Модель производственной системы в форме математического оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.984.2

Ю. Т. Глазунов

МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ В ФОРМЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Рассматривается подход к построению модели предприятия в форме математического оператора, действующего из одного векторного пространства в другое. Первое из этих пространств символизирует материальные ресурсы, второе - готовую продукцию. Введена норма этого оператора и исследованы некоторые его свойства.

An approach to model a production venture in the shape of mathematical operator was presented. This operator is working from a vector space which represents production implements to a space which consist of vectors of prepared production. The definition of norm of this operator was introduced and his certain features were analysed.

Ключевые слова: производственная система, математическая модель, структура, оператор.

Key words: production venture, mathematical model, structure, operation.

© Глазунов Ю. Т., 2014.

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 4. С. 153 — 163.

154

Введение

Целью исследований является разработка математической теории функционирования целеустремленных проблеморазрешающих систем. До недавнего времени целеустремленность считалась исключительно прерогативой человека. Однако в наше время ситуация существенно изменилась, и сейчас к целеустремленным системам мы относим множество человеко-машинных (в том числе и производственных) систем. Известно, что каждая проблеморазрешающая система выступает одновременно и целеустремленной: ее цель — это разрешение возникшей проблемы. С точки зрения кибернетики они — большие системы, характеризующиеся высоким разнообразием составляющих компонентов и громадным количеством объединяющих их связей. Строгая математическая теория здесь необходима, поскольку исследовать большие комплексы взаимосвязанных и взаимодействующих элементов наиболее целесообразно с позиций единого подхода.

Основанная на математике теория должна выступать как единая междисциплинарная наука о наиболее общих законах и формах организации природных, хозяйственных и общественных образований, а также как всеобщий подход к изучению условий их зарождения, развития, обнаружения причин их деструкции, упадка и распада.

В какой-то мере сегодняшнее положение дел в науках о системах можно сравнить с ситуацией, которая в начале ХХ столетия привела в математике к появлению новой дисциплины — функционального анализа [8]. Тогда все чаще стали замечать, что в таких далеких друг от друга дисциплинах, как геометрия, математический анализ или алгебра, возникают весьма схожие задачи и подобные подходы к изучению непохожих объектов. Обобщение и развитие общих методов привело к появлению абстрактного анализа, который позднее сам стал основой новых математических наук.

Необходимо отметить, что для целеустремленных систем какая-либо математическая теория в настоящее время вообще отсутствует. Математический подход применяются в основном в задачах изучения и конструирования технических систем. Когда же речь заходит о человеко-машинных системах или тем более о системах производственного или социальноэкономического характера, математический аппарат авторов скудеет, а затем и полностью исчезает. Рассуждения переходят в рамки качественной оценки ситуации, что вовсе не способствует достижению необходимой глубины результатов.

Среди целеустремленных систем важную роль играют системы производственного характера [4]. Именно на них опирается множество иных хозяйственных институтов.

1. Представление производственной системы в форме математического оператора

Под производственной системой мы понимаем целеустремленную систему, генеральной целью которой является выпуск продукции [7]. Формализуя понятие производственной системы, представим ее в виде оператора Р, действующего из одного векторного пространства X размерности п в другое векторное пространство У размерности т, то есть как

У = Р(х), (1)

где х = [х1, х2,...,хп]є X — п-мерный вектор материальных и иных ресурсов, размещенных на входе в систему, из которых создается т видов продукции; у = [, у2,..., ут ] є У — т -мерный вектор, символизирующий производимую системой продукцию.

Используя системный анализ, раскроем содержание оператора Р. Начиная анализ, рассмотрим следующие определения [1].

Элементом производственной системы мы назовем простейшую неделимую ее часть. Понятие элемента условно: то, что в одном случае воспринимается как элемент, при решении другой задачи, связанной с той же системой, им может уже не быть. Элементы объединяются в группы. Некоторые группы представляют собой подсистемы.

Подсистема — часть системы, обладающая всеми свойствами системы. Подсистема способна выполнять функции, направленные на достижение подцелей генеральной цели системы. Это и отличает ее от простой группы элементов, называемой компонентом системы.

Структура системы — совокупность отношений, заданных на множестве элементов и подсистем [5]. Структура отражает наиболее существенные отношения между элементами и их группами, те, которые мало изменяются в процессе жизнедеятельности системы и обеспечивают само ее существование. Структура создает устойчивую упорядоченность и является основой системной организации.

К структуре относятся связи между элементами. Именно они обеспечивают возникновение и сохранение структуры, ее целостность и динамику поведения. Связь понимается как ограничение степеней свободы системных элементов [3]. Связи бывают направленные и ненаправленные, сильные и слабые. По характеру они разделяются на равноправные, связи подчинения, генетические и связи управления. Последние могут быть прямыми и обратными. Обратная связь определяется как воздействие результатов работы системы на характер ее функционирования. Такие связи бывают положительными (служат сохранению тенденции происходящих в системе изменений) и отрицательными (противодействуют этой тенденции). Обычно обратная связь служит стабилизации требуемого параметра и является основой приспособления системы к изменяющимся условиям существования.

Перейдем к непосредственному анализу оператора (1).

Поскольку оператор Р действует в конечномерных пространствах, в его основе должна лежать матрица размерности п х т, то есть матрица

а =

41

*21

^га!

12

22

иі2

лт2

11

а2 ]

1п

л2п

,рт]

155

156

Эта матрица послужит дальнейшей основой наших рассуждений. Назовем ее матрицей связи и интерпретируем элементы этой матрицы применительно к нашей задаче.

Поскольку преобразование (1) имеет форму у = ах, где правая часть выражения — произведение матрицы на вектор, то символ а. можно считать элементом, связующим входящий в систему у-й ресурс с произведенным ею г-м продуктом. Присвоим всем связующим элементам значение 1, а всем остальным (не связывающим вектор х с вектором у) — значение 0. Матрица связи примет вид

0 1... 1 ... 0 10... 1 ... 1

0 1 ... 1 ... 1

Б =

1 1 ... 1 ...

Назовем Б матрицей производственной структуры. Нулевые элементы Б означают отсутствие связи между вектором ресурсов и выпускаемой продукцией. Для нас они интереса не представляют. Однако каждый единичный элемент Б свидетельствует о некоторой связи между вектором ресурсов и вектором продукции. Связь эта заключается в существовании производственного подразделения, перерабатывающего ресурс ху в элемент продукции у. Обозначим это подразделение символом А. и назовем его структурным производственным подразделением.

В основных цехах и на производственных участках А. сырье и полуфабрикаты превращаются в готовую продукцию. Совокупность действий, направленных на указанное превращение, называют производственным процессом. Из всех производственных процессов наиболее распространены так называемые синтетические. При них одна разновидность продукции изготавливается из различных видов сырья и полуфабрикатов. Отсюда следует, что столбец у матрицы Б определяет все структурные производственные подразделения, участвующие в переработке ресурса с номером у, а строка г — все подразделения, участвующие в создании продукта г.

Итак, матрица производственной структуры показывает все полезные в данном процессе подразделения (они участвуют в выпуске продукции у и отмечены цифрой 1). Но, свидетельствуя о существовании отношения между вектором ресурсов и вектором готовой продукции, отмеченные единицей элементы ничего не говорят о его характере, то есть о том, что происходит в данном связующем звене. Мы знаем лишь то, что звено А. — полезное производственное подразделение. В зависимости от степени детализации системы в качестве такого звена могут выступать цех, участок или иное производственное подразделение.

На основе матрицы Б построим матрицу структурных производственных подразделений

А =

0 А 2 . А1, . . 0

А21 0 ... 2 А к 2

0 сч . А . . Ап

Ат1 Ат2 . : ^ А тп

(2)

и перейдем к вещественному и информационному наполнению элементов Ац (г = 1, 2, ..т; ц = 1, 2, ..и).

В матрице (2) элемент Ац выполняет некоторую производственную операцию. Обозначим ее (г, ц) и рассмотрим это понятие подробнее. Производственные процессы делятся на вспомогательные и основные. Минуя вспомогательные процессы, мы рассмотрим только основные.

Технологический процесс — часть производственного процесса, которая непосредственно связана с состоянием сырья и превращением его в продукцию. Повторяющаяся часть технологического процесса называется циклом. Процессы, циклическая часть которых приостанавливается и повторяется после включения в них нового предмета труда называют периодическими. Непрерывными считаются процессы, которые приостанавливаются только тогда, когда сырьевой поток исчерпывается.

Технологический процесс складывается из частей, разделенных в пространстве и времени, однако связанных единой целью производства. Эти части и называют операциями. Операция — это технически и технологически однородная и завершенная на данной стадии изготовления продукции часть технологического процесса, состоящая из элементарных работ, выполняемых при обработке предмета труда на одном рабочем месте.

Заменяя в матрице производственной структуры все единичные элементы соответствующими структурным подразделениям операциями, мы приходим к новой матрице производственных операций В:

В

0 (1,2) ... (1,І) . .. 0

(2,1) 0 ... (2, І) .. (2, п)

0 (і ,2) ... (і, І) . .. (і, п)

(т, 1) (т, 2) .. (т, І) . . (т, п)

(3)

Последний объект не является упорядоченным числовым множеством. Его ненулевые элементы имеют иной характер — это операции, то есть существующие во времени комплексы взаимосвязанных работ, направленные на превращение исходных материалов в готовую продукцию с использованием энергии и применением человеческого фактора. В выражении (3) это только символы. Но их упорядоченность в форме квадратной таблицы дает нам основание называть множество, представленное таблицей (3), как и иные множества подобного типа, матрицей.

157

158

Сложный объект превращается в систему после того, как он становится организованным. Приступим к анализу и построению модели организации производства [6]. Обратимся вначале к понятиям, связанным с вещественным обеспечением операции.

Для реализации операции (г, |) структурное подразделение А^ должно располагать техникой. Это могут быть станки, машины, аппараты, инструменты и т. д. Обозначим технику, необходимую для выполнения (г, |), ^г .) и назовем ее техническим обеспечением (г, |). Получим матрицу

технического обеспечения производственной системы:

Т =

0 1 *(1,2) *(1,1) 1 0

^(2,1) 0 *(2,1) 1? (2

0 *(і ,2) *( і, 1) *(і, п)

*(т ,1) *(т ,2) . *(т, 1) *(т, п) _

(4)

Матрица (4) включает все технические средства, которые использует производственная система для выпуска продукции у.

Пусть Є(і .) — энергия, необходимая для обеспечения работы А^,.

Матрица энергетических затрат производственной системы тогда есть

Е =

0

(2,1)

°(1,2)

0

°(1,1) Є(2,1)

Чі, 1)

0

42, п)

(і, п)

(5)

К(т,1) С(т,2) С(т, I) С(т, п)_

В определении операции упоминается человеческий фактор. Это разного рода специалисты, участвующие в ее реализации. Коллектив, выполняющий операцию (г, |), обозначим /(I |). Тогда

Ь

42,1)

(1, 2) 0

41,1) 1(2,1)

(і, 1')

(2, п)

(і, п)

(т,1)

(т,2)

(т, 1)

(т, п)

(6)

можно назвать матрицей людских ресурсов производственной системы.

Пусть матрицы (4), (5) и (6) отображают все материальное наполнение производственной системы. Такая важная ее составляющая, как основные фонды (здания, инфраструктура, социальные институты и т. д.), существует постоянно и для нашей задачи отдельное ее рассмотрение значения не имеет. Положим также, что финансовое обеспечение каж-

дой операции имеет место, поскольку существуют и действуют обеспечиваемые финансами материальные составляющие (4) — (6).

Материальные компоненты, даже если они структурно объединены между собой, системы еще не создают. Чтобы она появилась и начала действовать, необходимо в эти элементы внести информационную составляющую. В нашем случае укажем способы, режимы и последовательность обработки сырья; пути и порядок передачи полуфабрикатов (то есть представим технологию прохождения каждой операции); определим взаимосвязь и регламент выполнения составляющих операцию работ; обусловим способы функционирования как отдельных работников, их групп, так и всего коллектива в целом. Предусмотрим и зафиксируем, что предпринимать в случае появления технических неполадок, сбоев в поставке сырья или неспособности отдельных членов производственного коллектива выполнять должностные обязанности.

Иными словами, введем организацию производства. Именно она объединяет и заставляет надлежащим образом работать все материальное наполнение системы. Она создает единое направление и синхронность действия системных элементов. Организация обобщает усилия отдельных составляющих, приводя в системе к синергии и системному эффекту в форме эмерджентности.

Организация производства — это упорядоченность задач, ролей, полномочий и ответственности; она создает условия для осуществления предприятием своей деятельности и достижения установленных целей. Она является противоположностью хаосу, поскольку предполагает разумное формирование структурированного множества под углом зрения целенаправленного его существования. Внешняя среда, в которой существует производственная система, нарушает установленный в системе порядок и, выводя ее из равновесия, вызывают анархию в поведении. Именно это попытает ее энтропию и ведет систему к хаосу. Но эти же воздействия могут способствовать и новому состоянию равновесия производственной системы, которое может быть достигнуто с помощью лучшей ее организации. Так реализуется развитие.

Однажды созданная организация не может быть вечной. Меняется она под воздействием стратегии предприятия и требований внутренней и внешней среды. К причинам внутреннего характера можно отнести технологическое и социальное развитие предприятия, стремление к достижению экономически эффективных результатов. К внешним, — например, влияние потребительского спроса. С этой точки зрения поддержание организации производства — процесс непрерывный.

Образно говоря, организация системы — явление всепроникающее: она охватывает как основные элементы производственной системы, так и ее обеспечивающие составляющие. Она соединяет и направляет к единой цели как отдельные производственные подразделения, так и всю систему в целом. Она определяет порядок всех действий, координирует и синхронизирует работу всех системных составляющих. Организация интегрирует сложный объект в систему и

160

заставляет ее работать в необходимом направлении достижения стоящей перед системой цели.

Разница между структурой и организацией системы громадна: структура — только тень сложного объекта, организация — оживляющий и приводящий его в движение дух. Так же как каждое духовное начало, она непосредственно невидима, хотя и существует в форме информации, записанной на различных материальных носителях.

Не интересуясь технической организацией отдельных системных элементов и не имея возможности отразить в схеме ту ее часть, которая относится к системе в целом, представим только организацию структурных подразделений. Для этого обозначим о({ ) организационную

составляющую А^. Матрица организации структурных подразделений:

О =

' 0 0(1,2) .. °(1, і) .. 0

0(2,1) 0 ... °(2, і) . . °(2, п)

0 °(і ,2) . . °(і, і) . . °(і, п)

_°(т ,1) °(т,2) . .. °(т, і) .. °(т, п) _

(7)

Заметим, что организация не «цементирует» системы, не делает ее «жесткой», неизменяемой и неэластичной. Такая система могла бы «рухнуть» уже при первых серьезных внешних воздействиях или внезапно выступивших внутренних возмущениях. Производственная система сопротивляется влиянию возмущающих воздействий в первую очередь за счет своей организации, а во вторую — подключением к этому процессу управления. Поэтому-то организация производства должна допускать незначительный «люфт» в функционировании структурных подразделений. Выражается он в том, что, например, цех способен некоторое время функционировать и без специалиста, необходимого согласно штатному расписанию, что предприятие будет функционировать даже при переполненном складе готовой продукции, что и при отсутствии денег на зарплату своим работникам предприятие еще некоторое время продолжает действовать и пр.

Упомянутый «люфт» выражается в некоторых «допусках» на неконтролируемые параметры производственного процесса. Иными словами, существуют определенные организацией системы виртуальные перемещения элементов, не приводящие к преобразованиям самой системы. То есть организация представляет собой как бы разновидность наложенных на систему эластичных связей. Скрепляя всю систему, они не запрещают виртуальных перемещений элементов в допустимых направлениях.

Итак, имеем все основные составляющие, необходимые для построения оператора Р. Объединим содержащуюся в выражениях (5) —(7) информацию. Для этого введем операцию над матрицами

А © В = [а.] © [Ь.] = © Ь.], (8)

где А = [а. ] тхп и В = [Ь. ] тхп — матрицы одинаковой размерности.

В выражении (8) знак © представляет собой символ операции объединения элементов двух матриц, занимающих в них одинаковые позиции. Поскольку эти элементы имеют разную природу, символ © не может трактоваться как арифметическое сложение. По своей сути он близок к объединению множеств, если трактовать элементы объединяемых матриц как множества признаков, определяющих объединяемые понятия. Это символ сосуществования элементов, означающий, что два объединенных им элемента сосуществуют и взаимодействуют в едином процессе, сохраняя все первоначально присущие им признаки. Назовем такое действие операцией объединения элементов.

На основе матриц (4) — (7) построим следующую матрицу:

P = T © E © L © O = [^.© е. © /..© о. ] . (9)

Согласно определению операции объединения каждый элемент матрицы Р означает, что структурное подразделение А. располагает техникой, необходимой для выполнения операции (, .). Оно обеспечено требуемой для работы энергией и необходимыми специалистами. Кроме того, это подразделение настроено на выполнение конкретной операции и организовано так, чтобы реализовать поставленную цель.

Назовем матрицу Р производственным оператором. Очевидно, что именно он и фигурирует в выражении (1), которое принимает вид

у = Рж,

где векторы ж и у имеют тот же характер, что и в выражении (1), а действующий на ж оператор представлен матрицей (9).

2. Основные свойства производственного оператора

Рассмотрим некоторые свойства введенного выше оператора.

Обозначим символом Щ стоимость элемента . Считая X и У многомерными евклидовыми пространствами, примем норму векторов ж и у в виде

гп ?________ гт 2

И = 0 Ы =7(х^), ||у|| = 0 Ы =4( у , у ), (10)

где символом () обозначено скалярное произведение векторов. Норму оператора Р примем как согласованную с выражением (10) норму [8] в виде

И=. л^0 ||ж||

Из выражения (10) непосредственно следует ограниченность оператора Р. Действительно, поскольку количество выпускаемой производственной системой продукции ограничено, то 0 < 1|у|| = 1М < С, ще С — некоторое вещественное число. Для нормы элемента ж выполняется неравенство ||х|| Я, ще Я также вещественное число. Примем С/К = К, тогда ||Р|| '' К будет выполнено для любого ж е X, что и требовалось доказать.

161

162

Очевидно, что равенство

Р(х1 + х2) = Рх1 + Рх2 (11)

также выполняется, поскольку увеличение количества сырья на входе производственной системы имеет пропорциональный отклик в форме готовой продукции на ее выходе. Следовательно, Р — оператор аддитивный. По аналогичной причине в рамках производственных мощностей системы можно принять, что

Р( ах) = аРх, (12)

где а — вещественное число.

Последнее равенство означает, что при неизменных условиях производства количество готовой продукции увеличивается во столько раз, во сколько увеличивается количество сырья на входе в систему.

Равенства (11) и (12) свидетельствуют о линейном характере производственного оператора.

Заключение

Применение системного подхода характеризуется постепенным переходом от простого к сложному, от структурных понятий через организацию системы к способам ее функционирования, которые и определяют эффективность системы.

Для дальнейшего исследования проблем целесообразна математическая формализация материала. Это касается также систем производственного характера. Представление такой системы в форме оператора матричного вида позволило по-новому посмотреть на характер производственной системы, вскрыть и проанализировать ее составляющие, а затем синтезировать их в системное единство. Это открывает возможность изучать такие свойства производственных систем, которые ранее были малозаметны.

Созданные к настоящему времени модели производственных систем можно в основном разделить на экономические и инженерные. Представленный в статье подход должен способствовать сближению этих направлений моделирования. Полученные результаты могут распространяться на иные целеустремленные системы, служащие решению различных технических, промышленных, экономических и социальных проблем.

Список литературы

1. Антонов А. В. Системный анализ. М., 2004.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1975.

3. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. М., 1971.

4. Gtazunow J. Cel, operacja oraz uklad operacyjny w swietle podejscia systemo-wego // Acta Elbingensia. Elbl^g, 2006. T. 4 : Elbl^ska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna. S. 343 — 354.

5. Gtazunow J. Grafy i systemy. Urzeczywistnienie abstrakcji // Acta Elbingensia. Elbl^g, 2008. T. 6 : Nauki ekonomiczne i polityczne (nr 1): Elbl^ska Uczelnia Huma-nistyczno-Ekonomiczna. S. 11 — 27.

6. Gtazunow J. Logika opracowania regionalnych programów rozwojowych. Gdañsk. 2002.

7. Глазунов Ю. Т. Программирование регионального развития. Российская Академия Наук. Кольский научный центр. Апатиты, 2008.

8. Lusternik I. A., Sobolew W. I. Elementy analizy funkcjonalnej. Warszawa, 1959.

Об авторе

Юрий Трофимович Глазунов — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Prof. Yury Glazunov — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: [email protected] -----

163