Модели прогнозирования на основе временных рядов в пакете Microsoft Office Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Оригинальная статья / Original article УДК 330.43

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-6-69-78

МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ПАКЕТЕ MICROSOFT OFFICE

© А.Р. Цогоева1, А.Ю. Цогоев2, М.Ч. Датиева3

Горский государственный аграрный университет, Российская Федерация, 362040, г. Владикавказ, ул. Кирова, 37.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Прогнозирование является одним из решающих элементов эффективной организации управления хозяйствующими субъектами и экономическими сообществами, так как от умения прогнозировать в значительной степени определяется качество принимаемых решений. В данной работе авторы на основе временных рядов сделали прогноз урожайности зерновых культур на перспективу. МЕТОДЫ. Анализ временных рядов базируется на предположении, что факторы, под влиянием которых формируется прогнозируемый показатель, либо невозможно выделить, либо по ним информация отсутствует. В этом случае изменение данного показателя связывают с течением времени, что проявляется в одномерных временных рядах. Так, на урожайность культур огромное влияние оказывают метеорологические явления, которые в настоящее время наука не в состоянии прогнозировать, а метод экстраполяции на основе кривых роста позволяет рассчитывать вероятные границы прогнозируемой урожайности на несколько лет вперед. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. На основе статистических данных нами была проведена проверка гипотезы о существовании тенденции в динамическом ряду -F^n.O,^) < Fra6^(4,28), что позволило сделать вывод о существовании динамики в динамическом ряду. По выбранной трендовой модели рассчитан теоретический уровень урожайности. Установлена адекватность модели по свойствам, которые считаются существенными для исследования. К этим свойства относятся: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты. ВЫВОДЫ. Выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики с доверительной вероятностью 95% (р < 0,05), так как все пункты проверки дают положительный результат, и, следовательно, ее можно использовать для построения прогнозных оценок. Таким образом, можно утверждать, что прогнозируемая урожайность озимой пшеницы попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами при сохранении сложившихся закономерностей развития. Ключевые слова: динамические модели, временные ряды, динамические ряды, дисперсии, прогнозирование урожайности.

Формат цитирования: Цогоева А.Р., Цогоев А.Ю., Датиева М.Ч., Модели прогнозирования на основе временных рядов в пакете Microsoft Office // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 6. С. 69-78. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-6-69-78

TIME SERIES-BASED FORECASTING MODELS IN MS OFFICE PACKAGE A.R. Tsogoeva, A.Yu. Tsogoev, M.Ch. Datieva

Gorsky State Agrarian University,

37, Kirov St., Vladikavkaz, 362040, Russian Federation.

ABSTRACT. PURPOSE. Forecasting is a critical element of the effective organization of management of economic entities and economic communities, as the quality of taken decisions is largely determined by the ability to forecast. The au-

1

Цогоева Аида Руслановна, кандидат экономических наук, доцент кафедры информатики и моделирования e-mail: energofak_inf@ gorskigau.com

Aida R. Tsogoeva, Candidate of Economics, Associate Professor of the Department of Informatics and Modeling, e-mail: energofak_inf@ gorskigau.com

2Цогоев Алан Юрьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и моделирования, e-mail: tsalan@gorskigau.com

Alan Yu. Tsogoev, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Informatics and Modeling, e-mail: tsalan@gorskigau.com

3Датиева Мадина Черменовна, кандидат экономических наук, доцент кафедры информатики и моделирования, e-mail: energofak_inf@ gorskigau.com

Madina Ch. Datieva, Candidate of Economics, Associate Professor of the Department of Informatics and Modeling, e-mail: energofak_inf@ gorskigau.com

thors of this paper made a prospecting crop yield forecast on the basis of time series. METHODS. The analysis of time series is based on the assumption that the factors influencing the formation of the forecasted indicator are either impossible to identify or lacking information on them. In this case, the change of this indicator is associated with the passage of time represented in a one-dimensional time series. The crop yield is greatly influenced by the meteorological phenomena that modern science is unable to predict. The extrapolation method based on growth curves allows to calculate the probable boundaries of the forecasted yield for the next few years. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. A hypothesis on tendency existence in a dynamic row Frated.(1.17) < Ftabl.(4.28) has been tested on the basis of statistical data. This has allowed to draw a conclusion on dynamics existence in the dynamic row. The theoretical yield level has been calculated according to the trend model. The adequacy of the model has been determined on the basis of the properties considered to be essential for the research. These properties include: randomness of residual sequence level fluctuations, compliance of random component distribution to the normal law of distribution, equality of random component expectance to zero, independence of values of random component levels. CONCLUSIONS. The selected trend model is adequate to the actual series of the economic dynamics with the confidence level of 95% (p < 0.05), as all check points give a positive result. Therefore, it can be used for making predictive assessments. It is fair to say that the projected yield of winter wheat will fall in the interval formed by lower and upper limits at the current development patterns. Keywords: dynamic models, time series, dynamic series, variance, yield forecasting

For citation: Tsogoeva A.R., Tsogoev A.Yu., Datieva M.Ch. Time series-based forecasting models in MS Office package. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 6, pp. 69-78. (In Russian) DOI: 10.21285/18143520-2017-6-69-78

Введение

В современном мире главным фактором успеха и важнейшим резервом повышения эффективности производства в условиях жесткой конкуренции является повышение качества и скорости принятия управленческих решений, поэтому надлежит быть максимально подготовленным к любому развитию ситуации. Для эффективного выполнения управленческих функций необходимо принятие эффективных решений. Совершенствование процесса принятия обоснованных объективных решений достигается путем использования научного подхода к данному процессу.

Прогнозирование имеет большое значение для развития теории и практики управления всеми сферами жизни общества. Предвидение событий дает возможность заблаговременно подготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если возможно, -вмешаться в ход развития, контролировать его, и, что более важно, постараться претворить в жизнь одну из выявленных альтернатив будущего. Предстоящие крупные сдвиги в различных областях деятельности человека, отдаленные от нас на годы, в той или иной мере зависят от событий сегодняшнего дня. Недооценка важности учета последствий сегодняшних решений приво-

дит к ошибкам, которые негативно влияют на развитие социально-экономических систем.

Необходимость прогнозирования объективна, так как невозможно импровизированно принимать решения, имеющие долгосрочные перспективы. Прогнозирование является одним из решающих элементов эффективной организации управления хозяйствующими субъектами и экономическими сообществами, так как от умения прогнозировать в значительной степени определяется качество принимаемых решений.

Среди факторов, обеспечивающих качество прогнозирования, необходимо выделить оперативность обработки информации, умение критически анализировать прогнозные оценки и т.д. Все этапы прогнозирования, начиная с организации и заканчивая интерпретацией результатов, далеко нетривиальны. Поэтому существенную помощь в процессе прогнозирования могут оказать информационные технологии.

Среди причин, обуславливающих необходимость их применения, можно выделить: высокие требования к качеству прогнозов, увеличение объемов информации, сложный алгоритм расчета и интерпретации результатов.

На сегодняшний день разработано довольно большое количество пакетов прикладных программ, специально предназначенных для применения различных методов прогнозирования, позволяющих оперативно проводить расчеты, необходимые для обоснования будущего. Наиболее известными и приспособленными для математического моделирования и прогнозирования считаются Maple, MathCad, Mathematica, MatLab и Statistic. Но, к сожалению, на практике рядовому пользователю они не всегда доступны.

Многие проблемы, возникающие в процессе прогнозирования, можно успешно решать в широко известном и распространенном Пакете прикладных программ Microsoft Office, используя имитационное моделирование, теорию игр, регрессионный и трендовый анализ.

В данной статье авторы представляют трендовую модель прогнозирования урожайности озимой пшеницы, построенную в табличном процессоре Microsoft Excel 2010.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики - сделать на их основе прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Основное предположение, лежащее в основе анализа временных рядов, состоит в следующем: факторы, влия-

ющие на исследуемый объект и в прошлом, и настоящем, будут влиять на него и в будущем. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по ним отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а стечением времени, что проявляется в одномерных временных рядах. Одним из самых ярких примеров может служить прогнозирование урожайности на основе трен-довой модели, так как среди факторов, влияющих на урожайность, значительную роль играют метеорологические явления, которые в настоящее время наука не в состоянии прогнозировать даже на год вперед, а трендовая модель (метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста) и измерение колеблемости позволяют рассчитывать вероятные границы прогнозируемой урожайности на несколько лет вперед.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Существует несколько методов подбора наилучшей кривой роста для моделирования и прогнозирования экономического процесса, более универсальным из которых является метод характеристик приростов [1].

Методика исследования

Производство зерновых - базовая и определяющая отрасль сельского хозяйства и, в значительной степени, экономики в целом. Достаточный уровень производства зерновых создает необходимую сырьевую базу и предпосылки развития отраслей, обладающих, помимо прочего, большим инновационным потенциалом и науко-емкостью. С другой стороны, сельское хозяйство, и в частности производство зерновых, аккумулирует достижения целого ряда других отраслей. Очевидно, что неясность нынешней ситуации и будущего экономики в целом относится и к производству зерновой продукции. При этом здесь, помимо

общеэкономического, присутствует и климатический фактор неопределенности [2].

Для исследования были использованы данные урожайности за последние 12 лет [3] (табл. 1).

Для проверки обнаружений тренда динамический ряд был разбит на две самостоятельные выборочные совокупности (группа 1, группа 2), имеющие нормальное распределение. Проверили совпадение средних оценок в обеих группах. Известно, что если средние отличаются незначимо (гипотеза Н0), то тенденции нет, в противном случае (гипотеза Н1) временной ряд имеет тенденцию. Для проверки гипотезы

Таблица 1

Двухвыборочный F-тест для дисперсии

Table 1

Two tailed F-test for a variance

Наименование / Name Группа 1 (х1) / Group 1 (х1) Группа 2 (х2) / Group 2 (х2)

Среднее / Mean 27,03 29,28

Дисперсия / Dispersion 0,94 0,80

Наблюдения / Observations 6,00 6,00

df 5,00 5,00

F 1,17 -

P(F < f) одностороннее / one-tail 0,43 -

F критическое одностороннее / Critical one-tail 5,05 -

Таблица 2

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Table2

Two tail t test with equal variances_

Наименование/ Name Переменная 1 / Variable 1 Переменная 2 / Variable2

Среднее / Mean 27,03 29,28

Дисперсия / Variance 0,94 0,80

Наблюдения / Observations 6,00 6,00

Объединенная дисперсия / Combined variance 0,87 -

Гипотетическая разность средних / Hypothetical difference of the means 0,00 -

df 10,00 -

t-статистика / t-statistic -4,18 -

P(T > t) одностороннее / one-tail 0,00 -

t критическое одностороннее / critical one-tail 1,81 -

P(T > t) двухстороннее / two-tail 0,00 -

t критическое двухстороннее / critical two-tail 2,23 -

дисперсии различаются незначительно: б2х1 = 0,94; б2х2 = 0,80 и расхождения между ними носят случайный характер. Проверка гипотезы о существовании тенденции в динамическом ряду урожайности озимой пшеницы показала, что нет оснований отвергать нулевую гипотезу, так как Ррасч (1,17) < Ркрит. (5,05) (табл. 2).

Далее основная гипотеза о равенстве средних проверялась с использованием ^критерия Стьюдента, с помощью инструмента анализа Двухвыборочный Шест с одинаковыми дисперсиями (табл. 2), на основании чего был сделан

о равенстве средних использовался инструмент Анализ данных /F-тест4.

Количество наблюдений в группах х1 = х2 = 6; средние значения урожайности в группах - 27 ц/га и 29,3 ц/га соответственно. По данным наблюдения, выборочные

4Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие. М.: Вузовский учебник; ИНФРА-М, 2014. 389 с. / Orlova I.V Economic and mathematical methods and models: computer simulation: Learning aids. M.: University textbook; INFRA-M. Moscow, INFRA-M Publ., 2014, 389 p.

вывод о существовании тенденции динамики в динамическом ряду.

Предварительный анализ данных выявил наличие тренда в динамике урожайности, о чем свидетельствуют данные табл. 2. Так, |1расч.| (4,18) > ^ел (2,22), следовательно, нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании динамики в динамическом ряду.

Для определения модели развития урожайности была выполнена процедура выравнивания исходного ряда динамики с

помощью метода скользящей средней [4].

Проанализировав данные столбцов 9-11 табл. 3, можно сказать, что темпы прироста наиболее постоянны (рис. 1).

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда. Так как темпы прироста у нас относительно постоянны, то тенденцию можно выразить линейной аппроксимацией - это прямая линия, наилучшим образом описывающая набор данных [5].

Статистическая обработка временного ряда _Statistical processing of a time series

Таблица 3 Table З

a

e

^

e

а д

о

г р

е

e

>s c=

i Í *

s го

eo —

О >> "Ö

ê 2" 32

o J.9

йа ы ta

аж иц aeh

^ cd 5 ^ 3

,s e ст a

д

е р

с х

e

>

a

CT

я з ь л о к

с д

я

CL

>

o

S

а-^^

ю ,t

К C=

л в а т с о с

e

С

о

p m

о

c

я

го о

к il

кс lc

¡г? I' ^

е

ен oit о tai

s >

кт e

о тз

е e

нео etul т lo

s

с

о < с б

С

e

о

со W CD CD

с eir

s

cd ^ лй ао дт

у не

с ен до яп CL s

о к

e

с

o

E

o c

la

с

o s a e s

тз

e

>

o

E

e

e

i— cd

с it о с

5 ^

го -ра е акд

ыя нр неч роп

5 2 ^ £

в р

е

cd TD

cd

с о н

3

а р

е ы н

4 е н о

о fo

о р

о

m cd cd

и re ffi

T3

eti Li- tn

а

к д

я р

о

cd

et ta

o r

CD

а

атс

о р

е

10

11

25,9

26,8

26,5

26,2

28,6

27,3

25,90

30,25

26,40

0,40

26,80

20,25

0,9

0,035

26,50

0,00

27,10

-0,90

-0,02

26,50

12,25

-0,3

-1,2

-0,011

26,20

6,25

-0,3

-0,011

27,37

1,23

28,60

2,25

2,4

2,7

0,092

28,13

-0,83

27,30

0,25

-1,3

-3,7

-0,045

10

11

12

28,5

27,8

28,8

29,1

28,3

29,7

27,87

0,63

28,49

0,25

1,2

2,5

0,044

28,37

-0,57

27,79

2,25

-0,7

-1,9

-0,025

28,57

0,23

28,73

0,37

-0,01

28,79

6,25

1,7

0,036

29,09

12,25

0,3

-0,7

0,010

29,03

-0,73

28,29

20,25

-0,8

-1,1

-0,027

29,69

30,25

1,4

2,2

0,049

1

2

3

4

5

7

8

9

1

2

3

4

0

5

6

7

8

9

1

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

&

1 2 4 \ 5r j 6 7 8 9 lu \

-Конечные разности первого порядка / Final differences of the first order -Конечные разности второго порядка /Final differences of the second order

-Темп прироста/ Growth rate

Рис. 1. Темп прироста урожайности озимой пшеницы Pic. 1. Growth rate of winter wheat yield

Уравнение прямой имеет вид у = а0 + а^ (рис. 2).

При аппроксимации данных с помощью линии тренда значение величины достоверности аппроксимации рассчитывается приложением МБЕхсе! автоматически5. Чем ближе Р к единице, тем надежнее линия тренда аппроксимирует исследуемый процесс (рис. 2.)

Воспользовавшись уравнением линии тренда у = 0,2983х + 25,853, рассчитали теоретический уровень урожайности (табл. 4, строка 2).

Вопрос о возможности применения экономико-математической модели в целях анализа и прогнозирования может быть решен только после установления адекватности модели по свойствам, которые считаются существенными для исследования.

32 3l 3O 29 28 27 26 25 24 23

y = 0,3675x + 25,77 R2 = 0,8084

lO

ll

l2

Рис. 2. Динамика урожайности озимой пшеницы, ц/га Fig. 2. Dynamics of winter wheat yield, с/ha

Просветов Г.И. Анализ данных с помощью Excel: задачи и решения: учебно-практическое пособие. М.: Альфа-пресс, 2009. 160 с. / Prosvetov G.I. Excel-based data analysis: tasks and solutions: Learning aids. Moscow, Alfa-press Publ., 2009, 160 p.

l

2

3

4

5

6

7

8

9

Таблица 4

Теоретический уровень урожайности озимой пшеницы

Table 4

_Theoretical level of winter wheat crop yield_

Наименование Показатели урожайности по годам / Annualised yielc indica! ors

Name 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Фактическая

урожайность, ц/га Actual yield, c/ha 25,9 26,8 26,5 26,2 28,6 27,3 28,5 27,8 28,8 29,1 28,3 29,7

Теоретическая урожайность, ц/га Theoretical yield, c/ha 26,2 26,2 26,4 26,7 27 27,3 27,6 27,9 28,2 28,5 28,8 29,1

Отклонение Deviation 0,3 -0,6 -0,1 0,5 -1,6 G -0,9 0,1 -0,6 -G,6 0,5 -0,6

Установление адекватности модели. Результаты исследования и их обсуждение

К свойствам, которые считаются существенными для исследования, относятся случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Остановимся на установлении адекватности модели подробнее [6].

1. Критерием случайности с 5%-м уровнем значимости, т.е. с достоверной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

p>

p-1,96 J а

где р - общее число поворотных точек е^ р = — (п - 2) - математическое ожидание

числа точек поворота случайной выборки;

2 1бп - 29 „ „

ар =——— - дисперсия случайной выборки.

Квадратные скобки в формуле означают целую часть числа.

Трендовая модель считается неадекватной, если неравенство не выполняется.

Согласно нашим расчетам р = 6;

= 4.

p -1,96 J а

2. Проверка соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения RS-критерия RS = R/S:

R = £max - £min = 0,55 - (-1,56) = 2,11;

S =

n

Is2/(n -1 ) =v5,21 /11 = 0,69 .

Следовательно, критерий КБ = 2,11/0,69 = 3,06.

3. Проверка равенства математического ожидания ряда остатков осуществляется на основе ^критерия Стьюдента, который рассчитывается по формуле

Г Л^п = ^^ = 2,19,

S

0,39

где S =.

n-

TI( s, -

1 t=1

s)2 .

4. Проверка независимости значений уровней остаточной последовательности (отсутствие автокорреляции) осуществим по критерию Дарбина - Уотсо-на

IS -s-1 )2

dw =

_ t=1

I

t=1

s

11,87 5,21

= 2,28 .

Важным моментом, характеризующим качество подобранной модели, является отсутствие автокорреляции. Если по-

t=1

1

n

лученная величина превышает 2 (свидетельство об отрицательной автокорреляции), то критерий Дарбина - Уотсона необходимо преобразовать:

= 4 - = 4 - 2,28 = 1,72.

Таким образом, остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной компоненты временного ряда, следовательно, построенная модель является адекватной (табл. 5).

Исходя из данных табл. 5, можно сделать вывод, что модель статистически

адекватна по всем проверяемым свойствам.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн.:

1 ^ к1

Еопн = - х 100% =

= — х 0,225 х 100% = 1,87%.

12

Значение средней относительной ошибки (1,87%) говорит о достаточно высоком уровне точности построенной модели.

Построение точечного и интервального прогноза на три шага вперед [7]

Для вычисления точечного прогноза поставим соответствующие значения фактора

1 = п + к:

^прогоз. (п + к) = 0,2983*(п + к) + 25,853;

Упрогоз (12 + 1) = 0,2983*13 + 25,853 = 29,73;

Упрогоз (12 + 2) = 0,2983*14 + 25,853 = 30,03;

Упрогоз. (12 + 3) = 0,2983*15 + 25,853 = 30,32.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле

U(k) = taSe

л l (n + k -1) l h---h-1--

n

n

2

Z(t -1)2

t=l

где и - критерий Стьюдента, равный 2,19, при уровне значимости а = 0,05 и V = п - 2 = 10; Б£ - стандартная (средне-квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя, рассчитанная нами ранее, равняется 0,69.

Данные анализа остатков Residue data analysis

Таблица 5

Table 5

Проверяемое свойство / Feature to be checked Используемая статистика / Applied statistics Граница / Bound Вывод / Conclusion

Наименование Name Значение Value Нижняя / Lower Верхняя/ Upper

Независимость остатков / Independence of residues Критерий Дарбина - Уотсона(dw) / Durbin - Watson (dw) criterion Dw = 2,28 dw' = = 4 - 2,28 =1,72 0,97 1,33 Адекватна / Adequate

Случайность отклонений / Deviation randomness Критерий пиков / Criterion of peaks 6 >4 Адекватна / Adequate

Нормальность/ Normality RS-критерий / RS-criterion 3,06 2,96 4,14 Адекватна / Adequate

Математическое ожидание / Mathematical expectation t-статистика Стьюдента / Student t-statistic 2,43 > 2,2 Адекватна / Adequate

\2

Таким образом имеем: тт I 1 (12 + 3-6,5)

■--и = 2,19 х0,69 х4 1 ч---ч---

3 V 12 143

Вычисляем границы прогноза по формулам:

- верхнюю границу - Упрогоз. (п + к) +

- нижнюю границу - Упрогоз. (п + к) -Результаты помещены в табл. 6.

U = 2,19 x 0,69 xJ1 h1 + ( 12 +1 - 65) « 1,79; 3 ' ' У 12 143 1 v 12 143

^ 1 (12 + 2 -W - верхнюю границу - Yпрогоз. (n + k) t Uk;

U2 = 2,19 x0,69+ 12 + 143 « 1,86; - нижнюю границу - Yпрогоз. (n + k) - Uk.

Верхняя и нижняя границы прогноза The upper and lower bounds of the forecast

Таблица 6 Table 6

N t k u(k) Прогноз Forecast Нижняя граница / Lower bound Верхняя граница / Upper bound

13 U(1) = 1,79 29,73 27,94 31,52

14 U(2) = 1,86 30,03 28,17 31,89

15 U(3) = 1,93 30,32 28,39 32,25

Заключение

Выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики с доверительной вероятностью 95% (р < 0,05), так как все пункты проверки дают положительный результат, и, следовательно, ее можно использовать

для построения прогнозных оценок. Таким образом, можно утверждать, что прогнозируемая урожайность озимой пшеницы попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами при сохранении сложившихся закономерностей развития.

Библиографический список

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: Юрайт, 2013. С. 328.

2. Хосиев Б.Н., Дзеранова А.Р. Экономическая стратегия повышения эффективности использования сельскохозяйственных угодий в региональном АПК: монография. Владикавказ, 2009. 152 с.

3. Стратегия социально-экономического развития Республики Северная Осетия-Алания до 2025 года [Электронный ресурс]. URL: http://www.pandia.ru/ text/77/407/77620-14.php (29 января 2017).

4. Цогоева А.Р. Вазиева Л. Специфика экономико-

математического моделирования землеустройства в условиях горных территорий РСО-Алания // Устойчивое развитие горных территорий. 2016. Т. 8. №1. С. 59-65.

5. Звягин П. Прикладной анализ временных рядов. СПб.: Политехнический университ, 2008. 98 с.

6. Иванов П.В., Ткаченко И.В. Экономико-математическое моделирование в АПК. Ростов-на-Дону: Феникс, 2013. 254 с.

7. Бокс Дж. Дженикс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление: перевод с английского. М.: Мир, 1974. Вып. 1-2. 604 с.

References

1. Fedoseev V.V., Garmash A.N., Orlova I.V. Ekonomiko-matematicheskie metody i prikladnye modeli [Economic and mathematical methods and applied models]. Moscow, Yurait Publ., 2013, pp. 328. (In Russia)

2. Khosiev B.N., Dzeranova A.R. Ekonomicheskaya strategiya povysheniya effektivnosti ispol'zovaniya sel'skokhozyaistvennykh ugodii v regional'nom APK [Economic strategy to improve agricultural land use

efficiency in the regional agro-industrial complex]. Vladikavkaz, 2009, 152 p. (In Russia)

3. Strategiya sotsial'no-ekonomicheskogo razvitiya Respubliki Severnaya Osetiya-Alaniya do 2025 goda [Strategy of social and economic development of the Republic of North Ossetia-Alania for the period until 2025]. Available at: http://www.pandia.ru/text/77/407/ 77620-14.php (29 January 2017).

4. Tsogoeva A.R. Vazieva L. Spetsifika ekonomiko-

matematicheskogo modelirovaniya zemleustroistva v usloviyakh gornykh territorii RSO-Alaniya [Specificity of economic-mathematical modelling of land management in conditions of mountain territories of RNO-Alania]. Ustoichivoe razvitie gornykh territorii [Sustainable development of mountain territories]. 2016, vol. 8, no. 1, pp. 59-65. (In Russia)

5. Zvyagin P. Prikladnoi analiz vremennykh ryadov [Applied analysis of time series]. Sankt-Peterburg, Poli-

Критерии авторства

Цогоева А.Р, Цогоев А.Ю., Датиева М.Ч. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила 19.04.2017 г.

tekhnicheskiiinstitute Publ., 2008, 98 p. (In Russia)

6. Ivanov P.V., Tkachenko I.V. Ekonomiko-matematicheskoe modelirovanie v APK [Economic and mathematical modeling in the agroindustrial complex]. Rostov-na-Donu, Feniks Publ., 2013, 254 p. (In Russia)

7. Russ. ed: Box G., Jenkins G. Analiz vremennykh ryadov: prognoz i upravlenie [Time series analysis: forecasting and control]. Moscow, Mir Publ.,1974, us-sue 1-2, 604 p.

Authorship criteria

Tsogoeva A.R., Tsogoev A.Yu., Datieva M.Ch. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

The article was received 24 April 2017