CC BY
68
О.Ю. Лавлинская,
Воронежский институт высоких технологий
Т.В. Курченкова,
кандидат технических наук, Воронежский институт высоких технологий
МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА
УЧЕБНОГО ПЛАНА
DECISION-MAKING MODELS IN A PROBLEM OF SYNTHESIS
OF THE CURRICULUM
Рассмотрена математическая постановка задачи синтеза учебного плана. Предложены модели принятия решений и алгоритмы для задачи построения учеб -ного плана.
Mathematical statement of a problem of synthesis of the curriculum is considered. Models of decision-making and algorithms for a problem of construction of the curriculum are offered.
Необходимость автоматизации управления учебным процессом в высшем учебном заведении продиктована современными условиями интеграции российского образования и европейской образовательной системы. Переход на кредитную систему обучения, использование федеральной и вузовской компонент изучаемых дисциплин, индивидуализация процесса обучения — это причины, по которым учебные планы претерпевают значительные и быстрые изменения, а также становятся более разнообразными, многовариантными. Концепция российского образования направлена на создание тесной связи образования и промышленности, малого и среднего бизнеса, которые, в свою очередь, призваны формировать требования промышленного заказа на подготовку специалистов и, тем самым, оказывать влияние на организацию учебного процесса.
Синтезируя учебный план, необходимо учитывать все требования и ограничения, которые диктуют нормы и правила составления учебных планов, а также требования промышленного заказа на подготовку специалистов.
Исходя из вышесказанного, определим математическую постановку задачи синтеза учебного плана.
Пусть всё возможное содержание обучения представлено в виде кортежа множеств дисциплин, которые распределены по категориям:
D = (d1,D2,D3,D4^ , (1)
где D1 — множество дисциплин, относящихся к циклу общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин (ГСЭ);
D — множество общих математических и естественнонаучных дисциплин (ЕН);
D — множество дисциплин общего профессионального цикла (ОПД);
D4 — множество специальных дисциплин (СД).
Также дисциплины относятся к определённым компонентам: дисциплины федеральной компоненты; дисциплины региональной компоненты. Тогда множество D можно представить как кортеж следующих подмножеств:
D=( Dlf, D1v, D2f, D2v ,D3f, D3v, D4f, D4v^; (2)
В1 ={йк } к = 1,К, (3)
где <^к — дисциплина федеральной компоненты ГСЭ;
К — количество дисциплин федеральной компоненты ГСЭ.
в1'" Ц} I=Ц, (4)
где й1 — дисциплина региональной (вузовской) компоненты ГСЭ,
Ь — количество дисциплин региональной (вузовской) компоненты ГСЭ.
В2/ = [ёт } т = 1М, (5)
где dm — дисциплина федеральной компоненты ЕН,
М — количество дисциплин федеральной компоненты ЕН;
В2' = [йг} г = 1Я , (6)
где dг — дисциплина региональной (вузовской компоненты) ЕН,
Я — количество дисциплин региональной (вузовской) компоненты ЕН.
В31 Ь=1В, (7)
где dь — дисциплина федеральной компоненты ОПД,
В — количество дисциплин федеральной компоненты ОПД;
В3' =К } 7 = 1^, (8)
где dz — дисциплина региональной (вузовской компоненты) ОПД,
Z — количество дисциплин региональной (вузовской) компоненты ОПД.
В41 = \лу } у = 1? , (9)
где dy — дисциплина федеральной компоненты СД,
У — количество дисциплин федеральной компоненты СД;
в 4' =^¥] У = 1,У, (10)
где dy - дисциплина региональной (вузовской) компоненты СД,
¥ — количество дисциплин региональной (вузовской) компоненты СД.
N = K + L + M + R + B + Ъ + Y + у, (11)
где N — общее количество всех дисциплин.
Учебным планом (Р) на дискретных интервалах времени будем называть множество:
Р ={1к414т4г4ь4г4у,^ ^Вр£в}. (12)
Исходя из данной постановки задачи, учебным планом будем считать подмножество всех дисциплин, удовлетворяющих определённым ограничениям и отвечающих заданным критериям.
Задача синтеза учебного плана сводится к следующему. Первоначально имеется объём дисциплин, определённых Государственным образовательным стандартом по специальности, который состоит из обязательных федеральных дисциплин и дисциплин региональной (вузовской) компоненты. Совокупность всего объёма знаний, которые должен получить студент, составляют объём знаний специалиста [4]. Следовательно, необходимо решить многокритериальную задачу оптимизации, связанную с максимизацией полученного объёма знаний путём формирования оптимального учебного плана.
Для построения решения задачи синтеза введём дискретную единицу времени, равную одной неделе учебного года. Таким образом, стандартный учебный год будет равен 35 дискретным единицам.
Время начала и окончания ]-го семестра обозначим за п(]) и к(]). Они представляют собой номера недель с учётом каникул. Отсчёт будем вести с нулевой недели, т.е. начало первого семестра п(1)=0.
Дисциплины учебного плана взаимосвязаны, поскольку определённые порции
знаний базируются на ранее изученном материале [4]. Если дисциплина ds' использует
сведения из дисциплины d°p, то d°p называется опорной (базовой) дисциплиной по
отношению к dsv , а dsv называется зависимой по отношению к dop. Необходимо поп ’ п п
строить метризованное отношение между всеми дисциплинами и определить меру связи между дисциплинами.
Тесноту связи Ю(1,]) между дисциплинами d0Pj и dS' можно оценить методом экспертных оценок на основе бинарных отношений декартова произведения БхО.
Опишем дисциплину в структурно-параметрическом представлении как кортеж параметров:
dn =(Х1,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6,Х7,Х8,Х9,Х10), (13)
где Х1 — начало изучения дисциплины (номер недели);
Х2 — конец изучения дисциплины (номер недели);
Х3 — коэффициент значимости дисциплины для профессиональной подготовки (значим для дисциплин региональной (вузовской) компоненты);
Х4 — объём лекционных занятий в часах;
Х5 — объём практических занятий в часах;
Х6 — объём лабор аторных занятий в часах;
Х7 — объём самостоятельной работы в часах;
Х8 — объём индивидуальных занятий в часах;
Х9 — коэффициент значимости дисциплины для изучения последующего материала;
Х10 — коэффициент обобщённой значимости дисциплины. Выражает вклад дисциплины в общий объём знаний специалиста;
Коэффициент важности модуля для профессиональной подготовки определяется способом экспертного ранжирования по методу иерархии Саати (МАИ) [5].
Коэффициент значимости объекта для изучения других дисциплин Х9 находится с помощью метода определения важности (веса) опорной (базовой) дисциплины при изучении других дисциплин. При этом учитывается вклад дисциплины не только в изучение её зависимых дисциплин, но и в изучаемые позже по логике связей дисциплины.
Для определения важности дисциплины составим матрицу связности А размерности БхБ, каждый элемент которой равен коэффициенту тесноты связи между дисциплинами 1 и ] А=ю(у).
Для V 1= 1, В определим суммы вида
В В
Рс(Й1 ) = ^ Юу , Р в(<ё ) = ^ Юу . (14)
^ 7=1
Эти суммы в теории графов называются полустепенью исхода и полустепенью захода вершины 8; соответственно [2]. Величина я0(й) определяет число дуг, выходящих из вершины ё;, Р в(ё;) — число дуг, входящих в вершину ё;.
Равенство суммы Р0(ё;) нулю (р 0(ё;) = 0) служит признаком выделения элементов ё; (изолированных дисциплин), существование которых не оказывает влияния на формирование логических связей между дисциплинами, а значение Р0(ё;) > 0
определяет число связей, на которые ё; оказывает влияние при формировании
логической последовательности дисциплин.
Равенство же суммы Рв(ё; ) нулю (рв(ё; )= 0) служит признаком выделения дисциплин ё; (исходных дисциплин), действие которых оказывает влияние на
формирование логической последовательности, а значение р в(ё;) > 0 определяет число дисциплин, которые оказывают влияние на ё; при формировании логической последовательности дисциплин.
При таком подходе число
Р (ё;) = (Ро (ё;) + Р в (ё;)) / (2 2 Ю ) (15)
j=1 7=1
характеризует важность (вес) дисциплины ё; в формировании логической
последовательности дисциплин.
Х9=Р (ё). (16)
Обобщённая значимость объекта Х10 находится по формуле
АхХ3+ВхX9 (17)
= А+ В '
Коэффициенты А и В устанавливаются экспертами в зависимости от того, чему придается большая важность — логичности и степени усвоения материала или суммарной обобщённой важности содержания обучения для профессиональной подготовки.
Введём также для удобства изложения следующие параметры, характеризующие дисциплину, которые можно вывести из указанных выше [6]:
1. Интенсивность изучения лекционного материала для дисциплины ёп:
1Ь(dn) = X4/[X2-X1+1]. (18)
2. Интенсивность аудиторных занятий для дисциплины ёп:
) = [X 4+X 5+X 6+* 8]. 09)
п [X 2-X1+l]
3. Интенсивность самостоятельной работы для дисциплины ёп:
1Б (dn) = X 7/ [X 2 - X1+1]. (20)
4. Интенсивность индивидуальных занятий для дисциплины ёп:
11( dn) = X 8/ [X 2 - X1+1]. (21)
Допустимым учебным планом называют учебный план, в котором выполняются ниже перечисленные требования.
1. Календарное время окончания реализации любого раздела учебной дисциплины не должно превышать установленного срока с1 обучения в вузе:
тах X 2 < d . (22)
ёп е Р
2. Количество дисциплин N в плане не более К:
^<К, (23)
где К — число дисциплин учебного плана, определённое нормативами.
3. Количество дисциплин в любом семестре не более К8:
^ < КБ , (24)
где К8 — число дисциплин семестра, определенное нормативами;
4. Количество учебных часов в неделю не должно превышать заданной нормы.
"1[(А^п) + 1Щп)+II^п ))<Т], (25)
где 1 — количество часов в неделю;
Т — максимально допустимое количество часов в неделю.
5. На каждой учебной неделе сумма аудиторных часов занятий не должна превышать недельного ресурса времени на аудиторные занятия:
Vt[{М^п)<Та ] , (26)
где Та — максимальное число аудиторных часов в неделю.
6. Начало и окончание изучения любой дисциплины должны находиться внутри какого-либо семестра:
Vdn 3^[п (у) < X 1а к (^ )> X 2 ]. (27)
7. Интенсивность изучения каждой дисциплины на любой учебной неделе должна находиться в границах, заданных для соответствующей учебной дисциплины:
"п ^птт(:/п) >IA(dn )+^п )+11((^п )] /ооч
, (28)
>jnmax(йn)
где Штщ(ап;, 1№тах(а1) — минимальная и максимальная допустимые интенсивности изучения дисциплины ёп.
8. Внутри семестра интенсивность изучения любой учебной дисциплины должна быть величиной постоянной (это требование непосредственно отражает принцип типовой учебной недели при составлении учебного плана):
Vd V (X 1>п(у)аX2<к(у)) ^
1В^п, у) =
X 4+X 5+X 6+X 7+X 8
(29)
к(.у )-п(.у) +1
где 1В^п, у) — интенсивность изучения дисциплины йп в семестре у.
9. Любая дисциплина, изучаемая более чем в одном семестре, должна изучаться непрерывно:
( VsVkVt {1ГКс1п, у) Ф 0аЮ^п , у+О Ф 0^ 1В^п, у+к) Ф 0)
Л
(30)
где 1В^п, у) — интенсивность дисциплины йп в семестре у.
к < 1:, к,t — целые, к + t < Б,
Б — количество семестров.
10. По одной дисциплине в семестре следует планировать либо экзамен, либо
зачёт:
Vdn Vs (к^п, у)=0v к( dn, у)=1), (31)
где к(й, у) — контрольная точка дисциплины йп в семестре у.
11. Количество экзаменов в одном семестре должно быть не более заданного Ех:
( Л
V? 2 dn <ЕХк^п, у) =1 , (32)
чк(1п, у) е КТ(у) )
где КТ(б) — множество контрольных точек семестра у.
12. Количество зачётов в семестре должно быть не более заданного ЪИ, включая зачёты по курсовым работам и проектам:
( Л
V? 2dn <2к\к^п,у)=0 . (33)
чк^п,у) е КТ(у) )
13. В качестве рубежного контроля по дисциплине, изучаемой более одного семестра, планировать зачёты, а экзамены — только в тех случаях, когда лекционный курс по дисциплине занимает более 80 часов:
( Гп если,тг1 'кйгЛ (т^п) Л
Vdn V?
к?(dn , у) =■
0, если V(dn)<80
1, если V^п )>80
;v (dn) =
X 4j|X 2,- < к (у)
(34)
14. В семестре не должно быть запланировано более 2 курсовых работ и проектов: Vs(kuг(s) <2) , (35)
где киг(у) — количество курсовых работ и проектов в семестре у.
Задачу оптимизации учебного плана можно сформулировать следующим образом: необходимо отобрать в учебный план наиболее важный для профессиональной деятельности материал и расположить его по семестрам оптимальным образом.
Критерий, максимизирующий суммарную значимость для профессиональной подготовки дисциплин, включённых в план [5]:
2X3®тах , (36)
^р е Р
где пр — количество дисциплин учебного плана.
Рассмотрим схему решения задачи оптимизации учебного плана. Обозначим множество решений поставленной задачи Я = [г1,...г2}, где
Я. = {.4]141 т,dJг,dJь,d■;z}еВ|яу<в}
Рассмотрим процесс получения Я. С позиций системного подхода [1], естественно представить его как итерационный процесс, который предполагает наличие нескольких этапов выбора ( рисунок).
Общая модель задачи выбора решений на итерациях поиска:
2^1> = (X(І>,Q(І>,C(І>^, (37)
где ; — номер итерации; Х(;) — исходное множество решений, предъявляемых для выбора; р(;) — вектор показателей качества решений; С(;) — функция выбора.
На каждой ;- й итерации получение Я можно представить с помощью трех этапов: первый — получение из допустимого множества решений множества лучших решений по вектору р(;) (выделение оптимального по Парето множества — задача
ЪУ1(;) = |ХВыб, ), второй — контроль мощности множества Парето с помощью
экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок по функции максимального правдоподобия по критериям оптимальности задачи (решение
2У2(;) = (х«д ,д«м«)).
На вход ЪУ1(;+1) каждой (;+1)-й итерации поступает множество Х(;), получаемое при решении ЪУ2(;).
Генерация множества Парето, ЪУ® =( х!В)Ыб ,д®,м®)
1
Отсев (контроль мощности), ЪУ2® =( хнн^д ,д|),м2;))
Решение задачи выбора на итерациях поиска
Таким образом происходит последовательное преобразование (сужение) множества Xм :Х(;) ® хВы ® Х^ ® Х*(;). Здесь Х(;) — множество допустимых к рассмотрению
учебных планов; ХНед — множество Парето после решения ЪУ/° на ХВВ)ыб по критериям и ограничениям (22)—(36); Х*(0 — окончательное решение после применения механизма экстраполяции экспертных оценок по функции максимального правдоподобия (решения ЪУ2(0) на множестве X критериям задачи.
Рассмотрим алгоритм экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок, состоящий из следующих шагов: 1 — генерирование выборки У(;) ^ хНед решений; 2 — опрос лица, принимающего решение, с целью получения информации о его предпочтениях; 3 — синтез механизма выбора М(2;) на основе полученной информации;
ХНед — множество недоминируемых решений, Х*(;) — множество решений после процедуры отсева на ьй итерации.
В [3] предлагается использовать алгоритм экспертного выбора на всех итерациях поиска. Привлечение экспертов обеспечивает принятие адекватных решений по получению выбора на множестве недоминируемых решений, однако число итераций поиска обычно велико, поэтому целесообразно сократить количество шагов алгоритма с привлечением экспертов, которое должно происходить по мере возникновения такой необходимости. На итерациях, где необходимости привлечения экспертов не возникнет, будет выполнен только последний шаг алгоритма экспертного выбора: построение структуры на множестве х(Нед решений и получение выбора при помощи уже синтезированного на предыдущих итерациях м^.
Данный подход позволяет существенно сократить время поиска решения, поскольку позволяет на итерациях поиска исключить шаги 1, 2, 3 алгоритма. Последовательное преобразование множества Х^ предложенных вариантов решений выглядит
г 'чтЧ!) применение м1;) '\т'*(0
следующим образом: XНед — ------------2—®X .
Возникает проблема определения необходимости привлечения экспертов. Для её решения необходимо оценивать верхнюю и нижнюю границы значений функции выбора на каждом ьм шаге и (;+1)-м шагах, задать точность, с которой необходимо произ-
'у(0
водить сужение XНед и, исходя из этих данных, принимать решение о привлечении экспертов на итерациях поиска [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Аврамчук Е. Ф. Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук, А. А. Вавилов, С.В. Емельянов; под общ. ред. С.В. Емельянова.— М.: Машиностроение // Берлин: Техник, 1988.— 520 с.
2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М.: Мир, 1978.— 432с.
3. Курченкова Т. В. К вопросу выбора ресурсов в задачах календарного планирования / Т.В. Курченкова, О. А. Курченков // Материалы отчётной научной конференции профессорско-преподавательского состава ВИВТ за 2005/2006 учебный год. — Воронеж: Воронежский институт высоких технологий, 2006. — С. 14—15.
4. Лавлинская О. Ю. Структурно-параметрическая модель учебного плана вуза / О. Ю. Лавлинская // Моделирование систем и информационные технологии: межвуз. сб. науч. тр.— Вып. 2. — Воронеж, 2005. — С.14—17.
5. Лавлинская О. Ю. Ранжирование учебных дисциплин с использованием экспертных оценок / О. Ю. Лавлинская // Межвуз. сб. науч. тр.— Вып. 3.— Ч. 2. — С. 80—83.
6. Трофимова О. К. Автоматизация процесса составления учебных планов вузов: автореф. дис. ... канд. техн. наук. — М., 1999. — 24 с.
