CC BY
18ажнеишеи особенностью рисков является лавинообразный характер их возникновения, связанный с тем, что реализация некоторых из них порождает возникновение других, которые, в свою очередь, порождают новые риски и т. д.
Так, например, реализация рисков срыва поставок сырья способна породить риск обнуления запасов сырья на складе, что в свою очередь может привести к возникновению риска остановки производства и, как следствие, к риску срыва поставки партии готовой продукции.
Модель лавинной генерации
предпринимательских рисков
УДК 658.114
1. Сущность модели лавинной генерации рисков
Рассмотрение процесса лавинной генерации рисков удобно проводить на базе введения и использования понятий факторных и результативных рисков и градаций рисков [1]. К факторным будем относить риски, влияющие на другие риски, которые называются результативными. Факторные риски являются одними из факторов, определяющих результативные риски. Один и тот же риск относительно одних рисков может являться факторным, а относительно других рисков — результативным. Так, например, риск обнуления запасов сырья на складе по отношению к риску срыва поставки сырья является результативным, а по отношению к риску остановки производства — факторным.
Номер градации риска характеризует по отношению к рискам каких градаций данный риск является факторным, а по отношению к рискам каких градаций — результативным. Так, например, риск, относящийся ко второй градации, по отношению к риску, относящемуся к первой градации, является результативным, а по отношению к риску, относящемуся к третьей градации — факторным. Чем больше номер градации риска, тем выше его функциональная сложность, т. е. тем больше количество групп рисков с меньшими номерами градаций, которые влияют на этот риск.
Лавинная генерация рисков проявляется в том, что реализация одних факторных рисков порождает реализацию результативных рисков, которые, в свою очередь, являясь факторными для новых результативных рисков, порождают их реализацию, запуская тем самым механизм лавинной генерации рисков.
Сложность управления предпринимательскими рисками связана еще и с тем, что реализация мер, направленных на предупреждение и нейтрализацию одних рисков, может породить замещение этих рисков другими, которые в свою очередь способны запустить механизм лавинной генерации новых рисков. Так, например, хеджирование рисков повышения цены поставок с помощью фьючерсных контрактов замещает риск повышения цены поставок риском финансовых потерь, вызванных неблагоприятным несоответствием фьючерсной цены и спот-цены базисных активов на дату исполнения контрактов. Нейтрализация рисков сбыта посредством формирования портфеля финансовых инвестиций с целью получения альтернативного дохода при ухудшении конъюнктуры рынка сбыта может вызвать финансовые потери, связанные с реализацией ценового риска рынка акций и процентного портфельного риска. Реализация этих рисков может породить реализацию рисков потери платежеспособности и финансовой устойчивости, которые в свою очередь обуславливают реализацию риска банкротства.
Для лавинной генерации рисков также может быть характерен процесс усиления негативных последствий результативных рисков по сравнению с непосредственными последствиями соответствующих им факторных рисков [1].
В последнее время в литературе по риск-менеджменту уделяется все большее внимание вопросам количественной оценки рисков и разработке математических методов, используемых при анализе рисковых ситуаций. Наиболее полно теоретические основы последних изложены в работе Ю. В. Королева и его коллег [2]. Излагаемые в ней и других подобных публикациях материалы имеют несомненную теоретическую ценность, но возможности их практического применения крайне ограничены. Так, в упомянутой нами выше работе основное внимание в практических приложениях уделено анализу страховых рисков, в то время как вопросы
возможности практического применения излагаемых теоретических материалов для анализа и оценки последствий реализации предпринимательских рисков остаются открытыми [там же].
Указанные обстоятельства вызывают необходимость разработки вероятностной модели лавинной генерации рисков, анализ которой должен обеспечить возможность выявления наиболее значимых рисков, реализация которых может привести к наиболее тяжелым последствиям. Кроме того, ее применение позволит выявить и оценить возможные негативные последствия мер по предупреждению и нейтрализации рисков с учетом генерируемых при их реализации новых рисков.
2. Анализ вероятностей реализации факторных и результативных рисков
Построим модель лавинной генерации рисков исходя из предположения, что факторные риски одной градации реализуются независимо друг от друга и риски каждой следующей градации могут как быть, так и не быть результативными по отношению к рискам предыдущей градации.
Обозначим:
п1, п2, ..., пй — количество рисков в каждой из й градаций; ИЬ1, И12, ..., И1п— риски 1-й градации; Р(БЬт) — вероятность реализации т-го риска 1-й градации на интервале времени t2] длительностью 12 _ t1 = t; Р(ВЬт/И^Ь _ 1)п)— вероятность реализации т-го риска 1-й градации на интервале времени t2] длительностью t2 _ t1 = t при условии реализации на этом интервале п-го риска (Ь _ 1)-й градации; Р(ИЬт, _ 1)п)— вероятность совместной реализации рисков И1т и Иц_ 1)п на интервале времени t2].
В общем случае вероятность реализации результативного риска И1т при условии реализации й факторных рисков предыдущей (Ь _ 1)-й градации определяется равенством
Р(Ьт / R(i-1)1, ИСь-1)2 , И(Ь-1)й ) =
Р(т, R(i-1)1, И(ь-1)2, ... И(Ь-1)й) Р((Ь-1)1, И(Ь-1)2, ... И(Ь-1)й)
(1)
где Р((, И(Ь-1)1, И(ь-1)2,... И(Ь-1)й) — вер°ятность
совместной реализации результативного риска
ИЬт и факторных рискоВ _ 1)1, _ 1)2' И(Ь _ 1)й;
Р(((Ь-1)1, -1)2,..., -1)^ — вероятность совмест-
ной реализации факторных рисков И,-_
И
И
(Ь _ 1)й.
При независимых факторных рисках _ щ, _ 1)2,
Р((-1)1, И(ь-1)2 ,..., И(Ь-1)й) " ПР((Ь-1)¡).
1=1
(2)
Поскольку факторные риски играют роль «спускового крючка», вызывающего реализацию результативных рисков, то практический интерес вызывает оценка вероятности реализации хотя бы одного из факторных рисков.
Значения Р((^щ, И(Ь-1)2,..., И(Ь-1)й) вероятности реализации хотя бы одного из факторных рисков могут быть определены по формуле
Р ( -
1)1 + И(Ь-1)2 + ... +
И(Ь-1)й )
= 1 -П( - Р((-ш)). 1=1
(3)
Полученная формула (3) определяет в общем случае вероятность реализации хотя бы одного из факторных рисков одной градации при лавинной генерации рисков.
Определим вероятности реализации хотя бы одного из факторных рисков в частных случаях.
1. Факторные риски одной градации независимы и равновероятны.
Если факторные риски (Ь _ 1)-й градации независимы и равновероятны и вероятность реализации конкретного факторного риска равнар, то вероятность реализации хотя бы одного из факторных рисков определяется равенством
Р((-1)1 + И(Ь-1)2 + ... + И(Ь-1)й ) = / = 1 - (1 - Р)к (4)
Практический интерес представляет определение вероятности события, заключающегося в том, что ни один из факторных рисков не реализуется. Эта вероятность определяется равенством
Р (-1)1 + И(Ь-1)2 + '
+ И
(Ь-1)й
£ - й, р
* - 1 - й. Р Р
Рд = а Р,
а » 1.
й-1
£ = £(-1) 1+1 С>-1 р1 + рд
1=1
й-1
1 -£(-1) 1+1 С1-1Р1 1=1
I н-
X <
н- сг
к о
< ©
11
= ©) = * = 1 - £, (5)
где © — символ пустого множества.
Проанализируем зависимость относительных вероятностей £/р реализации хотя бы одного из факторных рисков и относительных вероятностей */р отсутствия реализации хотя бы одного из этих рисков от количества факторных рисков. Из (4) и (5) следует, что
(6) (7)
Из (6) и (7) следует, что с ростом числа факторных рисков относительная вероятность реализации хотя бы одного из факторных рисков линейно возрастает, а относительная вероятность отсутствия реализации хотя бы одного из факторных рисков линейно убывает.
2. Среди факторных рисков (Ь - 1)-й градации присутствует доминирующий риск Ид, вероятность возникновения которого Р(Я(Ь _ !)д) значительно выше вероятности Р(Иц _ 1 возникновения других факторных рисков этой градации, которые в рассматриваемом случае являются равновероятными.
Обозначим вероятность реализации доминирующего факторного риска через рд, а вероятность реализации каждого из остальных факторных рисков (Ь _ 1)-й градации, которые в дальнейшем будем называть фоновыми, через р, причем
(8)
где а— степень доминирования, удовлетворяющая неравенству
(9)
Тогда вероятность £ реализации хотя бы одного из й факторных рисков определяется равенством
,(10) 93
I IX <
н- сг
к о
< ©
11
<
сг
с
>
а вероятность события, заключающегося в том, что ни один из факторных рисков не реализуется, — равенством
Р ((-1)1 + Б(1 -1)2 + ••• + Б(1 -1)й
= ©) = д = 1 - Р =
Г *-1 ^
1 -£(-1)1+1 С -1 р1 (1 - Рд). (11)
„ 1=1 ) Применяя метод математической индукции, можно доказать, что в общем случае справедливы равенства
Р ~ Рд(1 - Р)к-1 + (* - 1)Р,
(12)
(13)
д « 1 - Рд(1 - р)А-1 - (А - 1)р.
Докажем формулу (12). В соответствии с методом математической индукции, если какое-либо утверждение верно при А = 1, и доказано, что из справедливости этого утверждения при А = п следует, что оно верно при А = п + 1, то это утверждение верно вообще. Действительно при А = 1
Г ~ Рд(1 - Р)0 + (1 - 1)Р = Рд .
Предположим, что формула (12) верна при А = п. Тогда при А = п + 1:
Р ~ Рд(1 - Р)п-1 + (п -1)Р + + Р - Р [Рд(1 - Р)п-1 + (п - 1)р] = = Рд(1 - Р)п-1 + пР - Р2(п - 1) -
- РРд(1 - Р)п-1 = Рд(1 - Р)п + пР,
т. е. формула (12) верна и при А = п + 1 и, следовательно, она верна вообще. Отсюда следует, что поскольку д = 1 - р , то верна и формула (13).
Проанализируем зависимость относительных вероятностей f/p и д/Р от степени доминирования а. Из формул (12) и (13) следует, что
Р = а • (1 - р)к + (А -1), д = 1 - а • (1 - р)к - (А -1).
(14)
(15)
Из (14) и (15) следует, что с ростом степени доминирования доминирующего риска относительная вероятность реализации хотя бы одного из факторных рисков линейно возрастает, а относительная вероятность события, заключающегося в том, что ни один из факторных рисков не реализуется, линейно убывает.
3. Модели потоков факторных и результативных рисков
3.1. Модель потоков реализаций факторных рисков
Поскольку каждый из факторных рисков представляет собой последовательность однородных событий, появляющихся в случайные моменты времени по одиночке, то удобно представить последовательность реализаций каждого из этих рисков в виде ординарного стационарного потока событий с ограниченным последействием, т. е. потока событий, в котором события появляются по одиночке, а не «пачками»,
вероятностные характеристики потока не меняются с течением времени, а случайные интервалы Т1, Т2, ..., Тп между соседними по времени событиями представляют собой независимые случайные величины. В теории случайных процессов такие потоки событий называют потоками Пальма [3]. Предполагая, что интервалы времени между соседними событиями реализации факторного риска Б(1 _^ распределены по показательному закону = е"^-ч¡*, можно представить поток этих событий в виде стационарного пуассоновского потока, для которого вероятность события, заключающегося в том, что на временном интервале длительности t факторный риск Б(1 _ ^ реализуется А раз и определяется равенством
„Ь „-а(!-1)1
р{{-1); Ш = к} =
(¡-1)1 '
где
41 -1)1
^ (¡-1) jt,
(16)
(17)
Х{1 _ — количество реализаций факторного риска щ на временном интервале длительностью t.
В частном случае при А = 1
-1)! (t) = 1 =
a(i-l) 1 е
аа-1) 1
(18)
Средняя длительность Т^^ интервала времени между двумя последовательными реализациями риска Бц_ 1)1 для рассматриваемой модели определяется формулой
1
V-1) 1
1 (¡-1) 1'
(19)
Формула (19) определяет вероятность события, заключающегося в том, что на временном интервале длительности t факторный риск _^ реализуется один раз.
Вероятность события, заключающегося в том, что на временном интервале длительности t факторный риск Бц_ 1)1 не реализуется ни разу, определяется равенством
p{X(¡-l)j(t) = 0} =
(20)
а реализуется хотя бы один раз — равенством
-ц!(t) > 1} = 1 - е. (21)
Практический интерес представляет ответ на вопрос, какова вероятность Р^т) события, заключающегося в том, что на временном интервале длительности «п t» факторный риск Б^_ щ реализуется т раз, если известно, что на интервале длительности t этот риск реализуется с вероятностью р^_ ^ При достаточно больших п, удовлетворяющих условию пР(¡-1) 1 (1 - Р(i-1) 1) > 20 [3], и независимости реализаций факторного риска на последовательных интервалах длительности t для решения этой задачи можно применить локальную теорему Муавра—Лапласа, в соответствии с которой вероятность р{п-т/ можно определить по формуле
р(п, т) = Р0-1) 1 ~
Р (х)
((-1) 1 д^-ц 1)
(22)
где р(х) = (2п)0,5
= (т - nР(i-l) 1 ^Ра-
1
е 2 — функция Гаусса их =
(¡-1) 1
д0-ц,)д(i-l) 1 =1 - p(i-l) 1.
Вероятность события, заключающегося в том, что на временном интервале длительности «п t» факторный риск И(Ь _ не реализуется ни разу, определяется
П р(Ь-1)1
равенством (22) при х ----—-—оу.
(-1)1 *(ь-1)1 ) ,
Представим процесс реализации факторных рисков (Ь _ 1)-й градации в виде системы Б(Ь_ состояние которой характеризуется вектором состояний (в((г1)1), в((?)1),..., в^ц), каждое из которых характеризует наличие или отсутствие соответствующего факторного риска И(Ь_ на интервале времени длительности ^
Если на момент начала очередного временного интервала длительности t система Б(Ь_ ^ находится в состоянии Б((0.\), которому соответствует отсутствие реализации факторных рисков (Ь _ 1)-й градации, то вероятность перехода ее из состояния Б((0_\) в состояние Б^-ц, которому соответствует реализация хотя бы одного из факторных рисков (Ь _ 1)-й градации, определяется формулой (3). Соответственно вероятность события, заключающегося в том, что система останется в состоянии Б((0_\) (т. е. ни один из факторных рисков (Ь _ 1)-й градации не реализуется), определяется формулой (5).
3.2. Модель потоков реализаций результативных рисков
Результативные риски реализуются как вследствие причин, зависящих от факторных рисков, так и вследствие причин от этих рисков не зависящих. Поэтому поток событий реализации результативного риска И. можно представить в виде кусочно-стационарного пуассоновского потока, интенсивность которого X.
Ь
стаци-
характеризуется суммой интенсивности Х,р) онарного пуассоновского потока, не зависящего от реализации факторных рисков, и интенсивностей Х(нг) ограниченных по времени стационарных пуассонов-ских потоков, порожденных реализацией факторных рисков, влияющих на вероятность реализации данного результативного риска. В обозначениях Х,р) и Х(/Лг) интенсивностей стационарных пуассоновских потоков индексы Ь и Н — номера градаций результативного и факторного рисков, а индексы 1 и I — номера этих рисков в указанных градациях. Обозначим через ^Нг) интервал времени после реализации факторного риска ИН1, в течение которого интенсивность пуассоновского потока результативного риска И. увеличивается на величину Х( Н1). С использованием введенных обозначений для произвольного момента времени Т поток реализаций результативного риска И. можно представить в виде кусочно-стационарного пуассо-новского потока с интенсивностью
хТ = х(р + £ £ х(Н1),
(23)
Т ,соТ)
НеО1>1еО]
где 0(Т) — множество градаций факторных рисков, в которых реализовались риски, повышающие интенсивность потока реализаций результативного риска ИЬ в момент времени Т; ОТ — множество факторных рисков Н-й градации, повышающих интенсивность потока реализаций результативного риска ИЬ в момент времени Т.
Поскольку моменты реализации факторных рисков представляют собой случайные величины, то и интервалы стационарности, на которых поток реализации результативного риска ИЬ, характеризуется постоянной
интенсивностью, также являются случайными величинами, характеризующимися некоторой плотностью вероятностей
Обозначим через ^) длительность г-го временного
пото-
Х(г)
интервала с постоянной интенсивностью ка реализаций результативного риска И.. Для всех моментов времени Те . справедливо равенство ХТ = Х(г). В пределах каждого из интервалов . интервал времени между двумя соседними реализациями результативного риска И,, характеризуется
1 х(Г ) £
показательным распределением Ф^) = Х(г) е- 1 с математическим ожиданием, равным обратной величине интенсивности потока реализаций риска И.
7 = .11 Х(г),
и среднеквадратическим отклонением, равным математическому ожиданию.
4. Построение графов состояний системы предпринимательских рисков предприятия и оценка предельных вероятностей состояний
И(ь-1)1 = (Р(И(ь-1)1), Я(Ь-1)1, 7(;-Ш),
И
(Ь-1)2
И,
= (Р(((Ь-1)2), Я(Ь-1)2, 7(ь-1)2),
(Ь-1)1
= (Р(ИЬ1) ^ £Ы)
(Ь _ 1)1
7(Ь -
1)2 и 7ь1
соответственно — за-
1)2
Б
Б
I н-
X <
н- сг
к о
< ©
11
<
сг
с
>
Рассмотрим систему трех рисков: двух факторных рисков И(Ь _ 1)1 и И,_ 1)2 и результативного риска ИЬ1. В этой системе рисков реализация обоих факторных рисков с вероятностью 1 приводит к реализации результативного риска. Каждый из этих рисков можно определить соответственно трехмерными векторами И(Ь-1)1, И(Ь-1)2 и ИЬ1, имеющими вид
(24)
(25)
(26)
В формулах (24)-(26) использованы следующие обозначения: Р(ИЬ1), Р(И(Ь _ 1)1) и Р(И(Ь _ 1)2)_соответ-ственно — вероятности реализации рисков ИЬ1, И(Ь-1)1 и И(Ь-1)2; Я(Ь_ 1}1, Я(Ь_ 1)2 и QЬ1 соответственно — приведенные к моменту реализации рисков И(Ь _ 1)1 и ИЬ1 потоки финансовых потерь, порожденных реализацией этих рисков; t
ранее неизвестные случайные значения интервалов времени от момента реализации рисков И(Ь _ 1)1 и ИЬ1 до момента прекращения финансовых потерь, непосредственно обусловленных реализацией этих рисков.
Возможны следующие состояния рассматриваемой системы рисков:
Б0 — риски И(Ь _ 1)1, И(Ь _ 1)2 и ИЬ1 не реализовались;
и ИЬ1
Б1 — риск И(Ь _ 1)1 реализовался, а риски И(Ь _ не реализовались;
— риск И(Ь _ 1)2 реализовался, а риски И(Ь _ 1)1 и ИЬ1 не реализовались;
— реализовались риски И(Ь _ 1)1, И(Ь _ 1)2 и ИЬ1. Граф состояний рассматриваемой системы рисков приведен на рисунке.
На графе состояний стрелки, направленные, например, из состояния Б0 в состояние Б1, означают переход системы в момент реализации риска И(Ь _ 1)1, а из состояния Б1 в состояние Б0 — переход в момент прекращения реализации этого риска. На графе отсутствуют стрелки из состояния Б0 в состояние Б3 и из состояния Б1 в Б2. Это объясняется тем, что рассматривается ситуация, когда факторные риски И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 реализуются независимо друг от друга и вероятность одновременного прекращения
I IX <
н- сг
О < ©
Рис. 1. Граф состояний системы
реализации риска Д(; _ и реализации риска Д(; _ 1)2 пренебрежимо мала. Кроме того, пренебрежимо мала вероятность одновременной реализации рисков
— 1)1 и — 1)2.
Через |тп (т = 0, 1, 2, 3; п = 0, 1, 2, 3) на графе состояний обозначены интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния т в состояние п.
Обозначим через р0(Т) вероятность того, что в момент времени Т система находится в состоянии Б0. Тогда вероятность того, что система через малый промежуток времени ДТ останется в этом же состоянии, равнар0(Т) [1 - + 102) ДТ].
Если в момент времени Т система находится в состоянии Б1 или Б2, то вероятность перехода системы за время ДТ в состояние Б0 равнар1(Т) |10 ДТ + + р2(Т) |20 ДТ. Таким образом, вероятность того, что система в момент времени Т + ДТ будет находиться в состоянии Б0, определяется суммой
Р0(Т + ДТ) = Р0 (Т) [1 - (ц01 + Ц02) ДТ] + + Р1 (Т) цш ДТ + Р2 (Т) ц20 ДТ.
Из (27) следует, что
Рр(Т + ДТ) - р0(Т) = ДТ
(27)
(28)
= Р1(Т) Ц10 + Р2(Т) ц 20 - (ц 01 + ц 02 ) Р0(Т).
При ДТ ^ 0 уравнение (28) преобразуется к виду
р0(Т) = Р1 (Т)цш + Р2(Т)Ц20 -(Ц01+ Ц02)Р0(Т). (29)
Проводя аналогичный анализ вероятностей нахождения системы в других состояниях, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова [3] для вероятностей состояний
Р0 (Т) = Ц10 Р1(Т) + Ц20 Р2(Т) - (Ц01 + Ц02 ) Р0 (Т); Р1 (Т) = Ц 01 Р0(Т) + Ц31 Рз(Т) - (Ц10 +Ц13) Р1(Т); Р2 (Т) = Ц 02 Р0(Т) + Ц 32 Рз (Т) - (Ц 20 + Ц23 ) Р2 (Т); Р3 (Т) = Ц13 Р1(Т) + Ц23 Р2 (Т) - (Ц31 + Ц32 ) Рз(Т).
(30)
В системе (30) р'к (Т) обозначает производную вероятности нахождения системы в состоянии Бк.
Для любого момента времени Т вероятность того, что система будет в этот момент времени находиться в одном из состояний Бк (к = 0, 1, 2, 3), равна 1, т. е. справедливо уравнение
(31)
к=0
Дополняя систему уравнений (30) уравнением (31), получим систему уравнений с 4-мя неизвестными, содержащую 4 независимых уравнения. Решая эту систему можно получить вероятности состояний системы как функцию времени.
Для практических целей представляет интерес определить среднее относительное время пребывания системы в каждом из состояний Бк. Оно определяется предельными вероятностями рк состояний Бк при £ ^ да. Так, например, если предельная вероятность р0 = 0,4, это означает, что 40% времени система находится в состоянии Б0. Имеется в виду, что в течение 40% времени реализации рисков не происходит и негативные последствия реализации рисков отсутствуют.
Поскольку предельные вероятности постоянны, то, заменяя в системе дифференциальных уравнений Колмогорова производные вероятностей состояний нулевыми значениями и заменяя четвертое зависимое уравнение системы (30) уравнением (31), получим систему линейных уравнении, характеризующих стационарный режим системы
(32)
(ц 01+Ц13) Р0- Ц10 Р1- ц 20 Р2+0 • Р3 =
-Ц01 Р0 + (Ц10 + Ц13) Р1 + 0 • Р2 - Ц31 Р3 = -Ц02 Р0 + 0 • Р1 + (Ц20 + ц23 ) Р2 - ц32 Р3 = 0
Р0 + Р1 + Р2 + Р3 = 1. Вводя обозначения
а00 = М-01 + ^13, а01 = — М-01, а02 = —^20, а03 = 0, Ъ0 = 0;
а10 = —101 аи = М-10 + ^^lз, а12 = 0, а13 = —^^зl, Ъ1 = 0;
а20 = — М-02' а21 = 0, а22 = М-20 + М-23, а23 = — М-32, Ъ2 = 0; а30 = 1, а31 = 1 а32 = 1, а33 = 1, Ь3 = 0,
получаем систему уравнений
а00 Р0 + а01 Р1 + а02 Р2 + а03 Р3 = Ъ0'; а10 Р0 + а11 Р1 + а12 Р2 + а13 Р3 = Ъ{; а20 Р0 + а21 Р1 + а22 Р2 + а23 Р3 = Ъ2; а30 Р0 + а31 Р1 + а32 Р2 + а33 Р3 = Ъ3.
(33)
Решение системы (33) имеет вид:
Б„
(34)
рк = Б 1
где Б — определитель системы (33), определяемый равенством
в=
а00 а01 а02 а03
а10 а11 а12 а13
а20 а21 а22 а23
а30 а31 а32 а33
(35)
I Рк (£) = 1.
вк — определитель, получающийся из в при замене элементов а0к, а1к, а2к, а3к, к-го столбца соответствующими свободными членами Ъ0, Ъ1, Ъ2, Ъ3.
Для практической оценки средних относительных вероятностей нахождения системы в каждом из состояний необходимо знать интенсивности |тп потоков событий, переводящих систему из состояния т в состояние п. Интенсивности |01, |02, |13 и |23 потоков событий, переводящих систему в состояния, характеризующиеся реализацией тех или иных рисков из одного, определяются интенсивностями — 1)1, Х(1 — 1)2 и потоков реализации этих рисков:
(36)
М-01 = Х(ь _ 1)1, М-02 = Х(Ь _ 1)2, М-13 = Х(Ь _ 1)2, М-23 = Х(Ь _ 1)1.
Интенсивности |10, |20, |31 и |32 потоков событий, переводящих систему в состояния, характеризующиеся отсутствием воздействия реализации тех или иных рисков, определяются интенсивностями потоков событий, нейтрализующих соответствующие риски.
Выражая параметры атп системы дифференциальных уравнений Колмогорова через значения интенсив-ностей мтп потоков событий, переводящих систему из одного состояния в другое, и подставляя значения этих параметров в (33), можно оценить средние относительные времена рй пребывания системы в каждом из состояний и, в частности, оценить среднее относительное время р0 пребывания системы в состоянии Б0, в котором отсутствует негативное воздействие рисков на эффективность хозяйственной деятельности предприятия.
Проиллюстрируем процедуру оценки относительных времен рй на конкретном примере. Рассмотрим систему факторных рисков И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 отсутствия на складе деревообрабатывающего предприятия соответственно сосновой и еловой древесины и риска ИЬ1 остановки производства вагонки (еловой или сосновой) на этом предприятии. Предположим, что в рассматриваемом примере каждый из рисков И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 реализуется в среднем раз в 4 месяца. Совместная реализация рисков И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 с вероятностью 1 приводит к реализации риска ИЬ1. Поставка каждого из видов древесины, сосновой и еловой, осуществляется раз в две недели (0,5 месяца). Требуется оценить относительные времена пребывания предприятия в состояниях Б0, Б1, Б2 и Б3.
Для оценки относительных времен пребывания предприятия в каждом из состояний определим интенсивности |тп потоков событий, переводящих предприятие из одного состояния в другое, вероятность Р(И(Ь _ 1)1, И(Ь _ 1)2) совместной реализации рисков И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 в течение одного месяца равна Р(И(Ь _ щ, И(Ь_ 1)2) = 0,25 • 0,25 = 0,0625, а средний интервал времени между двумя последовательными остановками производства равен 1/0,0625 = 16 месяцев.
Интенсивности мтп потоков событий, переводящих предприятие из одного состояния в другое, равны
= Х(Ь _ 1)1 = 1/4 > М-02 = Х(Ь _ 1)2 = 1/4 >
^10 = 1/0,5 = 2, М20 = 1/0,5 = 2,
М13 = Х(Ь _ 1)2 = 1/4, М31 = 1/0,5 = 2
М23 = Х(Ь _ 1)1 = 1/4, 1з2 = 1/0,5 = 2
Подставляя значения интенсивностей мтп в систему уравнений (33) и выполняя элементарные преобразования, получим систему уравнений Колмогорова для рассматриваемого примера.
0,5 р0 = 2 Р1 + 2 р2; 2,25р1 - 0,25р0 + 2р3; 2,25р2 - 0,25р0 + 2р3;
Р0 + Р1 + Р2 + Рз = 1.
(37)
(38)
Решение системы (37) имеет вид: р0 = 0,7900, р2 = 0,0988, р2 = 0,0988, р3 = 0,0123.
Систему состояний Б0 _ Б3 можно рассматривать как элементарную ячейку. Использование системы таких ячеек позволяет оценить относительное время пребывания предприятия в том или ином состоянии с учетом иерархической структуры рисков, определяющих это состояние, и оценить финансовые потери, вызванные реализацией рисков.
Так, например, в рассмотренном выше примере факторные риски И(Ь _ 1)1 и И(Ь _ 1)2 отсутствия на складе сосновой и еловой древесины обуславливали реализацию результативного риска ИЬ1 остановки производства вагонки. В свою очередь остановка производства вагонки может привести к реализации риска И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю, который является результативным по отношению к риску ИЬ1.
Обозначим через Х (Ф+щ и Х (Л+щ интенсивности потока реализаций риска И(Ь + 1)1 на интервалах, где реализация этого риска не связана с реализацией риска ИЬ1, и интервалах, на которых реализация риска ИЬ1 повышает интенсивность потока реализаций риска И(Ь + 1)1 на величину АХ(Ь + 1)1. В дальнейшем мы будем рассматривать временные интервалы, характеризующиеся интенсивностью Х(ф+)1)1 потока реализации результативного риска И(Ь + 1)1, на величину которой не влияют факторные риски, как фоновые, а интервалы, характеризующиеся интенсивностью Х (Л+щ, на которых факторные риски повышают интенсивность потока реализаций результативного риска, — как лавинные. Соответственно интенсивности Х (Ф+щ и Х (Л+щ потоков реализации результативного риска на этих интервалах будем называть фоновыми и лавинными.
Для системы рисков ИЬ1 и И, + 1)1 система состояний Б0 - Б3 имеет вид:
Б0 — ни один из рисков Дг1остановки производства вагонки и Яц + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю не реализовался; Б1 — реализовался риск ИЬ1 остановки производства вагонки, но срыва поставки вагонки не произошло (риск И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю не реализовался); Б2 — реализовался риск И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю, но остановки производства вагонки не произошло, т. е. риск ИЬ1 остановки производства вагонки не реализовался; Б3 — реализовались оба риска: риск ИЬ1 остановки производства вагонки и риск И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю.
Риск ИЬ1 является факторным по отношению к результативному риску И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю. В общем случае срыв поставки вагонки потребителю может произойти как по причине остановки производства вагонки, так и в силу других обстоятельств, в частности из-за несоответствия качества (сортности) произведенной вагонки требованиям потребителя или из-за неправильного оформления товаросопроводительных документов и т. п. Поток реализаций риска И(Ь + 1)1 срыва поставки вагонки потребителю характеризуется на фоновых участках фоновой интенсивностью Х (ф+щ, обусловленной причинами, не связанными с остановкой производства, а на лавинных участках — лавинной интенсивностью Х (Л+щ.
X <
н- сг
к о
< ©
11
I IX <
н- сг
к о
< ©
11
<
сг
с
>
Рассмотрим конкретный численный пример, являющийся сквозным по отношению к предыдущему примеру. Для исходных данных предыдущего примера было показано, что поток реализаций риска Дг1 остановки производства вагонки характеризуется интенсивностью Хг1 = 0,0625. Предположим, что:
• фоновая интенсивность ^(ф+щ равна 0,1 (по причинам, не связанным с остановкой производства, поставка вагонки потребителю срывается в среднем раз в 10 месяцев);
• поставка вагонки осуществляется раз в 2 недели (средний временной интервал от момента срыва поставки древесины, приведшей к остановке производства, до очередной поставки составляет 1 неделю или 0,25 месяца);
• норма запаса вагонки на складе готовой продукции Нзап = 5 дней или 0,17 месяца;
• поставка вагошки потребителю осуществляется ежедневно (1 партия в день).
Для указанных исходных данных интенсивности потоков событий, переводящих систему рисков из одного состояния в другое, равны:
123 = Хи = 0,0625; ц^ = ^ = 1 = 6 ;
30
101 = 0,0625; ц 02 =Ь (ф+щ = 0,1; |110 = 0,5 + 0,5 = 1; |20 = |31 = 30; 132 = 0,5 + 0,5 = 1.
Подставляя значения интенсивностей | тп в систему уравнений (33) и выполняя элементарные преобразования, получим систему уравнений Колмогорова для рассматриваемого примера:
0,1625 р0 = р1 + 30 р2; 7 р1 = 0,0625 р0 + 30 р3; 30,0625 р2 = 0,1 р0 + р3;
Р0 + Р1 + Р2 + Р3 = 1
(39)
Решение системы (39) имеет вид: р0 = 0,9377, р1 = 0,0493, р2 = 0,0034, р3 = 0,0095.
(40)
Полученные численные оценки предельных вероятностей состояний предприятия, характерных для реализации той или иной системы рисков, позволяют оценить финансовые потери предприятия, вызванные реализацией рисков. Так, величина абсолютного снижения чистого дохода предприятия ДЧД23 вследствие реализации риска срыва поставок вагонки определяется равенством
ДЧД23 = (Р2 + Р3 — Р2 Р3) ЧД,
(41)
где ЧД — плановый чистый доход предприятия за определенное время (например, за год) при отсутствии реализации рисков срыва поставок вагонки потребителю.
При этом величина абсолютного снижения чистого дохода вследствие реализации риска срыва поставки вагонки из-за остановки производства определяется равенством
ДЧД3 = Р3 • ЧД,
(42)
а по другим причинам — равенством
ДЧД2 = р2 • ЧД. (43)
Соответственно относительные снижения 5ии и
- ЧД3
чистого дохода вследствие реализации риска срыва поставки вагонки из-за остановки производства и по другим причинам определяются равенствами
^ЧД3
■"ЧД2
= Рз,
ДЧД3 ЧД
ДЧД = р
ЧД Р2.
(44)
(45)
5. Применение вероятностной модели лавинной генерации рисков для оценки их влияния на эффективность предпринимательской деятельности
Рассмотренный выше пример иллюстрирует возможность практического применения вероятностной модели лавинной генерации рисков для оценки влияния рисков на эффективность предпринимательской деятельности.
Как отмечалось выше, в соответствии с определением, приведенным в [4], под предпринимательской деятельностью мы понимаем «самостоятельную, осуществляемую на свой риск деятельность, направленную на систематическое получение прибыли от пользования имуществом, продажи товаров, выполнения работ или оказания услуг лицами, зарегистрированными для ведения этой деятельности в установленном законом порядке». Эффективная предпринимательская деятельность должна обеспечивать конкурентоспособные темпы развития бизнеса, определяемые коэффициентом устойчивого роста [5]. Последний, в свою очередь, характеризуется величиной чистой прибыли, реинвестированной в развитие бизнеса на рубль собственного капитала предприятия. Коэффициент устойчивого роста можно представить в виде произведения двух факторов: коэффициента реинвестирования, определяемого дивидендной политикой предприятия, и рентабельности собственного капитала, определяемой величиной чистой прибыли на рубль собственного капитала [1].
Кур = КрЕИнв • Кфр,
(46)
где Кур — коэффициент устойчивого роста; КРЕИНВ — коэффициент реинвестирования; КФР — коэффициент финансовой рентабельности (рентабельность собственного капитала), определяемый равенством
кфр =
ЧП
СК ,
(47)
где ЧП — чистая прибыль; СК — средняя величина собственного капитала за период получения чистой прибыли.
Отсюда следует, что величину чистой прибыли можно рассматривать как один из важнейших показателей
эффективности предпринимательской деятельности. Между чистой прибылью и прибылью от продаж при отсутствии чрезвычайных доходов и расходов существует связь, определяемая равенством
ЧП = (ппр _ Рпроч + дпроч) • (1 _ нп)
(48)
где ЧП — чистая прибыль; ППР — прибыль от продаж; РПРОЧ, дпроч соответственно — прочие расходы и прочие доходы; НП — ставка налога на прибыль, выраженная в долях единицы.
Прибыль от продаж, определяемая разностью между чистым доходом предприятия и общими издержками, связанными с основной деятельностью, характеризует прибыльность основной деятельности предприятия и также может рассматриваться как один из важных показателей эффективности его предпринимательской деятельности. Между объемом реализации и прибылью от продаж существует связь, определяемая эффектом операционного левериджа. Она выражается равенством [5]
П2 = П1 [Эол (в _ 1)] + 1,
(49)
где П2 и П1 соответственно — прибыль от продаж до и после изменения реализации; ЭОЛ — эффект операционного левериджа; в = ОР2/ОР1 — коэффициент изменения объема реализации.
Относительное снижение прибыли от продаж, вследствие изменения объема реализации, определяется равенством
§П = П2 " П1 = Э ПР = —П-= Эо
• (в - 1).
(50)
Таким образом, можно выстроить цепочку связей:
ОР —>П —>ЧП
(48)
ПР
(46)
(51)
Из построенной цепочки связей следует, что если удастся оценить влияние рисков на объем реализации (т. е. оценить величину коэффициента изменения объема реализации вследствие реализации рисков), то на базе оценок эффекта операционного левериджа с применением зависимости (50) можно будет оценить влияние рисков на прибыль от продаж и соответственно на чистую прибыль, финансовую рентабельность и коэффициент устойчивого роста.
Будем называть конечными те состояния системы рисков, пребывание в которых непосредственно влечет за собой финансовые потери, а промежуточными — те состояния, пребывание в которых не сопряжено непосредственно с финансовыми потерями. Так, в рассмотренном выше примере конечными являются состояния Б2 и Б3, для которых характерна реализация риска срыва поставок, непосредственно вызывающего финансовые потери, а промежуточным — состояние Б1, когда реализовался риск остановки производства, но срыва поставки вагонки не произошло. С учетом введенных понятий конечного и промежуточного состояний можно предложить следующую методику оценки влияния рисков на эффективность предпринимательской деятельности.
1. Строятся графы состояния системы рисков, на которых выделяются промежуточные и конечные состояния.
2. Для каждого из конечных состояний по результатам решения системы уравнений Колмогорова опре-
деляются вероятности пребывания предприятия в этих состояниях.
3. Определяется величина коэффициента изменения объема продаж вследствие реализации рисков на основе оценок вероятностей пребывания предприятия в конечных состояниях.
4. Определяется величина относительного снижения прибыли от продаж вследствие реализации рисков, вызывающих переход предприятия в конечные состояния.
5. На основе использования зависимостей (51)-(49) оцениваются относительные снижения чистой прибыли, рентабельности собственного капитала и коэффициента устойчивого роста.
Важным элементом применения вероятностной модели лавинной генерации рисков является возможность ее использования для оценки эффективности мер предупреждения рисков. При этом реализацию мер предупреждения рисков можно рассматривать как инвестиционный проект, критериями эффективности которого служат:
• величина увеличения чистого денежного потока предприятия вследствие реализации мер предупреждения рисков;
• индекс рентабельности инвестиций;
• внутренняя норма рентабельности инвестиций в реализацию мер предупреждения рисков;
• дисконтированный срок окупаемости инвестиций в реализацию мер предупреждения рисков. Базой расчета указанных показателей являются
величина инвестиционных затрат на осуществление мер предупреждения рисков и величина абсолютного изменения ожидаемого чистого дохода вследствие реализации этих мер.
На базе изложенного подхода можно предложить методику оценки эффективности мер предупреждения рисков:
1. Строятся графы состояния системы рисков, на которых выделяются промежуточные и конечные состояния.
2. Для каждого из конечных состояний по результатам решения системы уравнений Колмогорова определяется вероятность пребывания в них предприятия и определяется величина ожидаемого снижения чистого денежного потока предприятия, обусловленного рисками, приводящими предприятие в эти состояния. Определение вероятности пребывания предприятия в каждом из конечных состояний и величины ожидаемого снижения чистого денежного потока проводится как для ситуации 1, когда не предпринимаются предлагаемые меры по предупреждению рисков, так и для ситуации 2, когда эти меры осуществляются.
3. Оцениваются показатели эффективности инвестиционных проектов, соответствующих каждой из предлагаемых мер предупреждения рисков, и по результатам анализа показателей принимается решение о целесообразности осуществления этих мер.
6. Риски ошибочных управленческих решений как фактор лавинной генерации предпринимательских рисков и снижения эффективности предпринимательской деятельности
Как следует из анализа процесса лавинной генерации рисков, реализация факторных рисков порождает реализацию результативных рисков, которые являются,
I н-
X <
н- сг
к о с ©
I IX <
<
сг
с
>
в свою очередь, факторными рисками для результативных рисков следующей градации. Возникающий процесс лавинной генерации рисков может привести к крупным финансовым потерям и возникновению
н- сг
к о
< © риска банкротства
11
Цепочку лавинной генерации рисков можно прервать посредством принятия и реализации решений, направленных на предупреждение реализации факторных рисков и нейтрализацию их последствий в тех случаях, когда реализацию этих рисков не удается предотвратить. В то же время ошибочные решения являются «спусковым крючком», запускающим процесс генерации одних рисков и усиливающим негативное воздействие других.
Для выявления роли рисков ошибочных решений в лавинной генерации предпринимательских рисков необходимо проанализировать иерархическую структуру предпринимательских рисков и построить цепочки рисков, генерируемых реализацией рисков ошибочных решений.
Рассмотрим в качестве примера цепочку рисков, связанных с рисками срыва поставки партии сырья или комплектующих изделий для производственного предприятия. Назовем ее цепочкой 1 и представим в виде:
риск ошибочного планирования процесса поставки ^ риск срыва поставки ^ риск ошибочного планирования норм запаса сырья или комплектующих изделий ^ риск обнуления запасов на складе сырья или комплектующих изделий ^ риск ошибочного планирования производственного процесса ^ риск остановки производственного процесса ^ риск ошибочного планирования норм запаса
готовой продукции ^ риск обнуления запасов готовой продукции
на складе готовой продукции ^ риск ошибочного планирования процесса поставки готовой продукции ^ риск срыва поставки партии готовой продукции.
На выходе цепочки рисков мы получаем финансовые потери, которые понесет предприятие в результате срыва поставки партии готовой продукции. Они могут породить реализацию риска потери платежеспособности, который, в свою очередь, способен породить реализацию риска срыва поставки сырья, запуская тем самым разрушительный механизм по-
ложительной обратной связи, вызывающий новую реализацию всей цепочки рисков 1 и способный в конечном итоге породить реализацию рисков потери финансовой устойчивости и риска банкротства.
Другим примером цепочки рисков является представленная ниже:
риск ошибочного решения при выборе валюты платежа по внешнеторговому контракту ^ операционный валютный риск неблагоприятного изменения курса валюты платежа ^ риск ошибочного решения при выборе стратегии хеджирования валютного риска с применением производных финансовых инструментов ^ риск потери платежеспособности.
В свою очередь реализация риска потери платежеспособности может привести к реализации риска срыва поставки сырья, запустив тем самым цепочку рисков 1 и механизм положительной обратной связи, способный породить реализацию рисков потери финансовой устойчивости и банкротства.
Построенные цепочки предпринимательских рисков наглядно демонстрируют ключевую роль рисков ошибочных решений в реализации конечного хозяйственного риска срыва поставки партии готовой продукции. В рассмотренных цепочках принимаемые решения играют роль своеобразных прокладок, которые либо нейтрализуют негативные последствия реализовавшихся рисков, либо, наоборот, усиливают их. Следовательно, предупреждение рисков ошибочных решений является важнейшим элементом превентивного управления предпринимательскими рисками и обуславливает необходимость разработки соответствующих методических подходов.
Литература
1. Кунин В. А. Инновационные методы оценки эффективности управления предпринимательскими рисками // Экономика и управление. 2007. № 6 (32).
2. Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2007.
3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Юнити, 2006.
4. Ковалев В. В., Ковалев Вит. В. Учет, анализ и финансовый менеджмент. М.: Финансы и статистика, 2006.
5. Кунин В. А. Управление финансовой и инвестиционной деятельностью предприятия. 3-е изд. СПб.: Изд-во МБИ, 2008.
Актуальная статистика
Экономика Северо-Западного региона РФ
Северо-Западный округ является одним из локомотивов российской экономики.
Наибольший вес здесь имеют обрабатывающая промышленность (24%), торговля (16%), транспорт и связь (15%). В 2007 г. валовой внутренний продукт (ВВП) Северо-Запада РФ составил 125 млрд долл. США, что сопоставимо с ВВП таких стран, как Украина, Египет или Нигерия. Из 20 регионов РФ с наивысшим показателем внутреннего регионального про-
дукта (ВРП) на душу населения шесть — северо-западные (Санкт-Петербург, Архангельская, Мурманская, Ленинградская и Вологодская области, а также Республика Коми).
Источник: Данные Федеральной службы госстатистики (Петростат).
Составители: д-р экон. наук А. И. Добрынин, член Арктической общественной Академии наук (Санкт-Петербург) А. Вертячих.
