CC BY
43
В результате анализа графических зависимостей был определен оптимальный состав: В/Ц = 0,50; г = 0,60; цемент = 370 кг/м3.
Результаты испытаний на водопоглощение оптимального состава бетона приведены в табл. 3.
Таблица 3
Испытание образцов на водопоглощение
Номер образца Сушка Водопоглощение О4 Wm,% серии обр.
28.03 3 О сК 2 3 О О 3 02.04 4 О СО 0 4 О 0 4 О «О 0
1 2350 2280 2280 2355 2358 2360 2360 СО 3,83
2 2310 2285 2284 2386 2390 2395 2395
3 2310 2285 2285 2350 2353 2355 2355 со
Бетон оптимального состава был также исследован на морозостойкость. Она определялась ускоренным методом путем насыщения образцов кубов бетона в 5 %-м растворе хлористого натрия. Согласно
ГОСТ 10060.0-95 на проектируемую марку F50 данным способом необходимо провести 8 циклов замораживания и оттаивания в растворе хлористого натрия. Средняя прочность контрольных образцов составила 23,832 МПа, а средняя прочность образцов, прошедших испытания, - 22,94 МПа. Изменение средней прочности составило 3,74 %, что меньше нормативного (5 %).
Таким образом, характеристики полученного состава соответствуют бетону по прочности класса В15 (Лсж = 37,53 МПа, по морозостойкости F50, водопо-глощение не более 6 %). Полученный состав можно рекомендовать к использованию на установке “ATLAS” по производству колодезных элементов.
Литература
1. Баженов, Ю.М. Технология бетона, строительных изделий и конструкций / [Ю.М. Баженов и др.]. - М., 2006.
2. Бердичевский, Г.И. Производство сборных железобетонных изделий: справочник / [Г.И. Бердичевский и др.]; под ред. К.В. Михайлова, К.М. Королева. - М., 1989.
3. Лабораторный практикум по курсу технологии бетона и железобетонных изделий / А. В. Ферронская, В. И Стамбулко. - М.,1988.
4. Сорокер, В. И. Жесткие бетонные смеси в производстве сборного железобетона / В.И. Сорокер, Д.В. Довжик.
- М., 1958.
5. Установка ATLAS компании Prinzing. - URL: http:// www.prinzing-gmbh.de/russisch/prinzing.htm
УДК 519.63
Н.Н. Синицын, З.К. Кабаков, А.В. Степанова, А.Г. Малинов
МОДЕЛЬ ЗАМОРАЖИВАНИЯ ЖЕЛЕЗОРУДНОГО КОНЦЕНТРАТА
В статье приведено математическое описание алгоритмов процесса замораживания железорудного концентрата, проведено тестирование численной модели замораживания железорудного концентрата при граничных условиях первого рода. Представлены результаты исследования влияния настроечных параметров численного алгоритма на погрешность моделирования.
Математическая модель замораживания железорудного концентрата, тестирование, задача Стефана, погрешность решения.
The paper describes an algorithm of freezing process of iron ore concentrate; the numerical model of freezing of iron ore concentrate under the boundary conditions of the first kind has been tested. The influence of settings of the numerical algorithm on the simulation error has been presented.
Mathematical model of freezing of iron ore concentrate, testing, Stephen task, solution error.
Железорудный концентрат поставляется на металлургические предприятия в железнодорожных вагонах. Так как концентрат влажный, в зимний период он замерзает. Для выгрузки концентрата из вагона его необходимо размораживать. Для определения продолжительности размораживания необходимо знать степень замораживания концентрата. В связи с этим возникает необходимость в исследовании
закономерностей замораживания концентрата. Для изучения закономерностей замораживания железорудного концентрата разработано математическое описание процесса. При разработке описания принято во внимание, что концентрат занимает форму в виде плоского слоя. Замораживание осуществляется принудительной конвекцией холодного воздуха. Математическая модель одномерного симметричного
процесса замораживания включает сквозное уравнение теплопроводности, общее для мерзлой, влажной зон и зоны замораживания:
ЭТ Э . ЭТ
СэФ -рЗх = Э~(1)
Эх Эх Эх
интегрируемое в области: 0 < х < £, 0 <х<х^;
- начальное условие:
Г 1, Т < г-
¥ =
Т - Т
--------- Тс < Т < Тл;
Т -Т
лс
I 0, Т > Тл.
На рис. 1 показана схема расчетной области замораживания половины толщины слоя железорудного концентрата.
- граничные условия: при х = 0
при х = £
Т (х, 0) = Т0, (2)
-^=«(Т - Тср); (3)
= 0, (4)
ах
где а - коэффициент теплоотдачи.
В зоне замораживания влаги выделяется теплота, которую можно учесть в уравнении (1) с помощью
эффективной теплоемкости сэф:
сэф
ЫТ), т > Тл
(ТС))у + с(Тп)(1 -¥)+^ Тл < Т < Тс С2(Т), Т < Тс
Коэффициент теплопроводности и плотность определим по формулам:
' к, Т < ТС;
Х= ^ У + І2 (1 -V), Тс < Т < Тл;
^ Т > Тл.
Р1, Т < Тс; р= & у+р211 -V), Тс < Т < Тл;
. Р2, Т >Тл,
где Тл = Т3 + АТ/2, Тс= Т3 - АТ/2 - фиктивные температуры начала и окончания замораживания элементарного объема; АТ - фиктивный интервал температуры замерзания воды; с(Т) - теплоемкость материала; с1 и с2 - теплоемкости замороженного и влажного материала; р1 и р2 - плотности замороженного и влажного материала; ^1 и ^2 - коэффициент теплопроводности замороженного и влажного материала; g - доля влаги в элементе объема; £ - половина толщины слоя материала; Ь -удельная теплота замораживания влаги, у - доля замороженного концентрата.
Величина у определяется по формуле:
Рис. 1. Схема расчетной области:
1 - твердая зона; 2 - влажная зона; 3 - двухфазная зона; ес, е и ел - координаты изотерм окончания замораживания влаги и начала замораживания влаги
Система уравнений (1) - (4) решена численным методом. При использовании метода конечных разностей (МКР) значения температуры находят в узлах расчетной области, координаты которых рассчитываются по формуле:
х1 =(/ - 0,5)-Ах, для дискретных моментов времени хп = Ах - п , где
I = 0, N + 1, N - количество узлов внутри расчетной области; 0 и N + 1 - номера фиктивных узлов, находящиеся за пределами области на расстоянии Ах/ 2; £
А х = — - расстояние между узлами; п = 0, [х^ / Ах]
- моменты времени (п = 0 - начальный момент времени); Ат - расчетный шаг по времени. Для краткости температуры Т(х,-,тп) обозначают Т" .
При использовании явной схемы аппроксимация производных по координате температуру в N внутренних узлах в момент времени п + 1 определяют по формуле:
Ах
Тп+1 = Тп + ——------------х
С(Тп)р(Тп)Ах2 1 , (Т+ -Т )-1 1 (Т -Т-1)
где і = 1, N, 1 1 = 1
і+—
2
( ггп \ тп ^ Т і+1 + Ті
,1 1 = 1
і—
2
пп Т і-1 + 1 і
2
2
/
/
V
Температуру в начальный момент времени задают по формуле:
Т = Т0 для I = О, N +1.
Температуру в фиктивных узлах в п + 1 момент времени определяют по формулам:
l (T3 - T0)
---------Т----------N ■ ЄХР
sfa ■ erf
b 2y[a1
x exp
4a1
, l ■(T. - T3) x + Ґ ЛХ
v 24a2 у
Va2er/c
Т-1-1 = p2WL p^. (В)
V 4a2 У 2
T=
i0
(1 -%)T1 + 2с7ср aAx
-, % = ■
1+%
21
T =T .
JN+1 2N ■
Толщину твердой корки определяют по координате изотермы температуры замораживания влаги в
поле температуры в цикле по г = 2...N из условия:
3 N T - T. если Т. 1 < T < Т., то e = Ax| i------------------I + Ax—----------—
г-1 з г 7 2 У Г
T -T 1 i 1 i-1
Численное решение при явной схеме аппроксимации является условно устойчивым. В этом случае
расчетный шаг определяем по формуле: Ах = Аx ,
ку а
где ку > 2 .
Погрешность численного решения в данном случае будет зависеть от настроечных параметров алгоритма N, ку, АТ. Необходимо эти параметры выбрать таким образом, чтобы погрешность результатов моделирования не превосходила заданную.
В данной работе для тестирования численного решения используется аналитическое решение задачи Стефана [1], которое приведено для граничного условия I рода и включает поля температуры:
- в мерзлой зоне:
erf
( \ x
Ті (x, t) = Tn + (Тз - Тп)
2 ait у
v 2Va7 у
(5)
erf
- во влажной зоне:
erfc
T (x, t)= T0-(T0 - T3 )■
( \ x
V^Va2t у
erfc
V 2^fa2 у
(б)
и формулу для расчета координат границы фазового перехода влаги:
є = рл/г , (7) где в - корень трансцендентного уравнения (8):
В формулах (5) - (8) использованы следующие обозначения: Х1 и ^2 - теплопроводность мерзлой и .. 1
температуропроводность
влажной зон, а = -
ci P.
(i=1 мерзлая зона, i = 2 - влажная зона), сi р. - теплоемкость и плотность, Тп - температура поверхности, Т0 - начальная температура материала, erf ( x) =
= [ e z d X; erfc (x) = 1 - erf (x) = [ e x d X .
VP 0 VP X
Тестирование выполним для пластины толщиной 5S = 1,5 м, охлаждаемой в симметричных условиях. Исходные данные для моделирования и расчета по формулам (5) - (8) приведены в таблице.
Размер расчетной области и граничные условия для модели выберем с учетом того, что точное решение получено для граничных условий первого рода и расчетной области в виде полупространства, а для граничных условий третьего рода и расчетной области конечной толщины.
2
Таблица
Исходные данные
Номер п/п Величина, размерность Значение
в модели в точном решении
1 Половина толщины, 5S м 1,5 ¥
2 Начальная температура, °С 25 25
3 Температура поверхности, °С -30
4 Температура среды, °С -30
5 Плотность мерзлой зоны, кг/м3 1795 1795
б Плотность влажной зоны, кг/м2 1В5В 1В5В
7 Коэффициент теплопроводности мерзлой зоны, Вт/мК 0,5Вб 0,5В6
В Коэффициент теплопроводности влажной зоны, Вт/мК 0,4 0,4
9 Теплоемкость мерзлой зоны, Дж/(кгК) 963 963
10 Теплоемкость влажной зоны, Дж/(кгК) 1353 1353
11 Температура замерзания, °С 0 0
12 Удельная теплота замерзания влаги, Дж/кг 3339В0 3339В0
13 Коэффициент теплоотдачи Вт/(м2К) 1010
14 Полутолщина замораживаемого слоя, м 5S —
15 Конечное время процесса, с 3600 3600
16 Фиктивный интервал АТ, °С 16 16
x
Тестирование результатов моделирования выполним путем сравнения с точным решением и оценкой погрешности моделирования. При тестировании исследовали влияние настроечных параметров конечно-разностного решения задачи Стефана на результаты и погрешность моделирования. Результаты исследования влияния этих параметров приведены на рис. 2.
динамике роста корки имеет наименьшее значение средней относительной погрешности.
Рис. 2. Распределение температуры по толщине железорудного концентрата для различных моментов времени:
1 - ЗООООО с; 2 - 1000000 с; 3 - 1400000 с; точное решение; ж - модель при N = 50; ку = 5; АТ= 14 °С
Из рис. 2 видно, что при N = 50 численное решение практически совпадает с точным.
В данной работе проведено также исследование влияния количества узлов N, параметров ку и АТ на среднеквадратичную погрешность моделирования роста корки. Величину среднеквадратичной погрешности определяем по формуле:
5=ЇХ)2100%>
є\ п п=1
* Тг,
п =
Ат
к
где п = —
е - среднеарифметическое значение координата фазового перехода воды, еп - результат
*
моделирования в момент времени п; еп - точное решение в момент времени п.
Результаты исследования приведены на рис. 3.
Как видно на рис. За зависимость 8(^ носит нелинейный характер. С увеличением N погрешность резко снижается и при увеличении N более 75 узлов погрешность асимптотически стремится к 0. На рис. Зб видно, что при увеличении ку (или уменьшении расчетного шага по времени) погрешность сначала уменьшается, а затем стабилизируется при ку > 5. Учитывая, что при увеличении ку рассчитываемая погрешность не возрастает, в дальнейших исследованиях принимаем ку = 5.
Исследование влияния фиктивного интервала АТ (рис. Зв) показало, что имеется экстремальное значение АТ = 14 0С, при котором численное решение по
5, %
1,0
25 50 75 100 125 150 175 ^ 2
а)
6 ку
б)
5, %
0,6
10 11 12 13 14 15 ДГ
в)
Рис. 3. Результаты исследования влияния количества узлов N (а), параметра ку (б) и фиктивного интервала АТ (в) на среднеквадратичную погрешность
Уменьшение АТ приводит к тому, что количество узлов, попадающее в фиктивный интервал (А/ на рис. 1), становится недостаточным для аппроксимации источника теплоты замерзания воды. При увеличении АТ >14 °С погрешность повышается, также увеличивается различие характера температурного поля в окрестности координаты фазового перехода для численного и точного решений (рис. 2).
Следует отметить, что такое большое количество узлов, обеспечивающее погрешность менее 1 %, обусловлено «жестким» граничным условием I рода. При использовании граничных условий III рода следует ожидать существенного уменьшения допустимого количества узлов. Увеличение количества узлов и соответствующее уменьшение шага по времени, согласно условию устойчивости, влияет на уменьшение погрешности более эффективно, чем только уменьшение расчетного шага по времени при увеличении параметра ку.
В результате тестирования установлено, что для уменьшения средней относительной погрешности до 1 % необходимо взять количество узлов сетки не менее 50. Следует отметить, что для менее «жесткого» граничного условия, например, III рода, это ограничение может измениться до существенно меньших N.
Литература
1. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков.
- М., 1967.
