Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс Текст научной статьи по специальности «Физика»

СНЕГОЛЕДОВЫХ МАСС Н. С. Кузнецов, В. В. Смогунов, Н. К. Юрков

Введение

Динамика гетерогенных структур с фазовыми переходами на границах играет важную роль в природных и искусственных системах [1-3].

Например, каждую зиму в г. Москве от сорвавшихся с крыш снеголедовых масс и сосулек страдает более 50 человек и до 300 автомобилей.

Самолеты, вертолеты, морские суда, портовые сооружения, нефтегазовые, космические объекты и другие подвержены обледенению. Эти процессы чреваты серьезными финансовыми потерями, гибелью людей.

Математическое моделирование динамики гетерогенных структур снеголедовых масс является актуальной задачей.

1. Фундаментальная модель нестационарного теплообмена

Модель описывается в рамках двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности, граничные условия задают конвективный теплообмен с окружающей средой.

Рассматривается бесконечная структура прямоугольного сечения, составленная из разнородных материалов. Материалы различаются теплофизическими свойствами: теплопроводностью X, удельной теплоемкостью С, коэффициентом теплообмена с окружающей средой ат . На верхних и нижней гранях происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой Тс . Две другие грани теплоизолированы.

В начальный момент времени структура нагрета до температуры Т0(Х,У) . Задача состоит в нахождении поля температур Т(X, У, X).

В математическом отношении задача сводится к решению нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной области О c соответствующими краевыми и начальными условиями:

Л71

С-+ = 0, Ж = 0, х = 0, х = Ц;

Ж = -ат (Т-Тс), у = 0; (1)

Ж = ат (Т - Тс), у = ¿2, Т = Т (х, у), X = 0.

Здесь Ж (х,у,X) = -X §га<! Т - тепловой поток; ат(Х,Т) - коэффициент теплопроводности; С(X,У,Т) - удельная теплоемкость; Т0 (X,У) - температура в момент X = 0. Решение Т(х,у,X) ищется в цилиндре Qт = ОХ (0 < X < X0), основанием которого является прямоугольник О с границей дО.

2. Конечно-разностная модель гетероструктуры

Задача решается методом конечных разностей, в О вводятся пространственная сетка

= {(,у,), , = 0,1, ...2N +1, ] = 0,1, ..М};

х+1 = х, + Ьх,+1, у ] +1 = у ] + Ьу]+1, х0 = 0

ХИ +1 _ 1, х2N+1 _ А, у0 = 0, Ум = А}

и сетка по времени

: ^+1 = Хк + гк, к = 0,1,..., Р, ¿0 = 0, ХР = ¿°}.

Здесь кх1, ку{, г к - переменные шаги сетки по пространству в направлениях Х и У и по времени соответственно.

Задача решается на сетке юкт = юкха\, вводится сеточная функция температуры тк = Т (хг, yJ■, (к), определенная на юкг. Разностная схема во внутренней области О записывается на крестообразном шаблоне с центром в узле (х1,у]), , = 1, 2,..., 2N, ] = 1, 2,..., М -1.

На сетке юА рассматривается ячейка с центром в узле (х{, У]) и вершинами в полуцелых узлах, т.е. образованными пересечением прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих узлы шаблона, параллельно направлениям X и У. Размеры ячейки по этим направлениям [1]

кх = 0,5(кх,+1 + кх,), , = 1,2,...,2N, ку = 0,5 (ку]+1 + ку]), /= 1,2,..., М -1. Площадь ячейки 5" = кхку, разностные производные определяются

грк _п-<к грк _грк грк _грк

т- = - '•-1,], Тх = 1+1,] - ,], т- =-,] - ]-1

kxt kxi+1 y hy

j

rpk п-ifc rr-ifc +1 rr-ifc

т _ ', j+1 ' j j _ ' j ' j

У кУ]+1 ' ч

, = 1,2,...,2N, ] = 1,2,..., М -1, к = 0,1,..., Р -1.

Здесь введены безындексные обозначения для размеров ячейки и производных Тх, Тх, Ту, Ту, Т. Вводятся также безындексные обозначения для потоков через грани ячейки:

К = -К~(Тх),], К = А+1,] (Тх),],

w-y = -я.,] (Т-у),], к = -я.,, ]+1(Ту),], , = 1,2,...,2N, ] = 1,2,..., М -1.

В соответствии с интегроинтерполяционным методом построения разностных схем уравнение теплового баланса для ячейки имеет вид

CTt + S

-1

Wh -W-kv + Wh -W-kX

x У x У У x y x

(o)_

_ 0. (2)

Здесь использовано обозначение y(o) _ oy + + (1 - o)y , 0 < a < 1.

Узлам, лежащим на границе dG, будут соответствовать шаблоны и ячейки несколько иного вида. Если дополнить шаблон в этих точках фиктивными узлами, то уравнение баланса в них запишется также, требуется только положить нулевым соответствующие фиктивные шаги. В общем случае размеры ячейки будут

kx _ 5 x,+1 kx,+1 + 5 x,kx,, i _ 0,1,..., 2 N +1,

ky _ 5 yj+1 kyj+1 + 5 yj kyj, j _ 0,1,..., M,

0, i _ 0, i _ 2N + 2; 5 _ Г0, j _ 0, j _M +1; 0,5, i _ 1,..., 2N +1, У] [0,5, j _ 1,2,..., M.

Потоки через пограничные грани ячейки определяются в случае граничного узла из краевых условий исходной задачи:

(Ж-),, = 0, г = 0, ] = 0,..., М, (Жх),] = 0, г = 2 N + 1, ] = 0,..., М,

(Жу),, =-ат, ((-Тс), г =0,...,2N + 1, ] = 0, (Жу),] = ат, ((-Тс), г = 0,...,2^1, ] =М. Разностная схема на сетке :

-|(а)

СТ

ж - Ж Жу - Ж-

х "х , у у

Ьх

к

= 0,

где

Ж- =-

х

Жх =

-X,,(Т-),„ г=1,...^+1, ]=0,...,м,

4х- х'Ч 0.

г = 0,

] = 0,..., М.

Г-Хг+1,, (Тх),,, г = 0,...,2N, ] = 0,...,М, I 0, г = 2N + 1, ] = 0,..., М.

Ж- =

г = 0,..., 2N +1, ] = 1,...,М,

Жу =

[-а^. (Т, - Тс), г = 0,..., 2N +1, ] = 0.

\-Xij+1(Ту ),, , г = 0,... ,2N +1, г = 0,...^ +1, 1аТ( (Т.., - Тс), г = 0,..., 2N +1, ] = М.

(4)

Таким образом, на каждом временном слое ^ (£ = 1,2,...,Р) получена нелинейная система алгебраических уравнений (4), в которую решение подобной системы на предыдущем слое входит как неизвестная функция. На нулевом слое задано начальное распределение:

= Т0 (х,,у,).

3. Модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов

Для организации внешнего интеграционного процесса вводятся вектор-функция Т ={ 7,-,,, = 0,..., 2N + 1, ] = 0,...,М } и операторы А1, А2, определенные равенствами

А?=-

Жх - Ж-

к

А2Т = -

Жу - Ж-

уу

тогда система (4) запишется так:

СТ + ((Т + А2Т)) = 0.

(5)

Для решения ее используется линейно-квадратический процесс. Система (5) переписывается в виде /(Т) = СТ - СТ + т [АХТ + А2Т](а) = 0 (здесь Г - значение функции на верхнем временном слое), применяется линейно-квадратичный итерационный процесс:

с +1 Т + атА 58+1 Т + А^ 5Я+* Т) = -.

у

Верхним индексом помечается номер итерации. Здесь A1S и А^ линейные операторы

5 5 5 5

АТ = Жх-Ж~х , А5Т = Ж у-Жу

К ку

где, например,

5

жх =

жу =

-1, (Т- ),,, г = 1,...,2^ +1, , = 0,..., М,

о, г = о, , = о, ...,м.

-1, (Т-У ),,, г = 0,...,2Ж +1, , = 0, - а т,. (Т,), г = о,...,2Ж +1, , = о.

5 5 5+1 5

/ = /(Т), 55 +1 Т = Т - Т .

Внутренний итерационный процесс организуется следующим образом. На каждой итерации внешнего процесса линейная система разностных уравнений записывается без индексов внешней итерации, вводится диагональный оператор В так, что В 5Т = С 5Т , и в операторном виде система имеет вид

(В + ох(А1 + Л2) )5 Т = о.

Для приближения решения этого оператора уравнения применяется двухслойная итерационная схема с чебышевским упорядоченным набором параметров

5+1 5

5 т - 5Т 5 —-+ (В + от(Л + Л2) )5 Т + / = о.

^ 5 +1

Здесь { V5+1 } - упорядоченный чебышевский набор параметров. В пространственной сеточной функции 5 Т в смысле некоторого скалярного произведения удовлетворяются условия самосопряженности, положительной определенности и ограниченности оператора

В + от(А1 + Л2), В + от(А1 + Л2) = (В + от(А1 + Л2)), v1E1 < В + от(А1 + А2) < v2Е2, о < у1 < у2,

гарантирующие сходимость внутреннего итерационного процесса.

Границы спектра у1 и V 2 оператора В + от (А1 + А2) эффективно оцениваются по теории Гершгорина.

4. Импульс градиента температур

Конкретные исследования по описанию алгоритма проведены для следующих значений параметров линейной задачи:

Га о < х < I,

аТ = \ 1

1аТ2, I < х < ¿1,

X = {^1, 0 < х < /, |а l < х < ¡1,

с = ■

с2,

0 < х < I, 0 < у < Ь2,

1 < х < ¿2, 0 < у < ¿2,

где I = 100 мм, ¿1 = 200 мм, ¿2 = 200 мм.

Температурное поле и характер его изменения во времени имеют общий для всех вариантов расчета характерный вид. Температура металла практически постоянна по объему и при переходе из стали в наледь поверхности теплообмена со средой круто падает, т.е. в точках наледи, лежащих на его поверхности по границе с металлом, возникает значительный градиент температуры, направленный вдоль поверхности наледи. Кривая зависимости градиента температуры в угловой точке от времени имеет характерную форму, близкую к форме импульса. Близость кривой к импульсной форме определяется величинами ат1 и ат

При уменьшении 1/ат1 и ат2 импульс сглаживается. Такая зависимость от ат1 и ат2 сохраняется при всех исследованных отношениях Х^X2 , причем от ат острота и амплитуда импульса зависят существенно сильнее, чем от 1/ ат1 , отношение Х^ X 2 слабо влияет на форму зависимости

и определяет преимущественно амплитуду импульса.

Градиент температуры в угловой точке достигает своего максимального значения примерно в одно и то же время (около одной секунды с начала остывания) при различных значениях а , ат Xl|X2 из исследованных интервалов. Крутизна фронта пропорциональна его амплитуде и

растет с увеличением как 1/ат1 и ат2, так и с увеличением отношения X1/X2 . В то же время крутизна спада слабо зависит от отношения X1/X2 и определяется главным образом значениями

ат и ат .

т1 т 2

Полученные результаты позволяют объяснить предпочтения в выборе материала кровли.

5. Модель процесса замерзания жидкого слоя

Математическое моделирование нестацианарных тепловых полей состоит в решении нестационарного уравнения теплопроводности в двумерной области О с соответствующими граничными и начальными условиями:

С— + <пЖ = 0, дt

Ж = - X grad Т, (6)

Ж = -ат (Т - Тс ).

Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость учета фазового перехода из жидкого в твердое состояние.

Для сквозного счета таких задач без явного выделения фронта затвердевания нужно учесть, что при температуре фазового перехода Т - Т* энергия Е как функция температуры испытывает переход величины Q*, который называется теплотой фазового перехода, поэтому для энергии справедливо

Т

Е = | с (Т )йТ + Q*0 (Т - Т *),

0

где

Т > 0, Т < 0.

Это выражение подставляется в уравнение энергии

дЕ — — + divW = Q, дТ ^

и учитывая, что

^ (Т)

ёТ

есть дельта-функция Дирака, получается уравнение

= 5(Т)

(С (Т) + Q*5(T - Т *))) + аху Ж = Q,

дг

справедливое и в области фазового перехода. Выражения С(Т) и Q*5(T - Т*) входят в уравнение одинаковым образом, причем Q*5(T - Т *) представляет собой сосредоточенную теплоемкость на поверхности Т - Т*.

Для перехода к разностной схеме заменяется дельта-функция приближенно 5-образной или размазанной функцией 5(Т - Т *, А) > о, где А - величина полуинтервала, на котором функция 5(Т - Т *, А) отлична от нуля.

Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость

* *

Сэ (Т) = С (Т) + Q 5(Т - Т , А), которая удовлетворяет условию Сэ (Т) = С(Т) вне интервала (Т* -А, Т* + А).

Изменение энтальпии на интервале (Т* - А, Т* + А) сокращается, т.е.

Т *+А Т *+А

I Сэ (Т)ёТ = Q* + | С(Т)ёТ .

Т *-А Т*-А

*

На интервале (Т* - А, Т* + А) можно, например, взять Сэ (Т) = + С(Т), что будет соответствовать интерполяции 5-функции с помощью прямоугольного импульса. На том же интервале производится сглаживание коэффициента теплопроводности X. Вводится сглаженный или эффективный коэффициент Хэ (Т), совпадающий с Х1(Т) при Т < Т *-А и с X 2(Т) при Т > Т * + А. Например, если задавалось

!\, Т < Т*,

х(т) = \ 1 *

1^2, Т > Т*,

то можно взять

Хэ (Т) = ^

Х1, Т<Т -А, X2, Т > Т* + А,

т + Х1 -Ьск(Т*-А),Те (Т* -А, Т* + А). 2А 1 2А

В результате получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами

Сэ(Т)— + = о, Ж = -ХЭ(Т) grad Т . дг

Моделирование процессов затвердевания границ льда и основы позволяют выбрать композитные тонкие слои по границам гетероструктур [2, 3].

Выводы

1. Рассмотрена фундаментальная модель процесса теплообмена в гетероструктуре в форме нестационарного уравнения теплопроводности.

2. Описана конечно-разностная модель гетероструктур с введением пространственной сетки и применением интегроинтерполяционного метода построения разностных схем.

3. Предложена эффективная модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов с применением двухслойной итерационной схемы с чебышевским упорядоченным набором параметров.

4. Модель процесса замерзания жидкого слоя наледи построена без явного выделения фронта затвердевания с учетом теплоты фазового перехода.

5. Проведены системные исследования тепловых процессов в гетероструктурах, установлены закономерности протекания нестационарных процессов.

Заключение

1. Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс с фазовыми переходами на границах позволили установить новые закономерности нестационарных процессов обледенения наиболее распространенных в технике гетероструктур.

2. Использование установленных закономерностей в практике проектирования гетерострук-тур представляет новые возможности в получении более безопасных конструкций.

3. Наиболее распространенные гетероструктуры крыш зданий и сооружений целесообразно устраивать с разными коэффициентами трения точечно по всей крыше и узкой (около 1 %) полосе гидрофобного композита по краям крыш для снижения размера сосулек до безопасного. В качестве тонкослойных композитов для разных материалов крыш разработаны и испытаны эффективные, весьма долговечные и недорогие составы, а также технологии их нанесения с учетом конкретных условий применения.

Библиографический список

1. Динамика гетероструктур. Фундаментальные модели / В. В. Смогунов, И. П. Климинов, О. А. Вдовики-на и др. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2оо2. - 598 с.

2. Садыхов, Г. С. Оценка вероятности безотказного срабатывания объекта при высоких уровнях безотказности / Г. С. Садыхов, А. А. Артюхов // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. -2о15. - Т. 1. - С. 37-38.

3. Ермолаев, В. А. Риски отказов сложных технических систем / В. А. Ермолаев, Н. К. Юрков, Ю. А. Рома-ненко // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. - 2о14. - Т. 1. - С. 46-49.

Кузнецов Никита Сергеевич студент,

Пензенский государственный университет (440026, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: kuznechov@mail.ru

Смогунов Владимир Васильевич доктор технических наук, профессор, кафедра теоретической и прикладной механики и графики,

Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: smogunov@mail.ru

Kuznetsov Nikita Sergeevich student,

Penza State University

(440026, 40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Smogunov Vladimir Vasil'evich

doctor of technical sciences, professor,

sub-department of theoretical and applied mechanics

and graphics,

Penza State University

(440026, 40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Юрков Николай Кондратьевич

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет (440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: yurkov_NK@mail.ru

Аннотация. Приведены результаты разработки моделей динамики гетероструктур снеголедовых масс: фундаментальной модели нестационарного теплообмена, конечно-разностной модели гетероструктур, модели организации внешнего и внутреннего итерационных процессов, модели процесса замерзания жидкого слоя. Установлены новые закономерности протекания нестационарных процессов в гетеро-структурах снеголедовых масс, позволяющие получать более безопасные конструкции и технологии. Сформулированы рекомендации по целесообразному устройству снегозадержания и уменьшению со-сулькообразования, а также предложены материалы и технологии нанесения новых композитов для безопасных конструкций.

Ключевые слова: модели, динамика, гетерострукту-ры, снеголедовые массы, фазовые переходы.

Yurkov Nikolay Kondrat'evich

doctor of technical sciences, professor,

honoured worker of science of the Russian Federation,

head of sub-department of radio equipment

design and production,

Penza State University

(440026, 40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Abstract. The results of the development of models for the dynamics of heterostructures of snow-ice masses are presented: a fundamental model of nonstationary heat transfer, a finite-difference model of heterostructures, a model for organizing external and internal iteration processes, and a model for the freezing process of a liquid layer. New regularities of nonstationary processes in heterostructures of snow-ice masses have been established, which allow obtaining safer designs and technologies. Recommendations are formulated on the expedient arrangement of snow retention and reduction of soter formation, and materials and technologies for applying new composites for safe structures

Key words: models, dynamics, heterostructures, snow-ice masses, phase transitions.

УДК 531. ББК 24.45;621.91.002

Кузнецов, Н. С.

Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс / Н. С. Кузнецов, В. В. Смогунов, Н. К. Юрков // Надежность и качество сложных систем. - 2017. - № 1 (17). - С. 42-49. БО! 10.21685/2307-4205-2017-1-6.