CC BY
92
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука
УДК 681,3.067
МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ ЗАЩИЩЕННЫХ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ С ПРОДЛЕННЫМ РЕСУРСОМ
М.А. КАСИМОВА
Статья представлена доктором технических наук, профессором Емельяновым В.Е.
Статья подготовлена под руководством доктора технических наук, профессора Емельянова В.Е.
В статье приводится модель надежности защищенных телекоммуникационных систем (ТКС) с продленным ресурсом и дано ее обобщение с учетом характеристик отказов. Приведен алгоритм эксплуатации стареющих защищенных ТКС.
Общие положения
В настоящее время актуальной отраслевой задачей стало обеспечение надежности телекоммуникационных систем и сетей. Известно [1], что на эксплуатации находится 68 % средств радиотехнического обеспечения полетов воздушных судов и авиационной электросвязи (РТОП и ЭС) с продленным ресурсом. Возможным и экономически целесообразным вариантом подхода к решению данного вопроса является математическое описание изменения надежности сложных систем с продленным ресурсом.
Корректно разработанная и отвечающая предъявляемым требованиям, модель позволяет добиться снижения эксплуатационных расходов при техническом обслуживании сложных систем с продленным ресурсом при сохранении требуемого уровня надежности ТКС и качества функционирования. Из теории надежности известно [2], что для полного описания таких систем необходимо определить следующие показатели надежности:
• средняя наработка до отказа;
• вероятность безотказной работы к заданной наработке;
• коэффициент готовности;
• коэффициент оперативной готовности;
• параметр потока отказов.
При разработке моделей для уменьшения (исключения искусственно вносимого усложнения задачи) целесообразно принять следующие допущения:
- закон распределения наработки до первого отказа системы произвольный и известный;
- после наступления любого отказа системы она восстанавливается мгновенно, первоначальные ее свойства не возобновляются;
- контроль состояния системы непрерывный и достоверный;
- моральное старение системы отсутствует.
Кроме того, обязательно следует учитывать тот факт, что защищенные телекоммуникационные системы (ЗТКС) за редким исключением являются программно-аппаратными комплексами. Следовательно, природа отказа может быть как физической (отказ аппаратной части), так и логической (отказ программной составляющей ЗТКС). Это обстоятельство непременно должно быть учтено в модели надежности.
Модель надежности сложных систем с продленным ресурсом
Пусть известны следующие показатели безотказности:
Р0 (^) - вероятность безотказной работы;
/0 (^) - плотность распределения;
Я0 (*) - интенсивность отказа;
Т0 - среднее время наработки до отказа системы.
Считаем, что показатели рассматриваются при условии, что ранее отказы системы зарегистрированы не были (для обозначения используется индекс 0).
Найдем выражения для названных показателей при условии, что в системе ранее, а именно в момент 2 наблюдался один отказ, который был устранен. Для условных показателей можно записать следующее:
Р1(*, 2) = Р0(* + 2 V Po(z), (1)
где Р1 (*, 2) - условная вероятность безотказной работы в интервале времени от 2 до * + 2, при условии, что первый отказ системы был устранен в момент 2. Далее найдем:
М*, 2) = /0(*+2 V ро( 2); (2)
Яl(t,2) = М*+2)/Р0(*+2) = М*+2); (3)
¥ ¥
Т1( 2) = | Р1 (t, 2)^ = | Р0 (* № / Р0( 2). (4)
0 2
Принимая во внимание, что величина 2 является случайной, и выполняя рандомизацию условных показателей, получим следующие выражения для безусловных показателей:
¥
Р1(*) = | Р0(*+2)Я0( 2 №; (5)
0
¥
Ш) = | /0($+2 )Я0( 2 М2; (6)
0
¥¥
Я(*) = +2)/0(2М2 = |/0(2 - *)Я0(2М2; (7)
00 ¥ ¥ ¥ ¥
Т = | 1 Р0(* ** / Р,(г) = -| Р0(г)1п Р0(2)йЪ = | е -Г0<; »^(г)* , (8)
02
где г0(*) = ¡Я0( 2)й2 - вероятностный ресурс надежности [1], выработанный системой за время *
0
Рассуждая подобным образом, как и при получении выражений (5)...(8), определим выражения для безусловных показателей надежности системы, когда в ней было зафиксировано и устранено ровно г +1 отказов:
¥
р+1(*) = |р (* + 2)Я (; (9)
¥
/+1 (*)=//А‘+2) {'(2 №=] /, (‘+2)Я (№; (10)
0, Р,(2) 0
¥
Я'+1(*) = ¡Я,(* + 2)/ (х)ёг; (11)
0
¥¥
Т,+1 =-1р (2)1п р (х)ёг = | е ~г (2) г,(2)ёг . (12)
00
Далее, для построения алгоритма обслуживания ЗТКС с продленным ресурсом, введем некоторые экономические показатели и управляющую величиной выработанного ресурса надежности переменную, или, иными словами, переменную, характеризующую уменьшение количе-
0
0
*
0
ственного показателя выработанного системой в прошлом ресурса ее работоспособности за счет некоторого вмешательства в процесс ее функционирования.
Используя выражения (9)...(12), в частности, проще всего (11), выполняя интегрирование левой и правой его частей в пределах от 0 до *, получим:
¥
г,+1(*) = г, (0 +1е~г{и)№г,(* + и) -1, (13)
0
¥
где г, (*) = |Я, (и)йи - ресурс надежности, выработанный системой за время * при условии, что
0
в ней было зафиксировано и устранено ровно г отказов.
В выражение (13) введем новую переменную, обозначив ее т. Эта переменная характеризует уменьшение величины выработанного системой в прошлом ресурса. Условимся, что чем больше величина т , тем больше у системы восстанавливается первоначальное качество, тем меньший ресурс в прошлом она выработала. С учетом сказанного выражение (13) можно представить в виде:
¥
г,+1 (*, т) = г, (*, т) +1 е ~г‘(и,т) (* + и,т) -1. (14)
0
Значение величины сохраняемого ресурса работоспособности (надежности) системы на интересующем исследователя интервале времени * согласно выражению (14) может изменяться произвольно в допустимых пределах (пределы определяются в условиях поставленной прикладной задачи). Виды законов распределений времени обслуживания и значения их параметров могут назначаться как независимо, так и в соответствии с выбранной функциональной зависимостью от номеров отказов системы. Это означает, что на всей траектории жизненного цикла системы может быть в принципе построена оптимальная последовательность процессов профилактических работ.
Однако в том случае, если время на проведение профилактических и ремонтных работ не превышает некоторого фиксированного т , необходимого на замену отказавшего элемента системы или проведения профилактических работ, то можно предложить следующую последовательность операций:
1) Необходимо сравнить цену за ремонтные работы в случае '-го отказа (с,) с ценой покупки и установки новой ЗТКС (С^). В том случае, если цена за ремонт окажется выше цены за новую ЗТКС, происходит замена ЗТКС на новую.
2) Далее при помощи заданного коэффициента технического использования (КТИ), а также общего времени работы системы (Т% ) считаем допустимое число отказов п. Если значение п
меньше или равно номеру текущего отказа, система заменяется на новую.
3) Если пункты 1 и 2 не выполнены, происходит ремонт системы.
4) Далее в соответствии с алгоритмом прогнозирования показателей надежности, представленным в работе выше, находится среднее время наработки до отказа системой на следующем этапе эксплуатации Т,+1. Такой процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены пункты 1 и 2.
В этом алгоритме (представлен на рис. 1) сделаны некоторые допущения из следующих соображений:
- время ремонтных работ фиксировано на каждом этапе эксплуатации;
- так как время ремонтных работ фиксировано, то, следовательно, и их цена приблизительно одинакова.
Рис. 1. Алгоритм замены и ремонта стареющих ЗТКС при заданной плотности распределения времени безотказной работы
Обобщение модели надежности сложных систем с продленным ресурсом с учетом характеристик потоков отказов
Обобщение основано на моделе Седякина-Джелинского-Моранды [2] для программного обеспечения (ПО). Сущность этой модели заключается в определении показателей надежности ПО на основе наблюдения ограниченного числа временных интервалов между ошибками в редеющем случайном потоке. Строится данная модель в предположении, что интервалы времени между ошибками распределены по экспоненциальному закону, обнаруживаемая ошибка исправляется мгновенно и в процессе ее исправления новой ошибки не вносится.
На основе указанных исходных данных возможно определить или предсказать момент наступления будущей к+1 ошибки в ПО при условии, что к ошибок были наблюдены. Кроме того, приводится уточнение цитируемой модели в случае, когда при исправлении ошибки с определенной вероятностью может вноситься новая ошибка в ПО.
Далее, проводится обобщение модели Седякина-Джелинского-Моранды на тот случай, когда интервалы между ошибками распределены не по экспоненциальному, а произвольному (гладкому) закону распределения. Наконец, высказывается замечание о том, что рассматриваемая модель может применяться не только для редеющего (молодеющего), но и сгущающего
(стареющего) потока отказов (соответствующего отказам аппаратной составляющей ЗТКС продленным ресурсом).
Для обобщения можно воспользоваться результатами работы [3]. В соответствии с ними любая (гладкая) плотность вероятности может быть представлена в виде суммы экспоненциальных плотностей вероятности с комплексно-сопряженными значениями параметров и весовых коэффициентов. В случае аппроксимации произвольной плотности одной парой экспоненциальных плотностей будем иметь:
fa (t ) = C- A-e~l+C-Л-e-*', (15)
где C = А +j-B ; C = А - j-B, l = a+j-b; l=a-j-b, j = V-1 ; N - предполагаемое исходное число отказов, присущих полному потоку, г/ - коэффициент пропорциональности, имеющий физический смысл интенсивности проявления отказа одного типа.
В принятых обозначениях i-ая плотность вероятности (плотность вероятности длительности i-го интервала в потоке отказов) равна:
f ( N, г) = C-Л-e ~À(N-1+1)ti + C- À-e~À(N -1+щ. (16)
k
Составим функцию правдоподобия Lk (N ,г) = П f ( N, г), введем функцию
i=1
M (B, N ,a,b) = ln[L( B, N, a,b)]. В соответствии с [3] коэффициент A = 0,5. Взяв частные производные от M (B, N, a, b) по параметрам B, N,a,b и приравнивая их к нулю, можно найти искомый интервал. Решение данной задачи наиболее целесообразно с точки зрения затрачиваемых временных ресурсов проводить в специализированных математических средах программирования. Изучаемая модель может использоваться и для исследования свойств потока, отказы в котором становятся в среднем более частыми с течением времени.
Для этого нужно в формулы для плотностей вероятностей подставить значения (N + i - 1) вместо (N - i +1) . Дальнейшие выражения аналогичны ранее представленным с учетом этих поправок. Соответственно должна быть произведена несложная корректировка построенного алгоритма (рис. 1), с учетом заданного параметра потока отказов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гражданская авиация в России 2007г. - М.: Статистика России, 2007 г.
2. Седякин Н.М. Об одном физическом принципе теории надежности. - Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, № 3, 1966. - С. 80-87.
3. Смагин В.А., Солдатенко В.С., Кузнецов В.В. Моделирование и обеспечение надежности программных средств АСУ. - СПб., 1999.
4. Кузнецов В.В. Прямая и обратная задача надежности сложных программных комплексов // Надежность и контроль качества, №10, 1997. - С. 56-62.
THE MODEL OF RELIABILITY OF THE PROTECTED TELECOMMUNICATIONS SYSTEMS WITH EXTENDED RESOURCE
Kasimova M.A.
The article provides a model of reliability secure telecommunications systems with extended resource and gives taking into account the characteristics of refusals. An algorithm exploitation of aging secure telecommunications systems is shown in article.
Сведения об авторе
Касимова Мария Александровна, студентка 5 курса факультета авиационных систем и комплексов МГТУ ГА, область научных интересов - методы и средства обеспечения информационной безопасности, эксплуатация телекоммуникационных систем.
