Модель оценивания латентных параметров дихотомической модели Раша Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.677: 004.021

МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ЛАТЕНТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДИХОТОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАША

© 2011 г. И.Н. Елисеев, И.С. Шрайфель

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты

South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty

Найден асимптотический закон распределения оценок максимального правдоподобия латентных параметров дихотомической модели Раша при фиксированном числе заданий диагностического теста одинаковой трудности и неограниченно возрастающем объёме выборки. Доказана состоятельность оценок максимального правдоподобия трудности заданий. Показано, что оценки максимального правдоподобия уровня знаний участников тестирования стремятся по вероятности к начальным оценкам, рассчитанным по экспериментальным данным.

Ключевые слова: модель Раша; латентные параметры; метод максимального правдоподобия.

In article we found asymptotic distribution maximum likelihood estimates of latent parameters of the di-chotomous model of Rush for a fixed number of tasks for the same difficult of diagnostic test and infinitely increasing sample size. Proved the consistency of maximum likelihood estimates of difficult questions. It is shown that the maximum likelihood estimate knowledge test participants tend in probability to the initial estimates calculated from experimental data.

Keywords: Rush's model; latent parameters; method of the maximum likelihood.

Постановка задачи

Одним из важнейших аккредитационных показателей образовательного учреждения при проведении его государственной аккредитации является уровень усвоения материала учебных дисциплин, входящих в состав образовательной программы (ОП) специальности или направления подготовки. Количественно уровень усвоения материала учебной дисциплины определяется долей проверяемого контингента студентов, уровень подготовленности (уровень знаний) 9 которых равен или превышает пороговое значение 9п, задаваемое государственным образовательным стандартом (ГОС) соответствующей ОП. Требования ГОС реализуются в критериально-ориентированном тесте (КОТ) по дисциплине, состоящем (как правило) из одинаковых по трудности тестовых заданий, каждое из которых проверяет усвоение определённого элемента содержания учебной дисциплины. При прочих равных условиях объективность результатов аккредитации ОП, в состав которой входит учебная дисциплина, в значительной степени зависит от того, насколько точно откалиброваны задания теста (определены значения их латентного параметра - трудности), который используется для проверки уровня подготовленности студентов.

Расчёт оценок латентных параметров трудности заданий р* и уровня подготовленности студентов 6*

проводится по дихотомической матрице результатов тестирования (матрице ответов) X = (Хц) на основе

метода максимального правдоподобия [1 - 3]. Каждая

строка такой матрицы представляет собой профиль ответов определенного студента на Ь заданий теста, а каждый столбец - профиль ответов всех N студентов на одно конкретное задание. Элемент матрицы ответов Хц отражает результат выполнения ^м тестируемым ц-го задания: Хц = 1 в случае правильного ответа, и Хц = 0, если ответ был неправильный. В качестве

математической модели, которая применяется при обработке матрицы ответов, используется однопара-метрическая дихотомическая модель Раша [1 - 4]. Согласно этой модели, вероятность правильного выполнения задания трудностью рц студентом с уровнем подготовки 6г- равна

Л-ß /

P =

1 + e

-ß j

(1)

На практике объём выборки N участников тестирования можно сделать достаточно большим, но число заданий Ь теста ограничивается разумным значением, при котором зависимость результатов выполнения теста от утомляемости тестируемых можно считать несущественной (как правило, Ь = 50 [5]). В связи с этим важно знать, насколько оценки максимального правдоподобия латентных параметров однопарамет-рической дихотомической модели Раша, рассчитанные по матрице ответов с достаточно большим числом строк N и ограниченным числом столбцов Ь, отличаются от генеральных. Каковы их законы распределения и характер поведения при N ^да?

L N

Пусть хг = ^ Ху - строчные, а у у = £ Ху -У=1 i=1

столбцовые суммы элементов матрицы X. Известно (см., например, [1 - 3]), что

(6!, 02,..., 0 n ;ß!, ß2,..., ß l )

(2)

есть вектор оценок максимального правдоподобия латентных параметров, если и только если его координаты удовлетворяют системе уравнений

L

Z-

„0/-ß i

0/-ßj

= x

' = 1,2,..., N;

j=11 + e

N ~6'-ß

0<-ß i

/=11 + e ' j

(3)

e

= yf, j = 1,2,..., L.

Легко видеть, что каково бы ни было решение (2) системы (3), её решением будет и всякий вектор вида (01 +а,62 +а,...,6N +а; Р1 +а,р2 +а,...,рL +а), где а - постоянная.

Зададим произвольным образом целое число L > 2 и ограниченную последовательность действи-

вд

тельных чисел (6г) г=1 . Для каждого целого N > 2 обозначим через 6*, р* оценки максимального правдоподобия параметров 6г, ру, рассчитанные по дихотомическим результатам тестирования N студентов с уровнем знаний 61,62,...,6N при использовании теста с L заданиями нулевой трудности. Отметим, что значения ру трудности каждого из заданий можно было

бы приравнять не нулю, а любой другой постоянной Р, однако это не увеличило бы общности нашего исследования, поскольку функция (1) и ограниченность последовательности (6г )ВД инвариантны относительно изменения всех параметров на одну и ту же величину р. Необходимо подчеркнуть, что не для всякой дихотомической матрицы размера N х L такие оценки существуют [6, 7], однако (как будет показано ниже) при вычёркивании из неё нулевых и единичных строк применимость метода максимального правдоподобия к оставшейся части матрицы в пределе, при N ^ вд , становится достоверным событием.

Целью данной работы является нахождение асимптотического закона распределения случайных величин 6*, р* при фиксированном числе заданий теста L

и неограниченно возрастающем объёме выборки студентов N.

Основная часть

В настоящей статье используются следующие обозначения и определения: |А| - число элементов конеч-

ного множества

A; Jn ={1,2,...,n}, n > 1; ф(х) =

1 + ex

Мж - множество всех матриц размера N х L, состоящих из нулей и (или) единиц. Строку (столбец) матрицы X е Мж назовём экстремальной (-ым), если

все её (его) элементы одинаковы. Хт - обозначение матрицы, транспонированной по отношению к матрице X. Каждой матрице X е Мж поставим в соответствие матрицу 6(X) = (Ьу) е Мж, полученную из

матрицы X расположением её строк в порядке убывания строчных сумм (в случае равенства строчных сумм больший номер в матрице 6( X) имеет строка с большим номером в матрице X). При этом матрицу X назовём допустимой, если матрица 6^) удовлетворяет следующим двум условиям:

а) для каждого у е JL найдутся номера г, I е JN, для которых Ьу = 0, Ьу = 1;

б) для любого k е JN_1 имеются номера г,у,I такие, что I е Jk, ] е JL, k < I < N , причём Ьу = 0, Ьу = 1.

Требование а), означающее отсутствие в матрице 6^) экстремальных столбцов, очевидно, равносильно аналогичному требованию к матрице X.

Приведём результаты работ [6, 7], используемые в настоящей статье, объединив их следующей формулировкой.

Предложение. Пусть X е Мж . Следующие утверждения равносильны:

1) X - допустимая матрица;

2) существуют оценки максимального правдоподобия 6*, р* параметров 6г, ру, г е JN, ] е JL ;

3) существует единственный (с точностью до аддитивной постоянной а ) вектор оценок максимального правдоподобия (6^ О^..^ 6дг; р*, р2,..., РL);

4) матрица Xт допустима.

Итак, пусть р1 = р2 = ... = РL = 0 , а элементы заданной последовательности (6г) удовлетворяют неравенству |6г| <М0, г = 1,2,... для некоторой положительной постоянной М0. Обозначим через Y матрицу, полученную из дихотомической матрицы ответов X(е Мж ) вычёркиванием экстремальных строк (если таковые в ней имеются). Пусть Т = {/ е JN :0 < хг < L} - множество номеров всех

неэкстремальных строк матрицы X. Введём событие С = {матрица Y допустима} и рассмотрим оценки

максимального правдоподобия 6*, р* параметров 6г, ру, г е Т, ] е JL, рассчитанные по сокращённой матрице ответов Y (при Т = 0 считаем, что событие С не наступило). Предположим, что событие С произошло. Зафиксируем какие-либо числа г, I е JL (г Ф1), удовлетворяющие соотношениям

р* < р* < р* при всех ] е JL . Для обеспечения един**

ственности оценок 6г, ру достаточно придать одной

x

e

из них конкретное (притом произвольное) числовое Оценим снизу вероятности (8). Приняв во внима-

значение; нам будет удобно считать, что р* = 0 ; тогда ние неравенства (6), (7) и Ь > 2, имеем

ß* = 0 < ß* < ß* при всех j e Jl . (4)

P(A ) = 1 - pL-2pi - qL-2qf > 1 - pi - q2 =

Р(П G) >z P(G) - n+1.

i=1 i=1

Докажем вспомогательное утверждение, неодно-

= 1 - р2 - (1 - рг )2 = 2(рг - р2) = 2Т(рг);

кратно используемое в последующих выкладках.

здесь принято используемое и далее обозначение

Лемма. Для любого конечного набора событий

Gl, G2,..., Gn выполнено неравенство Т(х) = х(1 - х). Поскольку Т(х) = - - (х - -)2, а

4 2

Ро + % = 1, то

х) < 1 при всех х е R, (9)

¥(х) >Т(р0) = ¥(%) = р0д0 при всех х е[р0; д0 ] .(10)

В силу (7) и (10),

Р(А) > 2 (Т(рг )> 2Р0?0, I е ^. (11)

Пусть иг - индикатор события Аг, т.е. иг = 1 в случае наступления этого события, и иг = 0 , если оно

Доказательство. Имеем

Р(П G,) = 1 - Р(П G) = 1 - P(Z Gi) >

i=1 i=1 i=1

> 1 -¿P(Gi) = 1 -£ (1 - P(Gi)) =

n n

= 1 -£1 + £ P(Gi) = 1 - n + £ P(Gi).

i=1 i=1 i =1

N

не произошло. Положив t = = 2 иг и учтя нера-Примем обозначения Р(хц = 1) = ф(6г - р ц) = ■ г=1

венства (9), (11), оценим снизу математическое ожидание, а сверху - дисперсию случайной величины t:

V ч^-г \ j

= Ф(9г) = Pi, р(х- = 0) = 1- Pi = qx, j e jl ,i = l,2,...

Поскольку

N N N

ф'(х) = > 0 при всех х е^ (5) М(t) = 2М(и) = 2Р(А) > 2 2Р0= ^

(1 + ех )2 г=1 г=1 г=1

ввиду взаимной независимости случайных величин

то функция ф(х) возрастает на (-да; +да). Значит, при и. г е ^

каждом г > 1 двойное неравенство -М0 <6г < М0 N п

влечёт двойное неравенство ф(-М0) <ф(6г) = ) = 2 °(и>) = Ц(М(и ) - (М(и)) ) =

1 П П N

= Рг <ф(М0). Легко виДеть, что 2<ф(М0) <1, =2 (М(иг)-(М(и))2) = 2 ^(М(иг)) < —.

2 г=1 г=1 4

е-М0 I

ф(-М0) =--- =-— = 1 -ф(М0). Поэтому, Выбрав некоторое уе (0;2р0д0), положим

1 + е 0 1 + е 0

введя обозначения p0 = ф(М0 ), q0 = 1 - p0, можно записать следующие неравенства:

5 = 2р0д0 - у(> 0). Оценим снизу вероятность события В = {: > у^ с помощью полученных оценок М(:), Б(:) и неравенства Чебышева:

0 < q0 <1 < p0 < 1; (6)

0 2 0 P(5) = P(t > yN) = P(t - 2Np0q0 >

q0 < Pl < p0, q0 < qt < p0, i = 1,2,.... (7) >-N5) > P(t - M (t) >-N5) > P(|t - M (t)| < N5) >

> 1-Щ1 > 1 -- N

N 252 4N 2 52

1

Зададим события Ai = {i e T}, i e JN . Так как случайные величины xij, i > 1, j e JL взаимно независимы,

L j откуда P(B) > 1--(здесь и в подобных случаях

то P(xj =1 при всех j e Jl) = ПР(*у = 1) = pL, P(*j = 0 4N52

j=1 далее знак нестрогого неравенства между вероятно' L стями двух событий можно поставить потому, что при всех j e JL) =П P(xij = 0) = qi ; отсюда вытекает . „ ^ J ji lj 1 одно из них благоприятствует другому). Правая часть

соотношение

полученного неравенства стремится к 1 при N ^ да , значит, существует предел

p(Ai) = 1 - pL - qL, i 6 JN. (8) lim P(B) = 1. (12)

N —

Теперь оценим снизу вероятность заданного выше события С . Введём вспомогательные события

Ву = {Ху = 1 Хг, 1 +1 = ^ у е JL_1;

={^ = 1 Хг1 = 0) , г е JN ;

N L

Ву = Е Ву, у е JL; В = П Оу.

г=1 у =1

Покажем, что событие В благоприятствует событию С. Предположим, что это не так, т.е. возможна ситуация одновременного наступления событий В и

С ; в этом случае матрица оказывается недопустимой. Заметим, что появление В влечёт появление по крайней мере одного из событий Вг1, г е JN ; значит,

матрица содержит хотя бы одну строку. В силу равносильности утверждений 1), 4) сформулированного выше предложения, недопустимость влечёт недопустимость Ут , что, согласно определению допустимой матрицы, означает либо наличие в матрице Ут экстремального столбца, либо существование номера т е JL_1 такого, что для каждого элемента Ьу матрицы 6(УТ) справедлива импликация

' > m, bу = 1 ^ bkj = 1 при всех k е Jm.

(13)

применив только что доказанное утверждение (L _ 1) раз, получим цепочку импликаций

у0 еП^ (у0 +1) еП^ ... ^ L е П

^ 1еП^ 2 еП^ ... ^ (у0 _ 1) еП .

Как видим, множеству П принадлежат все элементы множества JL, что противоречит неравенству

|п|< L. Следовательно, наше исходное предположение было неверно, и событие В благоприятствует событию С. Тогда

Р(С) > Р(В) = Р(П В у) > £ Р(В}) _ L +1, (14)

у=1 у=1

в силу леммы. Оценим у-е слагаемое под знаком суммы в (14), воспользовавшись взаимной независимостью случайных величин х %,ге JN,k е JL и вытекающей из неё независимостью в совокупности событий В у ,г е JN:

N N

P( Dy) = P(Z Dy) = 1 - P(£ D у) =

'=1 '=1

Первая возможность исключена самим способом задания матрицы, не содержащей экстремальных строк. Покажем, что ни при каком т е JL_1 импликация (13) не может выполняться не только для всех элементов матрицы 6(УТ), но даже для всех элементов любой матрицы В = (Ь у), полученной из матрицы

УТ перестановкой строк. Предположим, что номер т

и перестановка строк УТ, несуществование которых мы намерены доказать, всё-таки нашлись. Обозначим через П множество номеров всех строк матрицы Ут , занявших в матрице В места строк с номерами, большими т . Так как т е JL_1, то |П| = L _ т е JL_1 .

Покажем, что имеет место импликация у е П п JL_1 ^ (у +1) е П . Пусть у еП,у Ф L . Поскольку событие В у произошло, найдётся номер г е JN такой, что Ху = 1, хг у+1 = 0. Значит, г-й столбец

матрицы X1", не являясь экстремальным, стал одним из столбцов матрицы УТ . Пусть р - номер строки, а q - номер столбца матрицы В , на пересечении которых оказался элемент Ху в результате преобразования матрицы X в матрицу В . Так как р > т , то применение импликации (13) к элементу Ьрд = Ху = 1 приводит к равенствам Ь^ = 1,5 е Jm . Отсюда, ввиду равенства хг у+1 = 0, вытекает принадлежность (у +1) е П . Аналогично устанавливается импликация L еП^ 1 еП . Выбрав какой-либо номер у0 еП и

N _ N _ N

= 1 -Р(ПDy) = 1 -ПP(D/j) = 1 -П (1 -P(Dy)) = '=1 '=1 '=1

N

= 1 -П (1 - P( Ху = 1)P( xty+1 = 0)) =

=1

NN

= 1-П (1 - pq) = 1-П (1 -Y( p')) >

=1 =1

N

> 1-П (1 - Poqo) = 1 -а

=1

N

где ст = 1 _ р^0 е (0;1), ввиду (6); при у = L индекс (у +1) заменяется на 1; в этой выкладке задействованы неравенства (7) и (10). Вернувшись к оценке (14), получаем неравенство

L

Р(С) > £ (1 )_L +1 = L(1 _стN) _L +1 = 1 _LстN .

у=1

Так как полученная оценка снизу величины Р(С) стремится к 1 при N ^ вд , то и

P(C)-

N

->1.

(15)

Отметим, что выше, при оценивании вероятностей Р(Аг), фактически было доказано неравенство

1 _хь _ (1 _х)L > 2р^0(> 0) при всех х е р0].

Поэтому функция х) = —х(1—х—определена,

1 _ xL _ (1 _ х)L

а значит, непрерывна и достигает на указанном отрезке своего наибольшего значения в некоторой его точке х0: х) <Х при всех х е р0], где Х = ^(х0). Покажем, что X < 1:

xo)=

Х0(1 Х0 ) 1 -xL -(1 -Xo)L

<

< 1Ö Хо - XoL < 1 - XoL - (1 - Xo)L ö (1 - Xo)L < > P (| ут\ < E4 yN) + P(t > yN)

< 1 - Xo Ö (1 - Xo)L-1 < 1. _ Pl\y - M (y ) <E 4 y

-1 _

х0 ~ (1 х0) < .. = р(укт -М(укт)| <е4уN) + Р(В)-1 >

Последнее неравенство выполнено, ввиду неравенств Ь > 2, 0 < д0 = 1 - р0 < 1-х0 < 1-д0 = р0 < 1; > | Укт) + р(в)-1 >

8 2 дг2

значит, X < 1. Выберем какое-либо число ц е (X; 1). ь у ^

Поскольку lim -—1, существует число > P(B) 2E8y2N2 P(B) 2E8y2N N^>co >''

E >0+0 1 +4 E ' '

e0 > 0 , удовлетворяющее импликации в силу (12). Значит, и

1-E2 P(Am) >1, 1 < k <m < L. (18)

N

0 <E<Eo ^->|X (16)

1 + 4 E

Вновь применим лемму, на этот раз к произведе-

L2 - L

Заметим далее, что при каждом ц е JL-1 функция нию ь событий А = П Ат

С[х] (1 - х)Ь-1 непрерывна и положительна на отрезке 1йк<т<Ь

[а0; Р0], следовательно, достигает на нём своего наи- Ь2 - Ь

. Р(А) > 2 Р(Ат) - ^^ +1 ———1,

меньшего значения ец > 0 (символом С[ обозначает- 1<к<т<Ь 2 —ш

„ Ь! ч ввиду (18). Следовательно, существует предел

ся число сочетаний из Ь по ц , равное --—). В

j!(L j)! lim P(A) _ 1. (19)

N ^да

силу возрастания функции ln—Х— на отрезке

L - х Предположим, что наступило событие AC, и вы-

1 j +1 j разим случайную величину yrl через оценки макси-[1;L-1], величина E _- min (ln^^--ln^—) F J J

2 j6JL-2 L - j -1 L - j мального правдоподобия ß*,6i параметров ßl,6i положительна (при L _ 2 положим, например, E _ 1). соответственно (i 6 T), рассчитанные по сокращён-Приняв ной дихотомической матрице ответов Y :

E'_ min(E0, Ej, E 2 ,..., EL-1, E, —> 0, (17) Уг1 _E (Xr - xil ) + E (Xr - x,i) _

81L4 i6T i6j nt

зафиксируем произвольное E6 (0; e') . Для любых _E (xir - xil) + E 0 _

7T7 ^ i6T i6JN \T

k, m 6 JL, k < m рассмотрим случайную величину

NN N

_ E(xir xn) _ E xir E xii _

укт = ук ут =2 хгк 2 хгт =2 (хгк хгт). геТ '* ' геТ '* геТ

г=1 г =1 г=1

Найдём математическое ожидание и оценим свер- = 2 ф(6* - р*) - 2 ф(6* - Р*) = 2 ^,

ху дисперсию укт . Имеем геТ геТ геТ

N N где аг =ф(6*-р* )-ф(6*-р*) =ф(6*)-ф(6*-р*) > 0,

М (укт) = 2 (М (хгк) - М (х1т)) 2 (Рг - Рг) = 0; г ' * г ' г ' '

г= гк/ гт" г= г г в силу (4) и возрастания функции ф(х). Положив

0(укт) = 22 (0(х1к) + П(х1т)) = 5 = {г' еТ:аг <е2}, докажем неравенство И > (1-е2): .

' 1 N X Допустим, что оно не выполнено, т.е. |И| > (1 -е2):.

= 2 (РгЧг + РЪ) = 22 ^(рг) < Тогда \Т\И = Т-|И >:-(1 -е2): = е2:. Имеем

. п, \ |у*Л = уг1 = 2 аг >2 аг >2 е2 = е2 Т \ И > е4: ,

(при оценивании и(укт) использованы взаимная еТ г И гег\И

независимость случайных величин хгц, г е JN, ц е JL и что противоречит наступлению события Аг1, которо-

неравенство (9)). С помощью неравенства Чебышева и му благоприятствует событие А . Значит, событие

леммы оценим снизу вер°ятн°сти событий АС благоприятствует событию ||И > (1 -е2):|. Те-

Акт = {IУкт I < е4:}. Имеем Л .

кт кт перь предположим, что наряду с событием А произошло событие F = {появилось событие С, и

р* > е }. На основании определения множества И,

> р (|укт\ <е уN,: >уN)> возрастания функции ф(х) и неравенства р* >е при

P(Akm ) > P( AkmB) _ P(| Укт\ < E 4t > E4 yN) >

каждом i е S получаем двойное неравенство ф(0*) _ф(0* _Е) <ф(0*) _ф(0* _р*) = a <s2. Применив к его левой части теорему Лагранжа, запишем неравенство ф'(£ )(0* _ (0* _ s)) < s2 » ф'(£) < s , в котором £ е (0* _s;0*). Использовав выражение производной функции ф(x) (см. (5)), представим его в

2 £ виде xi <s(1 + xi) , где xi = еы,i е S . Покажем, что

1 _ 1 при каждом i е S xi <s4 или xi >s 4. Допустим,

что это не так, т.е. для некоторого i eS s4 <хг- <s 4 .

1 _1 3 1

Тогда s4 <xi <s(1 + xi)2 <s(1 + s 4)2 = s + 2s4 +s2,

что приводит к неверному неравенству

3 11 1 1 ifi

1 < 1:1 <s4 + 2s2 + s4 = ^(1 + ^s")2 <-(1+-)2 = — < 1

3 3 27

1 1 s

(здесь использовано неравенство s < s <-< —).

81Z4 81 1 _ 1 Итак, при любом i е S xi <s4 или xi >s 4, т.е.

£i <1 lns или £i >_1 lns . Покажем, что первое из г 4 г 4

этих неравенств невозможно. Допустим, что для некоторого i е S оно всё-таки выполнено. Имеем

0* _s<£i < 1ln s , откуда 0* <s +1 lns . Учтя принадлежность i е T , неравенства (4), возрастание функции ф( x) и выбор числа s, получаем

1 < X = £ ф(0* _р*) <]Г ф(0*) =

j=1 j=1

* 1

= ¿ф(9г-) < L9(s ^ ln е) =

1,

е+— ln е 1

Le 4 ен— ln е „.—

Le < Le 4 = L4ёее <

-ln е

1

ен— ln е

1 + e 4

= :

—т-=2: —т

—ln е ieS —

1 + e 4 1 + e 4

И .(1 -е2К

1 + v е 1 + 4 е

■ > H-t,

в силу (16) и неравенств t > 0, е<е0. Итак, событие AF благоприятствует событию К = {м > , следовательно,

P(AF) < P(K).

(20)

Докажем, что при N ^ вд вероятность Р(К) бесконечно мала. Для каждого множества и с JN положим Аи = П Аг П Аг (произведение вида П Gi

геи iеJN \ и ге0

считается достоверным событием). Зафиксируем произвольное множество и с JN, содержащее не менее двух элементов, и выберем какие-либо числа /], г2 е и (1 Ф г2), k1, k2 е {0;1} . Положим Ву ={хг г = kJ ),

Ву ={хуг = kl), Су ={х,5 = kl, 5 е JL \ {г}}, у = 1,2;

у = 1,2; V = П Аг П Аг и докажем равенство

геи iеJ N \и

Pau (B1B2) = PAu (A) Pau (B2).

(21)

Имеем

Pau (B1B2) =

P( AuB1B2) = P(VBlB2 C1C 2) P(Au ) P(VA4 A2) .

Выражения в скобках в числителе и знаменателе представляют собой произведения событий, независимых в совокупности, следовательно,

Pau (b1b2) =

P(V )P(B{)P(B2)P(C 1)P(C 2) P(V )P( Ai1)P( Д.2)

L 81 e

< , e81 <-< 1, 481L4 3

и мы вновь приходим к противоречию. Следовательно, >_ 11п е при всех г е £ . Для этих г имеем * 1

6* > > — 1пе . Приняв обозначение м = Е хгг и

4 геТ

вновь воспользовавшись возрастанием функции ф(х), получаем оценку

w =2 ф(0*) > 2 ф(0*) > 2 ф(- jlnе) =

ieT ieS ieS 4

= P(B1)P(B2)P(C1) P(C 2)

P(Ai1)P(Ai2) •

При j е ,/2 подобным образом получаем P(AvBj) p(VBjAi3_ Cj)

PAU (Bj ) =■

P(Au ) P(VAi1 A2)

P(V)P(Bj)P(A ,)P(Cj) P(B, )P(Cj)

P(V )P(Ai1) P(A2) P(At,)

Отсюда вытекает соотношение

2 2 p(B; )P(Cj)

П Pv (Bj) = П- j j

j=1 j=1

P( 4,)

(22)

j

2

правая часть которого совпадает с правой частью (22). Итак, равенство (21) выполнено при всех г1,г2 е и,г1 Ф г2,к1, к2 е {0;1}. На этом основании можно утверждать, что при условии появления события Аи , где |и| >2, случайные величины хг*,г еи сохраняют свойство попарной независимости. Отсюда, в свою очередь, следует возможность вычисления условной дисперсии суммы »М = 2 хг* путём сумми-

геи

рования дисперсий слагаемых. Каждое из них имеет лишь два возможных значения, 0 и 1; при этом условная вероятность Р Аи (хг* = 1) вычисляется по аналогии с Р Аи В):

Ь

P(Хгг _ 1)P( E Xj < L - 2)

PAv (Xir _ 1) _-

j _ j

P( Ai)

Pi (1 - P( П {xy- _ 1}))

j _1

1 - pL - qiL

Pi (1-П P(Xj _ 1))

j_1

_j*r_

1 - pL - qL

Pi (1 - PL-1) 1 - pL - (1 - Pi)L

, i 6 U

(здесь использованы взаимная независимость случайных величин хц,г е JN, ц е JL и соотношение (8)).

Таким образом, РАи (хг* = 1) = ^(рг) <Х , в силу (7).

При всех г е и имеем

М Аи (хг* ) = 1РАи (хг* = 1) < X;

Dau (Xir ) _ Mau (- (M AU (Xir ))2 _

= У(Ма[/ (хг* )) < 4,

ввиду (9). Тогда

М% (»и) =2 Мау (хг*) <Х|и|;

геи

(»и ) =2 О, (хг* ) < М < ^.

i6U

4 4

ствами ц > X (23) и (24); кроме того, учтём, что появление события АМ влечёт равенства Т = и, »М = » .

РАи (К) = РАи (»и < Ц М) = = Р% (»и -X |и| < (ц-Х)|М|) >

> РМ (»и -МАи (»и) < (Ц^) |М|) >

> Р(|»и - ММ (»и )| < (ц^) М |) >

> РАи (| »и - МАи (»М ) < (ц-^) >

> °Ац (»и) > 2

(Ц-X)2 у2 N N здесь принято обозначение zN = 1 -

1

4(ц-Х)2 y 2 N

Следовательно,

P(K) > E P(Au )PAu (K) >

U с Jn U >yN

> E P(Au )ZN _ ZN E P(AU ) _

U с J N U с J N

|U| >yN U |>yN

= ZNP(t >уN) = ZNP(B) ————1, в силу (12) и сходимости zN ——->1. Значит, и

P( K )-

->1, а P(K) _ 1 - P(K)-

->0 . При-

N —да ' N —да

няв во внимание неравенство (20), приходим к заключению о стремлении к нулю при N — да и вероятности Р(Ар). Применим лемму: Р(Ар) > Р(А) + Р(р) -1,

->0 , ввиду (19).

N ^да

откуда P(F) < P(AF) +1 - P(A)-Следовательно, и P(F) —да > 0, а P(F)-

->1.

N—да N—да

Заметим, что из условия (4) вытекает равносильность неравенства р* < е системе неравенств р* < е, ц е JL .

Поэтому р = С + Е , где Е={наступило событие С, и (23) р* <е при всех ц еJL}. Тогда Р(Ё) < Р(С) + Р(Е) = 1-

- P(C) + P(E), отсюда P(E) > P(F) + P(C)-1-

->1,

(24)

ввиду (15). Следовательно, и

Обратим внимание на справедливость неравенства (24) и при |М| = 1 . Оценим снизу вероятность события

К = {» < ц:}. Поскольку {АМ }М^ - полная группа

попарно несовместных событий, то Р(К) можно выразить по формуле полной вероятности:

Р(К) = 2 Р(Аи) РЛи (К) (при и = 0 » = 0).

и с JN

Оценим снизу Р^ (К) при |и| >уN; при этом воспользуемся неравенством Чебышева, а также неравен-

P(E)-

1,

(25)

N—да

а значит, найдётся номер N0 = N0 (е) такой, что

Р(Е) > 1 - е2 при всех N > N0. (26)

В случае появления события Е для любого выполнены неравенства

Ьф(6* -е) =2 ф(6* -е) < хг =

ц=1

= ^ ф(6* -р^-) ф(6*) = Ьф(6*),

ц=1 ц=1

из которых вытекают неравенства При всех N > N0, п е JN применим к условной

х , . вероятности РА (Е) формулу полной вероятности,

(6* _е) <ф(6*), - е Т (27) А .

Т взяв в качестве набора гипотез Ну, у е JL_1. Учтя

(здесь, как и раньше, использованы условие (4) и воз- (31) имеем

растание функции ф(х)). При всех - е Т средняя р Г17,л_ р (Тт лт> пт'л-

^-Ч РАп (Е ) =Е РАп (Нп )РАпН пу (Е ) =

часть двойного неравенства (27) принадлежит интер- у=1 валу (0;1), на котором определена возрастающая

функция ф_1(у) = 1п У , обратная к функции ф(х). =Е Рп1Рнпу(Е ) <Е РпуРнпу (Еп'^

1 _ у у=1 у =1

Подействуем ею на все части (27): так как в предположении наступления события ну ,

,„* х, _, * где / е JТ_1, событие Ап становится достоверным, а

ф (ф(6- _е)) <ф (-г-) <ф (ф(6г)); п

L событие Е благоприятствует событию Еу. С другой

, х / L стороны, в силу леммы и (29), для тех же N и п по-

6, _е< 1п—--) <6,;

г 1 _ х, / Т лучаем

* х * Р (Е) Р(ЕАп) > Р(Е) + Р(Ап)_1 > Р(Ап) _е2

6- _е<1п ,-ет. (28) РАп(Е )>—Рш— >

Введём событие Е = {наступило событие С, и Между полученными оценками снизу и сверху величины РА (Е') можно поставить знак « < »:

x

ln-^--0

L - Х:

< е при всех - е Т). Так как двойные

62 L-

неравенства (28) влекут неравенства из определения 1 _ Р(А ) < Е рщРнпу (Епу^ п е , ^^ > No. (33)

события Е', то событие Е благоприятствует событию

Е'. На основании (26) получаем неравенство Предположим, что при некоторых N > N0,

п/Т7>\ ^ п/ил ^ 1 2 дг дг /от п е JN,т е JL_1 РН (Епт) < 1 _е. Тогда правая часть

Р(Е ) > Р(Е) > 1 _е для всех N > N0. (29) ™ L1 Нпт пт' *

(33) оценивается сверху следующим образом:

Положим Ну ={хг = у),у е JL,- = 1,2,... Отметим, 1

что случайные величины хг распределены по бино- Е Рщ Рн у (Епу) + РптРнпт (Епт) <

у=1

миальному закону: уфт

Р(х- = у) = Р(Ну) = CLp/qL_], < Е1 Р +Р (1 е) = Е1 Р ер = 1 ер

<Е рп +рпт (1 _е) = Е рп] _ р пт = 1 _ерпт =1 =1

у = 0,1,...,L; - > 1. (30) ]Фт

L_1

(Е Ру = 1, так как при условии наступления события Учтя соотношение (8), вычислим условные веро- =1 ятности Ап (Ну)^ есть полная группа попарно несовме-

Р (н ) = Р(А-НЬу) = Р(Нч) = Р стных событий). Огрубив оценку (33), получаем нера-

А ( у) Р(А) Р(А,) Ру, е2

венство 1--< 1 _еРпт, на основании которого

Р(Ап )

с учётом (7), (30), (31) и (17) можем написать цепочку неравенств е > РптР(Ап) = cmPmqL_т > ет > е', противоречащую выбору е . Значит, наше допущение

У е Jl-1, ' > 1; (31)

здесь и дальше для краткости используется обоз-

С;' р1'^1' _у

начение ру =—L—у—-—у, у е JL _1; очевидно, было неверно, и при всех у е JL_1,п е JN, 1 _ Р ■ _ q ■

- - N > N0 = !0 (е). Это утверждение справедливо для

РА (Нг0) = РА (Н-Т) = 0, - = 1,2,.... Приняв обозна- ,ч

А -0 А -Тт с всех ее (0;е), в силу произвольности выбора е из

чение Еу = {наступило событие САп ,

0П - Inj

L - У

указанного интервала. Обозначим через Епу событие, < е), у е JL_1, п е JN , покажем, что полученное заменой в определении события Еу е на

е . Тогда неравенства 0 < е < е < е' влекут благопри-т1п Рн (Еп:) —-->1. (32) ятствование события ЕЕу событию Еп:, а значит, и

Т_1

неравенства Рнпц (ЕЩ ) > Рнпц (Епц) > 1 -е при всех ц е JL-1, п е JN, N > N0 (е). Устремив е к нулю справа при фиксированном е , получаем сходимость (32).

Заметим, что при ее (0;е') и всех N > 2,п е JN,ц,т е JL-1, ц Ф т события Епц и Епт

несовместны. В самом деле, предположение об их одновременном появлении означало бы выполнение

неравенств

61 - ln-

j

L - j

< E,

61 - ln-

m

L - m

<E

из

которых, в свою очередь, вытекает неравенство

(2E <)

jm ln—--ln-

L- j L -m

(6*„ -ы-^-) - (6*„ - ln j) L -m L - j

<

6П - ln-

L - m

+

6: - ln j

L - j

< 2E

противоречащее выбору е(< е' < е). Значит, ЕцЕпт =0, и, согласно лемме,

0 = Рн (0) = Рн (ЕщЕпт) >

11пт 11пт 'У п"1

> Рн (Е ) + Рн (Епт ) - 1,

11пт 'У 11пт п"1

откуда следует неравенство Рнпт (Епц ) < 1 - Рнпт (Епт ).

В силу (32), правая, а значит, и левая его часть бесконечно мала при N — да . Ещё раз приняв во внимание сходимость (32), получаем равенство

lim PH:m (Ej ) _ 5m, m, j 6 Jl- , : > 1, e 6 (0; e'), (34)

N —^

где 5mj - символ Кронекера: 5mj _

mj

1 при m _ j 0 при m Ф j.

PA: (E:j ) _-

P(A: ) P(A: )

E P(H:m )PHm (Ejj ) E P(Hjm ^ EJ )

m_0 _ m_1

P( A: )

P( A: )

pa„ (eJ )

E P(H:m)5mj P(H )

ЛЛ^ N -

P(A: ) P(A: )

_ P:j. (35)

Теперь найдём предел величины

P(CA:E:j ) P(AjE:, ) Pca E ) _ при N - да .

p(caj ) p(caJ )

С этой целью докажем существование предела

lim P(CAj) _ P(A:).

N—да

(36)

С одной стороны, Р(САп) < Р(Ап), а с другой, в си-

лу (15) и леммы, P(CAn) > P(C) + P(A:)-1-

->P(An).

N—» ' ~ п/

Следовательно, равенство (36) выполнено. Но тогда из (35) и (36) вытекает, что

р Е ) Р(АпЕпц )РА)

P( An )P(CAn)

_ Pa„ (En,)

P( An)

>P:J 1 _P

nJ '

п]/Р(САп) N—да Итак, при N — да закон распределения оценки максимального правдоподобия §*п параметра 6п при условии её существования (иначе говоря, при условии появления события САп ) стремится к соответствию

P(6*n _ ln j) _

CjpjqL-J

L „L

L - j 1- pl - q

j 6 J

L-1

Отметим, что полученный предельный закон распределения величины 0п совпадает с известным в теории дихотомической модели Раша законом

"V

распределения случайной величины бп = 1п-

Найдём условный асимптотический закон распределения случайной величины В*п при фиксированном п > 1 и N — да . Пусть е е (0;е'), а ц е JL-1. С помощью формулы полной вероятности получим следующее выражение:

Р(АпЕп]) Р(Ет)

Ь - хп

(в обоих случаях имеются в виду условные законы распределения, но в первом случае - относительно события САп , а во втором - относительно события

Ап ). Поскольку

Pca„ (E') _

P(CAjE') _ P(AnE')

P(CAn) P(CAn)

так как Рн (Е„,) = 0 при т = 0 и т = Ь. Перейдя в

нём к пределу при N — да и учтя равенства (34), (31), будем иметь

> Р( Ап)+Р(Е')-1 > 1 > 1

Р(Ап) Р(Ап) 2р0Ъ0

при всех N > N,3 (е), п е JN (здесь использованы неравенства (11), (29) и лемма), то справедлив вывод о сходимости по вероятности В*п к В°п при условии наступления события САп . Кроме того, из сходимо-стей (15) и (25) следует сходимость

Pc (E) _

P(CE) P(E)

P(C) P(C)

1—-—-1 _ 1-

N—да 1

m

означающая сходимость по вероятности к нулю оценок максимального подобия р* параметров

Ру = 0, у е JL при условии их существования (т.е. при

условии наступления события С). Отсюда следует,

*

что оценки ру являются состоятельными.

Таким образом, если дихотомическая матрица ответов, по которой рассчитываются оценки максимального правдоподобия латентных параметров 6п и р*, является допустимой, то при каждом фиксированном п > 1 оценка 6п уровня знаний п-го студента стремится по вероятности к его первоначальной оценке

00 = ln-

L _ x,„

при N^-ю. Предельный закон распре-

деления этой оценки определяется выражением

P(0*„ = ln j) =

Cj _j

L _ j 1 _ pL _ qL

j е JL _1 .

Оценки латентных параметров PjP2,....., PL являются состоятельными.

Литература

1. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Введение в теорию моделирования и параметризации педагогических тестов. М., 2000. 168 с.

2. Елисеев И.Н. Теоретические основы алгоритма расчёта латентных переменных программным комплексом RILP-1M // Программные продукты и системы. 2011. № 2 (94). С. 67 - 71.

3. Елисеев И.Н. Методы, алгоритмы и программные комплексы для расчёта характеристик диагностических средств независимой оценки качества образования : монография. Новочеркасск, 2010. 316 с.

4. Rasch G. Probalistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests / Danish Institute for Educational Research. Copenhagen, 1960.

5. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов : учеб. пособие. М., 2002. 432 с.

6. Елисеев И.Н., Шрайфель И.С. Существование и единственность оценок максимального правдоподобия латентных параметров дихотомической модели Раша // Изв. вузов. Электромеханика. 2011. № 1. С. 78 - 85.

7. Елисеев И.Н., Шрайфель И.С. Исследование существования и единственности оценок максимального правдоподобия латентных параметров однопараметрической дихотомической модели Раша // Информатизация образования и науки. 2011. № 3(11). С. 117 - 129.

x

n

Поступила в редакцию 5 сентября 2011 г.

Елисеев Иван Николаевич - канд. техн. наук, профессор, кафедра «Энергетика и безопасность жизнедеятельности», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (8-863-6)-22-55-92. E-mail: ein@sssu.ru

Шрайфель Игорь Семёнович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Математика», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (8-863-6)-25-73-04. E-mail: shraifel17@mail.ru

Eliseev Ivan Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, professor, department «Power Engineering and Safety of Vital Activity», South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (8-863-6)-22-55-92. E-mail: ein@sssu.ru

Shreifel Igor Semenovich - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, associate professor, department «Mathemat-icsa», South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (8-863-6)-25-73-04. E-mail: shraifel17@mail.ru