CC BY
18
УДК 532.135
Р. Ф. Шарафутдинов, Э. Р. Галимов, Б. А. Снигерев, И. А. Абдуллин
МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ РАСПЛАВОВ ПОЛИМЕРОВ В ФОРМУЮЩИХ КАНАЛАХ
ЭКСТРУЗИОННЫХ УСТАНОВОК
Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, реологические свойства, течение со свободной поверхностью, алгоритм решения,
модель течения.
Рассмотрено установившееся течение вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующееся в формующих каналах экструзионных установок. С использованием метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи.
Keywords: viscoelastic fluid rheology, flow with free surface, solution algorithm, model offlow.
We consider the steady flow of viscoelastic fluid with free surface, are realized in the form of channels extrusion systems. By using the finite element method is developed stable numerical algorithm for solving the problem.
Введение
Возрастающие объемы производства изделий из полимерных материалов методом непрерывного выдавливания (экструзии) вызывает необходимость решения ряда задач: повышение непрерывности технологических процессов, создание высокопроизводительного
перерабатывающего оборудования за счет увеличения скоростей формования и совмещения технологических операций, снижение трудоемкости производства, механизация и автоматизация производства с применением микропроцессорной техники.
При решении выше перечисленных задач особую актуальность приобретают теоретические исследования, направленные на разработку математических моделей, методов расчета и оптимизацию процессов формования методом экструзии [1, 2].
Экспериментальная часть
Движение несжимаемой вязкоупругой жидкости описывается уравнениями сохранения массы и количества движения
У-у = 0, (1)
р(-д=+у-Vу|=-УР +У-т, (2)
где р - плотность полимерного расплава, Р -давление, у - вектор скорости, т - девиатор
напряжения.
Система уравнений 1 и 2 дополняется реологическим конститутивным соотношением, связывающим девиатор напряжения т с тензором
скоростей деформации Р в форме Метцнера
т= Ту +2п№, Ту + А т = 2nvD,
(3)
где 1 - время релаксации жидкости, "Ли -эффективные динамические вязкости растворителя и полимерного расплава соответственно. Зависимость вязкости от скорости сдвига имеет вид:
ПV =(По - О) + (к 12)2+ п„ , здесь п0, П« - наибольшая и наименьшая сдвиговые вязкости полимера, 12 - второй инвариант тензора скоростей деформаций, к, п - параметры модели.
V
т
Оператор
определяет верхнюю
конвективную производную от тензора в виде
v д т T
Т="df+v Vt - т V v -Vv ' • т .
Течение полимера в расчетной области описывается уравнениями 1 - 3, на границе входа в расчетную область задаются профили скорости и полные распределения напряжений у = у0 (х2),
=10„(х2), на выходе из области задается
установившийся однородный профиль скорости и напряжений V = 0, ди/дх = 0, д^ /дх =0, а на
свободной границе должны выполняться кинематические и динамические граничные условия в виде
у-п = 0, п-т -п =2Н/х,
где пД - единичные векторы нормали и
касательной к свободной поверхности, 2Н - радиус кривизны свободной поверхности, х - коэффициент поверхностного натяжения.
Для свободной поверхности, описываемой уравнением Р (хД) = 0, выполняется соотношение
dF „г- „
—+v V F = 0 . dt —
(4)
Аппроксимация уравнений 1-3 и вычисления проводятся методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка на нерегулярных сетках, сгущающихся к зоне истечения полимера из насадки. Поскольку искомые функции существенно меняются лишь в окрестности истечения полимера, то применение мелких в этой окрестности и разреженных вне ее МКЭ-сеток позволяет существенно сократить вычислительные затраты.
Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток 9-узловых четырехугольных
элементов (число узлов 2000, 8400). Для расчета напряжения использовались линейные
четырехугольные элементы. Местоположение деформируемой свободной поверхности находится из аппроксимации кинематического условия (4) методом конечных элементов, затем сетка конечных элементов вблизи нее перестраивается для получения решений матричных уравнений 1-3, с помощью которых находится поле скоростей, давлений, напряжений на новом временном слое. Стационарное решение задачи находится методом установления эволюционной задачи с использованием традиционных для уравнений данного класса алгоритмов.
Для апробации численного алгоритма решалась задача истечения ньютоновской жидкости из трубы при различных числах Яе. Увеличение диаметра выходной струи характеризуется параметром И, равным отношению диаметра струи к диаметру канала и называемым эффектом разбухания струи.
На рисунке приведены формы свободной поверхности ньютоновской жидкости при различных числах Яе в сравнении с экспериментальными данными [3] (заполненные символы).
Из представленных данных видно, что наблюдается вполне удовлетворительное согласие расчетных данных с экспериментальными результатами, имеющими погрешность
приблизительно ± 0,01.
0 I 2 2
Рис. 1 - Формы свободной поверхности ньютоновской жидкости при различных числах Яе: 1 - 4,09; 2 - 12,5; 3 - 17,2; 4 - 27,3; 5 - 47,4
Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о том, что построен эффективный конечно-элементный алгоритм расчета течений вязкоупругой жидкости в областях с подвижными границами.
Литература
1. Г.С. Кутузова, А.Г. Кутузов, М.А. Кутузова, Ф.А. Гарифуллин, Вестник Казанского технологического университета, 21, 137-140 (2012).
2. Г.С. Кутузова, А.Г. Кутузов, М.А. Кутузова, Вестник Казанского технологического университета, 21, 130133 (2012).
2. В.И. Янков, И.О. Глот, Н.М. Труфанова, О.В. Митрофанова, Течение полимеров в отверстиях фильер. Теория, расчет, практика. Изд-во УРС, Ижевск, 2010. 368 с.
© Р. Ф. Шарафутдинов - аспирант каф. «Материаловедение, сварка и производственная безопасность» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ, kstu-material@mail.ru; Э. Р. Галимов - д.т.н., проф., зав. той же кафедры, kstu-material@mail.ru; Б. А. Снигерев - д.т.н., вед. науч. сотр. лаборатории Моделирования технологических процессов Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН, Snigerev@mail.knc.ru; И. А. Абдуллин - д-р техн. наук, проф., зав. каф. ТИПКМ КНИТУ, ilnur@kstu.ru.
© R. F. Sharafutdinov - postgraduate of the Department «Materials Science, Welding and Safety» Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev - KAI, kstu-material@mail.ru; E. R. Galimov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department «Materials Science, Welding and Safety» Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, kstu-material@mail.ru; B. A. Snigerev - Doctor of Technical Sciences, Leading Researcher in the laboratory Modelling of Technological Processes, Institute of Mechanics and Engineering, Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, Snigerev@mail.knc.ru; 1 A. Abdullin - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of «Chemistry and Technology of Heterogeneous Systems» Kazan National Research Technological University, ilnur@cnit.ksu.ras.ru.
