Модель коммуникационной системы несения судовой вахты в установившемся равновесном информационном состоянии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.61.052:004.942

С. В. Карташов, К. В. Пеньковская, В. И. Меньшиков

МОДЕЛЬ КОММУНИКАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ НЕСЕНИЯ СУДОВОЙ ВАХТЫ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РАВНОВЕСНОМ ИНФОРМАЦИОННОМ СОСТОЯНИИ

Показано, что реализация требований по поддержанию безопасности плавания судна может быть обеспечена путем контроля информационных потоков в организационно-технической системе несения вахты. Предложено преобразование организационно-технической системы несения судовой вахты в коммуникационную систему, в ходе которого организационно-техническая система несения вахты рассматривается лишь с позиции информационных взаимодействий ее элементов - независимо от их внутренней структуры и назначения. Изложены общие принципы построения коммуникационной системы несения вахты. Построены модели установившегося (равновесного) состояния коммуникационной системы. Рекомендуемая методика позволяет получать улучшенные оценки вероятности реализации того или иного установившегося распределения потоков сообщений в коммуникационной системе и дает возможность осуществлять оценки такого состояния в более сложных ситуациях, когда пары взаимодействующих элементов соединены более чем одним каналом связи.

Ключевые слова: организационно-техническая система, коммуникационная система, несение вахты, установившееся (равновесное) информационное состояние, вероятность реализации.

Введение

Организационно-техническую систему несения вахты, функционирование которой исследуется в [1-3], будем рассматривать лишь с позиции информационных взаимодействий ее элементов - независимо от их внутренней структуры и назначения. В этом случае элементы, образующие организационно-техническую систему несения вахты, можно интерпретировать как информационные емкости, а информационные взаимодействия между ними - как перемещение заданного количества сообщений (докладов) от емкости к емкости. Именно такую модифицированную организационно-техническую систему будем называть коммуникационной системой.

Пусть природа сил, вызывающих перемещение сообщений, такова, что количество сообщений, перемещающихся по каналам, зависит от некоторых заданных характеристик (например, пропускной способности) таких каналов стохастическим образом в том смысле, что каждое сообщение случайно «избирает» тот или иной канал связи. Если описанный процесс перемещений происходит многократно, то при каждой его реализации возникает новое распределение потоков сообщений по каналам связи. Однако среди всех возможных распределений потоков сообщений можно выделить такое, вероятность реализации которого максимальна. По аналогии с однократно протекающими во времени процессами обмена информацией будем называть такое распределение установившимся (равновесным) информационным состоянием в коммуникационной системе несения вахты.

Модели коммуникационных систем несения вахты с установившимся (равновесным) информационным состоянием сложны с точки зрения подсчета вероятности состояний такой системы. Задачей нашего исследования было разработать методику, которая позволяла бы:

- получить улучшенные оценки для вероятности реализации того или иного распределения потоков сообщений;

- получить такие оценки в более сложных ситуациях, когда пары взаимодействующих элементов соединены более чем одним каналом связи.

Общие принципы построения коммуникационной системы несения вахты

Пусть в коммуникационной системе, включающей М каналов с характеристиками Н > 0 (г = 1, ..., М), в каждой реализации перемещений участвует N сообщений. Кроме того, каждое сообщение случайно «избирает» тот или иной канал связи и, следовательно, некоторое значение характеристики к] (] = 1, ..., Щ, совпадающее с одним из значений Нг. Пусть определен вектор X = {х1, ..., хт} распределения сообщений по каналам связи в рассматриваемой коммуникационной системе. Проанализируем расположение точек к] и Н1 на оси к при установившемся состоянии системы Х° = {хг°}, для чего разобьем ось к от к = Ямин до к = Нмах на примыкающие

друг к другу отрезки Ак (к = 1, ..., К). Обозначим число таких точек на отрезке Ак как Рк и Пк соответственно, т. е.

М

рк = I ^ 0Л к (Н),

,=1

М

Пк = I Лк (Н),

,=1

где Лк (Н) — характеристическая функция отрезка Ак.

Случайный выбор сообщением канала связи означает, что вероятность выбора множества связей со значениями Н,е Ак является отношением вида Рк /N. Если далее предположить, что выбор одной связи в пределах интервала Ак равновероятен, то вероятность выбора сообщением любой связи с пропускной способностью Н1 равна

и,<Н) = Р / N Пк для Не Ак. (1)

Заметим, что величины иг(Нг) нормированы, причем Пк = 0 означает, что в интервале Ак нет ни одной связи и он должен быть исключен из элементного множества коммуникационной системы несения вахты. Таким образом, пропускную способность канала связи Н1 можно дополнительно интерпретировать как множество значений дискретной случайной величины с вероятностями и, = иг(Нг).

Рассмотрим теперь произвольный вектор X, который также случаен, причем число его состояний конечно. Каждое такое состояние определяется тем, что любое сообщение «избирает» один из г = 1, ..., М каналов связи с вероятностью и,, соответствующей установившемуся состоянию Х0. Следовательно, рассмотренная схема полностью совпадает с известной схемой полиномиального распределения, в которой вероятность появления каждого состояния X определяется по формуле из [4]:

р (X ) = ( N!/Пх; !)П иД. (2)

Если выражение (2) прологарифмировать и использовать аппроксимацию вида 1п z! ~ z 1п I —1, то с точностью до постоянной составляющей можно найти:

м

1пр(X) = Iф(и,- / х). (3)

г = 1

При и, = 1 / М = соШ выражение (2) описывает термодинамическую вероятность состояния X, и для физических систем в качестве равновесного состояния Х° принимается такое, которое максимизирует энтропию системы:

5(X) = к 1п р®,

где к — константа Больцмана.

Полученный принцип максимума энтропии можно распространить на абстрактные системы информационно взаимодействующих элементов в организационно-технических системах несения вахты и рассматривать эти системы как коммуникационные системы. В таких моделях систем в качестве исходной информации можно использовать плотность распределения /*( к). Эту плотность целесообразно получать в результате выборочного статистического обследования установившегося распределения потоков сообщений Х ° в организационно-технической системе несения вахты. Отметим, что кривую плотности распределения /*( к) можно интерпретировать как апостериорную плотность распределения, обозначая ее, например, следующим образом: /* (к IХ°).

Если бы распределение точек Hi на оси h было равномерным, то функциюf*(h\X°) можно было бы считать достаточно точной аппроксимацией (1) и для подсчета вероятностей состояний X в (2) воспользоваться выражением

Ui = cf*(H I X°). (4)

Однако в общем случае точки Hi имеют неравномерное распределение по оси h, поэтому последнее приближение для случая неравномерного распределения точек Hi оказывается некорректным. В то же время из выражения (1) следует, что величины ui должны определяться по выражению вида

Ui = f*(H I X°) / Пk. (5)

Очевидно, что результаты расчета по формулам (4) и (5) могут существенно различаться. Учитывая полученные результаты, составим несколько коммуникационных моделей, наиболее важных для организации системы несения вахты. Для составления первой модели будем считать, что в процессе несения вахты периодически N сообщений перемещается из n элементов с информационной емкостью Qj (j = 1, ..., n) в m других элементов информационной емкостью Рi (i = 1, ..., m), причем

I Pi = IQ = N.

' j

Первая модель установившегося состояния коммуникационной системы

Пусть характеристика канала определена как величина Hij, а соответствующий поток сообщений - как xij. Если все пары взаимодействующих элементов элементного множества соединены друг с другом, общее число каналов М будет равно величине m х n. Очевидно, элементы xij любой матрицы X, описывающей распределение потоков сообщений в коммуникационной системе несения вахты, должны удовлетворять следующим условиям:

I Xij =Qj j = 1,..., n,

^ ! (6)

I j = Рi i = 1,...,m, Xij > 0.

j

В общей коммуникационной модели, как отмечалось выше, Нij могут быть интерпретированы как случайные величины с вероятностями иу, определяемыми из соотношения (4) или (5). В соответствии с предположением о существовании установившегося состояния для коммуникационных систем, составим модель коммуникационной системы несения вахты, отвечающую такому состоянию.

Установившееся состояние X* коммуникационной системы несения вахты должно максимизировать функцию (2) или (3) при ограничениях (6). Тогда приходим к задаче, решение которой позволяет оценить информационные потоки, идущие по каналам связи между элементами системного множества.

В общем виде такую задачу можно сформулировать следующим образом.

Найти

max I xijln(uij / xH).

lf 4 (7)

с учетом выражения (5) и при информационных ограничениях (6).

Для решения задачи (7), с учетом выражения (5) и при информационных ограничениях (6), будем использовать условный экстремум и максимизировать выражение

I х^ х) + I р, (I ху - Р) + I ц ] (П х{] - а]).

Ч г 1 1 г

Тогда можно получить:

x*ij = a¡ Ь] Ц (8)

для всех г и ], где

а; = ехр(р; - 1), Ьу = ехр(цу).

Подставляя последние выражения в (6), получим систему нелинейных уравнений для определения коэффициентов а; и Ьу:

а;XЬу= Р; (; = ^ - т),

у ¡у

]

Ь X а;и = (у =1,...,п)

;

Для решения данной системы целесообразно использовать итерационную процедуру: Ьу9 + 1 = йу / X а? иу (у = 1, ..., п),

а; 9 + 1 = Р1 / X Ьу9 + 1 иу (; = 1, ..., т),

;

0 ,0

в которой начальные условия а ; и Ь у должны удовлетворять условию

а; + Ьу = 1.

юйти от переменных Ьу9 и;у, уу = а; 9 Ьу 9 + 1 и;у. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Если далее перейти от переменных а; 9 и Ьу9 к переменной ху и вести обозначения ху = а; 9

у/ = V (йу/XV),

; (9)

V+1 = Уу9 (Р/ X У;у9).

1

Соотношения (9) определяют известный метод внутреннего баланса.

Вторая модель установившегося состояния коммуникационной системы

При составлении второй модели, предназначенной для оценки установившегося состояния коммуникационной системы, будем считать, что из X* образованы величины Фк, равные числу сообщений, перемещающихся по каналам системы несения вахты с характеристиками Ну, аналогичные величинам Ек, полученным из установившегося состояния X *:

Ф* = X х*у Л* (Ну). (10)

Очевидно, что х*;у, полученные при решении задачи (10), вообще говоря, не обеспечивают совпадения ¥к и Фк. Поэтому введем плотность распределений^к\Х*) и назовем ее апостериорной. Так как по определению плотности вероятности

^ = N | Як\Х°Щ,

к е Л

к

Фк = N J f(hIX*)dh,

h e Л

k

то можно говорить о несоответствии апостериорной плотности распределения априорному обследованию. В связи с этим необходимо составить модель установившегося состояния коммуникационной системы, позволяющую устранить это несоответствие.

Введем для Ну и ху новый индекс к - номер интервала Лк и определим Нук = Ну при Ну еЛк так, что для остальных к значения Нук не определены. Кроме того, хук обозначим число сообщений, перемещающихся на множестве системы из элемента i к элементу j по каналу к. Теперь каждое состояние системы определяется трехиндексной матрицей X, а вероятность выбора каждым сообщением перемещения из элемента i к элементу j по каналу к можно найти аналогично сделанному выше:

=

Jf *( Н^)/ Пк для Нук1Л к, |0 — в противном случае.

Отсюда вероятность каждой матрицы может быть получена следующим образом:

p (X) = (N! / П xijk!) П U

Ук

xj)

(11)

Таким образом, для практического расчета установившегося состояния коммуникационной системы несения вахты получили следующую задачу, которую сформулируем так: Найти

rnaxE хчМиук/ Хук)

у

(12)

при следующих ограничениях:

X Хук = Р i (i = 1, ..., m),

Ук

Z Хук = йу (у = 1, ..., n),

(13)

X Хук = Р (к = 1, ..., К), Хук > 0.

У

Целевая функция в данной задаче получена аппроксимацией факториалов и логарифмированием (8) аналогично выводу выражения (3).

Следует отметить, что введение третьей группы ограничений (9) путем дискретизации по к позволяет получать распределения потоков в системе при наличии нескольких каналов, связывающих элементы коммуникационной системы несения вахты. Действительно, при формулировке последней задачи условие единственности связи между элементами использовалось лишь при определении Нук. Введение нескольких связей для одной фиксированной пары элементов (г, у) позволяет доопределить соответствующие значения Нук и иук.

После преобразований, аналогично выполненных в задаче (5)-(7), получим

х"ук = аг Ьу Ск иуЬ

где аг, Ьу, ск - решения системы нелинейных уравнений:

а X Ьу Ск игук = Рг (г = 1, ..., т),

у к

Ьу X аг Ск иук = йу (у = 1, ..., п),

I к

ск X а Ьу ир = Е (к = 1, ..., К).

Iу

Для решения данной системы используем итерационный метод внутреннего баланса (9):

а

4+1

■ Л / I Ь4у

у к

С4к Мук

( I = 1, ..., т),

Ьу4+ 1 = йу / I а4+ 1 I с4к и у к (у = 1, ..., п),

(14)

4+

1 = Е/ I а4+ Ь4+ 1 у иук = (к = 1, ..., К).

при а? + Ь/ + ск0 = 1.

Заметим, что от переменных а4, Ьуск можно было бы перейти к переменным Хук и получить трехиндексный аналог метода балансировки, но реализация соотношений (13) по сравнению с методом внутреннего баланса (9) численным методом оказывается более экономной по затрачиваемому времени.

Несмотря на предположение об однородности сообщений в коммуникационной системе несения вахты, задачи (9) и (10) могут быть легко использованы для описания систем, где в перемещениях участвует несколько видов сообщений (докладов), каждый со своей функцией распределения /*и( к\Х°) ( и = 1, ..., I) и со своим множеством коммуникаций. Пусть известно количество докладов каждого вида Ии, тогда последние ограничения (13) в рассматриваемой задаче могут быть записаны в виде

X у = Ек (к = 1,..., Я; Я = X Ки),

¡у и=1

(15)

где

Е = N $ /* и(кIX°)йк.

к ё а к

Распределения /* и (НIX °), используемые выше, являются результатом обследований и отражают текущее состояние коммуникационной системы несения вахты, обусловленное характером деятельности судовых специалистов [4, 5].

При прогнозировании потоков сообщений в системе необходимо иметь прогнозы относительно видов распределений. Однако на практике можно получить лишь некоторые параметры функции распределения, которую можно записать так: ^и(к, Ти, У1 и, ..., Уги), где и = 1, ..., I). Для простоты далее будем считать, что для каждой функции известен только один параметр Ти. При наличии такой информации введение ограничений (15) не имеет смысла, т. к. оно предполагает наличие достоверной информации о всех кривых ^ и (к IX °). Кроме того, в некоторых областях значений параметров У1 и, ..., Уги соответствующая им кривая может оказаться несогласованной с информационными емкостями взаимодействующих элементов коммуникационной системы р и йу, т. е. система ограничений последней задачи будет несовместной.

Таким образом, при постановке этой задачи следует принять Ки = 1 (и = 1, ..., I) и при фиксированных значениях У1 и, ..., Ут можно получать матрицу потоков Х*(У1и, ..., Уги) при замене индекса к на и (и = 1, ..., I). В свою очередь, по X* можно построить оценки параметров Т1, ..., Т\, как Т*1 = ф1(Х*), ..., Т*1 = фг(Х*) и в качестве меры близости между Х° и X* воспользоваться метрикой между Ти и Ти * [6].

Для отыскания неизвестных параметров У1и, ..., Уги можно сформулировать следующую задачу. Найти величины У1и, ..., Уга (и = 1, ..., I), минимизирующие погрешность вида

I

W = I (ф^ - Ти)2.

и = 1

Для решения задачи можно организовать итерационный процесс, минимизирующий W(Y1u, ..., Уга), на каждом шаге £ которого определяются функции^ (Н, Ти, У1и,..., Уги) (и = 1, ..., I) и применяется, например, итеративный процесс (8) или процесс (14) в зависимости от количества видов сообщений в системе I.

Заключение

Процесс преобразования организационно-технической системы в коммуникационную систему позволяет по наблюдаемому обмену навигационной и промысловой информацией описать влияние деятельности судовых специалистов на информационное состояние структуры несения вахты.

Переход от структуры организационно-технической системы к структуре коммутационной системы несения вахты позволяет найти установившееся информационное состояние такой системы и оценить интенсивность информационных потоков между постами управления судовыми технологическими процессами.

Предложенная методика позволяет, с одной стороны, получать улучшенные оценки для вероятности реализации того или иного установившегося распределения потоков сообщений в коммуникационной системе, а с другой - дает возможность осуществлять оценки такого состояния в более сложных ситуациях, когда пары взаимодействующих элементов соединены более чем одним каналом связи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

2. Гладышевский М. А. Организационно-технические структуры, обеспечивающие эксплуатацию судна / М. А. Гладышевский, М. А. Пасечников, К. В. Пеньковская; под. общ. ред. В. И. Меньшикова. Мурманск: Изд-во МГТУ, 2008. 212 с.

3. Еремин М. М. Оптимизация социотехнических связей в структурах мореплавания / М. М. Еремин, В. И. Меньшиков, К. В. Пеньковская; под общ. ред. В. И. Меньшикова. Мурманск: Изд-во МГТУ, 2011. 166 с.

4. Карташов С. В. Реализация принципа владения ситуацией при выполнении промысловых операций / С. В. Карташов, В. В. Шутов, В. И. Меньшиков // Рыбное хозяйство. 2014. № 2, С. 110-113.

5. Ключко Д. В. Надежность разрешения проблемных ситуаций при управлении состоянием безопасности судна / Д. В. Ключко, И. А. Рамков, В. И. Меньшиков // Журнал университета водных коммуникаций. 2011. Вып. 11 (№ 3). С. 110-112.

6. Гладышевский М. А. Оптимальность взаимосвязей в социотехнической системе управления состоянием безопасной эксплуатации судна / М. А. Гладышевский, В. И. Меньшиков, А. В. Солянин // Вестн. Мурман. гос. техн. ун-та. 2006. Т. 9, № 2. С. 260-268.

Статья поступила в редакцию 24.12.2015

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Карташов Сергей Вениаминович - Россия, 183010, Мурманск; Мурманский государственный технический университет; аспирант кафедры «Судовождение»; sergey_111@bk.ru.

Пеньковская Ксения Вячеславовна - Россия, 183010, Мурманск; Мурманский государственный технический университет; канд. техн. наук; доцент кафедры «Судовождение»; kseniamgtu@rambler.ru.

Меньшиков Вячеслав Иванович - Россия, 183010, Мурманск; Мурманский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Судовождение»; Vjacheslavmenshikov@rambler.ru.

S. V. Kartashov, S. V. Penkovskaya, V. I. Menshikov

MODEL OF COMMUNICATION SYSTEM OF MARINE WATCH KEEPING IN STEADY EQUILIBRIUM INFORMATION STATE

Abstract. It is shown that the implementation of the requirements to maintain the safe navigation of the vessel can be achieved by controlling information flows in organizational and technical systems of watch keeping. The transformation of organizational and technical systems of ship watch keeping into communication system when the organizational and technical system of ship watch keeping is considered only in terms of information co-relations of its elements - regardless their inner structure and application. The general principles of the development of the communication system of watch keeping are explained. The models of the steady (equilibrium) state of the system are proposed. The recommended technique allows to obtain improved estimations for the probability of implementing a steady distribution of message flows in the communication system and makes it possible to evaluate this state in more complex situations, where pairs of interacting elements are connected with more than one communication channel.

Key words: organizational and technical system, communication, system, watch keeping, steady (equilibrium) information state, probability for actualization.

REFERENCES

1. Venttsel' E. S., Ovcharov L. A. Teoriia sluchainykh protsessov i ee inzhenernye prilozheniia [Theory of random processes and its engineering applications]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 2000. 383 p.

2. Gladyshevskii M. A., Pasechnikov M. A., Pen'kovskaia K. V. Organizatsionno-tekhnicheskie struktury, obespechivaiushchie ekspluatatsiiu sudna [Organizational and technical structures providing existing operation of the vessel]. Pod obshchei redaktsiei V. I. Men'shikova. Murmansk, Izd-vo MGTU, 2008. 212 p.

3. Eremin M. M., Men'shikov V. I., Pen'kovskaia K. V. Optimizatsiia sotsiotekhnicheskikh sviazei v strukturakh moreplavaniia [Optimization of socio-technical relations in the structures of shipping]. Pod obshchei redaktsiei V. I. Men'shikova. Murmansk, Izd-vo MGTU, 2011. 166 p.

4. Kartashov S. V., Shutov V. V., Men'shikov V. I. Realizatsiia printsipa vladeniia situatsiei pri vypolnenii promyslovykh operatsii [The implementation of the principle of ownership of the situation when fishing]. Rybnoe khoziaistvo, 2014, no. 2, pp. 110-113.

5. Kliuchko D. V., Ramkov I. A., Men'shikov V. I. Nadezhnost' razresheniia problemnykh situatsii pri upravlenii sostoianiem bezopasnosti sudna [Reliability of resolution of problem situations in the management of state security of the vessel]. Zhurnal universiteta vodnykh kommunikatsii, 2011, iss. 11, no. 3, pp. 110-112.

6. Gladyshevskii M. A., Men'shikov V. I., Solianin A. V. Optimal'nost' vzaimosviazei v sotsiotekh-nicheskoi sisteme upravleniia sostoianiem bezopasnoi ekspluatatsii sudna [The optimality of linkages in socio-technical management system of safe operation of the vessel]. Vestnik Murmanskogo gosudarstvennogo tekhni-cheskogo universiteta, 2006, vol. 9, no. 2, pp. 260-268.

The article submitted to the editors 24.12.2015

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Kartashov Sergey Veniaminovich - Russia, 183010, Murmansk; Murmansk State Technical University; Postgraduate Student of the Department "Navigation"; sergey_111@bk.ru.

Penkovskaya Kseniya Vyacheslavovna - Russia, 183010, Murmansk; Murmansk State Technical University; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department "Navigation"; kseniamgtu@rambler.ru.

Menshikov Vyacheslav Ivanovich - Russia, 183010, Murmansk; Murmansk State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Navigation"; Vjacheslavmenshikov@rambler.ru.