Модели комет с неафелийным касанием орбиты Юпитера. Апсидальные точки расположены на орбите Юпитера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.73

МОДЕЛИ КОМЕТ С НЕАФЕЛИЙНЫМ КАСАНИЕМ ОРБИТЫ ЮПИТЕРА. АПСИДАЛЬНЫЕ ТОЧКИ РАСПОЛОЖЕНЫ НА ОРБИТЕ ЮПИТЕРА

Н.Ю. Емельяненко

В работе исследуется кинематика касательного сближения малого тела с Юпитером. В рамках парной задачи двух тел (Солнце-Юпитер, Солнце-комета) предлагаются две модели комет, у которых афелий или перигелий расположены на орбите Юпитера, но точки низкоскоростного касания их орбит с орбитой планеты не совпадают с апсидальными точками. Рассматривается возможность и определяются условия низкоскоростного сближения этих комет с Юпитером. Анализируются особенности сближений модельных комет.

Введение

Работа продолжает исследование кинематики низкоскоростных сближений. Основные сведения об этих сближениях, введенных определениях и области со (орбит комет с особенностями в сближениях с Юпитером) можно найти в работах [1-3].

Основные задачи исследования В работе изучаются модельные кометы, орбиты которых расположены на ломаной линии А3 АР3 области со [3].

1. Рассматривается эволюция орбит при продвижении вдоль линии А3 АР3 (изменение элементов, характеризующих размеры и форму орбиты).

2. Оценивается возможность и определяются условия синхронного движения Юпитера и кометы по афелийной (перигелийной) части орбиты.

3. Выделяются и описываются возможные особенности сближения с Юпитером модельных комет.

Пусть а, Ъ, е, д, Q - большая и малая полуоси, эксцентриситет, перигелийное и афелийное расстояния, М - точка

низкоскоростного касания, Е, V - эксцентрическая и истин*

ная аномалии кометы, г - ее радиус-вектор, т - расстояние кометы от орбиты Юпитера по радиусу-вектору, г] - йови-

центрическое расстояние, а - угол между направлением на комету и Юпитер в произвольный момент времени. Соответствующие элементы орбиты Юпитера будем обозначать теми же буквами со штрихами.

В предлагаемых кинематических моделях низкоскоростных сближений предполагается, что при прохождении афелия (перигелия) комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе.

Введем на эллиптической орбите кометы опорные точки Q, д, Ъ, I, Г и нанесем их на рисунки орбит рассматриваемых моделей (рис. 1, 2). Точки Ъ, I, Г - парные. Линия Ъ1Ъ2 - малая ось; 1112 (Г1Г2) - хорда, проходящая через мнимый

(действительный) фокус эллиптической орбиты кометы симметрично линии апсид. На рисунках индексы опущены.

Рис. 1. Комета А3 и опорные точки на ней (левая часть). Комета проходит особые точки Я и М

<1

Рис. 2. Комета Р3 и опорные точки на ней (левая часть). Комета проходит особые точки Я и М

В предлагаемых моделях низкоскоростного сближения движения кометы и Юпитера симметричны относительно линии апсид, поэтому опорные точки наносим только на левые части рисунков. В рамках рассматриваемой задачи в опорных точках орбиты кометы известно решение уравнения Кеплера. На правых частях рисунков показаны положения тел в точках низкоскоростного касания орбит М и М', и в момент времени, когда комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе.

Точки М и М' назовем точками низкоскоростного касания орбит, если в момент времени М векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера равны:

V || V', (1)

V = V', (2)

где V, V' - абсолютные величины векторов V, V'. Равенство (1) означает коллинеарность и одинаковую направленность векторов.

Пусть VУ и Vj - вектор йовицентрической скорости кометы и его модуль; тк, гк , Vk, ик ак

(к =Q, М, I, Ъ, ¥, К) - радиус-вектор гелиоцентрической и йовицентрической орбиты, модуль вектора ее гелиоцентрической скорости, истинная аномалия и угол между направлениями на комету и Юпитер в опорных или особых (М,К) точках; 1к - момент прохождения кометой этих точек.

1. Модель А3 (невозмущенная орбита до и после сближения)

Это кометы, орбиты которых удовлетворяют условию:

а - а

3,68 а.е. < а < 5,20 а.е.

(1.1)

Они расположены на средней левой границе области ю, линии АА3 [3]. В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой А3 . У кометы А3 точка афелия р расположена на орбите Юпитера. Для кометы А3 выполнено неравенство

5/ < гм < (1.2)

то есть на орбите этой кометы имеются две точки низкоскоростного касания - М1иМ2, расположенные на афе-лийной части орбиты симметрично относительно линии апсид. Очевидно, что для таких орбит в точке Му условие

(1) не выполнено, если комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе. Решая задачу на построение касательной к окружности (V, параллельной секущей (V), на

орбите Юпитера находим точку К, в которой это условие выполнено. Обозначим длины дуг кометы и Юпитера: иМ^М2 = 11 и К^К2 = /{. Из решения задачи на построение следует неравенство I < I' (см. рис. 3).

Рассмотрим изменение размеров и формы орбит кометы А3 при продвижении вдоль линии АА3 области ю. Точка А соответствует круговой орбите Юпитера радиуса а = 3,68 а.е., е = 0,41. Выразим элементы а, Q, д орбиты кометы А3 через эксцентриситет е и большую полуось орбиты Юпитера а , совпадающую в рассматриваемой модели с его радиусом:

Рис. 3. Комета Аз. Задача на построение: (V') = (V) (левая часть). Начальные условия афелийного сближения: q, д'

а = -

1 + е

Q = а'

1-е

а =-а

1 + е

(1.3)

Исследование функций а = а(е), Q = Q(e), д = д(е) показало, что при продвижении вдоль линии орбит АА3 области ю размеры орбиты кометы А3 непрерывно убывают от круговой орбиты Юпитера до наименьшей А3ПШ , изображенной на рис. 1:

е

а

а

a = 3,68 a.e.,

^min . Q = 5,20 ae., (1.4)

3 q = 2,16 a.e.,

e = 0,41.

Рассмотрим две особенности рис. 1.

1. Как было отмечено во введении, в момент времени tQ aQ = 0°. На орбите кометы A3 имеется еще одна парная особая точка R, не совпадающая с афелием, при прохождении которой малое тело и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе. Так как на дуге uQM абсолютная величина угла a непрерывно увеличивается (V < V'), а после прохождения этой точки начинает уменьшаться (V > V'), то на орбите кометы A3 за точкой M обязательно найдется такая точка R, в которой aR = 0°. После прохождения этой точки угол a меняет знак на противоположный, его абсолютная величина снова возрастает.

2. Пусть длина дуги uMjQM2 = l'. Сравнение рис. 1 и 3 показывает, что положение точек M' на орбите Юпитера не противоречит решению задачи на построение касательной к окружности (V'), параллельной секущей (V).

Найдем условия, необходимые для длительного низкоскоростного сближения кометы A3 и Юпитера. Рассмотрим синхронные движения Юпитера и кометы A3 на периоде ее обращения вокруг солнца, отмеченном афелийным минимумом (рис. 1). В рамках решаемой задачи комета A3 и Юпитер движутся по законам Кеплера. Ввиду симметрии движения тел относительно линии апсид опишем движение кометы на дуге uQq .

Из уравнения Кеплера (см. [3]) определим угол a :

3

a

v-(E + esinE)| a 2

(1.5)

(величины Е, V отсчитываются от точки афелия).

Как уже было сказано ранее, все углы уравнения (1.5) в опорных точках и точке М определяются аналитически, как функции эксцентриситета кометной орбиты. Решение уравнения Кеплера полностью определяет движение кометы в задаче двух тел. Оно было найдено в опорных точках и точке М (табл. 1).

Положения кометы д и Юпитера д (см. рис. 3) с углом ад между направлениями на эти

объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы А3 .

Значения величины е варьировались с шагом Де = 0,01. Линейной интерполяцией между опорными точками определено положение точки Я для 41 значения эксцентриситета и вычисле-

Я Vя

ны значения величин г. и -. В целях экономии места в табл.1 приведены только те строки,

7 V'

которые подтверждают приводимый ниже анализ.

Таблица 1а

I rj V/V ab B rj Vb/V' aF F rj VF/V' aq Vi/V'

0,05 1,01 0,20 0,05 1,00 0,20 0,05 1,00 2,67 0,26 1,02

0,24 1,02 0,82 0,26 1,02 1,03 0,28 1,03 12,70 1,20 1,08

0,40 1,04 1,22 0,44 1,04 1,86 0,50 1,05 21,83 2,00 1,14

0,58 1,05 1,43 0,69 1,07 3,14 0,82 1,10 34,04 2,95 1,25

Таблица 1б

к Г Ук/¥' аь в Г ^/Г И Г Ур/Г' ад гд Г/Г

0,61 1,10 1,42 0,73 1,08 3,35 0,88 1,11 35,93 3,08 1,27

1,00 1,22 0,76 1,08 1,12 5,54 1,20 1,20 52,73 4,41 1,46

1,22 1,31 0,07 1,23 1,14 6,67 1,26 1,26 59,95 4,51 1,58

Таблица 1в

в Г Ук/¥' ик к Г И Г УР/Г' ад Гд Г/Г

1,41 1,17 71,02 1,48 1,42 8,05 2,01 1,34 67,75 4,84 1,73

1,52 1,19 70,48 1,65 1,52 8,99 2,22 1,41 72,49 5,00 1,84

2. Модель Р3 (невозмущенная орбита до и после сближения)

Это кометы, орбиты которых удовлетворяют

условию:

а - а

5,20 а.е < а < 7,65 а.е.

Рис. 4. Комета Р3,

построение:

Они расположены на средней правой линии области о, линии АР3 [3]. В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой Р3. У кометы Р3 точка перигелия д расположена на орбите Юпитера. Для кометы Р3 выполнено условие:

Бч < гм < БИ, то есть на орбите этой кометы имеются две точки низкоскоростного касания орбит М1 и М2, расположенные на перигелийной части орбиты симметрично относительно линии апсид. Очевидно, что для таких орбит в точке М условие (1) не выполнено, если комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе. Решая задачу

на построение касательной к окружности ( V'), параллельной заданной прямой (V), на орбите Юпитера находим точку К , в которой это условие выполнено. Введем обозначения для длин дуг кометы и Юпитера: иМдМ2 = I, и КдК2 = /{). Из решения задачи на построение следует неравенство I > I' (см. рис. 4).

Рассмотрим изменения размеров и формы орбит кометы Р3 при продвижении вдоль линии АР3 области (о. Точка А соответствует круговой орбите Юпитера радиуса а = 5,20 а.е. Точка Р3 имеет координаты: а = 7,65 а.е. е = 0,32 . Выразим элементы а, Q, д орбиты кометы Р3 через эксцентриситет е и большую полуось орбиты Юпитера а':

а' ^ 1 + е ' '

Q =-а, д = а. (2.3)

Задача на

(V') = (V) (левая часть). Начальные условия перигелийного сближения: I, I'

1-е

1-е

Исследование функций а = а(е), Q = Q(e), д = д(е) показало, что при продвижении вдоль линии орбиты АР3 области о размеры орбиты кометы непрерывно увеличиваются от круговой орбиты Юпитера до наибольшей , изображенной на рис.2:

е

а

->шах

а = 7,65 а.е., б = 10,10 а.е,

(2.4)

3 д = 5,20 а.е., е = 0,32.

Рассмотрим две особенности рис. 2.

1. Как было отмечено во введении, в момент времени ад = 0°. На орбите кометы Р3 имеется еще одна парная особая точка я, не совпадающая с афелием, при прохождении которой малое тело и Юпитер находятся на одном радиус-векторе. Так как на дуге идМ абсолютная величина угла а непрерывно увеличивается (V > V'), а после прохождения точки М начинают уменьшаться ( V < V'), то на орбите кометы Р3 за точкой М обязательно найдется такая точка Я, в которой ая = 0°. После прохождения этой точки угол а меняет знак на противоположный, его абсолютная величина снова возрастает.

2. Пусть длина дуги иМ{дМ2 = I'. Сравнение рис. 4 и 5 показывает, что положения точек М' на орбите Юпитера не противоречит решению задачи на построение касательной к окружности ( V'), параллельной секущей ( V).

Найдем условия, необходимые для длительного сближения кометы Р3 и Юпитера.

Рассмотрим синхронные движения Юпитера и кометы Р3 на периоде ее обращения вокруг Солнца, отмеченным перигелийным минимумом (см. рис. 4, 5). В рамках решаемой задачи комета р и Юпитер движутся по законам Кеплера. Ввиду симметрии движения тел относительно линий абсид опишем движение кометы на дуге идб.

Из уравнения Кеплера (см. [3]) определяем угол а :

а

3

V - (Е - е эт Е) | а 2

(2.5)

(величина Е, V отсчитываются от точки перигелия). Все углы уравнения (2.5) в опорных точках и точке М определяются аналитически, как функции эксцентриситета кометной орбиты. Решение уравнения Кеплера было найдено в опорных точках и точке М (табл. 2).

Положение кометы и Юпитера (см. рис. 4) с углом а1 между направлениями на эти объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы Р3 .

Таблица 2

и г7 Ур/Г' аь в г7 Г'/Г аI I г7 V1/V' аб 7 Vе/V'

0,06 1,00 -0,21 0,06 0,99 -0,22 0,06 0,99 -2,73 0,27 0,99

0,39 0,97 -1,86 0,43 0,96 -2,36 0,47 0,96 -20,70 2,15 0,90

0,83 0,94 -5,25 1,05 0,92 -7,95 1,32 0,90 -46,69 5,41 0,79

1,11 0,93 -8,23 1,55 0,89 -13,59 2,10 0,86 -71,56 7,89 0,73

1,33 0,92 -11,20 2,01 0,87 -19,66 2,92 0,82 -91,68 10,09 0,68

1,79 0,91 -19,14 3,20 0,82 -37,32 5,29 0,74 -141,00 14,52 0,59

Значения величины е варьировались с шагом Де = 0,01. Линейной интерполяцией между спорными точками определено положение точки я для 32 значений эксцентриситета и вычисле-

Я Vя

ны значения величины г.- и -. В целях экономии места в табл. 2 приведены только те строки,

7 V'

которые подтверждают приводимый ниже анализ.

3. Особенности апсидальных сближений

Остановимся более подробно на возможных особенностях апсидальных сближений комет А3

и Р3.

Кратные минимумы функции йовицентрического расстояния (КМ). Введем вспомогатель-

*

ную величину г* в виде

г* = \а - г| (3.1)

(это абсолютная величина расстояния кометы от орбиты Юпитера в произвольный момент времени).

Преобразуем формулу теоремы косинусов для треугольника Солнце - комета - Юпитер с учетом равенства (3.1) к виду

2 / *\2 л 1-2 а

г* = (г*) + 4га бш —.

* ■ - "- 2- (3-2)

*

Исследование функции г* = г* (г* ,г,а) на экстремум для моделей А3 и Р3 показало, что она имеет единственный экстремум-минимум для комет А3 и Р3

г™ = * = 0, (3.3)

г™п = г* = 0. (3.4)

Возрастание величины г* между апсидальными точками в опорных и особых точках орбит комет А3 и Р3 можно заметить и при анализе табл.1, 2. В окрестности точки Я (а = 0°) экстремум отсутствует. Отметим интересную закономерность в расположении точки Я на орбитах комет А3 и Р3 . Значение угла ук очень мало изменяется при продвижении вдоль ломаной АА Р3 области о и, в среднем, близко к 71°. Модельные кометы А3, Р3 и Юпитер значительную часть периода обращения кометы, отмеченного апсидальным минимумом, движутся как бы «взявшись за руки»: для кометы А3 а™х(е = 0,41) = -6°,71; для кометы Р3 а™х(е = 0,24) = 1 °,16.

Временный спутниковый захват в смысле Эверхарта (ВСЗ). На орбитах комет А3 и Р3 имеются две точки, в которых (с той или иной степенью точности) могут быть выполнены условия (1, 2). В точке Q (*) выполнено условие (1). В условии (2) имеет место только приближенное равенство (см. 2-й столбец табл. 1, 2.). По-видимому, ВС3 в окрестности апсидальной точки, включая саму точку Q (*), маловероятен для орбит с эксцентриситетом е>0,33. В точке М выполнено условие (2). Положение кометы М и Юпитера М', как уже отмечалось ранее для моделей А3 и Р3 , благоприятны для возникновения ВС3 в окрестности точки низкоскоростного касания орбит. Напомним, что точка М- парная. Следовательно, низкоскоростные сближения комет А3 и Р3 могут сопровождаться тремя участками ВСЗ. Для низкоэксцентрических орбит [4] возможно их слияние в один, охватывающий всю апсидальную часть орбиты кометы.

а)

б)

Рис. 5. Кометы Аз(а) и Р3(б) в тригональном центре либрации: М = 5 и М' - положение Солнца и Юпитера

Заслуживает внимания изменение положения точки М: на орбите кометы A3 : 45° < vM < 60°, на орбите кометы Р3: 60° < vM < 70°. С уменьшением эксцентриситета кометной орбиты точки Mi и М2 практически сливаются с тригональными центрами либрации L4 и L5 в планетоидной задаче трех тел. Если для комет A3 и Р3 находящихся на слабоэллиптической орбите (е<0,15), реализуется ситуация, показанная на рис. 5 (лагранжевый случай задачи трех тел), то Солнце, Юпитер и комета будут описывать в своем относительном движении Кеплеровы орбиты, образуя все время равносторонний треугольник. Но комета будет находиться за пределами области сближения (хорда QM (qM) >> 2 a.e. [5]), поэтому данный случай в этой работе нами не рассматривается. Но сам факт, что в точках L4 и L5 модуль йовицентрической скорости комет A3 и Р3 (с малыми эксцентриситетами) практически равен нулю, очень интересен. Учитывая отмеченное ранее небольшое изменение положения точки R ( vR » 71° ) у комет A3 и Р3, и возможность длительных ВСЗ для низкоэксцентрических орбит, заметим, что именно эти модели - наиболее вероятный поставщики комет - кандидатов в группу Троянцев.

Заключение

Итак, сближения комет A3, Р3 и Юпитера, удовлетворяющие начальным условиям, рассмотренным выше, - это низкоскоростные касательные сближения. Особенности сближений:

1. Это длительные сближения. Для кометы А3 оно охватывает весь период ее обращения вокруг Солнца (е < 0,9); распространяется на дугу uF1QF2 (e < 0,37). Для остальных объектов с

линии AA3 комета не покидает области сближения (Tj < 2 a.e. [5]) на полупериоде, включающем афелий. Для кометы Р3 оно охватывает весь период ее обращения вокруг Солнца ( â < 0,7); распространяется на дугу u/1q/2 (e < 0,20), на дугу uè1qè2 (e < 0,24). Для остальных объектов с линии AP3 комета не покидает области сближения на дуге uF1qF2 .

2. Функция йовицентрического расстояния комет A3 и Р3 имеет единственный минимум р , точка минимума С на орбитах комет совпадает с апсидальной точкой: С = Q (q).

3. На орбитах комет А3 и P3 имеются две точки низкоскоростного касания орбит: lim vM = 60° . Для слабоэллиптических орбит (е < 0,15) точки М1 и М2 приближаются к триго-

нальным центрам либрации L4 и L5 в планетоидной задаче трех тел.

4. На орбитах комет А3 и P3 помимо апсидальной точки,, имеются еще две точки R1 и R2, при прохождении которых комета и Юпитер оказываются на одном радиусе-векторе. Положения этих точек практически не изменяются для всех объектов с линией А^Р3: vR » 71° .

5. У комет А3 и P3 точки М1, М2 - центры низкоскоростных касательных участков, на которых вероятен временный спутниковый захват в смысле Эверхарта. При е < 0,33 ВСЗ может сопровождать апсидальный минимум.

Работа поддержана грантом РФФИ № 04-02-96042.

Литература

1. Emel'yanenko N. Yu. Kinematics of the comets low-velocity encounters with Jupiter// Proceeding of the International conference CAMMAC. - 2000. - P. 35-40.

2. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тиссе-рана. 3. Кинематика низкоскоростных сближений// Астрон. вест. - 2003. - Т. 37. - № 1. - С. 66-73.

3. Емельяненко Н.Ю. Моделирование орбит комет// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2003. - Вып. 4. - № 8(24).- С. 99-106.

4. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тис-серана. I. Орбитальная Эволюция// Астрон. вест. - 1997. - Т. 31. - № 3. - С. 257-267.

5. Емельяненко Н.Ю. Динамика орбит комет при тесном сближении с Юпитером. Анализ длительности сближений// Астрон. вест. - 2003. - Т. 37. - № 2. - С. 153-160.

Поступила в редакцию 11 июля 2005 г.