CC BY
237
УДК 629.78.0171
Ю. В. Максимов, В. Е. Патраев, В. А. Тололо
МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Предложена модель для проектной оценки надежности космического аппарата.
S (Тас) =
Для космического аппарата (КА) как сложного технического устройства актуальна проблема разработки адекватной математической модели для проектной оценки его надежности. Космический аппарат целесообразно рассматривать как K-компонентную систему с компонентами (бортовыми системами), имеющими структурную избыточность на уровне оборудования бортовых систем.
В контрактных документах для КА задается основной показатель надежности в виде требуемого срока активного существования T , поэтому состояние г-й бортовой системы можно описать бинарной переменной [1], принимающей следующие значения (г = 1, 2, ..., K):
11, если i - я бортовая система сохраняет работоспособность за время Тас,
0 - в противоположном случае.
где Г0 - срок службы г-й бортовой системы. Аналогично для состояния КА в целом можно записать
{1, если КА сохраняет работоспособность за время Гас,
0 - в противоположном случае.
где Tac = (Г®,Tac2), ...,Tacf) - вектор сроков службы К бортовых систем.
Состояние КА в целом может быть представлено выражением
S (L) = y(S (Г«), S (T®), .... S (Г(?-)), (1)
где у - структурная функция системы - функция множества состояний S(Г^) с возможными значениями 0 и 1 для каждого.
Время безотказной работы (ВБР) г-й бортовой системы в течение времени определяется как
P(S(Г«) = 1) = P(T^), i = 1, 2, ..., K, (2)
где P(T^)) - ВБР г-й бортовой системы в течение времени . Аналогично для КА в целом
r P(S (f,c ) = 1) = P(Tae ), ^ (3)
где P(Tac) - ВБР КА в течение времени Tac .
Для проектной оценки надежности КА актуальной является задача определения ВБР P(Tac) космического аппарата по известным ВБР P(Ta(Ci)) бортовых систем КА и структурной функции у.
Поскольку отказ любой бортовой системы из состава КА приводит к невозможности выполнения целевой функции космического аппарата, то ВБР КА в самом общем виде можно представить как
P(fac; 0) = P{X > Tc; 0} =
> T(1) X(2) > T(2) X(К) > T
--- ГЛГ~ 9 --- ОҐ' 9 • • • 9 Of --- 'j
(2)
г(К)
н( К ).
0 }, (4)
где X = (X(1), X(2), ..., X - случайный вектор сроков службы К бортовых систем (К-мерная случайная величина); 0 - параметрический вектор - набор параметров, определяющий вид распределения.
Поставленная задача сводится к исследованию определенной области ^"-мерного пространства, в которой случайный вектор X имеет характерное распределение р{ > Тж; §}.
Для независимых случайных величин X(,) выражение (4) для ВБР КА становится равным
Р(^с;г) = Пр(ГС°; 0), (5)
/=1
где Р(Га(с'); 0) - ВБР г-й бортовой системы.
Если Ак - область множества значений X > Т , то
к ас 7
ВБР КА можно представить как
Р(Тс;0) = Р(3)Тс;0) = Р{(Хе Ак) > Т^с; 0}, (6)
где 5 - индекс, обозначающий структуру с последовательным соединением основных компонентов, характерную для КА в целом.
При анализе ВБР бортовых систем КА рассматриваются системы самонаведения (ССН), образованные из конечного набора последовательных и параллельных ССН путем их соединения в более крупные ССН определенного типа. В этом случае ССН бортовой системы с параллельными структурами зависит от схемы задействования резерва определенного типа.
Для схем с нагруженным резервом функция ВБР бортовой системы имеет вид Р(Г®; 0) = 1 -Р{тахN (X(,1), X(,'2), ...,X(л°) < Г®; 0}, (7)
где N - количество параллельно соединенных элементов (последовательных цепей) в г-й бортовой системе; X(,у> -случайная величина срока службы j-го элемента г-й бортовой системы (/ = 1, 2, ..., N¡);
тах^ (X(,1), X(,2), ..., X)) - функция, равная максимальному значению из N величин, приведенных в круглых скобках.
Если А(,) - область значений X(,) < Га(с‘), то ВБР КА становится равной
Р(тас); 0) ^ Р(Р)(ГаС); 0) =
= 1 -Р{(тах,,(X(fl),X('■2), ..., X(‘N■))еА(,)) < Г«; 0}, (8)
где Р - индекс, обозначающий структуру с параллельным соединением элементов.
Для бортовой системы, в которой применяется резервирование замещением, ВБР при абсолютной надежности и мгновенной работе переключателей и индикатора отказов составляет
P(P)(TaC); 0) = PjX X(7) > T«);
(9)
В общем случае, если все элементы одинаковы (идентичны) и независимы друг от друга в смысле надежности, то функция ВБР для г-й бортовой системы
р(Га<‘); 0) = [(Г,(0; §)]' ^1+ % [-[Г>; ■ П
, (10)
7=1
где N. - общее количество элементов или цепей (параллельных друг к другу с целью резервирования) в г-й бортовой системе; М1 - количество основных элементов в г-й бортовой системе; (И1 - М1) - количество резервных (нагруженных или ненагруженных) элементов в г-й бортовой системе; Р (Т.; 0) - ВБР элемента г-й бортовой системы в рабочем режиме; Рх (Т(.; 0) - ВБР элемента г-й бортовой системы в режиме хранения; ь = 1и[Рх Т0; 8)].
' 1п[Р, Т°; 8)]
Формула (10) является универсальной, так как по ней можно получить формулу для любого вида резервирования при следующих условиях:
- при Рх (Га(с'); 0) = Р3 (ТС; 0) и М 1 = 1 получается формула для постоянного резервирования;
- при Рх (Га(с'); 0) = 1 и М 1 = 1 - формула для резервирования замещением;
- при Рх (Га(с'); 0) = Рэ (ТаС); 0) - формула для резервирования голосованием по мажоритарной схеме «М. из
N »;
- при М = 1 - формула для резервирования замещением с учетом хранения ненагруженных резервных элементов в г-й бортовой системе.
Приведенные модели надежности КА и бортовых систем являются основой для расчета надежности КА на любом уровне. Они позволяют в рамках определенных допущений выстраивать структурные схемы надежности бортовых систем и оборудования и оценивать надежность с любыми основными вариантами соединения элементов в ССН:
- последовательное соединение п элементов (последовательная цепь);
- параллельное соединение N цепей, обеспечивающее постоянное резервирование (все цепи нагруженные);
- параллельное соединение N цепей, обеспечивающее резервирование замещением (М цепей - основные (нагруженные), остальные (Ж -М) цепей - резервные ненагруженные цепи);
- параллельное соединение двух цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь - основная (нагруженная) и одна цепь - резервная ненагружен-ная, отличающаяся по структуре от основной цепи);
- параллельное соединение N цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь - основная (нагруженная), остальные (Ж -1) цепи - резервные не-нагруженные; учитывается надежность при хранении ненагруженных цепей);
- параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование голосованием по мажоритарной схеме «М из ^» (все N цепей - нагруженные, любые М из N цепей - основные);
- однофункциональная схема с разветвленной срук-турой и одинаковой надежностью элементов (так называемая мостиковая схема соединения элементов).
Все перечисленые выше основные варианты соединения элементов в ССН приведены в таблице.
В таблице использованы следующие обозначения:
- р(х) = е-А‘, откуда Л* = - 1пР(Х) - ВБР последовательной цепи элементов подчиняется экспоненциальному закону;
- t - время эксплуатации;
- п - количество последовательно соединенных элементов разного типа;
- I. - интенсивность отказов при эксплуатации для отдельного элемента г-го типа (г = 1, 2, 3, ..., п);
- k. - количество элементов г-го типа (г = 1, 2, 3, ..., п);
- I. - интенсивность отказов при хранении для отдельного элемента г-го типа (г = 1, 2, 3, ., п);
п
- Л = ^ к ¡к. - суммарная интенсивность отказов при
.=1
эксплуатации для всех элементов последовательной цепи;
п
- Л х =^ к .к х. - суммарная интенсивность отказов
=1
при хранении для всех элементов последовательной цепи;
- Р (*) = е~к'х 1 х - вероятность безотказной работы при эксплуатации для всех элементов г-го типа последовательной цепи;
- Рх. (*) = е~ккхх 1 х - вероятность безотказной работы при хранении для всех элементов г-го типа последовательной цепи;
п
- р(*)=П р. (X) = е Лх - вероятность безотказной ра-
=1
боты при эксплуатации для всех элементов последовательной цепи;
п
- Рх (*) = П Рх‘ (*) = е Лх* - вероятность безотказной
1=1
работы при хранении для всех элементов последовательной цепи;
- Р(^ - ВБР всей резервированной схемы;
- N - количество параллельно соединенных последовательных цепей в схеме;
- М - количество основных цепей, определяющих работоспособность всей схемы, которые резервируются остальными N - М) резервными цепями;
-р (0 - вероятность безотказной работы при эксплуатации для ненагруженной резервной цепи, отличающейся от основной (нагруженной) цепи;
ь
- С а =--------, где а < Ь - биноминальный коэффи-
а\ (Ь - а)! циент (а, Ь - целые числа).
Рост требований к таким показателям надежности создаваемых КА, как сроки активного существования и ВБР и эффективности полезной нагрузки. ведет к усложнению схем, увеличению кратности резервирования, необходимости применения различных режимов работы элементов и функциональных устройств. Например, практика показывает, что разработчики некоторых радиоэлектронных систем (РЭС) для перспективных КА длительного функционирования часто испытывают трудности в выборе корректных математических моделей при проведении проектных (априорных) расчетов ВБР радиоэлектронных систем, работающих в сеансном режиме, используя при этом усредненные значения интенсивностей отказов приборов РЭС за время работы и время хранения. Между тем, в практике работы Научно-производственного объединения прикладной механики имени академика М. Ф. Решетнева в развитие методологии [2] используется апробированный метод точной оценки ВБР РЭС, работающих в сеансном режиме с чередованием времени работы и времени хранения [3].
Варианты соединения основных и резервных элементов в ССН
Соединение элементов в ССН
Графическое изображение
Формула ВБР
Последовательное соединение элементов (последовательная цепь)
р^-|2^-|з^....|^|
Р(х) = П Р] (Х) = е"
1=1
Лх
Параллельное соединение N цепей, обеспечивающее постоянное резервирование (все цепи нагруженные)
1А
2 А
т
Р(х) = 1 - [1 - р(х)];
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением (М цепей основные (нагруженные) цепи, остальные (Ж-М) цепей -резервные ненагруженные цепи)
1А
2 А
ЗА
т
Р(х) = рМ (х)
(-М 1п р(Х))1
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь рабочая и одна ненагруженная цепь, отличающаяся по структуре от рабочей цепи)
1А
— 2В —
Р(х) = Р(х) + [Рн (Х) - Р(Х)]
1п Р(х) Р(х )
Рн (х)
1п
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование замещением (одна цепь рабочая, остальные (Ж-М) цепи - ненагруженные цепи, учитывая надежность при хранении ненагруженных цепей)
1А
2 А
т
Р(х) = р(х)
[1 - Р, (X )]1
X
— С 1п р (х) Л
1п Р х (х)
хП
т = 0
т + -
//
Параллельное соединение цепей, обеспечивающее резервирование голосованием по мажоритарной схеме «М из Ж» (все N цепей - нагруженные, любые М из N цепей -основные)
1А
2 А
М из N
N
Р(*) = £ с; • р1 (х )[1 - Р(х)]
N - 1
1 = М
т
Однофункциональная схема с разветвленной структурой и одинаковой надежностью элементов (мостиковая схема соединения элементов)
г 1А
5 А
2 А
4 А
Р(х) = р(х )(1 - [1 - р (х )]2 )
+[1 - р(х)]( - [1 - р’-(х)]2)
+
Согласно этому методу априорная оценка ВБР РЭС для каждого промежутка времени с длительностью аТ, в течение которого система работает, для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы может быть определена по формуле (10), которая учитывает полную группу работоспособных состояний системы и пригодна для любого вида резервирования:
Р»(аТ) = [ехр(-1 эаТ)] {1 + £[1 - еХр(~Х-аТ)] П( 1 + М|, (П)
где Т- длительность сеанса работы РЭС; а - доля сеанса Т , в течение которого РЭС работает; М - количество ос-
новных комплектов прибора РЭС; К - количество резервных нагруженных или ненагруженных комплектов прибора РЭС; N = К + М - общее количество комплектов прибора РЭС; кэ - интенсивность отказов комплекта прибора при эксплуатации; к х - интенсивность отказов комплекта прибора при хранении; Ь = —.
Формула (11), также как и формула (10), является универсальной, так как по ней можно получить формулу для любого вида резервирования при следующих условиях:
- при кх = кэ и К = 1 получаем формулу для постоянного резервирования;
- при Хх = 0 и K = 1 - формулу для резервирования замещением;
- при кх = кэ - формулу для резервирования голосованием по схеме из Ш (мажоритарная схема);
- при K = 1 - формулу для резервирования замещением с учетом хранения ненагруженных резервных комплектов прибора.
Аналогично априорная оценка ВБР РЭС для каждого промежутка времени с длительностью (1 - а)Т, в течение которого система хранится, для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы рассчитывается по формуле (11), учитывающей полную группу работоспособных состояний системы (положив
к э = к,):
РхМК ((1 - а)Т )=[ехр(- к х (1 - а)Т )х
! + £ [1- ехр(- к, (1- а)Г)] П ( + м), (12)
1=1 1 1=0
¥-1,- (М-1 +1)!
где П (1 + М) = ------— .
Д М ' (М -1)!
Отсюда вытекает, что в случае М = 1 можно получить формулу для постоянного резервирования, при М > 1 -
формулу для резервирования голосованием по мажоритарной схеме «К из №>.
Априорная оценка ВБР РЭС для полного времени эксплуатации системы рассчитывается по формуле
Рр,с (х) = [Р,мк (ОТ) • РхМК ((1 - о)Т )]е, (13)
х
гдех - полное время эксплуатации РЭС; £ = — - количество сеансов за время эксплуатации РЭС.
Библиографический список
1. Проектирование надежных спутников связи / под ред. М. Ф. Решетнева. Томск: МГП «РАСКО», 1993. 221 с.
2. Владимирович, Г. И. Теория надежности радиоэлектронной аппаратуры / Г. И. Владимирович, Н. М. Седя-кин; ЛВИКА им. Можайского. Л., 1988. 475 с.
3. Патраев, В. Е. Проектная оценка надежности радиоэлектронных систем, работающих в сеансном режиме / В. Е. Патраев, В. А. Тололо // Решетневские чтения: тез. докл. VIII Всерос. науч. конф. с междунар. участием, по-свящ. 80-летию акад. М. Ф. Решетнева / СибГАУ Красноярск, 2004. С. 25-27.
Ju. V Maksimov, V. E. Patraev, V. A. Tololo
MODEL OF RELIABILITY OF THE SATELLITE
The model for a design estimation of reliability of the satellite is offered.
