Модель мобильного робота как ординарный полумарковский процесс Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.217

МОДЕЛЬ МОБИЛЬНОГО РОБОТА КАК ОРДИНАРНЫЙ ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

М.А. Антонов, К.А. Гришин

Исследуются проблемные вопросы управления группами мобильных роботов. Построена полумарковская модель управления мобильным роботом. Определены вероятности переключения состояний. Рассматриваются свойства потока случайных временных интервалов.

Ключевые слова: мобильный робот, временной интервал, модель управления, полумарковский процесс.

Определим вероятностное пространство борелевской тройкой:

В = (О,0, Р), (1)

где 0 = {(»1,..., юп,..., ю^} - множество элементарных событий; 0 носитель алгебры с сигнатурой (и, п, }, включающей операции объединения и, пересечения и и дополнения ; Р - вероятностная мера.

Множество элементарных событий может быть представлено в виде объединения непересекающихся подмножеств:

О = 0а и ; 0а и =0 (2)

где Оа = Ц,..., юа (а),..., ®а (а)} - счетное дискретное подмножество элементарных событий, формирующих состояния мобильного робота;

О' =

Ю^.ч , ..., Ю^,Ч , ...

- 1(' У ' з О У

- бесконечное упорядоченное подмножество элементарных событий, формирующих временные интервалы, составляющее континуум; 0 - пустое множество.

а3(а) = аЦ(а}) , (3)

Под состоянием (3) понимается выполнение бортовым оборудованием мобильного робота некоторого действия. В этом состоянии мобильный робот пребывает от начала выполнения действия до его окончания.

Функция а(юа (а)} от элементарного события является дискретной одноместной и взаимно однозначной [1], такой, что одному элементарному событию подмножества юа(а) соответствует одно состояние аз (а), и наоборот, одному состоянию а з(а ) соответствует одно элементарное событие

з(а).

Применение функции (3) к множеству Оа дает множество состояний мобильного робота:

а(о" )= zk(a),..., ^(а) — ^(а) }= iаl(а),..., ау(а) — а3(а) }= А, (4)

где ау(а) - у(а)-е физическое состояние мобильного робота; J(а).- мощность множества Оа.

Подмножеству Оа ставится в соответствие вероятностная мера:

Ру (а) = Р[а : а] (а) е А1 (5)

Вероятностная мера (5) характеризует вероятность пребывания робота в одном из состояний множества А для внешнего по отношению к мобильному роботу наблюдателю [1]. Тот факт, что система может находиться в одном и только в одном из состояний, накладывает следующее ограничение на вероятности (5):

J (а)

I Р] (а) = ^ (6)

у (а)=1(а)

Определим событие как смену состояния, или переключение из а у (а) в а„(а). Множество возможных переключений может быть получено

путем возведения А во вторую декартову степень:

(А)2 ={а1(а ау (а ^ (а)} =

= {{( а1(а), а1(а) ),...,(а1( а), ап(а ) ),...,(а1(а), aJ (а) ...,{( а] (а), а1(а) ),...,(а]( а), ап(а ) ),...,(аи (а), aJ (а))}, (7)

...,{(аJ (а), а1(а) Х...,(0/ ( а), ап(а ) ),...,(aJ (а), aJ (а))}} = Я.

Переключением мобильного робота из состояния а^) в состояние ап(а), назовем кортежем:

Я](а),п(а) = [ау(а), ап(а)]е Я , (8)

Каждой паре [ау(а),ап(а)], 1(а)< ](а),п(а)< J(а) из (7) может быть

поставлена в соответствие вероятностная мера:

Рк (а), у (а) = р[*(а , а + ): ^ у (а), п(а) = [а у (а), ап(а)

е Я

(9)

где а- - состояние мобильного робота до переключения; а+ - состояние мобильного робота после переключения.

Разделим множество состояния мобильного робота на два непересекающихся подмножества

А = Е иЕ, _ (10)

где Е - подмножество поглощающих состояний; Е - подмножество непо-глощающих состояний.

Для вероятностной меры (9) справедливо следующее выражение:

aJ (a)

е E;

0, when a j(a) е E

(11)

J (a) [1, when

X p J (a), n(a) n(a )=l(a)

Выражение (11) означает, что переключение из непоглощающих состояний образует полную группу несовместных событий [1], а переключение из поглощающих состояний невозможно.

Рассмотрим континуум Wt. свяжем это бесконечное упорядоченное множество с физическим временем. Введем функцию:

tj (t )=t[

Свяжем функцию (12) с реальным физическим временем. В частности t J(t ) - это момент времени, соответствующий элементарному событию

J(t )■

(12)

ю^). Функция (12) является континуальной, одноместной и взаимно однозначной, такой, что одному элементарному событию ю3(3) соответствует один момент времени 33 (3), и наоборот, одному моменту времени ^^ (3) соответствует одно элементарное событие ю3(3). Применение зависимости (12) к континууму О дает:

3 = Х(О3 ), (13)

где 3 - физическое время.

Величина 3 имеет следующие особенности:

1) в контексте задачи моделирования состояний мобильного робота началом отсчета времени каждый является момент смены состояний мобильного робота;

2) время отсчитывается от одного события переключения состояний мобильного робота до другого события переключения состояний мобильного робота (рисунок).

ak(a) ^ 0

aJ (a)

0

an(a)

0

a

m(a)

sk (a), J (a)

s

J(a In(a)

s

n(a),m(a) tG

Формирование фактора времени, 1С - глобальное время

3) с учетом условия о начале отсчета времени и правила его отсчета, на время накладывается ограничение 3 > 0.

В соответствии с особенностями формирования временных интервалов можно утверждать, что последовательность событий переключения состояний мобильного робота формируется поток временных интервалов,

каждый из которых является случайной непрерывной величиной [2]. В этом случае для у(г)-го момента времени у(а)-го интервала потока, если известно, что следующим переключением будет 8 у (а) п(а), может быть определена вероятностная мера:

/у (а), п(а )(г у (г) ¥г = р[г : г (8к (а), у (а ))= 0, г I8 у (а), п(а ))= г у (г)\ , (14) где г (8к (а), у (а)) - момент переключения в состояние а у (а); г (¿у (а), п(а)) - момент переключение из состояния а у(а), если принято решение, что следующим состоянием будет ап(а).

Вследствие того, что момент г у (г) был выбран произвольно, (14) может быть преобразовано следующим образом:

/у (а), п(а )(г = р[г : г (8к (а), у (а )) = 0, г у (а), п(а )) = г \ , (15) где /у (а) п(а )(г) - плотность распределения времени пребывания в состоянии а у (а) с последующим переключением в состояние ап(а).

Вследствие того, что всегда, при всех переключениях, г (¿к (а) у (а )) = 0, плотность распределения не зависит от предыстории переключений. Вследствие того, что г (8(а )п(а 0, плотность распределения,

в общем случае, зависит от того, в какое состояние мобильный робот переключится следующий раз.

Обычно рассматриваться поток случайных временных интервалов т(юг), который обладает особенно простыми свойствами:

1) стационарностью, если вероятность попадания того или иного числа интервалов на участок времени длиной в зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси г расположен этот участок;

2) отсутствием последействия, которое трактуется как независимость временного интервала, оставшегося до очередного переключения состояния от начала наблюдения процесса в глобальном времени г^.

3) ординарностью, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более временных интервалов т(юг) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного из них.

Если поток переключений обладает всеми тремя свойствами, то он называется стационарным пуассоновским потоком. Для такого потока число временных интервалов, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона:

тт

Рт = ттехр(-1 у (а), у{п)), (16)

где 1 у(а) п(а) - параметр закона Пуассона; т - целочисленный параметр, т е {1, 2, 3, ...).

Плотность распределения значений временных интервалов т(ш') для подобного потока определяется в виде:

fj(a),n(a)(t) = l(t)1 j(a),n(a) exp[" 1 j(a),n(a)t] (17)

где 1 j(a )n(a ) - плотность потока переключений; 1(t) - единичная функция

Хевисайда.

Очевидно, что если на временные интервалы tW) не накладываются ограничения по отсутствию последействия, то они могут быть распределены по произвольному закону, отличному от (17). При этом единственным ограничением, накладываемым на плотность распределения произвольного закона, является то, что его область определения лежит в положительной полуплоскости, а сама функция - в первом квадранте, т.е.

f(t)Po"<'Г £'£ W; 'Tf№ = 1. (18)

^ ' ' min

На верхний предел области ненулевых значений плотности распределения tmax никаких дополнительных ограничений, кроме (18), не накладывается. Для некоторых физических объектов возможна ситуация, когда

'max

Такой процесс, в котором отсутствуют требования к пуассоновско-му характеру потока переключений, называется полумарковским процессом [3]. Ввиду отсутствия ограничений (17), класс систем, для моделирования которых может быть применен полумарковский процесс существенно расширяется. В частности, в этот класс попадают и системы цифрового управления мобильного робота.

Список литературы

1. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения. - Киев: Наукова думка, 1976. 184 с.

2. Кузнецов С.В. Математические модели процессов и систем технической эксплуатации авионики как марковские и полумарковские процессы // Научный вестник Московского государственного технического университета гражданской авиации, 2015. № 213 (3). С. 28 - 33.

3. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 1. С. 221 - 228.

Антонов Максим Александрович, магистрант, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Гришин Константин Анатольевич, асп., Оп8ЬКот92С@;уапйех.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MODEL OF MOBILE ROBOT AS ORDINARY SEMI-MARKOV PROCESS

M.A. Antonov, K.A. Grishin

The problem issues of control of groups of mobile robots are investigated. A semi-Markov model for controlling a mobile robot is constructed. The probability of state switching is determined. The properties of the flow of random time intervals are considered. Key words: mobile robot, time interval, control model, semi-Markov process.

Antonov Maxim Aleksandrovich, master, elarkinamail.ru, Russia, Tula, Tula State University.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92ayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 608.2

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОРТАТИВНОГО КАРДИОГРАФА ДЛЯ АНАЛИЗА ОЯЗ-КОМПЛЕКСОВ И ДИАГНОСТИКИ АРИТМИЙ

Б.В. Костров, Н.Н. Гринченко, Е.С. Геращенко

Рассмотрены основные этапы разработки программной части для аппаратного кардиографа домашнего применения. Подробно описан алгоритм определения морфологии QRS-комплексов, в том числе внесенные в оригинальное описание модификации.

Ключевые слова: электрокардиография, QRS-комплекс, алгоритм Пана-Томпкинса, кластерный анализ формы QRS-комплексов, скаттерограмма, ритмо-грамма, гистограмма.

Электрокардиография широко применяется для диагностики различных сердечно-сосудистых заболеваний благодаря простоте проведения и информативности [1, 2]. Однако для того, чтобы диагностировать болезнь на ранней стадии, когда могут отсутствовать ярко выраженные симптомы, необходимо снимать электрокардиограмму с достаточной регулярностью. Для упрощения этой процедуры можно использовать портативные кардиографы, допускающие домашнее применение. На рынке медицинских приборов существуют устройства различной ценовой категории и функционала, однако их ассортимент не слишком большой, и они не имеют широкого распространения.

Таким образом, задача разработки системы для регулярного домашнего съема и анализа электрокардиограммы, которая будет обеспечивать качество получаемых данных и их дальнейшей обработки, обладает значительной актуальностью.