Модель обмотки силового трансформатора для учета влияния квазипостоянного тока на режим работы силового трансформатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Модель обмотки силового трансформатора для учета влияния квазипостоянного тока на режим работы силового трансформатора

В.В. Вахнина, В.Н. Кузнецов, Д.А. Кретов Тольяттинский государственный университет, Тольятти

Аннотация: Протекание квазипостоянного тока по обмоткам силового трансформатора вызывает смещение рабочей точки с колена кривой намагничивания в зону насыщения. Таким образом, происходит изменение режима работы силового трансформатора. Для учета влияния квазипостоянных токов на режим работы силового трансформатора рассмотрена модель обмотки силового трансформатора с бесконечным ферромагнитным сердечником и цилиндрической магнитной оболочкой. Сравнение рассмотренной модели обмотки силового трансформатора с моделью обмотки без учета оболочки показало отличие в зависимостях индуктивностей от тока намагничивания порядка 20% в зоне токов намагничивания меньше 100 А.

Ключевые слова: силовой трансформатор, насыщение, моделирование, обмотка силового трансформатора, система электроснабжения, квазипостоянный ток, система электроснабжения, линии электропередачи, геомагнитные бури, космическая погода.

Введение

Изменения космической погоды вызывают относительно быстрые изменения геомагнитного поля Земли, что приводит к появлению в системах электроснабжения квазипостоянных токов (КПТ), которые попадают с СЭС через заземленные нейтрали силовых трансформаторов (СТ). Амплитудные значения КПТ в протяженных высоковольтных линиях электропередачи (ЛЭП) могут быть сравнимы со значениями рабочих токов ЛЭП. Квазипостоянные токи вызывают изменение режима работы СТ за счет насыщения ферромагнитного сердечника. Для учета влияния квазипостоянных токов на режим работы силового трансформатора необходимо учитывать изменение индуктивности ветви намагничивания от величины протекающего квазипостоянного тока.

Описание модели обмотки силового трансформатора

Для получения зависимости индуктивности ветви намагничивания СТ от величины КПТ рассмотрена модель обмотки СТ с бесконечным ферромагнитным сердечником и цилиндрической магнитной оболочкой.

Обмотка СТ заменена круговым поверхностным током I, текущим по поверхности круговой ленты радиуса г0 и шириной 220. Расчёт выполнен в цилиндрической системе координат (г, ф, 2) (рисунок 1).

Оболочка

Рис. 1. - Модель обмотки с бесконечным сердечником и цилиндрической

магнитной оболочкой а) - система координат; б) - расчетные размеры

На рисунке 1 обозначены:

I - ферромагнитный сердечник с относительной магнитной проницаемостью

II - область, включающая обмотку СТ с относительной магнитной проницаемостью [г2 = 1;

III - цилиндрическая оболочка из конструкционной стали с относительной магнитной проницаемостью

IV - область учитывающая бак СТ с магнитной проницаемостью = 1;

г1, г0, г2, г3 - радиусы областей I, II, III и IV.

Относительная магнитная проницаемость ц1 в модели принята постоянной при заданном токе I, т. е. все точки сердечника имеют одно и то

же значение /и1. Это означает, что не учитывается неоднородность намагничивания сердечника током I.

Под током I понимается полный ток, текущий по ленте I = 10 ■ w, где w - число витков в обмотке.

Для моделирования процессов насыщения СТ в соответствии с [5]

рассчитаем векторный потенциал А кругового ленточного тока, расположенного в свободном пространстве (сердечник отсутствует). Поскольку плотность тока имеет только ф - составляющую _/ = д ■ е, то и

векторный потенциал А имеет единственную составляющую Аф(г, 2), которая не зависит от ф.

Система уравнений для компонент Аф векторного потенциала А исследуемой системы:

ад

А0 = | А11(Лт )со*-(Ях )с?А,

0

ад

А^ = | [ I (Яг) + ВК1 (Яг) + Э11 (Яг )](Я^Я,

0 ад

А_ = ДС2I (Яг) + ВК1 (Яг) + Э11 (Яг )](Я УЯ,

^22

А^3 = | [ЕК (Яг) + Е11 (Яг )](Я УЯ,

0 ад

А^4 = | ОКг(Яг )собЯ )^Я,

(г < г\),

(г1 < г < г0), (г0 < г < г2), (1) (г2 < г < г3 ),

(г > Г3),

(2)

Коэффициенты С1 и С2, определяются из уравнений (2):

С1(Х) = с0 вШ ^Ц^К1(^г0) [С2(^) = с0 ^ с(^0) 11(^г0) Коэффициенты А, В, Э, Е, Е, G могут быть найдены из граничных условий при г = г1, г = г2, г = г3 (по 2 на каждой границе): при г = г 1, Аф1 = Аф21,

Г

А

1 V

А , + г— 91 дг

дА 9 } 1 '

; А

дА 21

А ,, + г 921

ср 21

дг

при г = Г2, Аф22 = Аф3,

А

2 V

А р 22 + г^-92

922 дг

ф22 ф3

дАр, Л 1 '

А

3 V

дА 3Л А 3 + г^3 93 дг

У

при г = г 3, Аф3 = Аф4,

А

/

3

А р3 + 93

93 дг

дА, ^ 1 '

А

4 V

А.+ г ^ Л

дг

4

Обозначив т1 = —, т2 = —, т3 = —, А А2 А3

¡11 = Д^), Ки = ВД), 1п = Д^), К„ = К'^) ,

101 = Iо(Яг1), К01 = Ко(^),

¡12 = ДА), К12 = Кх(Лг2), ¡12 = 11(Дг2), К12 = К\(Аг2).

102 = 10№Х К02 = (^г2 ) ,

¡13 = ¡1(^3), К13 = К^), ¡13 = ¡1№), К13 = К^),

103 = 10№Х К 03 = К0(^г3).

подставив (2) в граничные условия (3)-(5), получим:

^11 = С1 ¡ц + БКи + Ып,

м 01 = С1 I 01 - ВК 01 + т 01, С2 К,2 + ВК,2 + = ЕК + FI12,

ш2(-С 2 К02 - ВК02 + Ы 02) = - ЕК 02 + FI|

02

(3)

(4)

(5)

(6)

ЕК13 + FI13 = ОК13,

т3(-ЕК 03 + FI 03) = -°К 03.

Из системы (6) получены выражения для определения коэффициентов

А, В, А Е, ^ а:

1

1

, См + С2Ь ^ СII* + С 2 К11 А = ~ 2 , О = 1 1 ~ 2—1-

А А

В = А ■ II;, С1 + Э = А ■ К1 *,

Э = О ■ Ь, С2 + В = О ■ а,

Е = О ■ !К3, Е = О ■ КК3,

(7)

где

с

Ж3 = Яг3

1

л

КК 3 = Яг3

I К I т К

03 13 13 03

т

V ш3 у

1

1--

т

V ш3

К К

03 13

(8)

а = Ж2 Ш3 + II2 КК2;

Ь = КК 2 Ж3 + К 2 КК 3,

(9)

/

IK 2 = Яг2

К 2 = Яг2

1

л

I К I I К

02 12 12 02 т

V ш2 у

г

1

\

II2 = Яг2

К I I ы I

02 12 12 02 т

V 2 у

/1 1 Л

т

V 2 у

102 -^12 ;

КК22 = Яг2

-±л

т

V 2 у

К К

02 12

(10)

к/; = я^( к 01 Iп + т1 кп 101) ^ = Яг1(1 - т1) 1014;

а = кг;а - и;ь.

(11)

С учетом выражений (7) - (11) составляющая Аф(г, 2) векторного потенциала исследуемой системы:

A = | A ■ I1 (Лг )^(л ул,

0

ад

А^ 21 = \ А ■ [[ I, (Лг ) + II* K1 (Лг )]сos(лz ^л,

0 ад

А^ 22 = | G ■ [ (Лг ) + Ыг (Лг )]сos(лz ^л,

0

ад

А^ = | G ■ [ 3 K1 (Лг ) + KK 311 (Лг )]сos(лz )dл,

0 ад

А^ 4 = | G ■ К (Лг )сos(лz )dл.

(г < г:х (г1 < г < Г0% (Г0 < г < Г2),(12)

(Г2 < Г < ^Х

(Г > Г3).

Для нахождения индуктивности обмотки силового трансформатора применим выражения векторного потенциала Аф(г0, z) для вычисления энергии магнитного поля Wм и Аф(г1 = г0, 0) - для вычисления потока Ф1 через ферромагнитный сердечник в плоскости z = 0, а также Aф(r2, 0) и Aф(r3, 0) для вычисления потока Ф3 через сечение магнитной оболочки в плоскости z = 0:

Ф3 = 2*(г А^ (Г3,0) - г2 А^ (г2,0)). (13)

Для частного случая г1 = г0, когда поверхностный ток находится на поверхности сердечника:

Ar(Г0,z) = с|smc(Лz0) К{Л0)а +1 I^Лфо^)dЛ =

0 а

=с | siпc(лz 0) K'::a+У I1o cоо(Лz)dл. о a - И1 Ь

(14)

При отсутствии оболочки (а = 1, Ь = 0) выражение (14) преобразуется в

вид:

, I K

А (Г0 , z) = С0 | 0 ) Т—р.—10'° ^ со((Л)dл

0 1 - (1 - т^Л10: к„

или при z = 0

(15)

А (г0,0) = с0 IsiПс(Л)

К10 а + 110Ь

0 : : 10 KI1 а - II1Ь

ЕМЛ.

(16)

ад

Для вычисления энергии магнитного поля и потоков Ф1 и Ф3 введем обозначения Q3 ,^4:

£ = |81пс(Я20)■ К^а + ^ I\0dЯ■; 0 Ш* а - II *Ь

Q4 = |(81пс(Я20)У ■ ^ + ^ 110dЯ, 0 К! а - II, Ь

11

(17)

причём Qз = Qз(гo, 20, г2, г3, ^3,) и Q4 = Q4(гo, 20, г2, г3, ^3,), т.е. Qз и Q4

зависят также от параметров цилиндрической магнитной оболочки г2, г3,

Из (13) с учетом (12) получим выражение для вычисления потока Ф3

ад К II * + I ю * Ф3 = 2пс0|smc(ЯZo)-JЬt-^(^13 ■ г3 -(Ж3К, + КК3/l2)■ г2уЯ.(18)

0 КЦа- ЩЬ

Введём обозначение для интеграла в выражении (18),

ад К II * +1 ю *

Q5 = |ыпс(Я20) ^ ;;К 1 (К13■ г3-(ж3Кп + ккъи■ г2уя. (19) ^ а - II* и

0 КГ а - II* Ь

Аналогично для Qз, Q4 интеграл Q5 = Q5(гo, 20, г2, г3, ^3,). Поток Ф3 через сечение оболочки в плоскости z=0 из выражения (18): Ф3 = 8 П (20)

откуда

Ф 8/ I г0Q5

О 3 ^ /о 14

В3 = —1-ГТ = —-— . (21)

п(г3 - г2 ) г3 - г2

Таким образом, получены выражения для магнитной индукции и индуктивности обмотки от тока намагничивания:

В

У = / =^11(^1,^3), (22)

В3 8/Ш

"Г = "2^2 = ^1,2(^1,^3), (23)

I г3 - г2

Ь1 = 8/пг^4 = (24)

В формулах (21) - (23) ^ = ^(В), ^3 = МВ), В1 = Bl(1), В3 = В3(^.

Зависимость ^ = ^1(Б1) = /4,1(В1) для сердечника силового трансформатора получена на основе кривой намагничивания электротехнической стали. Для получения зависимости ^3 = ^3(В) = /4,3(В3) в случае цилиндрической магнитной оболочки рассмотрена кривая намагничивания конструкционной стали, которая отличается от кривой для электротехнической стали.

Из (21), (22) ток в ленте:

I =-В-=-В-= ^3(В1), (24)

<Р1>1(В1),^3(4))) (рМаШЛ2(<К4))) ^ 17

где ф3 = ф3(В0= В3(В1).

Зависимость В1(Т) может быть получена путём нахождения обратной функции к ф3:

В = В1( I) = ( <р3)-1( I). (25)

В результате зависимость индуктивности от тока в ленте:

Ь = <Рг(/4д(( <Рг) ЧI)),/<Ж(<Рг)"ЧI)))) = РЛ). (26)

Индуктивность Ь, отнесённая к току одного витка равна:

Ь = Ь(0 = Ь (м^) = м?2^4(wio). (27)

Результаты моделирования

Для рассмотренной модели обмотки СТ с бесконечным ферромагнитным сердечником и цилиндрической магнитной оболочкой был проведен расчет зависимости индуктивности обмотки от величины тока намагничивания. Расчет проводился для обмотки с числом витков м = 200 и радиусом круговой ленты г0 = 0,5 м. На рисунке 2 приведены две зависимости индуктивности обмотки СТ от тока намагничивания. Кривая 1 учитывает влияния бака СТ (с оболочкой), кривая 2 не учитывает влияние бака силового трансформатора на индуктивность обмотки.

Анализ полученных зависимостей показывает, что в области токов намагничивания от 0 до 100 А наблюдается различия в значениях индуктивностей обмотки до 20% без учета и с учетом оболочки из конструкционной стали. В области токов намагничивания выше 100 А различия практически не наблюдаются.

Рис. 2. - Зависимость Ь = Ь(10) для обмотки с бесконечным сердечником и цилиндрической магнитной оболочкой при радиусе круговой ленты г0 = 0,5 и числе витков обмотки w = 200 (1 - с оболочкой, 2 - без оболочки)

Заключение

Рассматриваемая модель обмотки силового трансформатора позволяет учитывать влияние КПТ на режим его работы. Сравнение полученных зависимостей индуктивностей обмоток от тока намагничивания для модели с учетом и без учета бака показало, что наибольшие отличия, порядка 20%, наблюдаются при значениях тока намагничивания меньше 100 А. При значениях тока намагничивания выше 100 А отличия в характеристиках Ь(/0)

не значительны, что объясняется насыщением цилиндрической магнитной оболочки и уменьшением её магнитной проницаемости. Поэтому при моделировании процессов насыщения в присутствии квазипостоянных токов бак силового трансформатора необходимо учитывать только при токах намагничивания величиной меньше 100 А.

Литература

1. Вахнина, В.В., Черненко, А.Н., Кузнецов, В.А. Влияние геоиндуцированных токов на насыщение магнитной системы силовых трансформаторов // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. - 2012. - №3(21). - С. 65-66.

2. Вахнина, В.В., Кретов, Д. А. Определение допустимых уровней геоиндуцированных токов для обеспечения работоспособности силовых трансформаторов при геомагнитных бурях // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». - 2012. - №3. URL: naukovedenie.ru/sbornik12/12-93.pdf.

3. Бадамс, А.М., Сомов, В.А., Шмидт, А.О. Трансформаторы и стабилизаторы, регулируемые подмагничиванием шунтов. - М.: Госэнергоатомиздат, 1959. - 159 с.

4. Дружинин, В.В. Магнитные свойства электротехнической стали. -М.: Энергия, 1974. - 240 с.

5. Пановский, В., Филипс, М. Классическая электродинамика. - М.: Физматизд, 1963. - 432 с.

6. Зихерман, М.Х., Кузьмин, Г.П., Лейтес, Л.В. Магнитная характеристика электротехнической стали при сильном насыщении // Электротехническая промышленность. Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы. - 1972.- №7(16). - С.3-5.

7. Лейтес, Л.В. Электромагнитные расчёты трансформаторов и реакторов. - М.: Энергия, 1981. - 392 с.

8. Розенблат, М.А. Магнитные элементы автоматики и вычислительной техники. - М.: Наука, 1974. - 768 с.

9. Aubin, J., 1992. Effect of geomagnetically induced currents of power transformers. Electra, 141: pp. 24 - 33.

10. Lahtinen, M. and J. Elovaara, 2002. GIC occurrences and GIC tests for 400 kV system transformer. IEEE Transactions on Power Delivery, 17: pp. 555-561.

11. Кралин А.А., Охотников М.Н. Моделирование режимов параллельной работы трехфазных распределительных трансформаторов // Инженерный вестник Дона, 2014, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2602.

12. Папков Б.В. Основа безопасности государства -электроэнергетика // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2023.

References

1. Vakhnina, V.V., Chernenko, A.N., Kuznetsov, V.A. Vliyaniye geo indutsirovannykh tokov na nasyshcheniye magnitnoy sistemy silovykh transformatorov [Influence of geo induced currents at saturation magnetic system of power transformers]. Vektor nauki of Togliatti State University. 2012. №3(21). pp. 65-66.

2. Vakhnina, V.V., Kretov, D.A. Opredeleniye dopustimykh urovney geo indutsirovannykh tokov dlya obespecheniya rabotosposobnosti silovykh transformatorov pri geomagnitnykh buryakh [Definition of admissible levels of the geoinduced currents for ensuring operability of power transformers at geomagnetic storms]. Internet - zhurnal « NAUKO VEDENI YE». 2012. №3. URL: naukovedenie.ru/sbornik12/12-93.pdf

3. Badams, A.M. , Somov , V.A. , Shmidt , A.A. Transformatory i stabilizatory, reguliruyemyye podmagnichivaniyem shuntov (Rus) [Transformers

and stabilizers, adjustable magnetization shunts.]. M.: Gosenergoatomizdat , 1959. pp. 159 .

4. Druzhinin, V.V. Magnitnyye svoystva elektrotekhnicheskoy stali (Rus) [The magnetic properties of electrical steel]. M .: Energiya, 1974. pp. 240

5. Panovskiy, V., Filips, M. Klassicheskaya elektrodinamika (Rus) [Classical lectrodynamics]. M.: Fizmatlzd 1963 g. 432 p.

6. Zikherman, M.H., Kuz'min, G.P., Leytes, L.V. Magnitnaya kharakteristika elektrotekhnicheskoy stali pri sil'nom nasyshchenii (Rus). Elektrotekhnicheskaya promyshlennost'. Apparaty vysokogo napryazheniya, transformatory, silovyye kondensatory. 1972. №7 (16). pp. 3-5.

7. Leytes, L.V. Elektromagnitnyye raschoty transformatorov i reaktorov (Rus) [The electromagnetic calculations of transformers and reactors]. M.: Energiya, 1981. pp. 392

8. Rozenblat, M.A. Magnitnyye elementy avtomatiki i vychislitel'noy tekhniki (Rus) [Magnetic elements of automation and computer technology]. M.: Nauka, 1974. pp.768.

9. Aubin, J., 1992. Effect of geomagnetically induced currents of power transformers. Electra, 141: pp. 24 - 33.

10. Lahtinen, M. and J. Elovaara, 2002. GIC occurrences and GIC tests for 400 kV system transformer. IEEE Transactions on Power Delivery, 17: pp. 555-561.

11. Kralin A.A., Okhotnikov M.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2602.

12. Papkov B.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2023.