CC BY
35
Д.М. Макарченко, А.И. Сухинов
МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КОМПАНИИ ПРИ УЧАСТИИ ДВУХ КОНКУРИРУЮЩИХ ФИРМ, ПРОИЗВОДЯЩИХ АНАЛОГИЧНЫЕ ТОВАРЫ, ПРОДАВАЕМЫЕ В ОДНОЙ
ТОРГОВОЙ СЕТИ
Аннотация. В статье рассмотрена модель рекламной компании при участии двух конкурирующих фирм и определение момента времени, когда суммарная прибыль от продаж обоих видов аналогичных товаров достигает максимума в единицу времени.
Ключевые слова: Динамическая модель продаж, влияние рекламы, неформальная реклама, реклама в СМИ.
D.M. Makarchenko, АЛ. Sukhinov
MODEL ADVERTISING CAMPAIGN WITH THE PARTICIPATION OF TWO COMPETING FIRMS PRODUCING SIMILAR GOODS SOLD IN THE SAME RETAIL CHAIN
Abstract. The article describes a model of the advertising company, with the participation of two competing companies and definition of the point in time when the total profit from sales of both types of similar products is maximized per unit of time.
Key words: Dynamic sales model, the influence of advertising, informal advertising, advertising in the media.
Развитие человечества вплотную подошло к новому этапу своей эволюции - этапу так называемого «информационного общества». Он характеризуется резко возрастающей ролью информационной сферы.
Разные фирмы начинают рекламировать новые товары или услуги. Конечно прибыль от продаж должна покрывать затраты на дорогостоящие рекламные компании. Вначале расходы, как правило, значительно превосходят прибыль, потому что лишь небольшая часть потенциальных покупателей будет знать о новых товарах и готова их купить. Но потом, при увеличении числа продаж можно рассчитывать на заметную прибыль. И затем, наступает момент, когда рынок уже насытился и продолжать рекламную компанию будет бессмысленно. Модель рекламной компании основывается на следующих основных предположениях.
Пусть N1 (t) - число покупателей товара 1, N2 (t) - число покупателей товара 2.
Предполагается, что товары 1 и 2 производятся двумя конкурирующими фирмами, а продаются - в одной торговой сети. Примерами таких товаров могут быть смартфоны фирм Nokia и Samsung, соответственно.
Целью данной работы является определение момента времени, когда суммарная прибыль от продаж обоих видов аналогичных товаров достигает максимума в единицу времени.
В данной модели описывается динамический процесс изменения числа покупателей (единиц проданного товара) как функция времени.
^ = [«1l(t)-П(0 + «12(0хNi -£2(0хN2]x(No -N1 -N2), ti <t (1)
djt1 = [«21 (t) - Г2 (t) + «22 (t) x N2 - £1 (t) x N1 ] x (N0 - N1 - N2 ), t1 < t2 < t (2)
В уравнении (1) «11(t) - интенсивность рекламы товара 1 стандартными способами (СМИ,
раздача листовок, щитовая реклама и т.д.); «12 (t) - интенсивность неформальной рекламы, со
стороны лиц (покупателей), купивших товар 1; ^(t) - интенсивность антирекламы по отношению
к товару 1; £2 (t) - интенсивность неформальной антирекламы со стороны покупателей 2 товара по отношению к товару 1.
В уравнении (2) «21(t) - интенсивность рекламы товара 2 стандартными способами (СМИ, раздача листовок, щитовая реклама и т.д.); «22(t)- интенсивность неформальной рекламы, со стороны лиц (покупателей), купивших товар 2; ^2 (t) - интенсивность антирекламы по отношению к товару 2; £1 (t) - интенсивность неформальной антирекламы со стороны покупателей 1 товара по отношению к товару 2.
N0 - потенциально возможное количество покупателей товаров типа 1 и 2 в сумме. К уравнениям (1) и (2) необходимо добавить дополнительные условия. Пусть tx - момент времени, когда начата реклама и продажи товара 1, а t2 - товара 2. Тогда должны быть заданы величины Nx (t1) и N2 (12 )
N1(t1) - Nw ; N2(t2) - N20, (3)
а также все коэффициенты
«ц = аг] (t), i, j = 1,2; Yi = yt (t), pt = pt (t), i = 1,2.
Задача (1), (2),(3) представляет собой задачу Коши для системы уравнений (1), (2). В общем случае t1 ^ 12 . Если t1 < 12, то реклама и продажи товара 1 начаты ранее по сравнению с товаром 2.
Тогда можно считать, что
В2 (t) = 0, ti < t < t2,
/ 1 2 (4)
N2 (t ) = 0,t1 < t < t2.
Система (1) -(2) тогда содержит единственное уравнение (1) с соответствующим начальным условием (3), т.е. предполагается, что
N2(t) - 0; В2 (t) - 0,t1 < t < t2 (5)
Аналогично рассматривается случай t1 > 12 .
Если t1 > 12 , то реклама и продажи товара 1 начаты позднее по сравнению с товаром 2. Рассмотрим для простоты случай, когда t1 = 12 , Ni0 - известны. Взяв все коэффициенты константами, приходим к следующей задаче Коши для системы двух ОДУ первого порядка.
^ = [c + «12 хN1 -В2 хN2]х(No -N1 -N2), t1 <t (6)
^ = [С2 + «22 х N2 - В1 х N1 ]x(No - N1 - N2 ), t1 < t, (7)
N1(0 - N10; N2(t1) - N20, (8)
где
c1 = «11(t) - Y1(tX c2 = «21(t) - Г2 (t) (9)
Сложим почленно оба уравнения, получим
^ + ^ = [C1 + C2 + «11 хN1 + «21 хN2 -В2 хN2 -В1 хN1 ]x(No -N1 -N2)(10)
Сделаем, для того, чтобы упростить аналитическое исследование модели, упрощающие предположения:
g - «11 - B1 = «21 - B2 ,
а также введем обозначения - для новой функции, которая описывает суммарное количество покупателей по формуле
M (t) = N1 (t) + N2 (t), (11)
и для суммы постоянных величин
c - c1 + c2 . (12)
В результате придем к уравнению
^М = (с + gM)(N0 -м), гх < г, , (13)
с начальным условием
м (г1 ) = N1 (г1) + N2 (г1 ) = N10 + N20 (14)
Введем замену переменных
м = М + Оё; м (г1 ) = N10 + N20 + Оё , N0 = N0 + с / ё (15)
Тогда вместо уравнения (13) и начального условия (14) получим задачу Коши для логистического уравнения:
dM ,-,,Гт
— = ём (щ - м), г1 < г
dг (16)
М(^) = N0, г = г1
Положим для упрощения = 0 Тогда начальное условие запишется
м(0) = м0 = Щ0 + N20 + О / ё (17)
Преобразуем (16) к уравнению разделяющимися переменными.
ш .
- --=- = йг (18)
м (N0 - м)
Разложим дробь вида
1 А В
___^ = ^ +-=-=- (19)
ём (N0 - м) ём ё (N0 - м)
Найдем постоянные А и В. Приведем правую часть уравнения (19) к общему знаменателю 1 А(К0-М) + ВМ
ём(N0 -м) gM(N0-M)
1 АМ0 - АМ + ВМ
ём(N0 - м) gM(N0-M)
АКП = 1, А = ^, (20)
0 N
(В - Ам = 0,^ в = А;В = (21)
0
Подставим (20) и (21) в (19), получим:
111
___^ = =-= + =-=-, (22)
ём(N0 - м) N0ём N0ё(N0 - м)
Вернемся к дифференциальному уравнению (18), используя равенство (22), получим: г йм г йм г ,
I _ _ + I —=—=1 йг,
N0 ём ё(N0 - м)
^ м1 =t+С1,
gNo N0N0 -М 1
—=—1п М - М) = t + с1, gNo
1 , м
-1п-
N N0 - м
= г + с
N0 я (г + С1) = 1п
^ М ^
N0 - м
м
N0 - м
= еЩ я (г+С1),
N0 ~ м = е- N0 я (г+С1)
м '
% -1 = е-N0 я (г+С1) м '
Из последнего равенства получаем
N0
м =
1 + е
- N0 я (г+С1)
(23)
Найдем константу С1, используя начальные условия (М(0) = м 0, г = ^ = 0)
м 0 =■
N
0
1 + е
1 + е
- N0 с - N0 яС1 =
м0
г N0 с = -1,
м
-С^0 я =1п
0
1 - N0 м.
С = - =— 1п 1 N0 я
0;
^ -1 ^м0 ,
(24)
Из (23) и (24) получаем:
м (0 =-■ No
- No я
1 + е
1 . г —— 1п
gNo
^-1 м 0
ЛЛ
(25)
Выполняя несложные преобразования, окончательно получим решение уравнения (16), с учетом начального условия (17):
м (г) = N0
( ( 1 +
N0. -1
м0
л - ^
- N0 ё
у
(26)
у
Далее для определения того момента, когда прибыль становится максимальной, необходимо найти максимальное значение производной
{йм}
ч йг ,
V Утах
, которое достигается при некотором значении г = г > г^.
что, в свою очередь, требует нахождения производной второго порядка
й 2 м
йг2
и решения
уравнения вида
= 0.
й2 м
2
йг
Выражения для производных первого и второго порядков имеют вид:
- N
ёМ
йг
( (
1 + -V 1м0
N. -!
Л
Л
N 0 ёг
((
1 + -V 1м0
^ -1
- N0 ёг
ёМ м 0
N0 ёг
- в - *0 ^ 02 ё
йг
( г 1 +
V 1м0
^ -1
,- N0 ёг
Отсюда
ё2М
йг2
^ 03 -N0 ё __ в
V м 0
'0 g'N 2
Л (1+(-1 в -*0*
мп
(27)
03 ёв - N0 ^ __в
V м 0
° g'N2
\+(- Л -^0*
м I
2
\+(^ -1 в -*0 * м„
- в-N0gгN03 ё2
йг2
V
N°. -1
vMo у
^ -1
V Чм0 у
1 +
-N0 ёг
+ 2в-2 N° gгN 03 ё2
^ -1
vMo у
V ( ( 1 +
-1
V Чм0 у
- ^чёг
( ( 1 +
^ - 1
Л _ Л
-«аёг
V vMo у
или
- в -^х3 ё2
ё2 м
N0. -1
Vм 0 у
V ( 1 +
^ -1
> - Л(
V Vм 0 у
в
N0. -1
V Vм 0 у
1 +
в -ы0ёг - 2
N0. -1
Vм 0 у
Л _ Л
в
( ( 1 +
^ -1
л Л
V Vм 0 у
в
2
в
2
в
в
4
2
в
в
4
2
4
- е -N«gtN30 g2
f
d2 M dt2
S -1
M,
Y f 1 -
J
S -1
M,
л
- N gt
J
1 +
Л
л3
^ -1 M„
- N 0 gt
J
Определим момент достижения наибольшего роста (скорости) продаж, решив уравнение = 0 , из которого имеем
d 2 M
dt
2
- е - N gtN 03 g2
(
-1
V M о ,
Y f 1-
Nl -,
Л
Л
V M о
No gt
= 0, что эквивалентно равенству
f
1 -
N°. -1
M,
Л
-No gt _
= 0
J
Из последнего равенства имеем
t* =
Nо g'
ln
N о ^M о V M о J
(28)
Таким образом, максимальная прибыль достигается при г = г > г1и, с учетом равенств (27) и (28) равна
dм (г*) ря (N0 )2 Рт = Р-
dt 4
Вычитая из Pm начальную текущую прибыль
t=о
( dM
ро = P I dM
получаем
Pm -P0 = Pg
N 3
Mg - n2 g N0 g - N02 gMо (No3 g - No2 gMо) Mo _ _ _ = P—--— = - -o 0 = P-----= gMо p(No - Mo)
(
N0 1-1
Mo
2
M о Nq M o2
No2
'( No )2
- M o( No - Mo)
(29)
J
Интересно отметить, что из соотношения (29) следует: если начальная суммарная численность покупателей составляет половину от потенциального количества покупателей, то максимальная прибыль достигается в начальный момент времени (первый день продаж). Проведение рекламы, в особенности с использованием таких распространенных средств, как электронные СМИ, в частности телевидение, требует существенных финансовых затрат. Поэтому актуальным является определение момента прекращения затратных видов рекламы с целью максимизации прибыли с учетом затрат на рекламу. Этот вопрос предполагается рассмотреть в следующей работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1.Михайлов, А.П., Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. -2-изд., испр. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. - 320с. - С.150-154.
2. Михайлов, А. П., Маревцева, Н. А. Модели информационной борьбы // Матем. Моделирование. 2011. Т. 23. № 10, С. 19-
32
е
е
е
1
4
3. Михайлов, А. П., Петров, А. П. Поведенческие гипотезы и математическое моделирование в гуманитарных науках //
Матем. Моделирование. 2011. Т. 23. № 6. - С.18-32
4.Самарский, А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982. - 272с.
5. Михайлов, А. П., Петров, А. П., Прончева, О. Г., Прончев, Г. Б., Маревцева, Н.А. Моделирование периодических дес-
табилизирующих воздействий при информационном противоборстве в социуме, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, М., 2016, - 16 с.
6. Михайлов, А. П. , Петров, А. П. , Маревцева, Н. А., Третьякова, И. В. Развитие модели распространения информации в
социуме // Матем. Моделирование. 2014. Т.26, № 3. - С. 65-74
7. Михайлов, А. П., Петров, А. П., Калиниченко, М. И., Поляков, С. В. Модели- рование одновременного распространения
легальных и контрафактных копий инновационных продуктов // Матем. Моделирование. 2013. Т. 25. № 6. С.54- 63.
А.С. Рыпалов
КОНСЕРВАТИВНОСТЬ СХЕМ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ
Аннотация. Статья посвящена исследованию дискретного аналога непрерывной модели транспорта веществ в прибрежных системах. Для построения дискретного аналога модели транспорта веществ в работе использовали метод конечных разностей. В ходе исследования разработанной дискретной модели транспорта веществ в прибрежных системах изучены свойства консервативности и устойчивости построенных схем повышенного (четвертого) порядка точности, учитывающие частичную заполненность контрольных областей.
Ключевые слова: дискретный аналог, метод конечных разностей, метод сеток, схемы повышенного порядка точности, свойства консервативности.
A. S. Rypalov
CONSERVATIVE SCHEMES OF HIGH ORDER OF ACCURACY
Abstract. The article is devoted to the discrete analogue of the continuous model of the transport of substances in coastal systems. To construct the discrete analog of the model transport of substances used finite difference method. The study developed a discrete model of the transport of substances in the coastal systems studied the properties of conservativeness and sustainability of the built schemes of high (fourth) order of accuracy, taking into account the partial occupancy control areas.
Key words: discrete analogue, finite difference method, grid method, schemes of high order of accuracy, the properties of conservativeness.
Решение задачи транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах представляет собой поиск решения задачи диффузии-конвекции, для чего целесообразно использовать метод конечных разностей. Для построения разностных схем использован интегро-интерполяционный метод, предложенный Самарским А.А. [1-2].
Постановка задачи. Задача транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах в упрощенном случае сводится к нахождению решения уравнения диффузии-конвекции [3-6]:
с + < + Ч = (lc'x )Х + (^с'у )'y + f (1)
с соответствующими начальными
с (x, y ) = с0 (x, y), (x, y )е G, G = G и Г, (2)
и граничными условиями третьего рода:
c'n (^ У, t) = «nc + £n , (^ У )еГ. (3)
Где С - концентрация загрязняющего вещества; U, V - компоненты вектора скорости водного потока; f - коэффициент турбулентного (диффузионного) обмена; f - функция-источник загрязняющих веществ.
Построение дискретной модели. Предполагаем, что расчетная область G имеет сложную, динамически меняющуюся форму, которая вписана в прямоугольник. Для построения разностной схемы введем равномерную расчетную сетку:
W = {tn = т, Хг = ihx, yj = jhy; n = Щ, i = Q~NX, j = 0Ny;
Ntz = T, Nxhx = lx, Nyhy = ly },
