CC BY
15
<С
m
2
о
=г
<С
і
О
о
<
*
ш
МОДЕЛЬ ШЛЯХОЗАЛЕЖНОЇ ВОЛАТИЛЬНОСТІ ДЛЯ ІНДЕКСУ ПФТС
БУРТНЯК I. В.
кандидат економічних наук МАЛИЦЬКА Г. П. кандидат фізико-математичних наук Івано-Франківськ
У теорії ціноутворення опціонів Блека - Мертона - Шоулза базовий актив моделюється як геометричний броунівський рух, чия динаміка під нейтральною межею ризику задається як
dSt = rSt dt + a StdWt,
(1)
де г - локальна безризикова відсоткова ставка, а а - во-латильність. Якщо припустити, що обидва параметри є константами, то модель (1) дає формули для простих опціонів.
У даний час формула Блека - Шоулза широко використовується на практиці в тому випадку, якщо ціни на купівлю та продаж опціонів задані в термінах так званої умовної змінної. Проте ціни, за якими продаються деривативи, неузгоджені з припущенням про сталу волатильність, сильні емпіричні докази стохастичного характеру волатильності стимулювали розвиток більш реалістичних моделей. Основна мета моделей зі змінною волатильністю складається з двох аспектів: з одного боку, щоб отримати ціну звичайного опціону, яка узгоджена з розглянутими якостями змінної, а з іншого боку, щоб обрати правильний варіант стратегії для підвищення продуктивності хеджування. З теоретичної точки зору, це не важко досягти, оскільки будь-яка модель, яка залежить від великої кількості параметрів, може бути відкалібрована, щоб відповідати ринковим цінам. Слід підкреслити, що процедура калібрування залежить від кількості та якості наявних даних.
У моделі місцевої змінної змінна є детермінованою функцією часу та поточної ціни базового активу. Основні переваги в тому, що ринок є повним, і в принципі можливо точно визначити функцію змінної таким способом, щоб ціни опціонів узгоджувалися з ринковими цінами.
Перші результати в цьому напрямку були отримані Гобсоном і Роджерсом, які запропонували в 1998 році модель змінної визначити як різницю між поточною ціною і середнім зваженим показником минулих цін. Для броунівського руху Ж позначимо через біржову ціну, а через М( і відповідно тенденції та відхилення процесів, визначених як ґ
Mt = Xe~Xt J eAsZSds, X > 0, Dt = Zt -Mt, (2)
де Zt = log (e-rtSt) є логарифмом дисконтної ціни процесу.
Функції eKs в (2) є ваги, а параметр А описує ставку, за якою знижуються ціни.
Гобсон і Роджерс припускають, що St є процесом Іто, розв'язком стохастичного диференціального рівняння
dSt = v(Dt )Stdt + а (Dt )StdWt, (3)
де ц і а > 0 є обмеженими функціями, які задовольняють сформульовані гіпотези, з тим щоб гарантувати, що система (2) - (3) має розв'язок. Ключовою особливістю моделі є те, що процес (St, Dt) марковський. Таким чином, ціна U опціону з терміном погашення T має вигляд
U(St,t) = e~r(T-t)Ku(r(T -t) +
+ log(St IK), Mt - log K, T -1),
де K - початкова ціна опціону, u = u(x, y, t) є розв'язком задачі Коші
a (x - у)
2
(dxxu -dxu ) +
+ (x - y)Xdyu -dtu, в R x[0, T], u (x, y,0) = (ex -1)+ при (x, y) eR2.
(4)
(5)
Шляхозалежні моделі ґрунтуються на емпіричному доведенні про залежність змінності по відношенню до відхилення. На рис. 1 наведено імпліковану змінність проти скоригованої логарифмічної грошової поверхні для опціонів значень індексу ПФТС протягом 2011 року. Зауважимо, що середня вага в (2) не може бути достатньо гнучкою, щоб врахувати абсолютно всі особливості процесу, що можуть виникнути, наприклад через злиття акцій чи зміни капіталізації. Рис. 2 репрезентує еволюцію значень імп-лікованої змінності для індексу ПФТС. Досліджувані змінні згруповані по областях значень Б(, видно, що 'їхнє значення зростає при зменшенні Б. Це добре висвітлює співвідношення між змінною та ринковими цінами.
Слабкою стороною моделі Гобсона - Роджерса є те, що багато проблем математичного і економічного характеру виникають з визначення відхилення процесу , бо він включає в себе шлях базового активу за все минуле, тобто на проміжку (-<», Т]. Вимога безмежного періоду часу в минулому очевидно ставить практичні проблеми, оскільки тільки скінчені проміжки часу є наявними, тож відсутність даних в моделі неминуча. Щоб подолати цю проблему, запропоновано узагальнення моделі Гобсона - Роджерса, тобто введено до розгляду нову модель для цін активів зі змінною, залежною від минулого. Розглянемо середню вагу ф, яка є невід'ємною, кусково-неперервною і інтегровною функцією на (-<», Т] і строго додатною на [0, Т], отримаємо ґ
Ф(ґ) = І ф О)*- (6)
І
X
'І
м
гс
X
сс
о
*
'Е
Рис. 1. Еволюція значень імплікованої змінності, побудованої за значеннями логарифмічної грошової поверхні за згрупованими значеннями тренду відхилень для індексу ПФТС у 2011 році Згруповані значення Ор взяті за трендом
1п(ег(Т-ґ)/ К) уіТ—
Рис. 2. Еволюція значень імплікованої волатильності, побудована за значеннями логарифмічної грошової
1п(ег(Т-)^ / К)
поверхні
4Т—1
за згрупованими значеннями тренду відхилень 0( для індексу ПФТС у 2011 році
Відзначимо, що якщо ф має компактний носій, то в цьому випадку область інтегрування в (6) обмежена. Позначимо через г безризикову ставку і Bt = єгі. Визначимо процес
г
| ф (s)Zsds, або еквівалентно ,
1
Ф(ґ).
(М, = -ф^ґ) (І, - мі )(ґ, ґ Ф(ґ) ґ ґ
(7)
де Zt є розв'язком диференціального рівняння
dZ{ = ^(І{ -М\ )ії + а (І{ - М\ )Щ, (8)
а ц і а обмежені неперервні за Гельдером функції та а є строго додатною функцією. Основна ідея полягає в розгляді більш гнучкого відхилення процесу визначеного в термінах загальної середньої ваги, що можливо співвідноситься з скінченим періодом часу. При цих припущеннях відомо, що диференціальне рівняння (8), з урахуванням (7), має єдиний слабкий розв'язок і при цьому
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧИЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕКОНОМІКА ЕКОНОМіКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
(^ M), ^, Д) є процесами Маркова. Типові характеристики середньої ваги даються на таких прикладах:
1) ф(ґ) = еР(ґ) шах(2(ґ),0}, де Р(і), Q(t) є поліно-
міальними функціями, зокрема Р(^ = ^ і Q(t) = 1;
2) ф(t) = 1 для t є [0, Т] і ф(^ = 0 для t і [0, Т], це відповідає середньому геометричному азійського опціону;
3) ф(^ - кусково-лінійна функція - найбільш загальний випадок.
На рис. 3 наведено величину імплікованої вола-тильності для індексу ПФТС. Досліджувані змінні згруповані по областях значень відхилення Д . Проаналізувавши рис. 3, можемо зробити висновок, що значення імплікованої волатильності зростає при зменшенні Д. Це означає, що існує тісний взаємозв'язок між змінною та ринковими цінами.
1
Використовуючи модель шляхозалежної вола-тильності, побудовано тренд ^ і за його значеннями, використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайдено волатильність індексу ПФТС, результати розрахунку наведено на рис. 4. Найкраще репрезентує даний процес квадратична модель а = а + ЪДг + сД2, де А = 10, т = 0,5, N = 2000, оцінки одержані з точністю до 0,95.
в
0,75
0,25
0 0,5
Рис. 3. Імплікована волатильність за згрупованими значеннями тренду відхилення Dt для
індексу ПФТС у 2011 році
ауважимо також, що шляхозалежність волатиль-ності включає інформацію про минуле, і потім, коли все налаштоване на ринку, модель якимось чином «знає» поведінку інвесторів у різних ринкових умовах, а також може відображати позитивні або негативні тенденції активу. Наприклад, на відміну від стандартних локальних або стохастичних моделей волатильності, у випадку раптового падіння ринку шляхозалежна модель
волатильності призначена для автоматичного підвищення рівня волатильності
з метою дослідження динаміки ринку в більш природний спосіб. Тобто, у цій моделі волатильності не потрібно постійно калібрувати змінність (що є відомим недоліком локальних моделей волатильності). Завдяки цьому модель користується великою популярністю серед учених і практиків. ■
ЛІТЕРАТУРА
1. Буртняк І. В., Ма-лицька Г. П. Дослідження волатильності за допомогою модифікації моделі Блека-Шоулза // Бизнес Ин-форм.- 2011.- № (5)1.-С. 72 - 75.
2. Буртняк І. В., Малицька Г. П. Застосування моделі Гобсона - Роджерса для дослідження індексу ПФТС // Зб. наук. праць ^Моделювання регіональної економіки».- Івано-Франківськ : 2011.- № 2(18).- С. 13 - 19.
Рис. 4. Тренд волатильності індексу ПФТС, знайдений за МНК
