CC BY
26
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
БеляковаА.Ю., Вашукевич Е.В., ТруфановаЕ.С. УДК 697.7:631.371
МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ПРОДУКЦИИ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ОЦЕНКАМИ НАВОДНЕНИЙ И ЗАСУХ
Традиционным критерием, характеризующим работу сельскохозяйственного предприятия, является максимальное значение прибыли или минимум затрат. Оптимизационные модели нашли широкое применение при решении задач моделирования структуры производства.
При этом следует иметь ввиду, что на территории Приангарья с высокой повторяемостью формируются экстремальные природные явления, оказывающие существенное влияние на получение сельскохозяйственной продукции. Проявления экстремальных явлений необходимо учитывать при моделировании различных процессов, связанных с работой отраслей агропромышленного комплекса.
В работах [1,2] предложено модифицировать задачу стохастического программирования, позволяющую непосредственно учитывать влияние на сельскохозяйственное производство экстремальных природных явлений. В продолжение этой идеи и на основе комплексного описания событий предложено применить задачу стохастического программирования в двух вариантах.
В первой задаче рассматривается ситуация, когда в целевой функции учитываются ущербы, наносимые стихийными природными явлениями. При этом коэффициент при переменных и правые части ограничений остаются детерминированными:
Р[тах(тт)ДX) = СХ -ВХ] > р, (1)
АХ < (>)В, X > 0, (2)
где X — вектор, удовлетворяющий системе ограничений, С — вектор-строка, В — вектор-столбец, А — матрица размерности тхп, р — заданная вероятность превышения некото-
рого критического уровня, В= (й1 ,й2,... ,йп ) — вектор приведенных коэффициентов ущербов. В этом случае экстремум целевой функции связан с вероятностью превышения. Следует отметить, что слагаемое ВХ учитывает множество экстремальных явлений или опасных событий к, зависящих от климатических и ландшафтных условий. Тогда вектор В представляет собой матрицу коэффициентов размером п х к
В=
¿и
й,,
й,
й„ й„
йу
й
(3)
Во множество экстремальных явлений к на территории Иркутской области входят наводнения, вызванные дождевыми паводками и весенним половодьем, атмосферные и почвенные засухи, сильный ветер, снегопады и заморозки в период посева или уборки урожая и другие.
В разных частях территории Приан-гарья сочетание тепла и влаги, необходимое для получения сельскохозяйственной продукции с минимальными потерями, различно. Пространственно-временной анализ климатических характеристик показывает, что наибольшие ущербы связаны с проявлением множества отличных по происхождению экстремальных событий. На юге территории растениеводство подвержено в большей степени влиянию паводков, раннего выпадения снега, ураганов, ливней, а в меньшей степени — засух. По-другому выглядит порядок воздействия природных стихий в районах бывшего Усть-Ордынского бурятского автономного округа, где преобладают засухи и ураганы. В
западной части Приангарья помимо перечисленных экстремальных явлений на урожайность сельскохозяйственных культур воздействуют весенние половодья.
Если рассматривать стихийные природные явления, наносящие наибольший ущерб сельскому хозяйству, то к ним можно отнести наводнения и засухи. С учетом этих явлений целевая функция, описанная формулой (1), примет вид
Р[шах(шт)/(X) = СХ - В1X - Б2 X] > р, (4)
где Ю1 = ,ё1п )— вектор приведенных
коэффициентов ущербов от наводнения, Ю2 = (ё21 ,d22,... ,d2п )— вектор приведенных коэффициентов ущербов от засухи.
Во второй частной задаче переменными являются правые части, а целевая функция имеет линейный вид
шах(шт)/(X) = СХ, (5)
Р[(А -А^ < В -В1] > р. (6)
Особенностью частных задач является то обстоятельство, что вероятности превышения связаны с событиями. Другими словами рассматриваются не все природные явления, а только их часть. Так, для рек бассейна Ангары событиями считаются максимальные расходы воды дождевых паводков с вероятностями превышения Р < 16%. Что касается засух, то критерий перехода значений урожайности в событие (низкая урожайность), соответствует показателю с вероятностью превышения Р =14-33% в зависимости от сельскохозяйственной зоны.
При моделировании процессов, происходящих в сельском хозяйстве, наиболее трудоемким является этап подготовки исходной информации. В ходе информационного обеспечения широко применяются методы теории вероятностей и математической статистики для исследования выборок, оценки достоверности данных, выявления связей между переменными и т.д. При этом создаются модели, которые входят составной частью в общую модель оптимизации.
При решении задачи стохастического программирования с учетом влияния наводнений необходимо предварительно построить вероятностные модели экстремальных гидрологических явлений. В разных зонах в зависимости от происхождения экстремального события вероятностные модели могут
отличаться, что связано с особенностями природных явлений.
В табл. 1 приведены распределения вероятностей, которые использованы для описания рядов максимального стока и событий.
Статистический анализ гидрологических выборок с применением критериев согласия Колмогорова и %2 показал, что наиболее приемлемыми вероятностными законами являются логарифмически нормальное и гамма-распределения.
Помимо описания полных гидрологических рядов рассмотрены усеченные кривые распределения вероятностей в виде гамма и нормального законов с точкой усечения, соответствующей медиане а=хтеё. Эти кривые приводят к лучшим результатам в зонах малых вероятностей превышения при усечениях, соответствующих 50%.
Из полученных результатов следует, что кривая усеченного гамма-распределения ближе к эмпирическим точкам в зоне малой вероятности превышения, чем кривая гамма-распределения. Среди событий встречаются редкие явления, которые причисляют к выдающимся.
В работе использованы два подхода к оценке выдающихся гидрологических величин. В одном случае значение максимального расхода выдающегося паводка и половодья оценивается с помощью полной или усеченной кривых распределения, а во втором — ис-
Таблица 1 Законы распределения вероятностей
для расчета максимального стока рек
Закон распределения Формулы
Нормальное распределение 2 (х-х)2 Р( х) е 2 а ал/ 2 п
Гамма-распределение , ^ У" Г X V-1 Рх (х) = ——1 - 1 е х ^ Г( у)х 1 х )
Логарифмически-нормальное распределение (1п х-Ых)2 1 9„2 р( х) = ^=-е а'пх л/2па 1п хх
Усеченное нормальное распределение 2 (х-х )2 Рх (х) =—== е 2 а
Усеченное гамма-распределение . . 2уУ Гх V-1 рх (х) =—-—1 - 1 е х тЫ Г( у)х 1 х )
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
пользуются данные исторического прошлого.
Рассмотрение редких гидрологических явлений с помощью историко-архивных свидетельств показало, что реально выдающиеся события имеют большую повторяемость N по сравнению с результатами, полученными по наблюденным данным с продолжительностью п. Традиционные методики с использованием законов распределения вероятностей с учетом и без учета точки усечения уменьшают статистическую повторяемость выдающегося экстремального явления.
Сравнения разных моделей на основе территориального обобщения по данным притоков Ангары показало, что при расчете высоких максимальных расходов воды, соответствующих событиям, предпочтительнее использовать усеченные распределения с учетом исторических выдающихся природных явлений [4,5].
Добавим к этому, что по критерию вероятности вероятностей превышения оценены интервалы колебаний обеспеченностей при доверительной вероятности 5 и 95%:
Р =1-(1-p) п. (7)
В этой формуле р — вероятность превышения экстремального члена выборки, определяемая по кривой обеспеченности ежегодных максимальных расходов, Р — вероятность вероятностей превышения экстремального члена ряда из множества рядов объемом п. Согласно этому критерию наименьшими погрешностями обладают вероятности превышения, полученные с помощью усеченных кривых.
По сравнению с паводками и половодьями, формирующими наводнения, иная многолетняя изменчивость у засух.
Для классификации засух применяется три подхода: агрономический, агроклиматический и метеорологический. Каждый из этих подходов позволяет оценить интенсивность проявления засухи. При агрономическом подходе о засухе судят по снижению урожая зерновых культур, обычно на 20-25% и более. Поскольку критерий оценки урожайности в виде величины ниже среднего уровня на 20-25% не определяет частоту экстремального явления, предложена методика определения статистического критерия агрономической засухи [3].
Для этого на первом этапе исследовались ряды урожайности зерновых культур по трем зонам Иркутской области (остепненная, лесостепная и подтаежно-таежная) за период с
1982-2005 гг. На втором этапе по выделенным зонам оценивались статистические параметры многолетних рядов урожайности зерновых культур: среднее значение (X ), коэффициент вариации (О,), коэффициент асимметрии (С5), отношение (C/С) и первый коэффициент автокорреляции (п).
Критическое значение урожайности вычислялось по формуле
X, = 0,8Х
(8)
Статистическая обработка рядов урожайности зерновых осуществлялась по муниципальным образованиям, объединенным по засушливости в три зоны: остепненную, лесостепную и подтаежно-таежную.
Усредненные значения критических уровней урожайности зерновых Хк для остепнен-ной зоны составили 9 ц/га, лесостепной — 10,1 ц/га и подтаежно-таежной — 7,9 ц/га. Эмпирические вероятности превышения этих значений соответствуют 69,4%, 86,3% и 78,6%. Согласно полученным результатам наиболее часто засухи наблюдаются в остепненной зоне. Значительно реже они проявляются в лесостепной зоне.
По данным об урожайности зерновых и формуле (8) получен критерий события. На основе определения законов распределения для многолетних рядов урожайности зерновых и критерия перехода значения в событие выделены последовательности природных событий (потоки низких урожайностей). По этим данным оценивались климатические условия и соответствие агрономической засухи агроклиматической и метеорологической.
Согласно приведенной методике для каждого района трех зон выявлялось соответствие эмпирических данных об урожайности аналитическим кривым распределения вероятностей. Полученные результаты являются приближенными, поскольку рассматриваемые ряды обладают незначительной продолжительностью п= 12. Поэтому в дополнение к этому проанализированы статистические параметры в пределах зон: остепненной, лесостепной и подтаежно-таежной. Результаты двух подходов показывают, что для описания рядов урожайностей в первой и третьей зонах применимо гамма-распределение, а во второй — логарифмически нормальный закон.
Конечной целью обработки временных рядов является оценка особенностей сельскохозяйственных районов и определение качес-
твенных моделей, описывающих изменчивость показателей урожайности, значения которых зависимы от засух.
Для определения пространственной изменчивости событий, связанных с засухами, построены кривые вероятности вероятностей превышения критических значений урожайности по каждой из трех зон.
Рассчитаны статистические параметры ряда вероятности превышения событий для трех зон (табл. 2). По данным таблицы наиболее часто засухи наблюдаются в остепненной зоне, 1 раз в 3-4 года. В лесостепной зоне это явление имеет место реже, 1 раз в 7 лет. С промежуточной повторяемостью засуха наблюдается в подтаежно-таежной зоне.
Результаты статистической обработки гидрологических рядов и засух, характеризуемых урожайностью зерновых, отличаются друг от друга. Во-первых, продолжительности гидрологических рядов значительно выше длины последовательности зерновых. Во-вторых, выборки максимальных расходов паводков и половодий характеризуются большим рассеянием. В-третьих, каждое экстремальное природное явление имеет свои особенности, связанные с территорией распространения и частотой появления. В-четвертых, методики выделения событий засух и наводнений различаются по исходному критерию экстремальности. В-пятых, если для гидрологических событий применимы усеченные вероятностные кривые распределения, то для засух используются законы, описывающие полные ряды. Следует добавить к этому тот факт, что в гидрологических рядах и последовательностях урожайности фактически отсутствуют автокорреляционные связи.
Поскольку засухи и наводнения, как правило, не наблюдаются в один год, то возрастает частота появления экстремальных событий — засух и наводнений. Очевидно, что производителя больше интересует не происхождение события, а наносимые им ущербы.
Таблица 2
Статистические параметры кривых вероятности вероятностей превышения засух
Тип зоны Р,% С У СБ/СУ
Остепненная 30,6 0,36 3,86
Лесостепная 13,7 0,34 0,24
Подтаежно-таежная 21,4 0,56 2,69
Возвращаясь к оптимизационным моделям с учетом влияния экстремального явления, отметим, что кроме сведений о земельных, трудовых ресурсах, производстве сельскохозяйственных культур и других, здесь используются данные об ущербах, затапливаемых площадях и иные.
Задачи (1)-(2) и (4)-(6) нашли применение при оптимизации сельскохозяйственных отраслей в ММСОУ "Тальское" Тайшетского района Иркутской области, работа которого ежегодно подвергается воздействию природной стихии. За 5 лет здесь наблюдались три наводнения, одна засуха и заморозок. Поэтому построение оптимизационных моделей и их реализация имеют практическое значение как при засухах, так и наводнениях.
Сначала была решена задача линейного программирования на минимум затрат при отсутствии экстремального природного явления.
Математическая запись модели сочетания отраслей построена следующим образом. Целевая функция имеет вид
Xсл +Хсл -Хс,х, ^ (9)
где са — ссебестоимость единицы продукции 8- культуры, с е Б, сЛ — себестоимость единицы Л-вида животных, Л е Н, Ху — себестоимость единицы у-вида корма, ] е J, х, — искомая переменная, площадь ¡-культуры, хЛ — поголовье Л-вида скота, Ху — количество кормов у-вида, Б — множество видов культур, Н — множество групп животных, J — множество видов кормов.
Ограничения приведены по производственным ресурсам, побочной продукции растениеводства, размерам отраслей, получению конечной продукции и увязке продукции растениеводства и животноводства.
1.Ограничение производственных ресурсов имеет вид
Xа,х, +Х"Л <В , / еI (Ш)
¡е Б ЛеН
где а, — расход /-го ресурса на единицу площади ¡-культуры, аа — расход /-го ресурса на единицу поголовья Л-вида животных, / — вид ресурса, В1 — наличие ресурса /-вида, I — множество видов ресурсов.
2.Использование в животноводстве побочной продукции растениеводства записывается неравенством
Xа,х, >Ху, ] е J, (И)
¡еБ
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
где и — выход с единицы ^-площади /-вида корма.
3.Ограничения размера отраслей можно записать так:
а) растениеводства
пг <£(1 + а, )х5 < п ,, г е Я, (12)
где пг (пв)— минимальная (максимальная) площадь культург-вида (группы), а8 — коэффициент, учитывающий площадь посевов семян для 8- культур, Я — множество агротехнических групп культур;
б) животноводства
X* =К ■ х*,, ЬЬ'е Н, (13)
где Xм, — коэффициент пропорциональности между поголовьем животных Л и Л' групп.
4.Производство конечной продукции не менее заданного объема имеет вид
а) растениеводство
ЕПЛ >П , Я еО„ (14)
б) животноводства
Т/я^Л > П , Я е О2, (15)
где V^ и Уф — выход продукции с единицы площади 8- культуры и поголовья Л-вида животных, V — гарантированный объем производства продукции, я — вид товарной продукции, О — множество товарной продукции.
5.Увязка растениеводства и животноводства по элементам питания выглядит так
X4РЛ V; , 1 е ¿, (16)
где 4 — содержание 1-элемента питания в единице кормовой продукции, полученной от 8- культуры, ра — выход основных кормовых культур с единицы площади ^-кормовых культур, ^ — содержание /-элемента питания в /-виде корма, ЬЛ — минимальная потребность в 1-элементе питания единицы поголовья Л-вида животных, 1(1) — элемент (множество элементов) питания.
6.Неотрицательность переменных характеризуется неравенством
Х5 ,Х; > 0. (17)
После решения задачи линейного программирования построены две модели со статистическими оценками гидрологических событий.
Для решения первой частной задачи стохастической модели с вероятностной целевой функцией и детерминированными правыми частями ограничений были построены функции зависимости ущербов и площадей от мак-
симальных расходов воды. При этом каждому расходу воды О соответствует вероятность превышения Р, снятая с усеченной кривой гамма-распределения.
Зависимость между затапливаемыми площадями и ущербами, учитывающими разнообразие почвы, имеет вид
й1 = 1,037 В + 714,3, (18)
где ё1— это ущерб на 1 га с учетом распределения земель, В — площади затопления.
При моделировании производства с учетом событий целевая функция принимает различные значения, которые зависят от вероятности превышения. По результатам моделирования в пределах вероятностей превышения Р =1-25% затраты уменьшатся на 0,2 млн. руб. Между тем в модели рассмотрены только три типа почвы. Очевидно, что увеличение их числа приведет к более точному результату.
Рассмотрен второй частный случай задачи стохастического программирования с учетом экстремального явления при условиях, что правые части ограничений имеют случайный характер. В модели с вероятностными правыми частями ограничение (10) примет вид
ЛЕал +ТашХк <в \>Р, /еI.
(19)
В этой формуле правые части ограничения В/ связаны с вероятностью превышения Р. В качестве критерия оптимальности применяются затраты.
Правая часть ограничений связана с природными событиями, которые представляют собой случайные величины. При формировании наводнений происходит затопление и подтопление сельскохозяйственных угодий. Площади сельскохозяйственных угодий и пашни, которые подвергаются воздействию водной стихии, зависят от максимальных расходов воды заданной вероятности превышения.
Очевидно, что и другие ограничения, в частности, трудовые ресурсы, валовое производство сельскохозяйственных культур прямо или косвенно связаны с гидрологическими событиями.
В табл. 3 приведены результаты решения задачи, где указаны затраты в зависимости от вероятности превышения гидрологического события. Здесь указаны максимальные расходы воды, которые связаны с вероятностями
превышения. При паводках и половодьях с вероятностями превышения больше 11-13% стихии слабо влияют на выращивание сельскохозяйственных культур, поскольку подтапливаются и затапливаются пойменные зоны, где обычно не производится посев и посадка растений.
Чем реже происходит событие, тем больше ущербов оно приносит сельскому хозяйству предприятия. При обеспеченности гидрологического события Р = 1%, хозяйство уменьшит затраты на получение продукции более, чем на 3,5 млн. рублей, поскольку будет затоплено более, чем 70% пашни и предприятие "Тальское" сможет получить лишь пятую часть продукции.
Вторая частная задача может быть использована при учете засух, которые в разные годы охватывают различные размеры площадей. Кроме того, это экстремальное явление в разной степени влияет на урожайность в зависимости от расположения склонов, типов почвы, рельефа и высоты склона, что позволяет моделировать производство на основе первой частной задачи.
И, наконец, задачу с двумя различными по происхождению экстремальными событиями можно решить в двух вариантах. Согласно первому их них каждое явление включено в модель в виде некоторой функции. Во втором случае рассматривается суммарное влияние разных экстремальных событий на оптимизацию производства.
Таким образом, полученные результаты показывают возможность использования за-
Таблица 3
Результаты решения задачи стохастического программирования с изменением правых частей ограничений
р, % О, м3/с В, га Целевая функция
1 3607 712 925013
3 3181 508 3769510
5 2969 406 4215180
7 2822 336 4521032
9 2709 281 4557083
11 2615 236 4589450
13 2535 198 4683324
дач математического программирования для оптимизации производства сельскохозяйственных организаций в условиях появления разных экстремальных событий. При этом практическое значение имеют модели с некоторыми упрощениями. В таких моделях большое значение имеет использование выявленных статистических закономерностей природных явлений.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Барсукова, М.Н. Информация и моделирование сельскохозяйственных процессов в Восточно-Сибирском регионе / М.Н. Барсукова // Современные тенденции развития аграрной науки в России: материалы IV Международной научно-практической конференции молодых ученых, посвященной 70-летию НГАУ. - Новосибирск, 2006, С.271-273.
2. Иваньо, Я.М. Моделирование сельскохозяйственного производства с учетом экстремальных природных событий / Я.М. Иваньо // Фундаментальные проблемы изучения и использования воды и водных ресурсов: мат. науч. конф. - Иркутск: Институт географии СО РАН, 2005, С. 230-232.
3. Вашукевич, Е.В. Статистическая оценка влияния факторов на агрономическую засуху / Е.В. Вашукевич // Совместная деятельность сельскохозяйственных товаропроизводителей и научных организаций в развитии АПК Центральной Азии; сб. мат. международной научно-практической конференции. - Иркутск, 2008, С. 89-94.
4. Белякова, А.Ю. Вероятностное описание природных событий и моделирования сельскохозяйственного производства / А.Ю. Белякова // Актуальные проблемы АПК: материалы региональной научно-практической конференции. - Иркутск, 2005, С. 8-11.
5. Белякова, А.Ю. О вероятностном описании событий максимального стока для моделирования сельскохозяйственного производства / А.Ю. Белякова //. Проблемы социально-экономического развития регионального АПК: материалы региональной научно-практической конференции, посвященной 40-летию экономического факультета. - Иркутск, 2005, С. 130-136.
