CC BY
89
УДК 531.49:531.62
Информационные технологии
МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ ЗАДАННЫХ КРИТЕРИЕВ МЕТОДОМ ИЕРАРХИЙ
Э.О. Ломов, В.Л. Бурковский
В статье анализируется задача выбора оптимального информационного потока из гетерогенной информационной среды и предлагается алгоритм принятия решений на основе метода иерархий
Ключевые слова: сервис, метод иерархий, информационный поток, функция селекции
В сфере информационного обслуживания населения в условиях гетерогенности информационных потоков существует множество критериев, обеспечивающих качественную обработку информации. Гетерогенная среда представлена некоторым количеством различных по своей структуре данных, но одинаковых по своей смысловой нагрузке потоков, например, звуковые пользовательские потоки, поступающие с различных серверов по разным маршрутам, но пункт отправления и пункт назначения у них одинаковый, или потоковая видеоинформация, представленная в различных форматах. Пользователь, при этом руководствуется собственными критериями для выбора оптимального информационного потока (рис. 1).
Критерии
пользователя
Поток 1
►
Поток 2
►
Поток 3 S(x) Выбранный поток ►
►
Поток 4
►
Рис. 1 - Структурный вид функции селекции требуемого потока по заданным пользовательским критериям Определим в качестве основных пользовательских критериев, качество
Ломов Эдуард Олегович - ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]
Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected] 4
передаваемой информации ^), стоимость единицы связи (минуты, секунды, часа) (С), время доставки (Т) и объем передаваемой информации (Б).
Математические средства принятия решений на основе “разумных” процедур выбора наилучшей из нескольких альтернатив, должен быть заложен в сервисе системы информационного обслуживания населения в условиях гетерогенности информационных потоков. Предлагается назвать его селектором потока, а функцию выбора - функцией принятия решения функцией или селекции Б(х). Насколько правильным будет осуществлен выбор оптимального потока, зависит от качества данных, используемых при описании ситуации в которой принимается решение. В рассматриваемом случае данные должны быть заранее и однозначно определены, тогда можно будет использовать математические модели для принятия решений в условиях определенности.
Для описания функции выбора воспользуемся методом анализа иерархий. Этот подход к принятию решений в ситуациях, когда, для качественных признаков устанавливаются некоторые количественные показатели, обеспечивающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений.
Метод анализа иерархий (МАИ) —
математический инструмент системного подхода к решению сложных проблем принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо “правильного” решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия
решений в виде иерархии, сравнивать и выполнять количественную оценку
альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется для принятия решений в разнообразных ситуациях: от
управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.
Перед тем как изложить детали данного метода, рассмотрим пример, иллюстрирующий подход, к оценке различных альтернативных решений.
Допустим, у нас имеются три голосовых информационных потока А, В и С, с множеством разных характеристик, но несущих одинаковую смысловую нагрузку по типу данных. Для того чтобы выбрать альтернативный, пользователь сформулировал три основных критерия: стоимость единицы связи, качество передаваемой информации и объем передаваемой информации. Пусть для пользователя основным критерием является качество передаваемой информации (р1), который в два раза больше, чем стоимость единицы связи (р2) и в восемь раз больше чем объем передаваемой информации (р3).
Р1 + Р 2 + Р3 = 1 2 Р 2 = Р1 ,
8 Рз = Р1
Из полученного решения видно, что качеству передаваемой информации
приписывается вес примерно 62%, стоимости единицы связи - 31%, а объему передаваемой информации 7%. Далее проанализируем для оценки трех потоков с точки зрения преведенных критериев. Проведенный анализ дает следующие результаты.
Оценки потоков с точки зрения их стоимости, качества и объема информации
Критерии Потоки
А В С
Стоимость 12,9% 27,7% 59,4%
Качество 54,5% 27,3% 18,2%
Объем 33,6% 56,2% 10,2%
Структура задачи принятия решений приведена на рисунке 2. Задача имеет единственный иерархический уровень с тремя критериями (стоимость единицы связи, качество передаваемой информации и объем передаваемой информации) и три альтернативных решения (потоки А, В и С).
Оценка трех потоков основана на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждого из них.
Поток А:
0,62 • 0,129 + 0,31- 0,545 + 0,07 • 0,336 = 0,27245
Поток В:
0,62 • 0,277 + 0,31- 0,273 + 0,07 • 0,562 = 0,29571
Поток С:
0,62 • 0,594 + 0,31- 0,182 + 0,07 • 0,102 = 0,25607
На основе этих вычислений “поток В” получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором системы управления информационным обслуживанием населения.
Рис. 2 - иерархия принятия решений для выбора потока по пользовательским критериям
Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней со своими критериями. Предположим, что второй пользователь хочет осуществить связь с первым, используя голосовой поток, но информационная услуга такова, что пользователи должны использовать один и тот же сервис.
На рисунке 3 приведена структура задачи выбора решения, которая теперь включает два иерархических уровня со своими критериями. Величины p и q (предположительно равные) на первом иерархическом уровне представляют собой весовые коэффициенты, которые приписывают точке зрения первого и второго пользователя относительно процесса выбора соответственно. Второй иерархический уровень использует веса (pb p2) и (qb q2) для отображения индивидуальных точек зрения пользователей относительно критериев качества и стоимости каждого потока. Остальная часть структуры принятия решения может быть интерпретирована аналогично предыдущему примеру.
Заметим, что при этом: p + q = i,
Pi + Р2 =1
qi + q 2 =1
Pii + Pl2 + Pl3 = 1 P21 + P22 + P23 = 1, qii + qi2 + qi3 = i, q2i + q22 + q23 = i.
Рис. 3 - расширенная иерархия принятия решений для выбора потока по критериям двух пользователей
Сложность метода анализа иерархий заключается в определении относительных весовых коэффициентов для оценки альтернативных решений. Если имеется п критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура формирует матрицу А размерности п х п, именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерии в строке 1 (I = 1,2, ... п) оцениваются относительно каждого из критериев, представленных п столбцами. Обозначим через а^ элемент матрицы А, находящийся на пересечении ьй строки и _)-го столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются числа от 1 до 9. При этом а^=1 означает, что ьй и _)-й критерий одинаково важны, ащ=5 отражает мнение, что ьй критерий значительно важнее, чем _)-й, а а^ = 9 указывает, что ьй критерий чрезвычайно важнее _)-го. Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. Согласованность таких обозначений обеспечивается следующим условием: если а1)=к, то автоматически а1)=1/к. Кроме того, все диагональные элементы а^ матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценку критерия относительно самих себя.
Покажем, как определяется матрица сравнения А. Начнем с главного иерархического уровня, который имеет дело с критериями качества передаваемой информации ^), стоимости единицы связи (С), и объемом передаваемой информации (Б). С точки зрения пользователя качество передаваемой
информации чрезвычайно важнее ее объема, и
значительно важнее, чем стоимость единицы связи, а так же стоимость передаваемой информации важнее, чем объем.
О - первый столбец и первая строка матрицы А;
Б - второй столбец и вторая строка матрицы А;
С - третий столбец и третья строка матрицы А.
Рассмотрим выше сказанные утверждения и составим матрицу А:
“Качество передаваемой информации чрезвычайно важнее ее объема” - это означает, что пользователь приписывает элементу (1, 3) матрицы А значение 9, т. е. а13=9. Это автоматически предполагает, что а31=1/9.
“и значительно важнее чем стоимость единицы связи” - это означает, что элемент (1, 2) матрицы А будет иметь значение 5, т. е. а12 = 5, и соответственно а21 = 1/5.
“а так же стоимость передаваемой информации важнее, чем объем” - это означает, что элемент (2, 3) матрицы А будет иметь значение 3, т. е. а23 = 3, а элемент (3, 2) примет обратное значение, т. е. а32 = 1/3.
Обозначив через О, Б и С критерии качества передаваемой информации, стоимости единицы связи и объемом передаваемой информации.
Г 1 5 9 ^
А = 1/5 1 3
ч1/9 1/3 1у
Относительные веса критериев О, Б и С могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Следовательно, для нормализации матрицы А делим элементы первого столбца на величину
1+1/5+1/9=13,
элементы второго - на величину 5+1+1/3=6.3,
элементы третьего - на величину 9+3+1=13.
Искомые относительные веса , wC и
критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих
строк нормализованной Следовательно,
(0,76 0,79
матрицы
А.
N =
0,16 0,16 0,08 0,05
0,69 ^
0,23
0,08
Вычислим средние значения элементов строк матрицы N.
wв = (0,76 + 0,79 + 0,69) /3 » 0,75
wC = (0,16 + 0,16 + 0,23) /3 » 0,18 wS = (0,08 + 0,05 + 0,08) /3 » 0,07 Аналогичным образом определяются и относительные веса альтернативных решений, соответствующих потокам А, В и С, вычисляются в пределах каждого критерия О, С и Б.
(1 1/2 1/5^
2 1 1/2
5
2
1
Суммы элементов столбцов = [8, 3.5, 1.7] Г 1 2 3 ^
Ас =
1/2 1 3/2
1/3 2/3 1
5.5]
Суммы элементов столбцов = [1.83, 3.67,
А =
(1 1/2 1/5^ 2 1 1/2 5 2 1
Суммы элементов столбцов = [8, 3.5, 1.7]
Элементы матриц АО, АС и АБ определены на основе суждений пользователя, касающихся относительной важности трех потоков.
При делении элементов каждого столбца матриц АО, АС и АБ на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.
Г0.125 0.143 0.118^
0.250 0.286 0.294
Nв =
0.625 0.571 0.588
Вычислим средние значения элементов строк матрицы Кд.
w,
ЯА
w,
ЯВ
w,
ЯС
= (0.125 + 0.143 + 0.118)/3 = 0.129 = (0.250 + 0.286 + 0.294) /3 = 0.277 = (0.625 + 0.571 + 0.588) / 3 = 0.594
Нормализованная матрица Ас:
(0.545 0.545 0.545'ї
0.273 0.273 0.273
0.182 0.182 0.182
Вычислим средние значения элементов строк матрицы N0.
wґ■
wr
wr
= (0.545 + 0.545 + 0.545)/3 = 0.545 = (0.273 + 0.273 + 0.273) / 3 = 0.273 = (0.182 + 0.182 + 0.182)/3 = 0.182
математическом точки зрения согласованность матрицы А означает, что а^к = а1к для всех 1, j и к. Например, в матрице Ас из примера приведенного выше ахз=3 и а12а23=2х3/2=3. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2 х 2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными.
Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности “допустимым”, необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. Идеально согласованная матрица А порождает нормализированную матрицу К, в которой все столбцы одинаковы:
Нормализованная матрица Л5:
(0.125 0.143 0.118^
0.250
0.625
0.286 0.294 0.571 0.588
Средние матрицы N3:
значения элементов строк
wSA = (0.125 + 0.143 + 0.118) / 3 = 0.129 wSB = (0.250 + 0.286 + 0.294)/3 = 0.277 wSC = (0.625 + 0.571 + 0.588) / 3 = 0.594
(w1 w1 ... w1 ^
N =
w
V п
w„
w„
Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем деления элементов 1-го столбца (это процесс,
обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующие элементы матрицы А.
Величины (^^ WQв, WQC) = (0.129, 0.277, 0.594) дают соответствующие веса для потоков А, в и с с точки зрения качества передаваемой информации.
Аналогично величины ^СА, wсв, wсс) = (0.545, 0.273, 0.182) являются относительными весами, касающимися стоимости одной единицы связи.
Величины ^5А, wSB, wSC) = (0.129, 0.277, 0.594) - это веса с точки зрения объема передаваемой информации.
Принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень несогласованности, и к ней следует относиться терпимо при условии, что она не выходит за определенные “допустимые рамки”.
Согласованность означает, что решение будет соответствовать определениям парных
сравнений критериев или альтернатив. С
А =
1
w2 Wn
1 .
’ Wn
^п_ .. 1
wl ^ '
Используя приведенное определение матрицы А, имеем
1 w1
W2 ' w п ( w1 ^ ( nw1 ^ ( W1 Л
1 . 2^ nw2 w2
w п = п
. 1 w V п у nw V п у V Wn ,
w1 W2 '
w2 w2 ... w2
В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда
= nw,
где w - вектор-столбец относительных весов w1, 1 = 1, 2, 3 ..., п.
Когда матрица А не является согласованной, относительный вес w1
аппроксимируется средним значением п элементов 1-й строки нормализованной матрицы N. Обозначив через W вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что
где птах > п . В этом случае, чем ближе птах
к п, тем более согласованной является матрица сравнения А. В результате, в соответствии с методом анализа иерархий вычисляется коэффициент согласованности в виде
с*_а,
ш
где
С1 = Птах - п -
п - 1
согласованности матрицы А,
ЯЇ =
1,98(п - 2)
коэффициент
стохастический
коэффициент согласованности матрицы А.
решение, рекомендуется проверить элементы парного сравнения а^ матрицы А в целях получения более согласованной матрицы.
Значение птах вычисляется на основе матричного уравнения Л^ = птах w , при этом
нетрудно заметить, что 1-е уравнение этой системы имеет вид:
аг^} _ птахWг , 1 _ 1,2 ... п.
Поскольку Iwг = 1, легко показать, что
I1
г_1
а^]
V
_ п_
г_1
Это означает, что величину птах можно определить путем вычисления вектор-столбца Л^ с последующим суммированием его элементов.
Матрица А3 является несогласованной, так как столбцы матрицы N3 неодинаковы. Исследуем согласованность матрицы А3. Вычислим значение птах, Из расчетов выше имеем
w1 _ 0,129, W2 _ 0,277, _ 0,594
Следовательно,
(1 1/2 1/5 У 0,129 ^ ( 0,3863^1
21
32
1/2
1
0,277
0,594
0,8320
1,7930
Стохастический коэффициент
согласованности Я1 определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента О для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.
Коэффициент согласованности сЯ используется для проверки согласованности матрицы сравнения А следующим образом. Если СЯ < 0,1, уровень несогласованности является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матрицы сравнения А является высоким, и лицу, принимающему
Отсюда получаем
птах=0,3863+0,8320+1,7930=3,0113. Следовательно, для п=3 имеем
тах
п
n
CI max
3,0113 - 3
RI _
n-1 1,98(n - 2) n
3 -1 1,98 x1 3
_ 0,00565,
_ 0,66,
уровень
является
cr _ Ci _ 0*5« _ 0,00856.
RI 0,66
Так как сЯ < 0,1,
несогласованности матрицы А3 приемлемым.
Предложенная технология формирования функции селекции альтернативного решения абсолютно удовлетворяет требованиям по управлению информационными потоками в гетерогенной информационной среде, и полностью реализует поставленную задачу.
Литература
1. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом “Вильямс”, 2005. - 912 с.: ил. - Парал. Тит. англ. ISBN 5-8459-0740-3 (рус.).
2. В.И. Грекул, Г.Н. Денищенко, Н.Л.
Коровкина Проектирование информационных систем. Издательство: Интернет-университет
информационных технологий - ИНТУИТ.ру -2008 - с. 304.
3. Бурковский В.Л., Дорофеев А.Н., Семынин
С.В. “Моделирование и алгоритмизация
управления гетерогенными базами данных в распределенных информационных системах”, Воронеж, ВГТУ, 2003 г. - 71 с.
n
Воронежский государственный технический университет
MODELS OF DECISION-MAKING FOR CHOICE THE OPTIMUM INFORMATION STREAM ON THE BASIS OF THE SET CRITERIA OF THE METHOD OF HIERARCHIES
E.O. Lomov, V.L. Burkovsky
In article the problematics of a choice of an optimum information stream from the heterogeneous information environment is analyzed and use of algorithm on the basis of a method of hierarchies as decision-making function is offered
Key words: service, method of hierarchies, information stream, function of selection
