Модель взаимодействия двугранного клина с почвой при свободном резании Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

время срабатывания устройства. Последовательное отсечение неисправной гидролинии и отвод рабочей среды на слив уменьшают пики давления при срабатывании клапана.

Библиографический список

1. Смирнов, Ю.Н. К расчету аварийного автоматического запорного клапана / Ю.Н. Смирнов // Проблемы гидроавтоматики. - М.: Наука, 1969. - С. 76-85.

2. Аверьянов, В.К. Защита гидропривода строительных машин от потерь рабочей жидкости / В.К. Аверьянов, В.К. Федоров, С.Н. Смирнов // Механизация строительства. - 2002. - №8. - С. 4-6.

3. Павлов, А.И. Надежность гидроприводов лесосечных машин: Научное издание / А.И. Павлов. - Йошкар-Ола.: МарГТУ, 2004. - 211 с.

4. Фоменко, Н.А. Совершенствование эксплуатационных свойств гидравлических систем машинно-тракторных агрегатов: дис... канд. техн. наук: 05.20.01 / Н.А. Фоменко. - Волгоград, 2002. -166 с.

5. Насиров, В.А. Повышение эксплуатационных показателей МТА за счет снижения потерь рабочей жидкости при аварийном нарушении герметичности гидролиний: автореф. дис. ... канд. техн. наук / В.А. Насиров. - М.: ВИМ, 1992. - 23 с.

6. Пат. 2196927 РФ, МПК F 16 K 17 / 24. Отсечный клапан / В.К. Аверьянов, В.К. Федоров, Смирнов С.Н., Бараш А.Л.; опубл. 20.01.03, Бюл. № 2 (III ч.). - 1 с.

7. Пат. 74435 РФ, МПК F 16 K 17 / 22, F 16 K 17 / 24. Отсечный клапан / А.И. Павлов, С.Л. Вдовин; опубл. 27.06.08, Бюл. № 18.- 1 с.

МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУГРАННОГО КЛИНА

с почвой при свободном резании

А.Ф. АЛЯБЬЕВ, ст. научный сотрудник МГУЛ, канд. техн. наук

Свободным называется резание почвы двугранным клином, не имеющим опорного устройства, угол резания, скорость резания и масса клина которого постоянны, а само резание осуществляется под действием горизонтальной силы. Такое резание осуществляется при работе орудия для дискретной обработки почвы, и предлагаемая модель позволяет обосновать параметры рабочего органа.

При условии [1], что клин перемещает почву перпендикулярно рабочей поверхности, вес почвы не учитываем. Также будем использовать положения механики грунтов [2, 7], а именно «принцип линейной деформируемости»: при изменении внешних давлений порядка 0,3-0,5 МПа, а для плотных и твердых грунтов и до 0,5-0,7 МПа, грунты можно отнести к линейно деформируемым телам. Рассматриваем процесс образования при отсутствии силы продольного сжатия элемента пласта, то есть определяем естественные размеры пласта. В качестве основных инструментов построения модели будем использовать методы статики сыпучей среды и теории упругости.

Рассматриваем предельное равновесие элемента пласта при его взаимодействии с передней гранью клина.

alyabievaf@rambler. ru

Нормальную составляющую напряжения по поверхности контакта клина с почвой ok будем определять через модуль деформации почвы E, который является аналогом модуля упругости (модуля Юнга), но в отличие от него отражает как упругую, так и необратимую часть общей деформации почвы [2]

Ok = e • ^

где e - относительная деформация пласта;

E - модуль деформации почвы.

Относительную деформацию e определим по принятой схеме образования элемента пласта - нож перемещает почву перпендикулярно рабочей поверхности e = Eh /h ,

или

e = (s sm(a0 - Y0) cos a0)/(h c°s(a0 - y0) - s где s - расстояние от вершины клина до рассматриваемой точки; h - глубина резания;

Y0 - угол заглубления рабочего органа в почву;

hs - толщина пласта в сечении s до деформации;

Ahs - деформация пласта в сечении s.

При взаимодействии клина с почвой будет образовываться зона предельного равновесия AOВ (рис. 1).

106

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Рис. 1. Схема к определению граничных условий для элемента пласта при его взаимодействии с ножом отвала

С ростом длины S зона предельного равновесия увеличивается. Предельное равновесие нарушится тогда, когда зона предельного равновесия выйдет на дневную поверхность почвы. При этом происходит сдвиг почвы и образуется элемент пласта. Далее процесс повторяется. Таким образом происходит резание с образованием пласта.

Найдем форму области предельного равновесия. Выделим из элемента пласта зону предельного равновесия AOB и определим граничные условия.

Нормальные и касательные компоненты приведенного давления вдоль положительного направления оси ОХ по линии AO выражены так (рис. 1). p = а, + H, т = а, •tgp , 5 = arctg(i / p ),

г n к ’ xy k &• м x xy r n-7’

p = p / cos5 , |p | < p, |5 | < p, где рм - угол трения почвы по поверхности клина;

H = C ctgp - временное сопротивление всестороннему равномерному растяжению; p - приведенное напряжение; pn - нормальная составляющая приведенного напряжения p;

ту - касательная составляющая приведенного напряжения, p;

5x - угол между нормалью к пласту и приведенным напряжением p. Нормальные и касательные компоненты приведенного давления вдоль контура области предельного равновесия выражены так

q=H> tob = °-

Нарушение предельного равновесия приводит к «выпиранию» вдоль контура области предельного равновесия OB и к «оседанию» массива элемента пласта вдоль положительного направления оси ОХ.

Таким образом, вдоль положительной полуоси ОХ, согласно [6], при к = -1 нужно принять

а = p sinAx/sin(Ax + 8x), ф = п/2 - 0,5(Ax + 8x) и

а = p / (1 + sinp), ф = п/2, при 5x = 0, (1)

где а - среднее приведенное нормальное напряжение;

ф - угол между направлением атах и осью ОХ; ^

а - главный компонент напряжения в

max г

рассматриваемой точке; sinA = sin 8 / sinp.

xx

Вдоль контура области предельного равновесия OB при к = +1 нужно принять

а = H / (1 - sinp), ф = в, dy/dx = tg в (2)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

107

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Рис. 2. Область предельного равновесия, прилегающая к ножу отвала: а - на плоскости Е; б - на плоскости xy

Граничные условия задачи сформулированы.

Семейство характеристик, которые являются линиями скольжения, для невесомой среды описывается следующими уравнениями [6]

dy = dx-tg(9 ± s), da ± 2-a-tgp-d9 = 0, (3) где ±s - углы наклона линий скольжения к направлению a ,

s = п / 4 - р / 2.

Для приближенного решения заменяем дифференциалы конечными разностями

У - У1 = (x - xi) tg(9j - s), a - с1 - 2a1 tgp(9 - ф1) = 0,

У - У2 = (Х - Х2) ^(Ф2 + S), a - a2 + 2a2 tgP(Ф - Ф2) = 0. (4)

Воспользуемся стандартным приемом: примем сетку характеристик за криволинейную систему координат на плоскости xy и будем рассматривать х, у, аф как функции от Е и п [6]. Интегрируя второе из уравнений (3), получим ± ф = (ln(a/&) / 2-tgp) - const. (5)

Введем новую функцию X = ln(a/fc) / 24gp,

получим

X ± ф = const.

За параметры Е и п примем

Е = X + ф, П = X - ф. (6)

Пользуясь свободой выбора Е и п, можно задать Е = П = х. Тогда участку OA (рис. 1) на плоскости Еп будет соответствовать отрезок прямой OA (рис. 2 а), вдоль которого, на основании соотношений (1), известны a и ф, а также справедливо

Х = Е У = °. (7)

Рассмотрим область предельного равновесия, состоящую из трех областей [6]. Так же, как в задаче Прандтля [3], строим два тре-

угольника: треугольник АОС (область I), примыкающий к клину, и треугольник ВОО (область III), примыкающий к внешней границе области предельного равновесия, и соединяющий их сектор COD (область II) (рис. 1).

В области, прилегающей к OA (область I), по данным соотношений (1) и (7) I краевая задача [6] позволяет построить решение уравнений (4). На рис. 2 б приведена полученная область предельного равновесия АОС на плоскости xy.

Определим положение точки С на плоскости Еп. Точка C может располагаться на оси п или на оси Е. На основании уравнений (6) справедливо соотношение

Ф ± s = 0,5(Е - n) ± s. (8)

Угол наклона касательной к линии АС (рис. 3 б) соответствует углу ф + s, а к линии ОС - углу (ф - s). Из рис. 2 видно, что при движении по характеристике от точки О к точке С угол (ф - s) уменьшается. При движении по характеристике от точки А к точке С угол фs уменьшается. Если точка C располагается на оси Е, то при движении по характеристике на плоскости Еп от точки О к точке С п const, Е возрастает. Равенство (8) не выполняется, так как с ростом Е, (ф - s) должно возрастать, а у нас (ф-s) убывает. Следовательно, точка C не лежит на оси Е. Если точка C располагается на оси п, то при движении по характеристике на плоскости Еп от точки O к точке C Е const, п возрастает. При этих условиях равенство

(8) выполняется. Аналогично рассматриваем движение по характеристике от точки A к точке C. В этом случае п const, Е убывает. Равенство (8) выполняется, следовательно точка С на плоскости Еп находится на оси п.

108

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Рис. 3. Схема для расчета области предельного равновесия

Таким образом, в общем случае на плоскости расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 3.

В прямоугольной области II из решения уравнений (4) в области I нам известны значения х, у, о, ф вдоль отрезка O С. Вдоль отрезка Ofl2 х = у = 0 и определитель преобразования

дх дх д^дц= 0 дуду ’

д^др

поэтому на плоскости ху отрезок O1O2 вырожден в одну точку О, в которой компоненты напряжения имеют конечные разрывы. Точки отрезка Ofl2 лежат на характеристике ц-const, то есть ф есть функция только £, (8), и, беря согласно (6) в соотношении (5) знак «-», получим

а = D4xp(-2^tgp), (9)

где D* - произвольная постоянная определяется через значения о и ф в точке O .

Уравнение (9) позволяет найти о и ф на отрезке OjO2. Эти данные II краевой задачи позволяют построить решение уравнений (4) в области II.

В области III из решения уравнений (4) в области II нам известны значения х, у, о, ф вдоль отрезка O2D. Вдоль отрезка Ofl справедливы граничные условия (2). Эти данные III краевой задачи позволяют построить решение уравнений (4) в области III.

Предельное равновесие нарушится тогда, когда область предельного равновесия выйдет на дневную поверхность почвы. Для заданной глубины резания h, изменяя длину элемента пласта s, одним из известных мето-

дов (метод Ньютона, метод последовательных приближений и другие) можно построить область предельного равновесия, выходящую на дневную поверхность почвы. Пример области предельного равновесия приведен на рис. 4.

При нарушении предельного равновесия происходит сдвиг по характеристике. При этом поле скоростей должно быть кинематически допустимо. Из рис. 4 видно, что этому условию удовлетворяет характеристика АВ. Элемент пласта будет ограничен поверхностью почвы, поверхностью клина ОА и характеристиками АВ образующегося элемента пласта и предшествующего.

Для использования представленной модели образования пласта необходимо знать у0 - угол заглубления двугранного клина в почву. Рассмотрим заглубление двугранного клина под действием сил сопротивления, возникающих при внедрении вершины клина (лезвия) в почву Р образовании пласта Рв и веса орудия G. При заглублении задняя поверхность двугранного клина передает на почву вертикальную силу N, равную сумме вертикальных составляющих от сил Рв, РСв, G. Будем считать, что резание осуществляется острым клином. Сила сопротивления почвы внедрению лезвия определяется согласно [5].

При заглублении вершина клина осуществляет резание и осадка самой вершины равна нулю. При удалении от вершины по задней поверхности клина осадка растет и достигает наибольшего значения на максимальном удалении от вершины. Задняя поверхность клина плоская и, следовательно, осадка растет линейно.

Будем рассматривать задачу по определению угла заглубления двугранного клина в почву как пространственную задачу осадки упругого полупространства. Исходной зависимостью при определении общих упругих деформаций полупространства является формула Ж. Буссинеска [4, 7]

иу = Р-(1 - р2) / лЕт,

где иу - абсолютное значение осадки в точке M на расстоянии r от точки приложения силы Р на плоскости у = 0; р - коэффициент общей относительной поперечной деформации;

E - модуль общей деформации.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

109

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Рис. 4. Пример области предельного равновесия

Выполним построения (рис. 5). Спроецируем вертикальную силу N на заднюю поверхность двугранного клина Nt и на нормаль к задней поверхности Nn. Сила трения, воспринимаемая почвой, будет равна N = N •tgp .

Общая нагрузка X, воспринимаемая почвой, будет равна

N'=N+(N+N7,

а угол pN между N и нормалью к задней поверхности клина будет равен

pN, = arctg((Nt + N;) / Nn).

Завершая построения, спроецируем заднюю поверхность двугранного клина AB на плоскость AB’, перпендикулярную направлению действия силы N.

Далее решаем задачу с использованием метода стержней [4]. Разбиваем полученную проекцию на квадраты со сторонами с. В центре каждого квадрата помещаем абсолютно жесткий опорный стержень с шарнирами по краям, соединяющий проекцию задней поверхности двугранного клина на плоскость AB’ с полупространством (рисунок 5). По

площади квадрата принимаем нагрузку равномерно распределенной

q = X / с2,

1г г 5

где X. - усилие в z'-ом стержне.

Осадка в точке к от загрузки элементарной площадки du dv нагрузкой q. равна X • du • dv (1 -д2)

duy =

:• E V u2 + v2

c %•

Чтобы найти осадку от нагрузки всего квадрата сЧс, надо дважды проинтегрировать последнее выражение

(u ) = X-(1-й2) 7? du •dv (Uy )к _2 _ г- J J

С •%• E

с с

r----

22

X-(1-й2)

JuF+V nE •с

• F -I

где F. - функция, значения которой табулированы [4].

Значение осадки при X = 1 равно

(uy )к =§к =

(1-й2) п E •с

• К\-

с

Рабочие органы для работы на вырубке выполняют в виде одинарных, сдвоенных или строенных лопастей. Для примера рассмотрим одинарную лопасть.

110

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Рис. 5. Схема для определения угла заглубления

Пусть проекция разбита на 25 квадратов (рис. 5). Для определения двадцати пяти неизвестных усилий X. в стержнях и перемещения клина надо составить двадцать пять канонических уравнений и одно статическое ЕЕ = 0. Используя симметрию относительно оси х, уменьшаем количество уравнений до 16

Vх. + .•• + suX + (S.,6 + s,,16)X6 + ... +

+ (SU5 + 81.25)X15 + 9 X = 0

'+"."+85^ Es^+y^E. +

+ (S5,15 + S5,25)X15 + >0 = 0

S6,1X1 + ... + S6,5X5 + (S6,6 + S^,;6)X6 + ... +

+ (S6,15 + S6,25)X15 + 9 >0 = 0

S15.1X1 + ... + S15,5X5 + (S15.6 + ^15.16)Х6 + ... +

+ (S15,15 + S15.25)X15 + >0 = 0

X + ... + X + 2X + ... + 2X.. + 0 = 1.

1 5 6 15

Значения коэффициентов в системе уравнений определяем с использованием значений функции Fk..

При составлении системы уравнений нагрузка. приходящаяся на проекцию задней поверхности двугранного клина. принята за единицу. Для получения истинных реакций

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

111