Научная статья на тему 'Модель минимизации сроков выполнения проекта в рамках сетевых технологий при фиксированном бюджете'

Модель минимизации сроков выполнения проекта в рамках сетевых технологий при фиксированном бюджете Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
1436
187
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОЕКТ / УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ / СЕТЕВОЙ ГРАФИК / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ / МОДЕЛИРОВАНИЕ / ОПТИМИЗАЦИЯ / PROJECT / PROJECT MANAGEMENT / NETWORK CHART / MATHEMATICAL PROGRAMMING / MODELING / OPTIMIZATION

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Кушнер Максим Александрович

В условиях роста и индивидуализации потребностей рыночной экономики возрастает необходимость применения методов проектного менеджмента, среди которых главную роль играют технологии сетевого планирования и управления. При остром дефиците времени, финансовых и материальных ресурсов требуется оптимизация проектного управления. В связи с этим рассматриваются основные предпосылки и существующие методы оптимизации и приводится описание модели минимизации сроков выполнения проекта при фиксированном бюджете с использованием математического программирования. Библиогр. 10. Ил. 1.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The necessity to apply project management methods, mainly network planning and management techniques is increasing in the conditions of growing and individualization of market requirements. Acute shortage of time, material and financial resources are the reasons for optimization of project management. Thus, the main premises and existing methods of optimization are considered, and a minimization model of project due dates with a fixed budget is described with the help of mathematical programming.

Текст научной работы на тему «Модель минимизации сроков выполнения проекта в рамках сетевых технологий при фиксированном бюджете»

ББК 65.291.217 В 631.0

М. А. Кушнер

МОДЕЛЬ МИНИМИЗАЦИИ СРОКОВ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРОЕКТА В РАМКАХ СЕТЕВЫ1Х ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ФИКСИРОВАННОМ БЮДЖЕТЕ

Деятельность предприятий изменяется по мере прогрессирующего усложнения условий их функционирования. Наряду с простыми и повторяемыми операциями всё большее значение приобретают уникальные действия, для управления которыми необходимы особые подходы, объединяемые в рамках проектного менеджмента. Знание принципов, методов и технологий управления проектами считается необходимым элементом профессиональных знаний специалиста в области менеджмента.

В результате стремительной эволюции современное управление проектами трансформировалось из области разрозненных и интуитивных знаний в развитую и целостную сферу менеджмента, располагающую апробированными на практике методами решения задач, стройной системой обучения, многочисленными организациями, развивающими и пропагандирующими накопленные профессиональные знания, отлаженным комплексом международной стандартизации проектов и сертификации квалифицированных специалистов.

Особую роль в управлении проектами играют научные методы. Именно научные методы позволяют оптимально распределять ограниченные ресурсы организации в целях успешного и эффективного осуществления проекта с выполнением требований к качеству выполненных работ. Реализация проекта является очень сложной задачей, решение которой невозможно без освоения менеджером широкой палитры научных методик, успешно зарекомендовавших себя на практике. Без понимания данных разработок невозможно дальнейшее совершенствование процесса управления проектами. Это является необходимым, поскольку при непрерывном возрастании и индивидуализации потребностей общества проекты всё более усложняются, равно как повышается и степень их уникальности.

Наиболее известными и универсальными методами проектного менеджмента являются методы сетевого планирования и управления (сетевые технологии). Модели сетевого планирования и управления отражают логическую последовательность, существующую взаимосвязь и планируемую продолжительность комплекса выполняемых работ, обеспечивая последующую оптимизацию сетевого графика, разработанного на основе экономико-математических методов. Сетевые технологии служат не только для планирования разнообразных работ, но и для их координации между руководителями и исполнителями проектов, а также для определения необходимых производственных ресурсов и их рационального использования в процессе управления проектами.

Основной предпосылкой оптимизации управления проектами на основе сетевых технологий и математических методов является характер зависимости времени и затрат. Логично предположить, что если зависимость между продолжительностью работы и затратами на её выполнение существует, то она будет обратной. Другими словами, если на время работы можно повлиять, то справедливо утверждать, что чем меньше будет ресурсных затрат, направленных на осуществление работы, тем медленнее она будет выполняться.

Для построения вышеуказанной функции могут быть использованы соотношения времени и затрат для каждой конкретной работы, полученные на основе опыта выполнения подобных работ в прошлом, а также в результате экспертных оценок. Следует отметить, что для соотношений времени и затрат для каждой конкретной работы необходимо также учитывать инфляционную составляющую, а также качественные различия в ресурсах, используемых в настоящий момент, по сравнению с прошлыми периодами, в которых осуществлялись аналогичные проекты.

Ясно, что зависимость между временем и затратами не всегда может быть выражена функцией с абсолютной точностью - в этом случае необходимо построить уравнение регрессии Щ(СУ) по имеющимся данным. Поскольку зависимость времени и затрат может быть выражена различными функциями, то имеет смысл построить несколько уравнений регрессии, основанных на различных элементарных математических функциях, а затем, на основе логики решаемой задачи и количественных характеристик регрессии (например, коэффициента детерминации, результатов проверки статистических гипотез), выбрать наиболее подходящее уравнение.

Необходимо также обратить внимание на тот факт, что изменение длительности выполнения работы не может быть безграничным. Для каждой работы её продолжительность Ту заключена в пределах 81у < Ту < Ц, где 8у - минимально возможная продолжительность работы; Ц - максимально возможная продолжительность работы. Разумеется, длительности Ту будет соответствовать стоимость Су, длительности 8у - стоимость Еу, длительности Ц - стоимость Пу, причём Пу < Су < Гу, Нестрогое неравенство в вышеприведённых соотношениях означает, что текущая продолжительность работы может быть либо максимально, либо минимально возможной продолжительностью (аналогичная логика приемлема для текущих затрат на выполнение работы).

Анализ классических работ и современных исследований отечественных и зарубежных авторов позволил выявить ряд методов оптимизации сетевых графиков.

Данные методы условно можно разделить на 3 группы: ресурсные, структурные и стохастические.

Ресурсные методы предполагают перераспределение временных, материальных, трудовых и финансовых ресурсов, используемых в управлении проектом.

Структурные методы предполагают изменение топологии сети путём упрощения логических связей, объединения (агрегирования) работ, упразднения лишних событий и пр.

Стохастические методы учитывают неопределённость среды, в которой осуществляется проект, и риски, связанные с его реализацией.

Среди конкретных методов оптимизации сетевых графиков проекта следует выделить: СРМ-С08Т [1], РБЯТ-С08Т [2], С/8С8С [3], методы минимизации бюджета при заданной длительности проекта [4], методы оптимизации загрузки ресурсов [5], методы минимизации дополнительных издержек [6], методы агрегирования и управления мультипроектами [7], ОБЯТ8 [8], нелинейные методы [9], нейросетевые методы [10].

На рисунке представлена классификация существующих методов оптимизации сетевых графиков.

Классификация методов оптимизации сетевых графиков

Как показывает вышеприведённый обзор и анализ указанных источников, теорией и практикой предложен целый ряд методов, моделей и алгоритмов, ориентированных на улучшение и оптимизацию проектного управления. Однако в этих работах не рассматривалась такая оптимизационная модель, в результате применения которой было бы возможно максимально сократить продолжительность проекта, не выходя за рамки установленного бюджета, использование которого позволило бы избежать приблизительных и эвристических алгоритмов. Именно поэтому цель наших исследований - создание такой модели.

Прежде всего, для решения подобной задачи необходимо выбрать такой инструмент, который может обеспечить получение наиболее эффективного результата при наличии строгих ограничений той системы, в которой он применяется. На наш взгляд, таким инструментом является математическое программирование, на основе методов которого будет разрабатываться указанная модель. Выбор именно этого метода решения оптимизационных задач неслучаен и обусловлен следующими причинами.

Во-первых, исходной предпосылкой любого оптимизационного метода является зависимость времени работы от её ресурсов; используя подобную функциональную зависимость, можно без труда составить целевую функция задачи математического программирования, выразив максимизируемую (минимизируемую) величину через её аргументы. Во-вторых, сфера применения математического программирования включает в себя работу с функциями как линейного, так и нелинейного характера, что особенно важно вследствие многовариантности функции времени от затрат. В-третьих, математическое программирование является чётким и эффективным методом, предполагающим универсальное применение в любом сетевом графике (например, при помощи математического программирования может быть найден критический путь сетевого графика и работы, ему принадлежащие). В-четвёртых, алгоритмы математического программирования могут быть относительно быстро реализованы при помощи известных математических пакетов (МаШСАБ, Мар1е, МаАаЬ и др.).

Задача математического программирования, как и любая задача исследования операций, включает в себя три основных элемента: 1) переменные, которые следует определить; 2) целевая функция, которая подлежит оптимизации; 3) ограничения, которым должны удовлетворять переменные.

Устанавливая переменные, мы определяем, какие параметры исходного сетевого графика должны изменяться, чтобы достичь поставленной цели - максимально возможного сокращения длительности проекта. Ясно, что должно измениться время каждой работы проекта. Поскольку длительность каждой работы является функцией от ресурса, то в результате переменными данной задачи следует считать затраты на реализацию каждой из работ Су.

Пусть множество всех работ проекта есть 0 с числом элементов 0, причём 0 = (¥, О), где ¥ - множество работ, входящих в критический путь проекта, с числом элементов у, а О -множество работ, не входящих в критический путь проекта, с числом элементов ю. Следовательно, длительности (затраты на осуществление) работ, входящих в критический путь, будут обозначаться как ТУ (СУ), а длительности (затраты на осуществление) работ, не входящих

в критический путь, как Т^ (Су). Очевидно, что длительности (затраты на осуществление) всех

работ проекта обозначаются как Т® (С®).

Целевой функцией будет являться сумма длительностей всех критических работ, входящих в критический путь, стремящаяся к минимуму. Если представить длительности критических работ как функции от затрат на их осуществление, то целевую функцию можно представить следующим образом:

I(ау ))у ® т1п. (1)

Г=1

Данная задача имеет несколько групп переменных. Прежде всего необходимо установить значение бюджета Е - общего количества оптимизируемого ресурса:

0 / \

I (СI£ Е. (2)

я=1

Поскольку данная задача не допускает внешних вложений, сокращение длительности работ критического пути возможно только за счёт увеличения продолжительности некритических работ. Другими словами, увеличивая вложения текущих (планируемых) средств МУ в критические работы, мы уменьшаем расходы МУ на некритические процессы. Не следует также забы-

вать о том, что любая работа имеет верхнюю и нижнюю границу продолжительности U, и S, (следовательно, затрат D, и F,). Таким образом, вторая группа ограничений данной задачи (для критических работ) выглядит следующим образом:

Mj £ CjY £ Fj*. (3)

Соответственно, третья группа ограничений (для некритических работ) выглядит так:

DW £ CW £ MW . (4)

Для определения четвёртой группы ограничений необходимо сделать несколько важных замечаний, приведённых ниже. Сокращение длительности критического пути не может быть бесконечным. Непропорционально увеличивая расходы на критические работы и уменьшая затраты на некритические процессы, мы можем получить новый критический путь, пролегающий через другие работы. Сокращая вновь образовавшийся критический путь, мы рискуем получить ещё один. Теоретически данный процесс может продолжаться бесконечно долго. Именно эти две причины - возможность возникновения всё новых критических путей и длительность расчётов - являются главными недостатками эвристических алгоритмов.

В то же время возможности некритических работ должны быть полностью использованы (иначе задача вырождается в очередной эвристический метод). Таким образом, мы подошли к конфликтной ситуации: новых критических путей возникать не должно и в то же время наилучшим путём должны быть перераспределены средства. Выходом из сложившихся обстоятельств может служить только такая конфигурация затрат на каждый из процессов, при котором все работы сетевого графика являются критическими. Тем самым достигается компромисс: исходный критический путь сохраняется, а дальнейшее перераспределение ресурсов невозможно. Это свидетельствует о том, что найденное решение является конечным и оптимальным при заданных условиях. Таким образом, необходимо указать условие, выполнение которого обеспечивает равенство всех путей сетевого графика.

Пусть в сетевом графике имеется множество G (состоящее из q элементов) пар событий Vz и Wz, соединённых парами путей (таких, как Va - аа1 - ... - amWz) иL2 (таких, как Vzb - ЬЬ\ - ... - bnWz), где m - число работ, соединяющих события Vz и Wz в пути Lz, а n - число работ, соединяющих события сетевого графика Vи Wв пути L2, причём z Е [1, 2, ..., q]. Если временные продолжительности путей и L2 равны, т. е. T( ) = T( L), тогда все пути и рабо-

ты сетевого графика будут являться критическими. Учитывая зависимость временных протяжённостей работ сетевого графика от затрат на их осуществление, указанное равенство можно записать следующим образом:

L (Wc, )), )z = t (Me,)), t (5)

*=1 ,=1

Часть плоскости, отсекаемая при этом путями и L от общей плоскости сетевого гра-

фика, мы будем в дальнейшем называть областью сетевого графика, а события Vz и Wz -начальным и конечным событиями области сетевого графика соответственно. Если A - число работ в сетевом графике, а B - число событий в сетевом графике, то достаточное количество областей R для выполнения соотношения (5) можно найти по следующей формуле:

R = A-B +1. (6)

Следует отметить, что соблюдение условия (5) не требует перебора всех возможных пар событий и путей сетевого графика. Во избежание установления избыточных ограничений типа ограничения (5) необходимо пользоваться следующим правилом достаточности областей: если событие Е является начальным событием для % работ, а событие Н является конечным событием для п работ, то событие Е будет участвовать в формировании (% - 1) областей как событие Vz, а событие Н будет участвовать в формировании (п - 1) областей как событие Wz.

Запишем задачу в символьной форме с учётом принятых обозначений:

¥

r=1

91 \ Z CQ )

C Q) < E,

s=1

< CY < Fy

V V V ’

DW < CW < MW

ij ~ <j ~ v ’

z (f c ), I=it (f (cj ),)2

t=1

t 'z

(7)

Разумеется, каждая конкретная практическая задача будет иметь свой набор ограничений. Например, некоторые длительности работ могут быть заранее фиксированными и не подлежащими изменениям; у других работ не будет верхней границы продолжительности. Иногда бывает невозможным установить зависимость между временем и ресурсами с требуемой точностью, в других случаях необходимо решение задачи в целых единицах (рубли, тысячи рублей или дни, недели и т. д.). Бывают случаи, когда менеджер проекта требует, чтобы некоторые работы имели резервы времени (тогда изменится четвёртая группа ограничений - к требуемой части равенства добавляется величина резерва). Менеджер может при помощи данной модели проигрывать несколько вариантов распределения ресурсов, анализируя чувствительность решения задачи к изменениям исходных параметров. Возможны и другие варианты модификаций условий данной задачи в зависимости от потребностей каждого проекта, однако все они должны являться частным случаем данной задачи.

Следует отметить, что не всегда модель минимизации длительности проекта при фиксированном бюджете его выполнения может быть технически реализована. Как и любая задача математического программирования, данная проблема может не иметь решений при указанных ограничениях. В таком случае необходимо либо уменьшить количество ограничений, либо ослабить их, изменив правую часть равенства (неравенства).

Следует также помнить, что использование данной модели носит рекомендательный характер и в каждом случае её применения необходима интерпретация результатов и их корректировка согласно особенностям конкретного проекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уайдман М. Р. Моделирование в управлении проектами // Управление проектами и программами. -2005. - № 1. - С. 18-26.

2. Golenko-Ginzburg D., Malisheva A. Simulation Model for Budget Allocation in PERT-COST Projects under Chance Constraints // 17th IMACS World Congress on Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. - P. 35-39.

3. Колосова Е. В., Новиков Д. А., Цветков А. В. Методика освоенного объёма в оперативном управлении проектами. - М.: НИЦ «Апостроф», 2000. - 156 с.

4. Исследование операций в экономике / под ред. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 407 с.

5. Маркаров Д. А. Частная задача оптимизации сроков при управлении проектов // Управление большими системами: сб. тр. - 2005. - № 1. - С. 53-59.

6. Производственный менеджмент: учеб. / под ред. В. А. Козловского. - М.: Инфра-М, 2005. - 574 с.

7. Кушнер А. А., Карлина Е. П. Методические основы прогнозирования социально-экономического развития на мезоуровне // Materialy 4 mezinarodni vedecko-prakticka konference «Predni vedecke novinky-2008». - Dil 1. - Ekonomicke vedy: Praha. Publishing House «Education and Science». - S. 49-52.

8. Pritsker A. GERT: Graphical Evaluation and Review Technique // Memorandum RM-4973-NASA, April 1966. - 145 p.

9. Немчин Н. П., Кондраков С. В. Оптимизация технических проектов с применением нелинейного программирования // Изв. высш. учеб. завед. Строительство. - 2008. - № 7. - С. 122-127.

10. Рыбак А. И., Буслаев А. Г. Нейросетевые технологии оптимизации проектов // Управление проектами и программами. - 2009. - № 1. - С. 14-19.

Статья поступила в редакцию 26.10.2010, в окончательном варианте - 8.11.2010

MINIMIZATION MODEL OF PROJECT DUE DATES IN THE FORM OF NETWORK TECHNOLOGIES AND A FIXED BUDGET

M. A. Kushner

The necessity to apply project management methods, mainly network planning and management techniques is increasing in the conditions of growing and individualization of market requirements. Acute shortage of time, material and financial resources are the reasons for optimization of project management. Thus, the main premises and existing methods of optimization are considered, and a minimization model of project due dates with a fixed budget is described with the help of mathematical programming.

Key words: project, project management, network chart, mathematical programming, modeling, optimization.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.