прямая 3 определяет операцию подбора. Динамика изменения количества трава на каждой операции определяется разностью между прямыми , например, между прямыми 2 и 3 на 8-ой день уборки. Соединяя полученную точку с днем начала уборки (3 день) и днем окончания погрузки и транспортировки, получим треугольник 8', стороны которого определяют динамику изменения количества травы на данной операции. Аналогично строятся треугольники 9’, 10’, 11’, которые характеризуют динамику изменения количества травы на операциях подбора, погрузки с транспортировкой, укладки в хранилище.

Анализируя полученную диаграмму, можно отметить, что наибольшее количество травы скапливается на операции провяливания, которое определяется соотношением (5). Чем больше производительность скашивания и время провяливания, тем большее количество травы будет на операции провяливания, которая протекает в полевых условиях и зависит от погодных условий.

В случае выпадения осадков диаграмма динамики технологии строится при других начальных условиях (см. рис.1, б). Предполо-

92

Раздел II. Животноводство.

жим, что четвертый день оказался неблагоприятным по погодным условиям, а осадки прекратились на пятый день.

Проведем оси координат, как показано на рис.1, б. На время выпадения осадков уборка прекращается и возобновляется на пятый день.

Линия 1 характеризует продолжение операции скашивания. Количество травы на операции провяливания начинает увеличиваться

со значения qj или того количества травы, которая оказалась под осадками при провяливании на четвертый день уборки. Провяливание продолжается три дня, подбор начинается на седьмой день. Количество травы на провяливании определяется соотношением:

q2 = q + щ х tnpQe = 2 x q (6)

Если в период провяливания выпадут еще осадки, то количество травы на провяливании увеличится еще на qb то есть увеличение происходит по закону арифметической прогрессии и при частом выпадении осадков вся скошенная трава окажется на стадии провяливания.

2. Вероятностная модель операции провяливания

В процессе провяливания травы из нее необходимо удалить количество влаги, достигающее 70% первоначальной массы травы. Операция провяливания занимает несколько дней и связана с риском увлажнения и порчи травы осадками при изменении погодных условий. Длительность провяливания до кондиционной влажности в условиях Северо-Запада составляет не менее трех дней.

Рассмотрим модель операции провяливания при вероятностном характере изменения погодных условий. Скошенная трава провяливается, как правило, в прокосах. После первого дня провяливания, трава с вероятностью P переходит на второй день провяливания, после второго дня провяливания она с вероятностью P переходит на третий день, после третьего дня трава с вероятностью P будет подобрана и заложена на хранение. Здесь P - вероятность благоприятных погодных условий. В случае выпадения осадков в период провяливания и подбора трава возвращается в первое состояние, и операцию провяливания необходимо выполнять заново. Представим операцию

93

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

провяливания в виде регулярной марковской цепи [1]. Граф-схема модели приведена на рис.2, где цифрами 0, 1, 2, 3, 4 обозначены состояния очередной порции травы:

0 - после скашивания, 1- после одного дня провяливания, 2 - после двух дней провяливания, 3 - после трех дней провяливания, 4 - трава в виде корма (сено, убрана в хранилище).

P

P

P

P

Рис.2. Граф-схема марковской цепи операции провяливания

травы

Цепь имеет одно невозвратное состояние, (4), попав в которое, трава покидает операцию провяливания. В соответствии с методом исследования марковских цепей, представим рис. 2 в виде следующей таблицы:

Состояния травы

0 1 2 3 4

Состояния травы 0 1-P P 0 0 0

1 1-P 0 P 0 0

2 1-P 0 0 P 0

3 1-P 0 0 0 P

4 0 0 0 0 1

94

Раздел II. Животноводство.

Используя метод декомпозиции, представим таблицу в виде следующей совокупности матриц:

1-P P 0 0 0

1-P 0 P 0 0 го R "I

1-P 0 0 P 0 =

1-P 0 0 0 P L о E J

0 0 0 0 1

( 7 )

Матрица (7) называется фундаментальной. Она может быть представлена в виде четырех составляющих: Q - матрица вероятностей; R - матрица перехода; 0 - нулевая матрица; Е - единичная матрица.

Такая запись приводит к уравнению Колмогорова - Чепмена, решение которого позволяет получить ряд показателей для стационарного состояния цепи, основными из которых являются следующие:

- число попадании в каждое из состоянии

N = (E - Q)-1; (8)

- математическое ожидание попадания системы в каждое из состояний

M = N X 1 ; (9)

- вероятность перехода из каждого из состояний в поглощающее состояние

B = N x R. (10)

Выражения (8), (9), (10) представляют собой матричные операции и применительно к операции провяливания означают следующее. Если принять за одну порцию количество травы, скошенной за один день, то уравнение (8) дает стационарное количество порций травы в каждом из возможных состояний: (0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 2,0 2,1 2,2 2,3 3,0 3,1 3,2 3,3) пока она не перейдет в поглощающее состояние (убрана в хранилище).

Матрица B представляет собой вектор - столбец, составляющие которого дают вероятность перехода из данного состояния в

95

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

поглощающее состояние. По составляющим вектора B можно также определить общую вероятность перехода их данного состояния в поглощающее состояние по формуле:

Яг = [1 -^J=J-iqj ] Х bi , (11)

По формулам (8) - (11) выполнены расчеты для вероятности благоприятных погодных условий 0,6. При этом получены следующие результаты. Без повторного увлажнения будет убрано 26,6% травы, с одним увлажнением - 30,8%, с двумя увлажнениями - 23%, с тремя и более - 15%. Из общей скошенной массы дойдет до поглощения (будет убрано) 93,4%, а 6,6% не выйдут из цикла повторного увлажнения (будут потеряны).

В результате расчетов получено, что при P=0,5 без повторного увлажнения будет убрано только 11% травы, с одним 19,7%, двумя -23%, тремя и более - 25,6%. Всего будет убрано от общего объемы 79,4%, а 20,6% травы будет потеряно. При P=0,4 потери составят 40%, а качественного сена без увлажнения получить невозможно. При P=0,2 и P=0,3 потери составят, соответственно, 75% и 60%, а качественного сена получить вообще невозможно. Отсюда можно сделать вывод о том, что вероятность P=0,5 является критической при выполнении операции провяливания до кондиционной влажности.

3. Анализ погодных условий Ленинградской области в период заготовки кормов из трав

Для анализа были использованы метеоданные Белогорской метеостанции за период 1946-1973 годов. Вероятность благоприятных погодных условий определялась как отношение числа дней без осадков за месяц к общему количеству дней в месяце. Результаты в графическом виде представлены на рис.3,а, 3,б, 3,в.

Как видно из представленных данных вероятность благоприятных погодных условий для анализируемых месяцев изменяется в достаточно широких пределах:

июнь - 0,3 - 0,87; июль - 0,35 - 0,82; август - 0,39 - 0,81.

96

Раздел II. Животноводство.

0 5 10 15 20 25 30

Годы (1945-1973)

а)

б)

в)

Рис.3. Изменение вероятности благоприятных погодных условий: а- для июня месяца; б - для июля месяца; в - для августа месяца.

97

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

Эти изменения имеют случайный характер. Основные статистические характеристики приведены в табл. 1.

Таблица 1

Статистические характеристики вероятности благоприятных погодных условий

Показатели июнь июль август

Математическое ожидание 0,571 0,549 0,550

Среднеквадратическое отклонение, 0,122 0,117 0,161

3.1. Точность оценки вероятности погодных условий

Как видно из полученных данных, средние значения вероятности погодных условий имеют небольшое расхождение, и поэтому возникает подозрение, что разброс вызван статистической ошибкой, то есть вероятность благоприятных погодных условий июня, июля и августа одинаковая. Для проверки было использовано соотношение [2] :

t

рас

xi - xj

S (п- - п -1)

1x0,5 ’

(12)

где S

(ni - 1)g) + (nj - fy) (ni - щ - o

Xi и Xj - сравниваемые средние i

и j значения; G) и G j - среднеквадратические отклонения i-го и

j-го массивов ni и nj размеры i -го и j-го массивов.

Расчетные значения 1расч сравнивается с табличным t - критерием при k степенях свободы и уровне вероятности P. Оценки xi и

98

Раздел II. Животноводство.

Xj статистически значимо отличаются при условии: tpac4 > t табл (k, P),

k = n ; + n j -1, P={0,8; 0,95; 0,99}.

В результате расчетов получены следующие результаты: t 12 = 0,18 < t табл (28, 0,99) = 3,6 ;t 13 = 1,71 < t табл (28, 0,99) = 3,6; t 23 = 0,35 < t табл (28, 0,99) = 3,6 .

Откуда видно, во всех случаях расчетные значения меньше табличных, что свидетельствует об отсутствии отличий между средними значениями на уровне вероятности 0,99.

Окончательно средняя вероятность благоприятных погодных условий для каждого из дней июня, июля и августа будет равно среднему: P6 = 0,556.

Полученное значение представляет собой среднюю вероятность. Конкретно для каждого из дней вероятность будет изменяться в зависимости от многих факторов, влияющих на формирование погодных условий в данном, конкретном регионе.

3.2. Определение доверительного интервала вероятности благоприятных погодных условий

Для случайных величин, имеющих два значения ( например: были осадки - не было осадков) введем в рассмотрение случайную величину 4k, которая может принимать значения 0 или 1, тогда по схеме многих испытаний Бернулли их можно записать в виде следующей последовательности:

4k 1 0

p

k= 1, 2.....n , q = 1 - p

Частота появления событий в n опытах записывается через случайную величину 4k:

P

1 n

- £ 4

nV

(13)

99

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

На основании свойств математического ожидания можно записать:

то есть точечная оценка вероятности является оценкой несмещенной и эффективной. Точность оценки вероятности P зависит от числа опытов и оценивается как математическое ожидание случайной величины ^. Истинное ее значение находится внутри некоторого интервала:

Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределения определяются по формулам:

Для случаев, P х q > 4 , биноминальное распределение можно заменить нормальным, а для определения погрешностей математического ожидания использовать известное соотношение:

M[P] = P = P,

P-AP < P < P + AP

M[P] = P; D = Pq = P(1 - P) (14)

P = (|P - P\ < Va) = 7,

то есть с надежностью у выполняется неравенство:

(15)

что эквивалентно неравенству:

(P - р) < >*1—3

t

2

v '

П

Из формулы (15) при известном значении P найдем доверительные интервалы для искомой вероятности P . После преобразования уравнения (15) получим квадратное уравнение:

P

t о — t —о

(1 + )p2 - (2P + v) p + P2 < 0 .

t

2

2

П

n

100

Раздел II. Животноводство.

Так как старший коэффициент у квадратного уравнения положителен, то решением квадратного уравнения являются корни Р1 и P2 :

Р =-

— t

Р + -°-2п

-1,

p(1 - p) , -о

4п2

t2

1 + -°

и Р2 =

- t2 P +

2п

+t

P (1 - P) , -о

t2

1+о

-4п_. (16)

п

п

п

п

Значения Р1 и Р2 дают доверительный интервал вероятности p с надежностью а , которая связана с критерием tv и числом степеней свободы v. При больших значениях n, практически при n > 20

составляющими

t2 К t2 К

2п и 4п

Уравнения (16 )

записываются в приближенном виде:

Р = P - К

1

P (1 - P )

п

; P2 = P +t о

P (1 - P )

п

(17)

Определим доверительные интервалы вероятности для нашего случая при P = 0,556.

Для п = 29 и P = 0,999 табличное значение критерия Стьюдента tтабл(n, Р) = 3,72 . По формулам (14 ) и (15 ) получим Р = 0,214, Р2 = 0,894 .

По значениям P1 и P2 можно рассчитать количество благо-

приятных дней из некоторой совокупности. Например, если агротехнический срок уборки злаковых трав составляет 20 дней, то при первом значении вероятности количество благоприятных дней будет всего 4,3, а по второй - 17,9 дней. Откуда видно, что по погодным условиям возможны случаи, когда заготавливать корм с операцией провяливания очень сложно, или даже невозможно. Это вызывает необходимость заготовки кормов другого вида, не требующих операции провяливания.

101

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

Случайные процессы с двумя состояниями (хорошая погода -плохая погода) подчиняются биномиальному закону распределения

[3]:

Р „ =

n!

m!(n - m)!

pm (1 - РГ

(18)

где m - число случаев появления события из n опытов; p -вероятность появления единичного случая.

Кривая плотности распределения в функции от m имеет экстремум, а, следовательно, можно определить значение, m при котором Pn т = max, то есть определить наиболее вероятное количество

дней без осадков на некотором временном интервале.

Рассмотрим отношение:

P

P

m +1, n

Cm pmqn -m _ (m + 1)q

C+1 pm+1qn-m-1 = (n - m)p

(19)

Для тех значений m, при которых P п увеличивается, отношение (19) меньше единицы, при остальных значениях m, оно больше единицы.

Тогда получим следующее неравенство

(m + 1)q (n - m)p

< 1, откуда,

учитывая, что p + q = 1, получим m < np - q = m0 . Следовательно, Pm,n имеет наибольшее значение при:

m = m0 +1 = np - q +1. (20)

Для нашего случая при n = 20 и p = 0,556получим наиболее вероятное количество дней без осадков:

m = 20* 0,552- 0,448+1 = 11,6.

102

Раздел II. Животноводство.

3.3. Статистический анализ безосадочных периодов

Заготовка кормов должна производиться при благоприятных погодных условиях, что соответствует теплой солнечной погоде при умеренном ветре, обеспечивающем быстрое провяливание травы. Если заготовка силоса может производиться практически при любых погодных условиях, то для заготовки сена погодные условия должны обеспечить провяливание травы до 35% при использовании досушивания в хранилище, и до 17-19% - при сушке до конечной влажности. Для получения такой влажности в первом случае необходимо 2-3 дня при одно-, двукратном ворошении, а во втором - соответственно 3-5 дней при дву-, трехкратном ворошении травы.

Погодные условия Ленинградской области не благоприятствуют таким срокам провяливания. Как правило, за время провяливания трава увлажняется 1-3 раза, что приводит к потере 30-60% питательных веществ, или, при увлажнении травы дождем более трех раз, вообще к порче корма. Чтобы определить вероятности длительности безосадочных периодов, данные были обработаны для получения основных статистических характеристик. Для этого по исходным массивам получили численные значения периодов без осадков, которые обработали обычными статистическими методами. Результаты обработки приведены в табл. 2.

Таблица 2

Статистические характеристики безосадочных периодов погодных условий

Показатели июнь июль август

Математическое ожидание 2,88 3,1 3,0

Сигма 2,46 2,65 3,05

Хи-квадрат (расчетное) 7,06 6,64 7,08

Хи-квадрат (табличное) 15,8 15,8 15,8

Данные были проверены на соответствие стандартным законам распределения по критерию хи-квадрат. Наибольшее соответст-

103

ISSN 0131-5226. Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. 2000. Вып. 71.

вие получено для показательного закона распределения. Расчетные и табличные значения хи-квадрат приведены в табл. 2.

На уровне вероятности 0,95 данные описываются показательным законом распределения.

Математическое ожидание числа дней без осадков в июне, июле и августе по статистическому критерию не отличаются, поэтому можно принять для них общее математическое ожидание равное трем дням.

Плотность распределение показательного закона выражается следующим соотношением:

f(x) = Xe-Xx при x > 0,

где X = 1/m - параметр распределения; m - математическое ожидание.

Рассмотрим следующий интеграл:

m

F(x) = ^XeXcdx = 1 - e-1 = 0,632 , (21)

о

определяющий вероятность появление случайной величины в интервале 0 - m .

Отсюда можно утверждать, что с вероятностью 0,632 безосадочный период будет меньше математического ожидания m. Для нашего случая m = 3, поэтому с вероятность 0,632 можно утверждать, что количество дней без осадков подряд будет меньше трех. Количество дней подряд больше трех будет появляться с вероятностью 1 -0,632 = 0,368. То есть вероятность благоприятных погодных условий для заготовки кормов с провяливанием до кондиционной влажности не превышает значения 0,4.

Выводы

1. Разработанная модель технологии заготовки кормов с операцией провяливания позволяет оценить динамику движения травяной массы по операциям, а также влияние выпадающих осадков на количество травы на операциях.

2. Вероятностная модель операции провяливания позволяет определить влияние вероятности благоприятных погодных условий на количественные показатели количества увлажнений травы осадками во время операции провяливания.

104

Раздел II. Животноводство.

3. Анализ погодных условий Ленинградской области в период заготовки кормов, а также расчет по моделям показал, что заготовка кормов с провяливанием до кондиционной влажности находится на грани риска. Даже при средних погодных условиях сена без увлажнения будет заготовлено только 24,6%, а безвозвратные потери составят 7%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Раскин Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления. - М.: Сов. радио, 1976. - 344с.

2. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. - М.: Наука, 1972. - 192с.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

Получено 14.01.00.

УДК 631.171.636

Е.Е.ХАЗАНОВ, д-р техн. наук;

(СЗНИИМЭСХ)

В. РОМАНЮК, д-р техн. наук (IBMER, институт сельскохозяйственной инженерии СХА в Щецине, Польша).

ОБЗОР РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ БЕСПРИВЯЗНОГО СПОСОБА СОДЕРЖАНИЯ КОРОВ

Приведен краткий обзор применяемых в настоящее время вариантов беспривязнго способа содержания коров. Сформулирована цель совместных исследований по программе научно-технического сотрудничества СЗНИИМЭСХ и IBMER.

В странах с развитым молочным производством всё большее распространение приобретает технология, основанная на беспривяз-

105