Модели планирования экспериментов с нечеткими параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.

4. Молчанов А.Ю. Финаев В.И. Адаптивная система автоматической оптимизации с нечеткими процедурами / Материалы конференции С-2003 “Системный подход в науках о природе, человеке и технике”. ч.5. Таганрог: ТРТУ, 2003.

В.И. Финаев, В.В. Блошенко

МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

При управлении энергетическими объектами применяют 8СЛЭЛ-системы, позволяющие путем диспетчирования поддерживают оптимальные параметры энергетических объектов.

Трудность решения задач управления энергетическими объектами определяется следующим:

- разработать аналитическую модель, позволяющую адекватно описать систему управления аналитическими математическими приемами сложно, математическая модель не будет достаточно полной и адекватной реальным процессам;

- управление энергетическими объектами зависит от многих факторов, учесть которые во всем многообразии трудно;

- прогнозирование последствий управлений носит субъективный характер;

- динамика изменения состояний системы управления энергетическими объектами носит нелинейный и нестационарный характеры;

- оценки многих параметров могут быть осуществлены на качественном уровне специалистами-экспертами.

Управление энергетическими объектами из-за трудностей формализации целесообразно осуществлять в виде результатов от решения задач принятия решений. Рассмотрим нечеткие модели, применимые для решения задач управления энергетическими объектами в 8СЛЭЛ-системах.

Нечеткая модель регрессионного анализа. Известен подход построения статических моделей объектов с нечеткими коэффициентами методом регрессионного анализа [1], который был применен при моделировании для управления технологических установок нефтеперерабатывающего предприятия.

Рассмотрим модификацию данного подхода при условии, что параметры модели задаются в виде нечетких интервалов [2]. Разработаем модель с нечеткими параметрами в общем виде.

Пусть X = (Х1,Х2,...,Хт) - нечеткая точка в пространстве состояний

входных переменных {Х,М}, где М - алгебра, определенная над нечеткими интервалами. Нечеткая точка в пространстве переменных состояний ВХР {В,Ы} определится нечетким вектором В = (Ъ^,^2,...,Ъг), где N - алгебра, также

определенная над нечеткими интервалами.

Формальное задание математической модели, определяющей зависимость

между компонентами нечетких векторов В и X , произведем в виде нечеткого уравнения регрессии

Ъ .=/ . (х, , х , . . . , х ), / =1,г , (1)

І у 1 2 т

где ~ - оператор нечеткости.

Таким образом, математическая модель для выбора управления представлена в виде известной линейной модели наблюдений [3], модифицированной для описания параметров в виде нечетких величин.

Рассмотрим нечеткую линейную модель наблюдений при задании параметров в виде нечетких величин [4].

Пусть имеется п измерений Ък Ък Ък случайной величины Ьк, к = 1,г,

1 ’ 2’ ’ п

для которых существует математическая модель в следующем виде:

М{Ък } = хк1/к + хк/к +... + хк /к , і = 1п , (2)

г і1 1 і2 2 іт т

еву{ Ък Ък } = <

г у

а2 ,і = у,

(3)

0 , г * І ,

где для каждого к: ¿¡,к = ¿¡,к ¡ук ¿¡,к - вектор неизвестных нечетких параметров;

1’ 2’’"’ т

, ~к ___________________

ст2 - дисперсия, л=(Х • •), г = 1,п , ]-1,т, к = 1,г - матрица известных

У

нечетких коэффициентов порядка пхр;

соу{Ък Ък} = М(Ък -М{Ък})(Ък -М{Ък}) - ковариация между Ък и Ък, г ] г г ] ] г ] М{.} - операция математического ожидания, = - знак нечеткого равенства, + -операция нечеткого суммирования.

Уравнение (2) задает априорный вид нечеткой связи результатов наблюдений

{Ъг} и нечетких величин {Х }, а формула (3) определяет требование

Ч

некоррелированности случайных величин {Ъг} и одинаковости дисперсий ст2 для всех измерений Ъг.

Нечеткую линейную модель наблюдений можно представить в векторной форме:

М{ Вк} = Хкук; Б{ Вк } = СГ21П ,

где Вк = { Ък Ък Ък }Т - вектор-столбец наблюдений; Хк = (ак ак,...,ак )Т * 1 2 п 12 т

- вектор-столбец неизвестных параметров; М{Вк} - математическое ожидание

вектор-столбца Вк, причем для каждого к

М{ Вк } =

М{Ък} М{Ц},

М{ Ък } п

В{Вк } = (сОу{ЪкЪк }) = сг21 - ковариационная матрица нечеткого

г ] п ’

вектора наблюдений Вк; 1п - единичная матрица порядка п.

Определим погрешность нечеткой линейной модели наблюдений в виде

нечеткого вектора Ё = {ё Ё ,...,Ё }Т. Тогда для каждого Ък получим, что

1 2 п г

Ё = Ьк -М(Ьк1 г = 1,п, Ьк = ХкХ + Хкг2ак2 + . . . + Хктакт + Ё , М{ Ё.} = 0, соу(Ё.,Ё .}, г,] = 1,п .

I I ]

Нечеткую линейную модель наблюдений для каждого к-го компонента вектора В в матричной форме запишем в виде

Вк = Хк ак + Ё, к = Тг, (4)

при условии некоррелированности наблюдений

М{ё} = 0, 0{ё} = Н(ЁЁТ ) = а21п. (5)

где 0{Ё} - ковариационная матрица с нечеткими величинами; 0 - нечеткий

нулевой вектор-столбец.

Для оценки вектора-столбца неизвестных нечетких параметров модели

сХ = (ак,ак2 ,...,акт)Т, которые назовем нечеткими коэффициентами

регрессии, применим метод наименьших квадратов, назначение которого -минимизация нечеткой суммы квадратов отклонений наблюдаемых нечетких

величин Ъ к и теоретических оценок г

п

с=и(Ък-ХкА - ■. ■ Фт2. (5)

г=1

Нечеткие значения а = (X., ] = 1,т , обеспечивающие минимизацию

отклонений нечетких значения каждого выходного параметра Ък, к = 1,г,

полученного по формуле (2), от его выборочных нечетких значений назовем нечеткими оценками метода наименьших квадратов неизвестных нечетких

~к

параметров .

Необходимые условия существования нечетких оценок

хк = (а1,а2,...,(Хп ) нечетких параметров ак = ( а\,а\,...,акт)

определяются так же как и при традиционном методе наименьших квадратов, т.е.

О®

йак

из условия ------— = 0 V = 1т , что позволяет получить формулу с нечеткими

* ^к ’ ’

V

п п

Е-к^ -к-к -к 1 к

Х^ 7.Х^а = / , или в матричной форме

2=1 ]=1 2=1

(Хк )т Хк Ак = (Вк)тХк. (6)

Для идентификации нечетких параметров модели фиксируются реальные наблюдения за входами и параметрами состояний ВХР и экспериментатор ставит опыты с целью идентификации параметров модели. Каждый из известных

~к

нечетких коэффициентов модели (4) Х. может принимать в Ы-м измерении одно

из возможных значений Х* е Хк, называемых условиями в теории планирования эксперимента. Фиксированный набор нечетких коэффициентов модели (4) Хк ,Хк Хк определяет компонент Ьк, к = 1,г нечеткого вектора Вк.

1 и 2Ы ти 2

~к ~к ~к

Если перебрать все наборы нечетких коэффициентов модели (4) Х^ , Х2 ,...,Х , то получим соответствие ф , задаваемое в виде таблицы, указывающее соответствие между элементами множества X и элементами множества В. Таблица будет являться графиком Р соответствия ф .

Планирование эксперимента с нечеткой моделью регрессионного анализа. Планирование эксперимента при решении задач управления энергетическими объектами - это выбор условий протекания опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Очевидно, что просто экспериментировать с заданием входных параметров объектов и рассматривать получаемые результаты нельзя по той простой причине, что это действующее оборудование, и непродуманный эксперимент может вызвать тяжелые последствия. Поэтому вначале осуществляются предварительные расчеты значений входных параметров и собирают статистические данные о значениях наборов входных переменных и соответствующих им состояний объекта. На каждом предприятии существуют соответствующие данные. Из существующих статистических данных выбираются такие данные, которые назовем опытами. Существенными условиями планирования эксперимента являются:

- обеспечения минимально необходимого числа опытов;

- одновременное варьирование переменными, определяющими состояние объекта по специальным правилам - алгоритмам;

- использование математического аппарата, формализующего действия эксперимента;

- выбор стратегии, позволяющей сформулировать обоснованные решения (в виде логических правил принятия решений - силлогизмов) после обработки каждой серии экспериментов.

При планировании экстремального эксперимента для управления энергетическими объектами следует определить параметр, который нужно оптимизировать, например, найти его экстремум. Параметр оптимизации - это реакция (отклик в теории планирования эксперимента) на воздействия входных параметров (факторов), которые определяют течение энергетических процессов.

п

Параметр оптимизации должен быть измеримым при любой возможной комбинации выбранных значений вектора X.

Немаловажно определить существенные факторы, оказывающие влияние на функционирование ВХР, т.к. если число опытов больше пятнадцати, то следует обратиться к методам отсеивания несущественных факторов [5]. В то же время ошибка опыта возрастет, если какой-либо из существенных факторов окажется не учтенным. Это задача, которая может быть решена только с привлечением знаний технологов-операторов или других специалистов по управлению энергетическими объектами. В рамках данного исследования не ставится цель выявления (ранжирования) важности компонент вектора входных нечетких параметров X.

При планировании эксперимента необходимо определить границы областей определения входных нечетких параметров X. При этом должны учитываться принципиальные ограничения для значений факторов, а также ограничения, определяющиеся существующей аппаратурой энергетических объектов, технологиями, измерительными технологиями и организацией производства электроэнергии.

При решении оптимизационных задач используется априорная информация (статистические данные). Комбинации значений компонент вектора входных нечетких параметров X (уровни факторов в теории планирования эксперимента) -это нечеткие точки в многомерном пространстве входных переменных {X,M}. Каждую из нечетких точек можно принять за исходную точку для построения плана эксперимента. Эту нечеткую точку назовем основным нечетким (нулевым нечетким) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных нечетких точек, симметричных относительно нулевого нечеткого уровня.

После того как выбран основной нечеткий уровень, переходим к выбору интервала варьирования, представляющего собой некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному нечеткому уровню дает верхний нечеткий уровень, а вычитание - нижний нечеткий уровень факторов.

Пусть имеются данные для рассмотрения эксперимента, в котором

существует п измерений для исследования k-ой компоненты Вк вектора нечетких состояний В энергетических объектов Ьк,Ьк,...,Ьк, к = 1,г в некоторых

нечетких точках многомерного пространства входных переменных {X,M} (факторного пространства). В результате существует множество, состоящее из п двоек, первый элемент каждой - результат измерения, а второй элемент - нечеткая

у п „ , ^к1 \лк1 \ /гк2 \гк2 \ / Г кп \ткп

точка в пространстве ^ ^ ^

{XM} {(Ьк1,Хк1 ),(Ък2,Хк2),^,(Ъкп, Хкп)}. Набор нечетких точек Хки, и = 1,п назовем планом эксперимента с энергетическими объектами. Точки при этом необязательно должны быть различными. Матрица для исследования ^ой компоненты B вектора состояний B энергетического объекта

~ . Х к1

х„ , —— Ь

Бк =

Х}} X

2 1 *

т 1

X

1 2

X

'2 2

X, X. . . . X

1п 2 п тп

к2

— Ькп

называется матрицей плана эксперимента. Для каждого Ы-го измерения

2

М{Ъ'/х‘„„ XI...........х1) — £/,(Х1 Хк..............КЖ

]=1

или в векторной форме M{Вк} = ХкАк, где Хк — {Хки} - матрица известных

нечетких коэффициентов, называемая матрицей независимых нечетких

переменных, или матрицей планирования.

Проведение эксперимента, в котором уровни каждой входной нечеткой переменной комбинируются со всеми уровнями других входных нечетких переменных, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если уровни каждой входной нечеткой переменной комбинируются не со всеми уровнями других входных нечетких переменных, то получим дробный факторный

эксперимент (ДФЭ).

По аналогии с известным методом планирования эксперимента при четком задании факторов [3], для ПФЭ определим условия нечетко однозначного

определения оценок неизвестных нечетких коэффициентов

Л Л Л \

(X — ( (X2,(Х2>•••>хт) в уравнении (6):

- нечеткая сумма элементов вектор-столбца матрицы X нечетко равна нулю:

П

хі.

= 0, і = 1,т, и = 1,п, к = 1,г; (7)

- сумма квадратов нечетких элементов каждого столбца Хк XI матрицы X нечетко равна числу опытов (условие нормировки), т.е.

У хк2 =1 \хк12 = п; (8)

і и і

і=1

- сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы Х нечетко равна нулю (свойство ортогональности матрицы плана):

П __ ___

Ухихки = (хк)Тхк = 0, ¡,8=0,п, I = 8, к = 1,г; (9)

8

и=1

- нечеткая рототабельность, т.е. нечеткие точки в матрице плана подбираются так, что точность предсказания значений нечеткой компоненты вектора B (параметра оптимизации) одинакова на нечетко равных расстояниях от нечеткого центра эксперимента и не зависит от направления.

Для идентификации нечетких коэффициентов нечеткой модели

регрессионного анализа для ПФЭ модель оценки каждого Л-го, к = 1,г нечеткого компонента Ък вектора В будет представлена нечетким уравнением

+ У ак хк + У ак хк хк +

і і і і ]

1<і<т 1<і< ]<т

У

. (10)

~к ~к ~к ~к ~ ~ ~к ~к ~к ~к

ауІх х] х + ■ ■ ■ + а123...тхі х2-хт 1<і< ]<І <т

Коэффициенты нечеткого уравнения (10) являются нечеткими интервалами, задаваемыми на множестве действительных чисел Я.

По аналогии с моделями планирования экспериментов нечеткое произведение

т

п

к

~к ~к ~к „ / т\

X X ••• X , 1 <1 <1 < <1 <т назовем нечетким взаимодействием (р-1)-

г1 г2 гр 1 2 р

го порядка нечетких факторов ХкXк ... Хк .

Нечеткий коэффициент xk, 1 — 1,т нечеткого уравнения (10) назовем

нечетким линейным эффектом входной нечеткой переменной Xi , а нечеткий ~к

коэффициент - нечетким эффектом взаимодействия факторов

1112 •••1р

Xki Xki ••• xk.

11 2 1р

Очевидно, что нечеткую функцию (10) можно свести к виду функции (2), если определить

ак0 = ак = а), 1 =1,т, акт+1 = акр ••••, акт+г = акт, акп = акШт,(11)

Xk¡ — X], 1 — 1,т, Xк , — Xk1Xk2, ••••, 5скг — X'[Л1' XI — Xk1Xk2•••Xk. (12)

1 1 ’ ’ ’ т+1 12’ ’ т+/ т-1 т ’ п 12 т

В этом случае нечеткая функция (10) отвечает условиям (7), (8), (9) нечеткого определения оценок неизвестных нечетких коэффициентов ак — ( ак0,о),•••,акп) в уравнении (10). Оценки неизвестных нечетких коэффициентов ак — ( о), 0) ,•••, акп)

будут найдены из решения уравнения (6) при заданной матрице плана ^.

Таким образом, разработанная нечеткая модель регрессионного анализа позволяет определять нечеткие значения компонент вектора состояний энергетических объектов в зависимости от нечетких значений вектора входных параметров. Модель отличается от известных линейных моделей наблюдений тем, что параметры модели представлены в виде нечетких интервалов, что позволяет более объективно определять прогнозируемое качество параметров энергетических объектов.

Определены необходимые условия существования нечетких оценок коэффициентов, а также условия нечетко однозначного определения оценок неизвестных нечетких коэффициентов нечеткой модели регрессионного анализа.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А. Управление производством при нечеткой исходной информации. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 240 с.

2. Финаев В.И., Павленко Е.Н. Нечеткая модель регрессионного анализа водно-химического режима тепловых электростанций//Вестник Ростовского государственного университета путей сообщений. - Ростов-на-Дону. Изд-во РГУПС, 2004, №2.

3. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. -М.: Радио и связь,

1983.

4. Финаев В.И., Павленко Е.Н. Методы искусственного интеллекта в задачах организации водно-химического режима тепловых электростанций (Монография).

- Таганрог: ТРТУ, 2004.

5. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов. -М.: Металлургия. 1974.