Модели газотурбинных двигателей в пространстве состояний: динамический аспект Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

считать площадь фигуры, заключенной между кривой и любыми двумя ординатами. Воспользовавшись формулой 5, можно на стадии подбора состава бетона рассчитать организационно-технологический риск (в процентах) не достижения бетоном требуемого класса хт=В по следующей формуле

ОТР =

100

42П

Í «

о

( х - x ) ' 2а2

dx '

(6)

Тогда надёжность достижения бетоном требуемого класса в процентах рассчитывается по формуле

ОТН = 100 - ОТР. (7)

Заключение

Предложен метод оценки организационно-технологической надёжности подбора состава бетона, позволяющий прогнозировать основные показатели конкретного керамзито-бетона. Этот метод является универсальным и его можно использовать для оценки аналогичных показателей других бетонов.

Библиографический список

1. Притыкин Ф. Н. Автоматизироанный способ оценки взаимного положения фрагментов изображений на чертежах металлорежущего инструмента/ Ф. Н. Притыкин, Е. Е. Шмуленкова // Вестник СибАДИ, №1(19). - 2011. - С.59-62.

2. Чулкова И. Л. Вероятностная модель подбора составов тяжелых бетонов / И. Л. Чулкова, Т. А.

Санькова, С.М. Кузнецов // Изв. вузов. Строительство. -2008. -№ 10.

2. Дрепер Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрепер, Г. Смит. - М.: Наука. 1973. -392 с.

3. Санькова Т. А. Программа для проектирования составов бетонных смесей "SAPCoM"/ Т. А.Санькова, И. Л. Чулкова //Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 10712 от 05.06.2008 г, инв. номер ВНТИЦ № 50200801135 от 02.06.2008. - 13с.

THE AUTOMATED DESIGN OF CONSTRUCTION COMPOSITES

I. L. Chulkova

The author offered multiple-factor models for selection of compositions of the keramzitovy concrete, the durabilities of concrete cubes received by results of tests under production conditions. By means of these models it is possible to estimate efficiency and organizational and technological reliability of selection of compositions of keramzitovy concrete.

Чулкова Ирина Львовна - доктор технических наук, профессор кафедры «Строительные материалы и специальные технологии» ФГБОУ ВПО СибАДИ. Основное направление научных исследований - управление структурообразованием строительных композитов.Общее количество публикаций 150. Электронная почта chulko-va_il@sibadi. org

x

УДК 519.876.5

МОДЕЛИ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ:

ДИНАМИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

Е. В. Шендалева

Аннотация. В статье рассмотрены методы построения упрощенных нелинейных динамических моделей газотурбинных двигателей, используемые при проектировании и исследовании авиационных, транспортных, энергетических объектов и их систем управления.

Ключевые слова: модель, пространство состояний, газотурбинный двигатель

Введение

В ходе проектирования, опытного и серийного производства газотурбинных двигателей (ГТД) и их систем управления (САУ) используют разнообразные методы контроля их качества и надежности, в том числе мето-

ды имитационного моделирования, полунатурные и натурные испытания. Имитационное моделирование и полунатурные испытания ГТД и его систем управления позволяют сократить сроки и средства на проектирование и доводку изделий.

При исследовании режимов работы ГТД проводят математическое моделирование динамических характеристик двигателя, его топливных агрегатов и систем управления, условий их совместной работы, при этом возникает проблема выбора видов моделей двигателя и агрегатов применительно к различным стадиям жизненного цикла изделий.

Так, например, на стадии проектирования используют математические модели физических процессов, протекающих в двигателях и агрегатах, на стадии исследования их совместной работы и полунатурных испытаний [1, 2] используют модели в пространстве состояний.

В общем случае двигатели являются непрерывными нелинейными системами, поэтому используемые модели должны учитывать эту особенность тепловых машин [3]. Рассмотрим построение динамических моделей в пространстве состояний для малоразмерного газотурбинного двигателя (МГТД). Математическая модель режимной работы МГТД является нелинейной, то есть такой, для которой не выполняются свойства аддитивности и однородности. Его стационарная непрерывная линейная модель в пространстве состояний

[X = А х X + В х и,

[у = С х X + D х и,

где A, B, ^ D - матрицы коэффициентов состояния, управления, наблюдения и выхода, соответственно; и - вектор управляющих воздействий; У - вектор наблюдаемых координат; X - вектор координат состояния.

Математическое описание линейной динамической модели (ЛДМ)

ГахХ = А{к] х АХ + В(к' х ди; ,„ ч _ _ (1)

[АУ = С{к' х АХ + D{k' х ди, где A(k), B(k), С^, D(k) - матрицы коэффициентов A[qхq], B[qхn], C[mхq], D[mхn]; п, т, q -размерность управляющих воздействий, наблюдаемых координат, параметров состояния, соответственно; ди = и - и{к-1 - отклонение вектора управляющих воздействий от кой базовой точки; АУ = У - У{к) - отклонение вектора наблюдаемых координат от к-ой базовой точки; АХ = X - Х{к -1 - отклонение вектора параметров состояния от к-ой базовой точки.

Матрицы коэффициентов рассчитывают на установившихся режимах.

Алгоритм построения кусочно-линейной динамической модели (КЛДМ) базируется на

идее объединения совокупности ЛДМ с нелинейными статическими характеристиками [2].

Xcт =(1 - р)х X(k) + р х X(k+1);

т(к+1). (2)

иСТ =(1 - р)х и(к) + р х и УСТ =(1 - р)х У(к) + р х У(к+1),

где к = 1, 2,..., К - 1; р е [0, 1].

В этом случае статическая характеристика будет иметь вид ломаной линии.

Параметры ЛДМ в окрестности любой точки аппроксимированной статической характеристики также определяют с помощью кусочно-линейной аппроксимации по заданным матрицам коэффициентов

А = (1 - р)х А(к) + р х А(к+1);

В = (1 - р)х В(к) + р х В(к+1); (3)

С = (1 - р)х С(к) + р х С(к+1);

Б = (1 - р)х Б(к) + р х Б(к+1).

Для выполнения расчета вводят параметр режима п, определяющий статическую характеристику и представляющий собой линейную комбинацию координат состояния и управления

п = Х

и1 х Х1 .

(4)

г=1

Коэффициент р определяют через параметр режима п

п - Пк X - X )

р =--или р = —п1Т)—-1гт

п п хк+1) х(к >

Пк+1 - Пк Хг - г

. (5)

Тогда кусочно-линейная динамическая модель

^Xí)=A(п)х(x(/)-Xc7(п))+в(п)х(u(/)-Ucт(п)); (6) [У)=УСт+C(r)х(X(/)-Xcт(r))+D(r)х(u(/)-Ucт(r)).

В настоящее время кусочно-линейные (нелинейные) динамические модели активно используют при разработке систем управления и исследовании их совместной работы с МГТД, однако большая размерность пространств состояний и управляющих воздействий приводит к сложности описания переходов двигателя с одной рабочей линии на другую. Обычно КЛДМ задают в виде поверхности статических режимов [4], где параметр режима представляет собой интерполяционный полином и является вектором, сформированным из параметров режима по каждому управляющему воздействию или параметру состояния [5].

Для режимной работы вспомогательного газотурбинного двигателя ВГТД-43 простран-

ство функционирования определяется векторами:

- вектор Х параметров состояния размерностью q = 2 (Х1 = Пнд, Х2 = Пвд, где Пнд и Пвд -частота вращения компрессоров низкого и высокого давления);

- вектор U управляющих воздействий размерностью п = 4 (и1 = Gт - расход топлива, и2 = N1- - отбор мощности на работу электрогенератора, и3 = тс(^) - газодинамическая функция, и4 = аНА - угол поворота лопаток направляющего аппарата);

- вектор Y наблюдаемых координат размерностью т = 10 (у1 = Р2кнд - давление за компрессором низкого давления, у2 = Р2квд -

давление за компрессором высокого давления, у3 = Р2ТВд - температура газов за турбиной высокого давления, у4 = GВВx - расход воздуха на входе в компрессор, у5 = ТГ - температура газов на входе в турбину низкого

') = а11 (п) х дпнд + а12 (п) X Дпвд + ь11 (п) Х + Ь12 (п) х ^

+ Ь13 (п) х Дп(х) + Ь14 (п) х Да

пП17 Ц (п)

давления, у6 = GВoТБ - расход отбираемого воздуха, у7 = РОТБ - давление отбираемого воздуха, у8 = ТОТБ - температура отбираемого воздуха, у9 = NНд - мощность на валу низкого давления, у10 = NВд - мощность на валу высокого давления).

При использовании традиционного подхода сложность аппроксимации вектора параметров режима п, векторов х('^'в'1г'), в, I' г, , у(/' 1'Г' 5) и матриц А(/' ]'ВI'Г'5), в(/']'ВI'Г'5) , с(1']'^I'Г'5) и

, где ¡, у - индексы вектора параметров состояния, г, s, д, I - индексы вектора параметров управляющих воздействий, с помощью интерполяционных полиномов значительно увеличивает время расчета параметров модели ВГТД-43.

КНА>

Г

ВД () = а21 (п) Х ДпНД + а22 (п) Х ДпВД + Ь21Х + Ь22 (п) Х Д^Г +

+ Ь23 (п) Х Дп(^) + ь24 (п) Х ДаНА;

Р2КНД () = Р2КВД (п)

+ сП (п) Х Дпнд + С12 (п) Х ДПвд + dn (п) Х ДGт + + d12 (п) х + d13 (п) х Дл(х) + d14 (п) х Да На ;

Р2КВД (t) = Р2КВД (п) + С21(п)х ДпНД + С22 Х ДпВД + d2l (П) х ДGт + ■

+ d22 (п) х Д^Г + d23 (п) х Дл(х) + d24 (п) х ДаНА; Т2твд (t) = Т2твд (п) + С31 (п) х Дпнд + С32 (п) х Дпвд + dзl (п) х ДGТ +

(7)

+ d32 (п) х Д^Г + d33 (п) х Дл(х) + d34 (п) х Да

GВВХ (t) = GВВХ (п) + С41 (п) Х Дпнд + С42 Х ДпВД + d41 (п) Х Д^ +

+ d42 (п) Х ДЖГ + d43 (п) Х Дл(х) + d44 (п) х ДаНА; ТГ ^) = ТГ (п) + С51 (п) Х Дпнд + С52 (п) Х ДпВД + ^1(п)х ДGт +

+ d52 (п) х Д^Г + d53 (п) х Дл(х) + d54 (п) х Дащ; GВОТБ (t) = ^ОТБ (п) + С61 (п) Х ДпНД + С62 (п) Х ДпВД + <Л61Хп)Х +

+ d62(п)Х Д^Г + М х Дп(^ + d64(п)х ДаНА;

РОТБ () = РОТБ (п) + С71 (п) Х ДпНД + С72 (п) Х ДпВД + d71 (п Х Д^ +

+ d72 (п) х Д^г + d73 (п) х Дл(х) + d74 (п) х Да ж; ТОТБ ( ) = Тотб (п) + с81 (п) х Дпнд + си (п) х Дпвд + d8l (п) х ДGт +

N

НД

НД 1 82 VI/ ^1ВД

+ Ы х ДNг + d8з (п)х Дп(Х) + d84 (п) х ДаНА; (t) = NНД (п) + С91 (п) Х ДпНД + С92 (п) Х ДпВД + d91 (п) Х ДGТ +

+ d92 (п) х ДNГ + d93 (п) х Дл(х) + d94 (п) х Да

х

NВД (t) = NВД (п)+ С101 (п) Х ДпНД + С102 (п) Х ДпВД + d101(П)х ДGТ +

+ ^02(п):х ^Г + ^03(п)х Дп(^) + ^04(п)х Дана-

1) статические характеристики МГТД по

координатам состояния X и наблюдения У

как функции управляющих координат и ;

2) ЛДМ, определенные в базовых точках рабочих линий,

Одним из методов построения КЛДМ в пространстве состояний является метод кусочно-линейной интерполяции. Исходными данными для построения КЛДМ являются:

|Х = А У хДХ + Вхди, [у = С хДХ + DхДи

где д, I, г, в, - индексы рабочих линий при различных управляющих воздействиях.

Для описания кусочно-линейной интерполяции в многомерных пространствах используют п-мерные симплексы с барицентрическими координатами [6]. Процедура симплексного метода базируется на разбиении ^-мерного пространства на регулярные симплексы, представляющем собой выпуклые многогранники, образованные N+1 равностоящими вершинами.

Если в М-мерном пространстве существует система из п+1 точки обладающая свойством

X , X ,■ ■ ■ , X £ Rл ,

(1с1

1

,2

п+1

п+1

п+1

1 1

= 0

и х = (х1 ,Х2,—,хп)е Я ' имеет решение, а

вектор п = (п1 ,П2'■■■'Пп+1) обладает барицентрическими координатами точки

X £ и находится внутри симплекса 5п

п =

XI X? ■ xn + 1 -1

x2 X2 xn+1 ■ x2 х x2

xn x 2 ^ ■ и+1 ■ xn xn

1 1. ■ 1 1

(8)

Тогда кусочно-линейная интерполяция в многомерном пространстве

~ п+1

/(х)= ^ ^ х П/(х), где / - значения функ-

/=1

ции в вершинах симплекса Sп, сводится к раз-

3 -4

X X

б2

->

X

биению этого пространства на п-мерные симплексы.

При построении интерполяционной функции в двумерной области, необходимо разбить область на прямоугольники, которые разбиты на треугольники, как показано на рисунке 1а. Рассмотрим нижний треугольник

(—1 —2 —3 \

X ,Х ,Х ). С помощью переноса начала

системы координат и масштабирования множителей можно свести задачу к интерполяции на квадрате со стороной, равной единице (рисунок 1б). Новая система координат

x =

x! X-! X

2

x

1 Л

2

V П построения

П 2 у линейной

функции

Для

/(.X1 ,X2), принимающей в соответствующих вершинах значения /1, /2 и /3 достаточно построить функции п1, п2, П3 (рисунок 1в). После построения интерполяционной формулы в симплексе ^ с помощью обратного преобразования переходим в исходный симплекс S2

П1 0 1 0 _1 X1

П2 = 0 0 1 х X 2

Пз 1 1 1 1

где 1 = 1 - П2 - П3, П2 = X1, Пз = X2 . Тогда

/(x1,x2 )=х(1-x1 - )+Яо х x1 + Л1

Формулы кусочно-линейной интерполяции в исходных переменных:

х X2.

?(х 1,х2)= £, х

Г _ 1 - 2 1- X_X _ Х2_Х2

л

П1

П2

+

_ 1 _ 1 + ^ х + ^ х

П П2

где X1 ) - координаты вершины с номером

^о)

-4

X

П2

Пз X2

1 х.

М Х1

а) б)

Рис. 1. Преобразования симплексов Пусть дан трехмерный куб (рисунок 2) с ребром,равным единице.

в)

1

2

X

X

2

2

2

2

X

X

п

п

п

1

1

(0Д1)

(1,1,0)

(0,0,0) (1,0,0) Х1

Рис. 2. Разбивка куба на

Разобьем этот куб на трехмерные симплексы следующим образом:

1) Симплекс 51 {(0,0,0), (1,0,0), (0,0,1), (0,1,0)}, X е 5-1 при условии:

х1 + х2 + х3 < 1, 0 < х1, х2, х3 < 1;

2) Симплекс 52 {(1,0,1), (0,0,1), (1,0,0),

(1,1,1)}, X е 52 при условии: х1 - х2 + х3 > 1, 0 < х1, х2, х3 < 1;

3) Симплекс 53 {(0,1,1), (1,1,1), (0,0,1),

(0,1,0)}, X е 53 при условии: -х1 + х2 + х3 > 1, 0 < х1, х2, х3 < 1;

4) Симплекс 54 {(1,1,0), (1,0,0), (1,1,1),

(0,1,0)}, X е 54 при условии: х1 + х2 - х3 > 1, 0 < х1, х2, х3 < 1.

Если точка X удовлетворяет 0 < х1, х2, х3 < 1 и не принадлежит симплексам 51, 52, 53,

^<0,0,0) (1,0,0) X'

трехмерные симплексы

54, то эта точка принадлежит симплексу 55 {(0,0,1), (1,0,0), (1,1,1), (0,1,0)}.

Базисные функции п1, п2, п3, п4 симплекса 55 удовлетворяют

(9)

откуда: п1=(-1+Х3+Х1-Х2)/2; п2=(1+Х1-Х2-Х3)/2;

п3=(-1 +Х1+Х2+Х3)/2; п4=(1-Х1+х2-Х3)/2.

Следовательно

~ (х1 X' X ) = /000 х п1 + /100 х П2 + /111х ПЗ + /010 х П4 .

Пример подобного разбиения изображен на рисунке 3.

0 1 1 0 П1

x2 0 0 1 1 П2

= х

1 0 1 0 Пз

1 1 1 1 1 П4

Рис. 3. Характеристики МГТД в пространстве управляющих воздействий

При реализации алгоритма моделирования:

1) задают исходные данные:

- начальные условия по параметрам состояния, входным и выходным параметрам, коэффициенты матриц состояния, управления, наблюдения и выхода в базовых точках;

- размерность векторов параметров состояния, входным и выходным параметрам;

2) разбивают многомерное пространство параметров на двумерные, трехмерные, четырехмерные, ..., симплексы в зависимости от размерности входных параметров и вносят данные разбиения в базу данных;

3) выбирают симплекс в зависимости от вектора входных параметров;

4) нормализуют симплекс;

5) рассчитывают параметр режима через барицентрические координаты;

6) определяют кусочно-линейную интерполяцию исходных переменных;

7) производят обратную нормализацию исходных переменных;

8) рассчитывают коэффициенты матриц состояния, управления, наблюдения и выхода в зависимости от параметра режима;

9) рассчитывают модель в пространстве состояний.

Заключение

Таким образом, получена система уравнений, описывающая поведение непрерывной нелинейной системы уравнениями КЛДМ в пространстве состояний.

Использование многомерной КЛДМ МГТД в ходе математического моделирования совместной работы двигателя и его агрегатов, полунатурных испытаний агрегатов позволили исследовать как режимы раздельного управления по каждому управляющему параметру, так и режимы комплексного (совместного, группового) управления и, тем самым, решить задачи полунатурных совместных испытаний двигателя и агрегатов на динамических режимах, что позволяет повысить качество и надежность ГТД и его топливоре-гулирующей аппаратуры.

Библиографический список

1. Технология регулирования топливной аппаратуры систем автоматического управления газотурбинных двигателей с использованием моделирующих стендов / Шендалева Е. В., Жильцов В. В., Тэттэр В. Ю. // Сборка в машиностроении, приборостроении. - 2005, №7. - С. 15 - 21.

2. Идентификация характеристик преобразователей при регулировке топливных регуляторов САУ ГТД после сборки / Шендалева Е. В., Тэттэр

В.Ю. // Сборка в машиностроении, приборостроении. - 2004, №4. - С. 7 - 14.

3.. Построение имитационной модели двухба-лочного мостового крана / Ахтулов А. Л., Ахтулова Л. Н., Кирасиров О. М., Машонский В. А. // Вестник СибАДИ. - 2012, вып. 3(25). - С. 7 - 10.

4. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей как особенность отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной в 4-х мерном пространстве параметрическими уравнениями, на гиперплоскость / Ляшков А. А., Волков В. Я., Прокопец В. С. // Вестник СибАДИ. - 2012, вып. 1(23). - С. 56 - 59.

5. Добрянский Г. В. Динамика авиационных ГТД. / Г. В. Добрянский, Т. С. Мартьянова. - М.: Машиностроение, 1989. - 240 с.

6. Динамические модели дизельных двигателей: пространство состояний / Е. В. Шендалева // Труды /. Вестник Сибирского отделения Академии военных наук. - Омск. 2011, №10: МНПК «Производство, модернизация, эксплуатация многоцелевых гусеничных и колесных машин. Подготовка специалистов». - С.389-393.

GAS TURBINE ENGINE SIMULATION IN STATE SPACE: DYNAMIC ASPECT

E. V. Shendaleva

The article considered methods of gas turbine engine state space modeling commonly used in aviation, transport, power systems engineering.

Шендалева Елена Владимировна - к.т.н., доцент кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация»Омский государственный технический университет. Основное направление научных исследований: Автоматизация, управление качеством, испытания авиационной техники. Количество публикаций: 84. e:mail: ShendalevaEV@yandex.ru

УДК 625.76

ИНТЕРФЕЙС СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ГИДРОПРИВОДОВ РУЛЕВОГО УПРАВЛЕНИЯ

В. С. Щербаков, А. В. Жданов, В. В. Меньков

Аннотация. В статье представлен интерфейс разработанной в СибАДИ системы автоматизации проектирования гидроприводов рулевого управления. Описан принцип работы и рассмотрены её основные окна, в которые пользователем вводятся исходные данные основных гидроэлементов.

Ключевые слова: система автоматизации проектирования, гидропривод рулевого управления, программный продукт.

Введение Известные методики оптимизации пара-