Модель взаимодействия сдвиговых слоев и описание массообмена в плотностном течении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОФИЗИКА

УДК 551.465.552

МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СДВИГОВЫХ СЛОЕВ И ОПИСАНИЕ МАССООБМЕНА В ПЛОТНОСТНОМ ТЕЧЕНИИ

Б. И. Самолюбов, А. В. Шильнев

(.кафедра физики моря и вод суши) E-mail: sea251@phys.msu.su

Представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований вертикального переноса тепла и взвеси в придонном стратифицированном течении. Предложена апробированная по данным натурных измерений математическая модель для расчета распределений температуры и концентрации взвешенных частиц по всей толщине течения, построенная на базе гипотезы взаимодействия сдвиговых слоев (придонного и слоя смешения). Разработанная методика пригодна для теоретического описания профилей с различной локальной кривизной, квазиступенчатых и содержащих максимумы концентрации взвеси. Изменения профилей во времени рассчитываются при нестационарных граничных условиях. Учитываются эффекты влияния плотностной стратификации и активности примеси на вертикальный обмен в сдвиговых слоях и ядре течения.

Введение

Распространение плотноетных течений в морях, озерах и водохранилищах сопровождается загрязнениями гидросферы, заилением водоемов и разрушениями подводных коммуникаций. К проблемам моделирования таких потоков относится описание турбулентного обмена в ядре течения. Находящаяся в ядре зона контакта придонного слоя и слоя смешения течения отличается переходами профилей концентраций примесей и температуры от квазиоднородных к содержащим максимумы и квазиступенчатым. Данные исследований, необходимые для выявления механизмов подобных эффектов, уникальны [1-5]. В этой статье предлагается модель массопереноса на базе гипотезы взаимодействия сдвиговых слоев плотностного течения.

Модель взаимодействия сдвиговых слоев

Плотностное течение представляет собой пристеночную струю с двумя сдвиговыми слоями — придонным и слоем смешения (рис. 1). Приведенные типичные профили скорости и, температуры Т, концентрации взвеси Б с указанными выше особенностями получены экспедициями МГУ на Можайском водохранилище и озере Имандра [6, 7]. В ходе анализа данных используются также результаты измерений, выполненных авторами на Иваньковском водохранилище [4].

Для описания энергопереноса в струях эффективна гипотеза взаимодействия сдвиговых слоев, развитая в [2] без учета плотностной стратификации. Предполагается, что максимум скорости разделяет течение на две области с определяющими их крупномасштабными вихреобразованиями. Турбулентное напряжение г = —р<и'ю'> в этих областях обычно

имеет знак градиента скорости II («',«/ — пульсации продольной и вертикальной компонент и). По гипотезе, два крупномасштабных вихреобразования не отделяются резко линией экстремума, а поочередно пересекают ее, перенося жидкость со знаком г, присущим зоне генерации турбулентности. Знак г не изменяется сразу после пересечения линии экстремума, а среднее значение г равно

т = т++т~, (1)

X, и

0.5 10 0.5 1

t/t„,s/s„ v/um

0.5 1 О 0.5 1

t/tm,s/s„ u/um

Дм

О 0J 1

T/r„,mm

0.5 1

v/um

А-1. о-2,

Рис. 1. Характерные профили нормированных значений скорости придонного плотностного течения и/ит — 1, концентрации взвеси Д5/Д5т — 2 и температуры воды АТ/АТт — 3: а) и б) — с максимумом и с квазиступенчатым распределением 5 (Можайское водохранилище, ст. Зурбаган, июль 1998); в) и г) — с квазилинейным изменением 5 в ядре течения и с максимумом 5 (оз. Имандра, губа Белая, август 1999). Обозначения: т, и и к — индексы параметров на высотах максимума скорости, верхней границы течения и на нижнем уровне определения 5, Т;

Д5 = 5(г) - 5(г„), АТ = Т(г) - Т(гк)

где т+ = 7га0№П, т = (1 - 7)тир, 7 — функция взаимодействия или мера времени прохождения жидкости через ядро струи только с одной стороны (сверху или снизу). Функция 7 в работе [3] не приводится.

Здесь и ниже в тексте индексы « —» и « + » относятся соответственно к параметрам в слоях смешения и придонном, к — в ближайшей ко дну точке измерений 5 и Т, а 0 — в начальный момент времени.

Представление о взаимодействии сдвиговых слоев, предлагаемое в данной работе для плотностного течения, дает рис. 2. Потоки примеси из придонного слоя и слоя смешения распространяются, плавно угасая, до уровней гт(\ + 8р) < и гт(\ — 8р) ^ г^ соответственно. Здесь 8ргт — интервал проникновения с преобладающим крупномасштабным переносом, находящийся в области взаимодействия с границами = гт + А, = гт — А, на периферии которой доминирует мелкомасштабный перенос. Время прохождения потока массы через зону 8ргт определяется функцией 7, аналогичной 7 из (1).

При взаимодействии области с профилями Б, Т, соответствующими слоям смешения и придонному, попеременно «вытесняют» друг друга из зоны гт ± А. Профили Б, Т по всей высоте течения ги получаются, как и в (1), сшиванием распределений

Б , Т , Б+, Т+ в слоях :

и гк

в виде

5 = тРБ+ + (1 - 7р) 5-, Т = трТ+ + (1 - Ъ) Т~.

(2)

Функции Б , Т , Б+, Т+ находятся из уравнения

диффузии

йцр - ш9дг(р = дг(К¥дгср),

(3)

где £ — время, х — расстояние по течению, г — высота над уровнем дна, <р = Б,Т; — гидравлическая крупность; сЦ<р = д^+идхср+шдгср (в рамках плоской задачи); = при <р = Б и = О при <р = Т; К¥ = К8,К}1. Здесь и и ю — продольная и вертикальная компоненты скорости; = ки/Бс, к}г = ки/Рт; Эс и Рг — числа Шмидта и Прандтля, ки — турбулентная вязкость.

Профили концентрации, температуры

и функции взаимодействия

Профили Б(г) и Т(г) находятся в приближениях локальной квазистационарности и горизонтальной квазиоднородности течения на интервалах с

условиями: Т = Ти, Б = Би, КядгБ = -^/5« при г = ги и Т = Т}., Б = при г = г^. На интервале Д£д изменения Б, Т много меньше заданной точности расчета (подробнее см. [3]). Время съемки профилей Б, Т (до 12 мин) не превышало [6, 7]. Распределения Б, Т по г и £ (в расчетный период ¿е » Д£9) представляются в виде последовательностей сменяющих друг друга профилей, соответствующих указанным приближениям, с параметрами, найденными для каждого интервала Д£9 по известным для него Ти, Би, ,

Распределения Б, Т при г ^ получаются из (3) при Ки = Ц?/дги с дги = (ит/гтп)/[(кСГ1 + + (гт/Ьа)] и г = рЦ? = рЦ%( 1 — С) по [3, 8]. Здесь

I

я

Л,

Zm

гр/г

ш а

ИИ:

А/г,

о ъ А

Рис. 2. Схема взаимодействия сдвиговых слоев. Обозначения: 1, 2 — профили скорости течения и/11т и концентрации взвеси 5/5„г; 3 и 4 — распределения 5/5т в слоях -т- гц и ги -т- г^ в отсутствие взаимодействия; 5 и 6 — турбулентные потоки взвеси из придонного слоя в слой смешения и наоборот; 5Р и Д/гто — глубина проникновения и толщина слоя взаимодействия, нормированные на высоту максимума скорости гт; гч — равновесный уровень с 7р = 0.5; 7 — профиль функции взаимодействия 7Р из (6); — время съемки профилей 5, Т; = гт + А,

^т = Д

_ —2

11Т и и^тСви /2 — сдвиговая и динамическая скорости; черта сверху — знак осреднения по высоте течения; С'в — 2.5 • 1СГ3 + 3 • 1СГ4Ш„ — коэффициент сопротивления у дна; Ш„ = (Л^ц)2/?/2 и = (дАр/ргу)1!2 — интегральные число Ричардсона и частота плавучести для потока в целом; С = г/гт\ к = 0.4; Ьа — масштаб обмена, получающийся из условия II = ит при г = гт; д — ускорение свободного падения.

При г ^ г^ профили АТ- = Т — Т(г~), Ав~ = аналогичны профилям, известным

в теории струй, в приближениях которой %/т//т = = ат Рг <%/„//„ и <%/,//, = а,8с%/и//и, где /г = АТ-/ДТ" , ¡з = А5-/5" , АТ- = Ти^Т(г-), Д5" = 5(г") - 5И [9]. Здесь /и = Аи/А11т, Аи = и - Г,-. Л/ „, = ит - Г,-. Г,- = Г(::„). /и = 1^3£2 + 2£3, ( = [3].

В итоге распределения Т, 5 находятся по формулам (2) с компонентами

Т '/},+ Рг 1-я1{0/1'*-

(4)

Т-=Т(г-) + ДТ-(1-/и)«тРг-, 5+ = 5кехр[-[(<;/8с+7(С)/^,

где I = 11*гт (берется аналитически после

разложения к^1 в ряд по степеням С); Рдсрр — поток тепла в слое гк -г- (ср — теплоемкость при постоянном давлении); ат = 0.26, «з = 0.4.

Функция 7р, согласно схеме (рис. 2) и комментарию к ней, равна 0.5 на равновесной высоте г = гд я приближается к 0 и к 1 соответственно при г > гт + А и г < гт — А. Этим условиям удовлетворяет распределение

Ъ = 0.5 {1 - Л ((г - гч)/2(8р + С3)гт)} , (6)

где 5ргт = \гя — гт\ — глубина проникновения; С$ = = 3 • Ю-5. Толщина Д (рис. 2)

оценивается по формуле (6) при -ур, близких к нижнему и верхнему предельным значениям: Ю-2 и 0.99.

Определим 5Р для теплопереноса из слоя смешения, где, по данным, полученным в работе [5], генерируются крупнейшие вихреобразования, проникающие до дна. При этом 5ргт = (киАЬ*/Рг)0-5, ки = 12\д^\, £ 6 • 10-2Агт/(1 + 0.4Шд)°-26 -путь смешения [1, 8], А/* — время переноса; ШД = (МлАг2/Аи2п и МА = (дАрт/рАгш)х!2 -число Ш и частота плавучести N для слоя смешения. В ядре течения, в области на профиле II, где II > II, оценка среднего значения \8%\ = (Аит/Агт)д^и при V = (0.7 - Щит дает 0.27А17т/Агт. Тогда при средних по [3, 6-11] Агт/гт = 1.5, Рг ^ 1, Шд ^ 0.8Ши, Жд ^ Ыи и

Riu = 0.1 -г 20:

8Р ^ Дгт(ЖдДГ)°-5/Згт(Ши(1+О.ЗШи))0-25 ^ ^ 0.15 (NuAt*/Riu)0-5.

Значение AS~ выражается из диффузионного тождества oo¡S = —ksdzS при ks = ks, когда S = Skjixp[-Uf(z - zk)/ks] и AS~ ~ Skujf(zu

— z^)/ks, если tüf(zu — zk) -С ks ■ Поскольку ks

пропорционален ks в слое смешения, то, как и

выше, ks = ки/Se ~ AzmAUm/(l + 0.4Шд)°-5 при

Se = 1. В первом приближении AS^J ASk = Сщ +

+ C'siujf(l + C'r2^h)°'5/U. Здесь и ниже вводит-—2

ся Шя = дАрнН/р11 — число Ричардсона, модифицированное для описания T(z,t), S(z,t) по U(z,t) и T(t), S(t) при z = zk и H — 0.5 м, где Арн = p(zk) — Р(Н — 0.5 м), Н — глубина.

Для числа Рг принимается, что Рг = = 1 ± 0.1, а Рг" оценивается по выражению Рг" = 1 + С'цз <Шд> [10, 11] для каждой серии зондирований. Угловые скобки — знаки осреднения по времени серии зондирований. Числа Шмидта определяются по формуле [8]: Se = exp[((7S2w//F)2(l + СязШя)0'5]. Выражение АТ- в приближении подобия имеет вид AT-(t)^ATk(t) (АТ-/АТк) о.

Нормированный поток тепла у дна Fq ~ kudzJ Рг+ оценивается при ки = QAU*zk. Если dzTk ~ (Тк - Tk0)/zk, то Fq = ((Fq/U*)о + CQ(Tk -

— Тко))и„/Рг*. Скорость ojf определяется как W/(Í) = (w/)min + 16 <шf>U2{t)/{vg)2!z из работы [6]. По оценкам работ [3, 4, 6], для данных течений <w/> = 3 • Ю-3 см/с, (w/)min — 1-5 х х Ю-3 см/с.

Калибровка модели

Коэффициенты Сщ, С в, 2, С'цз, Cq из выражений параметров модели находились при сравнении теоретических и экспериментальных профилей S, Т. Теоретические значения получались из (2), (4), (5) и сопоставлялись с 54 парами эпюр, измеренных в течениях с характеристиками: U 1 ^ 12 см/с, zm = 1 -i- 8 м, zu = 2 -i- 10 м, Riu = 0.1 -г 14, S = 8 -г- 30 мг/л, Ти^Тк = 0.1^4 °С. Постоянные для рассмотренных режимов течения С si и C's2 (для Se-, Sc+) определялись пош/, U, Шя, AS^, ASk, Se- , Sc+ при t = 0.

Полученные модельные коэффициенты равны Свх = 0.2, CR2 = 0.1, CRз = 0.1, = 0.084. Расчетные Se и Рг составляют Se- = 1.5 ^ 6. Se/ 1 ^ 7, Рг 1 ^ 2; CSi = (0.4 -ь 3.7) • 103, 0's2 = (2 -г 5) • 103. Интервалы (глубины) 5Р, найденные при данных коэффициентах, сопоставлены на рис. 3 с графиком функции

5р = 0.15Ri^°'4, (8)

0.2-

0.1 •

• -1

Д-2 О -3

10

20

Ru

Рис. 3. График зависимости глубины проникновения турбулентного потока импульса 5Р из одного слоя в другой от интегрального числа Ричардсона Шн для плотностных течений на Можайском (/), Иваньковском (2) водохранилищах и оз. Имандра (3). Интервалы — стандартное отклонение от выражения (8)

которая согласуется с выражением (7) при замене Ш„ на Шя- По формуле (8) рост устойчивости течения (Шя) приводит к уменьшению глубины проникновения потока массы из слоя смешения (5ргт) за счет гашения обмена в этом слое. Поскольку такой механизм определяет массоперенос в ядре, то формулу (8) можно назвать законом взаимодействия сдвиговых слоев плотностного течения.

Масштаб времени взаимодействия сдвиговых слоев

Оценки времени взаимодействия А/* по (7) сопоставлены на рис. 4 с найденными по формуле

лг = (1 + ти)/ ((А*;)-1 + (дд-1 ши), (9)

полученной путем интерполяции на основании следующих соображений:

1) рост устойчивости стратификации ведет к гашению турбулентного обмена и, следовательно, к замедлению взаимодействия, т. е. Д/* ~ Ш„;

д t, с

Рис. 4. График зависимости времени взаимодействия сдвиговых слоев Д^* от числа Ричардсона. Обозначения: 1, 2 и 3 — оценки Д^* по формуле (7) для станций на трех полигонах (см. подпись к рис. 3); 4 — Д^* по (9); затененные области — интервалы относительного стандартного отклонения Д£* из (7) и (9) от линейных аппроксимаций, построенных по Д£* из (7); горизонтальные интервалы соответствуют ошибке определения

„ = (5pzm) jv (v — молекулярная вяз-

2) при полном подавлении турбулентности At* определяется молекулярным переносом, т.е. At* = At кость);

3) в случае потери устойчивости (Riu < 0.25) значение AI' стремится к времени переноса при отсутствии стратификации Ate = (öpZm)2/kue ■

Для оценки Ate в (9) принималось kue ~jjzm, öpZm ~ zm и тогда Ate ~ zm/U с коэффициентом 0.8, найденным при подстановке AI* из (7) в (9). Значения AI* имеют порядок lOiV^1, что согласуется со следующими из работ [2, 3, 5] выводами: а) AI* много больше периода основных энергонесущих пульсаций скорости /б) интервалы частот /е и частот плавучести N перекрываются.

Обсуждаемые процессы модулируются флукту-ациями 6р (с вторжением потока массы из слоя смешения в придонный) со средними периодами ~ Ю2^^1 (рис. 5). Периоды соответствуют вторым модам продольных внутренних сейш в термоклине (и 1 ч) на плесах Можайского и Иваньковского водохранилищ и поперечных (и 20 мин) в губе Белой (оз. Имандра) [4, 6, 7].

Рис. 5. Распределения высот верхней (/) и нижней (2) границ области взаимодействия сдвиговых слоев и нижней границы зоны проникновения потока массы из слоя смешения в придонный (3) во времени, нормированном на шаг зондирования Ats ■ Вертикали проведены с шагом, равным среднему периоду колебаний ординат границ 1, 2) для трех станций (см. подпись к рис. 3)

О возможностях применения модели

Из примеров на рис. 1 и из других 54 пар распределений Е> и Т, рассмотренных в [4], следует, что разработанный метод пригоден для расчета профилей с разными знаками локальной кривизны, с максимумами концентрации и квазиступенчатых распределений. Модель проверена для течений с параметрами II = 4 -г- 12 см/с, гт = 1 -г- 8 м, ги = 2 -г- 10 м, Ш„ = 0.1 -г-14, 5 = 8^30 мг/л, Г„-'1\. 0.1^1 С. Описание профилей обеспечивается в различных режимах течения, среди которых выделяются три основных:

1) слабое взаимодействие сдвиговых слоев — уменьшение глубины вторжения потока массы из слоя смешения в придонный при росте устойчивости течения. Формирование квазиступенчатых распределений концентрации в ядре;

2) запирание придонного слоя — снижение динамической скорости, рост градиента концентрации взвеси в ядре и появление ее пика в слое смешения;

3) сильное взаимодействие — увеличение потоков примеси из слоев смешения и придонного в область их контакта при спаде устойчивости течения. Глубина проникновения потока примеси приближается к максимальной, а профили температуры и концентрации взвеси в ядре — к квазилинейным.

Заключение

Основные результаты работы сводятся к следующим. 1. Построена и проверена математическая модель тепло- и массопереноса в придонном стратифицированном течении, разработанная впервые для таких потоков на базе гипотезы взаимодействия сдвиговых слоев. 2. Выявлен закон взаимодействия сдвиговых слоев стратифицированного течения. 3. Разработанный метод пригоден для расчета профилей температуры воды и концентрации взвеси с разными знаками локальной кривизны, с максиму-

мами концентрации и квазиступенчатых распределений. 4. Модель обеспечивает описание эволюции вертикальных распределений температуры воды и концентрации взвеси, известных в начальный момент времени, при заданном распределении скорости и нестационарных граничных условиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-05-64494).

Литература

1. Анисимова Е.П., Петров В.В., Сперанская A.A., Шитов М.В. И Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1992. №5. С. 63 (Moscow University Phys. Bull. 1992. N 5. P. 57).

2. Моурел Т., Торда Т. // Ракетная техника и космонавтика. 1974. 12, №24. С. 150.

3. Самолюбов Б.И. Придонные стратифицированные течения. М„ 1999.

4. Ardasheva М.Е., Shilnev A.V., Samolubois B.I. // Abstr. Int. conf. «Fluxes and structures in fluids». St. Petersburg, 23-26 June 2003. P. 12.

5. Kneller B.C., Bennett S.J. 11 J. Geophys. Res. 1999. 104, N C3. P. 5381.

6. Самолюбов Б.И., Кузнецов И.С., Шильнев A.B., Кременец-кий В.В. // Гидротехническое строительство. 2002. № 10. С. 46.

7. Самолюбов Б.И., Шильнев A.B. // Метеорология и гидрология. 2001. №11. С. 59.

8. Самолюбов Б.И. // Океанология. 2001. 41, № 1. С. 7.

9. Goldschmidt V., Eskinazi S. 11 J. Appl. Mech. 1966. 33, N 4. P. 17.

10. Самолюбов Б.И., Силаев A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. №6. С. 41 (Moscow University Phys. Bull. 1999. N 6. P. 56). И. Еремина E.P., Карлин Л.Н. Интрузионные течения: Теория и эксперимент. // Сб. научн. трудов. Калининград, 1997.

Поступила в редакцию 08.10.03