CC BY
0
УДК 669.017.11
МОДЕЛЬ СВЯЗИ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ МЕТАЛЛА С ДРУГИМИ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Амосов Евгений Александрович, к.т.н., доцент (e-mail: amosov-ea@mail.ru) Самарский государственный технический университет,
г.Самара, Россия
В данной статье рассмотрен вопрос о связи модуля Юнга с температурой плавления и плотностью металла на основе представлений Линде-мана о колебательной природе плавления и Френкеля о вакансионной природе плавления.
Ключевые слова: модуль Юнга, модель плавления, температура плавления, теория Линдемана
Наиболее известной моделью плавления типичных металлов является так называемая колебательная модель Линдемана [4, 7], согласно которой для начала плавления атомы в кристаллической решетке должны отодвинуться друг от друга (за счёт тепловых колебаний) на определённую долю размера элементарной ячейки. Данная модель приводит к выводам, которые согласуются с экспериментальными данными, например, к выводу о взаимосвязи коэффициента термического расширения металлов с абсолютной температурой плавления.
Известно также, что модуль Юнга (согласно эмпирической закономерности, обнаруженной Портевеном [3]) возрастает с ростом температуры плавления, в связи с чем возникает закономерный вопрос, а можно ли, исходя из колебательной модели плавления, наглядно объяснить взаимосвязь температуры плавления типичного металла и его упругих характеристик?
Ответу на данный вопрос, а также вопросам связи упругих параметров металла с другими его характеристиками и посвящена настоящая работа.
т k т к т к т к т к
Рисунок 1 - Пружинная модель металла [8]
В наших рассуждениях будем исходить из простой и наглядной модели металла, представленной на рисунке 1 [8], то есть, условно представлять металл в виде совокупности упругих элементов (пружин) и инертных масс, как это видно из рисунка 1.
Подобная модель подтверждается, например, известным эмпирическим законом теплоемкости Дюлонга и Пти, согласно которому теплоёмкость металлического кристалла при комнатной температуре пропорциональна количеству атомов в кристалле и для одного моля примерно равна 3R (или утроенной газовой постоянной R) [10].
Отметим также, что согласно литературным данным [6], температура плавления, как правило, обратно пропорциональна размеру элементарной ячейки, что подтверждается тем фактом, что температуры плавления щелочных металлов достаточно мала, а радиус их атомов достаточно велик (таблица 1).
Таблица 1 - Параметры щелочных металлов [13]
Металл Радиус атома, нм Температура плавления, 0 С
Ы 0.152 181
№ 0.190 98
К 0.227 64
яь 0.248 39
ОБ 0.265 28
Исходя из имеющихся данных, попробуем связать поведение модуля Юнга металлов с наглядной моделью, представленной на рисунке 1.
Определим, пользуясь рассматриваемой нами моделью, как изменение расстояния между атомами (или размер элементарной ячейки кристалла) может повлиять на упругие характеристики материала. Представим себе следующую картину (рисунок 2).
^ТГГЛТи ^/ГЛТЛ*-^ Рисунок 2 - Модель влияние размера ячейки на упругие свойства
Допустим, имеются две элементарных ячейки кристалла разного размера, как показано на рисунке 2. Так как длина модельных пружин, связывающих шары, разная, то можно ожидать, что более длинные пружины обладают меньшей жесткостью, следовательно, увеличение размера элементарной ячейки должно сопровождаться уменьшением модуля Юнга.
Подобное предположение согласуется с опытными данными [9, 11], так как при нагревании размер элементарной ячейки возрастает (явление теплового расширения), а модуль Юнга уменьшается. Кроме того, выше нами уже была отмечена прямая взаимосвязь модуля Юнга с температурой плавления для большинства металлов, а температура плавления металлов часто связана с размером элементарной ячейки кристалла, что было показано на примерах в таблице 1.
Таким образом, пружинная модель металла своеобразно отображает взаимосвязь модуля упругости металла с размером его элементарной ячейки (в случае кубических кристаллов типа ОЦК и ГЦК).
Так как размер ячейки влияет на плотность материала, то это означает, что пружинная модель отражает и влияние плотности на модуль Юнга (чем меньше плотность, тем меньше модуль Юнга, что согласуется с закономерностью Портевена).
Выясним, как может влиять появление дефектов в кристаллической решетке (например, вакансий) на упругие характеристики металла. Для этого изобразим появление вакансии в структуре (например, при нагревании кристалла) следующим образом (рисунок 3).
т к к т к т к т к
Рисунок 3 - Наглядная модель металла с вакансией
Аналогично рассмотренному выше случаю, можно представить себе, что появление вакансий увеличивает длину пружины в нашей модели, а увеличение длины пружины, как известно, снижает её жёсткость, иначе говоря, появление вакансий должно приводить к уменьшению упругости, то есть, к уменьшению модуля Юнга.
Так как появление вакансий в кристаллической решетке обычно является следствием нагревания металла [8] (а это, как уже было отмечено ранее, приводит к уменьшению модуля Юнга), то подобное представление не противоречит наблюдаемым фактам о поведении металлов.
Отметим, что с помощью рассматриваемой модели можно наглядно представить себе связь температуры плавления и коэффициента термического расширения, как это отмечено в модели плавления Линдемана (рисунок 4).
а
Рисунок 4 - Связь плавления и теплового расширения
Допустим, мы раскачиваем центральный атом на рисунке 4, фиксируя крайние атомы (фактически используя модель Френкеля из трёх атомов [14]). Чем меньше длина пружин, тем они более жёсткие, следовательно, раскачка центрального атома потребует больших затрат энергии. Для того, чтобы началось тепловое расширение, мы, согласно существующим представлениям, должны сильнее раскачать атомы (чтобы они за счёт взаимного отталкивания стали отодвигаться руг от друга). Аналогичным образом, для наступления плавления (по модели Линдемана) атомы тоже должны сильнее раскачаться.
Следовательно, можно сделать вывод, что более короткие пружины в пружинной модели препятствуют раскачке атома, мешая тем самым тепловому расширению и плавлению металла.
Определим, отражает ли данная пружинная модель известную закономерность, что добавление примесей к металлу часто снижает его модуль упругости (и связанную с ним температуру плавления).
В случае примесей, образующих твёрдые растворы внедрения (например, углерод в кристаллической решетке железа), как известно [15], происходит увеличение объёма элементарной ячейки железа. Отметим также, что внедрение углерода сопровождается увеличением расстояния между атомами в одном их направлений элементарной ячейки, в то время как другие расстояния существенно не изменяются [9]. Значит, в пружинной модели происходит увеличение длины пружин, что закономерно приводит к более мягкой связи атомов и меньшему сопротивлению расположения атомов попыткам внешней силы изменить это расположение. Иначе говоря, жёсткость связей атомов уменьшается, а это означает, что уменьшается и модуль упругости, что соответствует действительности (добавление углерода в железо снижает модуль Юнга) [3].
В других случаях, когда образование твердого раствора приводит к увеличению размера элементарной ячейки металла, подобные рассуждения также приводят к выводу, что примесь уменьшает модуль Юнга материала, что достаточно часто согласуется с опытными данными [3].
Итак, рассматриваемая нами пружинная модель взаимодействия атомов, несмотря на явное упрощение процесса взаимодействия атомов в кристаллической решётке металлического материала, верно (хотя и своеобразно) отражает известные закономерности взаимосвязи модуля Юнга металла со следующими его паромерами: -с температурой плавления, -с числом вакансий,
-с размером элементарной ячейки металлического кристалла, -с плотностью металла,
-с наличием примесных атомов в кристаллической решетке. Это позволяет нам сделать вывод, что пружинная модель кристаллической решётки сплава на основе металла вполне может быть использована как наглядный образ для иллюстрации закономерностей взаимосвязи различных параметров, характеризующих типичный металлический материал (наряду с другими наглядными моделями, успешно применяемыми для простого и наглядного описания поведения материалов, известных в настоящее время в литературе, например, [1, 2]), что может быть использовано, например, в процессе обучения. Список литературы
1. Амосов, Е.А. Физическое моделирование в металловедении / Е.А. Амосов и др. -Самара: СамГТУ, 2012. - 54 с.
2.Амосов, Е.А. Простые модели некоторых процессов / Е.А. Амосов. - LAP, 2012. -63 с.
3. Лившиц, Б.Г. Физические свойства металлов и сплавов / Б.Г. Лифшиц и др. - М., 1980. - 320 с.
4.Уббеллоде, А.Р. Расплавленное состояние вещества / А.Р. Уббеллоде. - М.: Металлургия, 1982. - 376 с.
5.Магомедов, М.Н. О критерии фазового перехода кристалл-жидкость/ М.Н. Магомедов. - ЖТФ. - 2008. - Т.78. - Вып. 8. - С.93-100.
6.Маейр, К. Физико-химическая кристаллография / К. Майер. - М.: Металлургия, 1972. - 480 с.
7.Lindemann, F.A. The calculation of molecular vibration frequencies / Lindemann, F.A. // Phys. Z.: magazin. — 1910. — Bd. 11. — S. 609—612.
8.Павлов, П.В. Физика твердого тела / П.В. Павлов, А.Ф. Хохлов. - М., 2000. - 494 с.
9.Материаловедение / Ю.П. Солнцев и другие. - М.: Химиздат, 2020. - 784 с.
10.Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1972. - 465 с.
11.Физика прочности и механические испытания металлов / Ю.Н. Симонов и др. -Пермь, 2020. - 199 с.
12. Фистуль, В И Химия и физика твердого тела /В.И. Фистуль. - М.: Металлургия, 1995. - 800 с.
13.https://stal-kom.ru/temperatura-plavleniya-shchelochnykh-metallov-s-rostom-poryadkovogo-nomera-vozrastayet-umen-shayetsya/
14.Френкель, Я.И. Введение в теорию металлов и сплавов / Я.И. Френкель. - М., 1958. - 426 с.
15. Амосов, А. П. Основы материаловедения и технологии новых материалов / А. П. Амосов. — Самара: СамГТУ, ЭБС АСВ, 2016. — 203 c.
Amosov Evgeniy Aleksandrovich, cand.tech.sci., associate professor
(e-mail: amosov-ea@mail.ru)
Samara state technical university, Samara, Russia
THE RELATIONSHIP OF THE ELASTIC MODULUS OF THE METAL WITH OTHER CHARACTERISTICS
Abstract. This article discusses the question of the relationship of Young's modulus with the melting point and metal density based on Lindemann's ideas about the vibrational nature of melting.
Keywords: Young's modulus, melting model, melting point, Lindemann theory
