Модель производственной функции на основе закона убывающей производительности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 338.47

МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА УБЫВАЮЩЕЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ

В.В. Матюхин (КамчатГТУ)

Исходя из закона убывающей производительности для экономического субъекта строится однофакторная математическая модель производственной функции, т. е. функции «затраты - выпуск», которая имеет вид функции распределения. Показано, что любой микроэкономический субъект (фирма) в рамках этой модели характеризуется одним главным, определяющим безразмерным показателем - индексом жизнеспособности, который позволяет сравнивать между собой совершенно различные, как по величине, так и по виду их деятельности, фирмы. Для производственной функции в виде распределения Рэлея рассматривается пример, иллюстрирующий применение этой модели.

Proceeding from the law of decreasing productivity for an economic subject the mathematical model of production function is under construction. This function of «expense-release» is like a function of distribution. It is shown that any microeconomic subject (firm) within the limits of this model is characterized by one main thing, a determining dimensionless parameter - «index of viability», which allows to compare among themselves absolutely various firms - various as on size, and by the form their activity. For production function in the form of Relay's distribution the example illustrating uses of this model is given.

Введение

Деятельность любого экономического субъекта заключается в производстве некоторого товара или услуги в количестве Q единиц в единицу времени и продаже этого товара (услуги) по определенной цене q (рублей за единицу), которая определяется рынком. Выпуск продукции невозможен без определенных затрат - вложения в производство. Затраты на производство (издержки) обозначим буквой J (рублей в единицу времени).

Зависимость количества производимого товара Q (выпуск) от величины затрат на его производство и представляет собой простейшую однофакторную математическую модель экономической деятельности фирмы - т. н. производственную функцию, или функцию «затраты -выпуск» [1-3].

В силу закона убывающей производительности зависимость эта, конечно, не может быть линейной. Закон этот гласит, что производительность данного предприятия (урожайность данного участка земли) не может расти беспредельно вместе с ростом вложений в производство. Естественно, что урожай, который можно собрать с земельного участка данной площади, даже при неограниченных материальных вложениях и трудовых затратах, будет ограничен некоторой предельной величиной Qo.

Таким образом, вложения в производство, направленные на повышение выпуска продукции, будут эффективны только до определенного предела. Дальнейшее увеличение вложений будет давать все меньшую отдачу, которая в конце концов сойдет к нулю. В этом суть закона убывающей производительности.

Выполняется он, конечно, для производств, характеризуемых основными неизменными факторами: постоянством производственных (земельных, торговых) площадей и неизменной производственной технологией. Если же делаются капитальные затраты, направленные на увеличение мощности фирмы, то в этом случае мы уже имеем дело с качественно другой фирмой и закон убывающей производительности здесь неприменим.

Модель

Закон убывающей производительности требует, чтобы функция «затраты - выпуск» Q = Q(J) имела вид некоторой интегральной кривой распределения (рис. 1), которая выходит на насыщение - предельный объем выпуска. Это т. н. логистическая кривая [2].

Производная от этой функции , представленная на рис. 2, является функцией предельной

—I

эффективности вложений. Она показывает рост выпуска продукции, связанный с каждым новым вложенным в производство рублем.

1 Т

Г (х) 0,5

у (х) 0,5

Рис. 1. Кривая распределения

Рис. 2. Функция предельной эффективности вложений

Приведем эти функции к безразмерным переменным, с которыми удобно работать:

г = ^ - относительные затраты (вложения); ^0

у = б— относительный выпуск. В эти выражения входят два постоянных параметра, харак-бо

теризующих фирму:

б0 - предельно возможный выпуск продукции при неограниченных затратах; и0 - затраты, соответствующие максимуму эффективности вложений на рис. 2. Производственная функция в безразмерных переменных (рис. 1) есть

У = у(г),

а функция предельной эффективности (рис. 2) имеет вид

(1)

У ! с1г и

( и Л и0

б

0

Какие же затраты на производство следует считать оптимальными и на каком объеме выпуска следует остановиться? Для ответа на этот вопрос рассмотрим функцию прибыли П (руб./ед. врем.), на которую ориентируются все фирмы и которая соответствует выручке от реализованной продукции за вычетом затрат на ее производство:

П = яб - и,

где я (руб./ед.) - рыночная цена единицы продукции.

Прибыль является функцией объема выпускаемой продукции б либо функцией затрат и, которыми определяется выпуск. Прибыль тоже удобно представить в безразмерном виде:

Р=П = яб

и

и\ и\ и г.

или

Р = ]у (г)- г.

(2)

яб,

Здесь параметр ] =- входит как безразмерная «цена» на продукцию данной фирмы. По

и0

своей сути ] есть безразмерный эконометрический параметр, характеризующий степень устойчивости фирмы на рынке, который может быть назван индексом жизнеспособности фирмы. В силу своей безразмерности индекс этот позволяет сравнивать жизнестойкость и конкурентоспособность совершенно различных фирм - различных и по товарообороту, и по виду выпускаемой продукции и экономической деятельности.

Проанализируем, какой вид должна иметь функция прибыли (2), когда производственная функция (1) имеет вид кривой распределения (рис. 1). Для определенности положим, что распределение это есть распределение Рэлея:

1

0

1

2

3

0

1

2

3

г

г

/ (х) = у'(х ) = х£

и зависимость выпуска у от затрат х определяется выражением:

( - х2 Л

у (х) =

1

(3)

Выразим затраты х через объем выпуска у из (3) и представим прибыль (2) как функцию относительного объема выпуска у:

Р(у) = ]у-^/-21п(1-у) ;

(4)

здесь Р задана в интервале 0 < у < 1.

Зависимость прибыли от объема выпуска (4) для конкретной «цены» | = 2,5 приведена на рис. 3. Видно, что до определенного объема выпуска прибыль отрицательна (убытки), потом становится нулевой при у = 0,415 и максимизируется при выпуске, равном 0,767 от предельно возможного.

Рыночная экономика оперирует понятиями «спрос» и «предложение». Кривой предложения называется зависимость объема продукции, которая может быть выпущена и предложена на рынке, от ее цены. Найдем эту зависимость из условия максимизации прибыли Р'(у) = 0:

I (у ) =

1

(1 - у )-21п (1 - у ) '

(5)

Нулевой прибыли соответствует зависимость

к (у ) =

7-21п(1-у )

у

(6)

которая является кривой средних издержек, приходящихся на единицу выпущенной продукции, т. е. к(у) есть относительная себестоимость. Функция предложения (5) и кривая себестоимости (6) приведены на рис. 4.

0,4 т

0,2 --

Р (у) -0,2 --' -0,4 --

у

Рис. 3. Зависимость прибыли от объема выпуска для конкретной цены

I (у) к (у)

2,55

+

+

0,2 0,45 0,7

у

Рис. 4. Функция предложения и кривая себестоимости

0,9)5

2

х

Как видно из графиков, кривая предложения пересекает линию нулевой прибыли в точке у = 0,72, т. е. прибыль для данной модели становится положительной только когда объем выпуска начинает превышать 72% от предельно возможного. При этом индекс жизнеспособности предприятия | должен быть больше 2,216. Если же производственный индекс | предприятия в силу, допустим, низкой рыночной цены q на продукцию ниже 2,216, то такое предприятие конкурентоспособным уже не является и вытесняется с рынка (разоряется).

Пример, иллюстрирующий применение нашей модели

Пусть имеется магазин, в котором работают два продавца. Месячный товарооборот его составил 5 млн руб. В результате эконометрических измерений известно, что на данной торговой

площади в данном месте невозможно сделать более 8 млн оборота в месяц при любом количестве продавцов. Торговая наценка составляет 10%, и увеличить ее не позволят конкуренты. Прибыль в текущем месяце составила 250 тыс. руб.

Перед владельцем магазина стоит вопрос: стоит ли пытаться увеличить оборот магазина, наняв еще одного продавца и сделав другие вложения? И как это скажется на прибыли?

Будем искать решение в рамках нашей модели, считая, что функция «затраты - выпуск» магазина имеет вид распределения Рэлея:

б = 5 млн руб.; б0 = 8 млн руб.;

я = 0,1;

П1 = 250 тыс. руб.

Найдем экономический индекс магазина у, а зная его, получим оптимальные затраты иорХ и оптимальный оборот борг, максимизирующий прибыль.

Для торговых предприятий роль рыночной цены я выполняет торговая наценка. Зная прибыль и торговый оборот в текущем месяце, найдем месячные затраты и1:

и1 = яб\ - П = 0,1 • 5 000 000 - 250 000 = 250 000 руб.

Перейдем к безразмерным (относительным) единицам:

оборот - У! = 5 : 8 = 0,625; затраты - г1 = ^/-21п (1 - у) = ^/-21п (0,375) = 1,4006.

Отсюда получим значение параметра и0 для магазина:

и = и[ : г = 250 000 : 1,4006 = 178 495 руб./мес.

Экономический индекс жизнестойкости нашего магазина] = ябо : и0 = 0,1 • 8 000 000 : 178 495 = = 4,48 - очень высок, что характерно для торговых предприятий.

Найдя экономический индекс предприятия ], можно найти и оптимальный объем выпуска уорг из (5), при котором прибыль становится максимальной:

] =--ч , 1 , ч = 4,48 ^ уор4 = 0,895;

(1 - у )-21п (1 - у )

Этому обороту соответствуют затраты: горг = ^-21п (1 - уор) = 2,123. Эти же величины в абсолютных единицах:

бор = бо • у0Р1 = 8 000 000 • 0,895 = 7 160 000 руб. иорг = и • Го^ = 178 495 • 2,123 = 378 945 руб.

Прибыль в этом случае должна составить:

П = я • бор - иор = 0,1 • 7 160 000 - 378 945 = 337 055 руб.,

т. е. она возрастет на 35%.

Таким образом, резервы для увеличения прибыли у магазина есть. Стоит увеличить вложения, что должно привести к росту доходов.

Выводы

Анализ производственной функции «затраты - выпуск» на основе закона убывающей производительности приводит к открытию интересного параметра - экономического индекса у, характеризующего жизнестойкость и конкурентоспособность фирмы на рынке. Индекс этот определяется через два других параметра, определение которых требует эконометрических измерений: это предельно возможный объем выпуска б0 и объем затрат и0, соответствующих максимуму предельной эффективности.

В силу своей безразмерности индекс ] позволяет сравнивать экономическую устойчивость совершенно различных микроэкономических субъектов - различных как по величине, так и по виду их экономической деятельности.

Литература

1. ПиндайкР., Рубенфельд Д. Микроэкономика. - М., 1992.

2. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. - М.: Наука, 1993.

3. Клейнер Г.Б. Производственные функции. - М.: ФиС, 1986.

УДК 339.727.22

БЛАГОПРИЯТНЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ КЛИМАТ КАК ОСНОВА ДЛЯ ИНОСТРАННЫХ ИНВЕСТИЦИЙ

К.А. Небыков (КамчатГТУ)

В статье обсуждаются вопросы, связанные с формированием и развитием благоприятного инвестиционного климата в России, а также вопросы социально-экономического развития.

The questions of forming and developing of the favorable investment conditions in Russia, as well as questions of social-economic development are discussed in the article.

На данный момент российская экономика переживает затяжной финансовый кризис, что сказывается на всех сферах жизни россиян и, в первую очередь, на социальной сфере, что в свою очередь вызывает социальную напряженность в обществе. Правительство всеми силами пытается преодолеть этот кризис.

Помочь государству в преодолении экономического кризиса призваны инвестиции. Инвестиции предназначены для поднятия и развития производства, увеличения его мощностей, технологического и инновационного уровня.

Проблема инвестиций в нашей стране настолько актуальна, что разговоры о них не утихают. Эта проблема актуальна, прежде всего, тем, что на инвестициях в России можно нажить огромное состояние, но в то же время боязнь потерять вложенные средства останавливает инвесторов. Российский рынок - один из самых привлекательных для иностранных инвесторов, однако он также и один из самых непредсказуемых, и иностранные инвесторы мечутся из стороны в сторону, пытаясь не упустить свой кусок российского рынка и, в то же время, не потерять свои деньги. При этом иностранные инвесторы ориентируются, прежде всего, на инвестиционный климат России, который определяется независимыми экспертами и служит для указания на эффективность вложений в той или иной стране.

Российские же потенциальные инвесторы долгие годы живут с ощущением недоверия правительству, это недоверие обусловлено, прежде всего, сложившимся стереотипом отношения к власти у россиян - «правительство работает только на себя». Однако государственная инвестиционная политика сейчас направлена именно на то, чтобы обеспечить инвесторов всеми необходимыми условиями для работы на российском рынке, и потому в перспективе мы можем рассчитывать на изменение ситуации в российской экономике в лучшую сторону.

Проблема состоит в стимулировании эффективного притока иностранного капитала. В этой связи встает два вопроса: во-первых, в какие сферы приток должен быть ограничен, а во-вторых, в какие отрасли и в каких формах следует в первую очередь его привлекать. Иностранный капитал может привлекаться в форме частных зарубежных инвестиций - прямых и портфельных, а также в форме кредитов и займов. Под прямыми инвестициями следует понимать капитальные вложения в реальные активы (производство), в управлении которыми участвует инвестор [1].

Прямые зарубежные инвестиции - это нечто большее, чем простое финансирование капиталовложений в экономику, хотя само по себе это крайне необходимо России. Прямые зарубежные инвестиции представляют также способ повышения производительности и технического уровня российских предприятий. Размещая свой капитал в России, иностранная компания приносит с собой новые технологии, новые способы организации производства и прямой выход на мировой рынок.

Иностранный капитал может иметь доступ во все сферы экономики (за исключением тех, которые находятся в государственной монополии) без ущерба для национальных интересов. Отраслевые ограничения должны распространяться только на прямые иностранные инвестиции.