Модель комбинированной политики распределения ресурсов в условиях неполноты информации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

тем: Сб. трудов. Вып. 12. - Воронеж: "Научная книга", 2007.

2. Копылов М.В., Кравец О.Я. Модель трехзвенной архитектуры «клиент - сервер»// Современные проблемы информатизации в прикладных задачах: Сб. трудов. Вып. 12. - Воронеж: "Научная книга", 2007.

Коротеев С.В.

МОДЕЛЬ КОМБИНИРОВАННОЙ ПОЛИТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОТЫ ИНФОРМАЦИИ

Восточно-Казахстанский государственный технический университет, Республика

Казахстан, г.Зыряновск

Управление стратегическим развитием многоотраслевого хозяйства связано с необходимостью постоянного мониторинга за качеством вложения имеющихся ограниченных ресурсов. Задача распределения ресурсов является одной из наиболее важных проблем современного хозяйства. Пусть имеется n направлений вложения ресурсов. Вложение ресурсов служит для перевода хозяйствующей системы из некоторого исходного состояния y = {y.} в конечное состояние y '= {y }. Причем недостаток средств не позволяет все направления довести до эталонного состояния y = {y.} Необходимо найти такое распределение ресурсов u = {ut} при котором общий дисбаланс по различным направлениям был минимальным.

Оптимальным называется такое распределение ресурсов, которое переводит систему в эталонное состояние. В практической деятельности недостаток средств не позволяет достичь эталонного состояния, таким образом, на практике (в случае дефицита ресурсов) нет и оптимального распределения ресурсов.

Наилучшим называется такое распределение ресурсов, которое переводит систему в состояние наилучшее в отношении некоторой политики. Существует множество различных политик принятия решений в области распределения ресурсов. Классическими являются эгалитаризм и утилитаризм.

Краеугольным камнем большинства теорий групповых решений является принцип оптимальности по Парето. Альтернатива является оптимальной по Парето, если всякая другая альтернатива, являющаяся более предпочтительной для одних членов группы, в то же время будет менее предпочтительной для оставшихся членов. Принцип оптимальности по Парето гласит, что никогда не следует выбирать альтернативу, которая не является Парето-оптимальной, иначе при подобном подходе всегда можно увеличить степень удовлетворения, по крайней мере, некоторых индивидов, не ущемляя при этом интересы других. Во всех случаях рациональным является выбор альтернативного решения, оптимального по Парето [1].

В терминах распределения ограниченных ресурсов определим понятие эгалитарной и утилитарной политики.

Распределение ресурсов, при котором достигается определенное эталонное состояние развития направлений в результате максимально быстрого

уничтожения диспропорций в развитии направлений, является наилучшим с точки зрения эгалитаризма [2].

Распределение ресурсов, при котором суммарное развитие направлений будет максимальным, является наилучшим с точки зрения утилитаризма [2].

Принцип выбора политики принятия решения по распределению ресурсов внутренне устойчив, если среди оптимальных по Парето альтернативных решений не существует более предпочтительного [2].

Принцип выбора политики принятия решений по распределению ресурсов (средств) внешне устойчив, если он удовлетворяет принципу единогласия (или он является оптимальным по Парето) [2].

Кроме эгалитарной и утилитарной политики на практике издавна используют ряд других распределений ресурсов.

Распределение, при котором финансовый поток по каждому направлению пропорционален разности эталонного состояния и текущей степени развития данного направления, будем называть пропорциональным. Такой подход позволяет подтягивать до эталонного состояния одновременно все направления. Чем больше отстает текущее состояние /-го направления от эталонного, тем больше средств выделяется на развитие этого направления, а, следовательно, на устранение диспропорций развития. Модель принятия решения по распределению ресурсов с принципов выбора равномерного развития является частным случаем линейной комбинации и принципа пропорционального развития [2].

Политика распределения ресурсов, целью которой является постепенное сглаживание диспропорции в развитии направлений, будем называть равномерной [2]. Ввиду ограниченности средств, инвестируемых в данный период на развитие объекта, достигнуть эталонного состояния сразу по всем направлениям не представляется возможным. Поэтому ставится задача нахождения такого распределения ресурсов, когда каждое из направлений поддерживается на том фиксированном уровне финансирования, который бы позволил объекту поддерживать свою работоспособность в рассматриваемом периоде. Этот фиксированный уровень логично называть гарантированным минимумом.

Политика распределения ресурсов, целью которой является поддержание объекта управления в работоспособном состоянии, назовем принципом распределения ресурсов с гарантированным минимумом.

При управлении экономическим объектом зачастую распределение средств производится в пользу наиболее отстающего направления в ущерб более развитым направлением.

Принцип распределения ресурсов, в котором в первую очередь удовлетворяются потребности в ресурсах того направления, чье отставания от эталонного состояния наибольшее, назовем политикой «латания дыр».

Рассмотрим задачу принятия решения по распределению ограниченных ресурсов. Пусть имеется некоторое количество материальных, финансовых и других видов ресурсов, которые нужно распределить (или перераспределить)

для достижения эффективной эксплуатации и текущего состояния экономического объекта. Задача заключается в таком распределении средств, чтобы при ограниченных ресурсах получить максимальный эффект от их вложения.

Рассмотрим следующую модель принятия решений распределения ресурсов. Пусть

t е[1,7] - дискретные периоды принятия решения по распределению ресурсов;

c(t) = j(t) + y(t) - определенное количество ресурсов, причем j(t) - ресурсы, подлежащие распределению в данный момент t, y(t) - ресурсы, направляемые в резерв в виде накопительного или резервного фонда предприятия. Денежные средства могут быть использованы в некоторый момент времени t с [1,7];

i = 1,2, ..., n - направления распределения ресурсов, причем развитие каждого из направлений не зависит от развития других направлений.

n - количество возможных направлений вложения и использования имеющихся ресурсов;

u(t) - количество ресурсов, вкладываемых в i-е направление в момент времени t;

y.(t) - уровень развития i-го направления в момент времени t;

У - эталонного состояние i-го направления в момент времени Т;

Sj(t) - эффективность вложения средств в i-е в момент времени t, т.е. прирост на единицу вкладываемых ресурсов.

Предполагаем, что уменьшение величины диспропорции в развития объекта происходит пропорционально вкладываемым средствам: yO = y«(t-1) + Si(t)Ui(t) + di(t), где di(t) - внешний фактор, чаще всего с отрицательным значением.

ЛПР следует политике, представляющей собой комбинацию нескольких различных распределительных алгоритмов [3]. Например, все направления получают ресурсы пропорционально прибыли на единицу вложения, а оставшиеся средства выделяются на развитие наиболее перспективных направлений при условии гарантирования минимального работоспособного состояния других направлений. Другими словами, распределительная политика лица имеет вид: Пропорциональное распределение + Классический утилитаризм + Политикой гарантированного минимума.

Математическая модель такой комбинации представима в виде:

^ У - у« (t ) ^

a

иг (t) --

S (t)

У, - y, (t )л

І

S, (t )

+ (1 - a)

І

i=1

У, - y, (t)

y,

0 < a < 1 ;

n

Іи,(t )<c(t )=j(t)+y(t);

, =1

y,(t ) = yi(t -1) + S,(t )u,(t ) + d,(t ); y,(t) ^ y,(t+1), y,(1) > °,

i=1

у > у (0;

Я (?) > 0, с() > 0, и, (г) > 0;

о < р (г)=у (г+1) < Я; р (г) > р (г -1);

г = 1,2,...,и, г е[1,Г]

Пусть необходимо принять решение по распределению ресурсов не подлежащее дальнейшему изменению. Тогда говорят об одноэтапной модели принятия решения.

Поиск значения детерминированного вектора и = {и,} в условиях приведенной задачи производится методами линейного программирования.

В практике хозяйственной деятельности зачастую решение приходится принимать, имея неточную информацию. Например, нет точных сведений об ожидаемых рыночных ценах, о рентабельности капиталовложений, наличии ресурсов, и т.д. Тогда лицо, принимающее решение, сталкивается со стохастической задачей принятия решения по распределению ресурсов.

Пусть некоторые вероятностные возмущения могут быть приданы ограничениям задачи. Вероятностная модель примет вид [4]

У - У г (1)

з (г)

м

а

иг 0) --

I

У, - У, (<) ^

+ (1 - а)

"' у, у, (0

I

Vг=1 V

у,

00

00

0 < а < 1;

р1 ^ аг]и] (г) < Сг (г> а ) | > а 0,5 < а < 1

Р2 {у, (? +1) = У, (0 + 3 (?, а )и, (г) + (г, а)} > а2, 0,5 <а2 <1;

Уг(1)>0 у,(г)>у,(г-1), (г,а)>°, с,(г,а)>0, и(г)>0; у >у(г); / =\ч шеЦ ?еИ

0<р(г)=у,(г+1)<у,;р(г)>р(г-1); г=1п геИ

Введем следующие обозначения

у,(г +1) - Уг(г) = ь (гX

Я, (г, а )и, (г) + (г, а) = Л, (г, а).

Исходную стохастическую задачу распределения ресурсов перепишем следующим образом.

У - У,(г)

3 (г)

м

а

и,(г) --

I

У, - У, (г)Л

V г

+ (1 - а)

" г у, у, (г)

I

Vг=1 V

У,

00

00

0 < а < 1;

р Ц аг]и] (г) < Сг (г,а)Г > а 0,5 < Ц < 1

Р2 {Ь (г) = Л (г,а)} > а2, 0,5 <а2 <1;

у(1) >0 у,(г) > у,(г -1), зг(г,а) >0 с(г,а) >0 и(г) >0; у, > у(г);

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

г =1

г =1

г=1,и аеЦ ге[1,т]. (6)

0 <рр (г) = У, (I +1) < У,; р (г) > р (г -1); (7)

'=1л г е[1,4 (8)

Теорема 1. Задача принятия решения с линейной комбинацией пропорционального распределения и классического утилитаризма с гарантированным минимумом с вероятностными условиями (1)-(8), решение которой определяется в решающих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной задаче линейного программирования при детерминированной матрице A= la.ll и случайных векторах ограничений С={сг], Н={Лг].

Теорема 2. Для задачи принятия решений с эгалитарным принципом выбора с последующим пропорциональным распределением ресурсов и вероятностными ограничениями (1)-(8) существует эквивалентная детерминированная задача линейного программирования, при условии, что элементы матрицы ограничений детерминированы, а элементы векторов ограничений распределены по нормальному закону, и эта задача единственна.

На практике в процессе принятия решений возможны случаи, когда все элементы ограничений оптимизационной задачи являются стохастическими, т.е. вероятностный характер носят как элементы матрицы ограничений А, так и элементы вектора ограничений с. В задачах распределения ограниченных ресурсов можно предполагать, что элементы матрицы А и вектора с являются независимыми между собой и нормально распределенными величинами, т.е.

а. е Ма ,С1)’ сг е М(сг ,иг2).

Тогда одноэтапная стохастическая задача распределения ограниченных ресурсов с классическим утилитарным принципом выбора при соблюдении политики гарантированного минимума с вероятностными ограничениями будет выглядеть следующим образом:

В условиях вероятностной матрицы ограничений А и вектора ограничений с модель примет вид:

( - Л

м-

а

I

г=1

+ (1 - а)

I

у, - У, (‘)11

Уг

00

00

0 < а < 1;

Р1 |і ау (®Ц (Ґ) < Сг > аl, 0,5 < а1 < 1;

Р2 {у, (і +1) = У, (0 + 5 (і, а )иг (і) + di (і, а)} > а2, 0,5 <а2 <1;

У г (1) > 0, У, (0 > У, (ї - 1). 5г (ї,0) > 0, Сг (ї,о) > 0 Цг (0 > 0 Уг >Уг (ї)'; г=\п соєО, ї є[1Г].

0 < Р (і) = Уг (і +1) < Уг; Р (і) > Р (ї -1); г=1,П і є[1,г].

(9)

(10) (11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Теорема 3. Линейная стохастическая задача распределения ограничен-

=1

ных ресурсов, являющаяся линейной комбинацией пропорционального распределения и классического утилитаризма с гарантированным минимумом (9)-(16), в которой элементы матрицы ограничений А и составляющие вектора ограничений с - независимые нормально распределенные случайные величины, решение в которой определяется в решающих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной задаче выпуклого программирования с линейной целевой функцией и квадратичными ограничениями.

Рассмотрим задачу стохастического программирования по распределению ресурсов по предложенному выше критерию оптимальности с априорными решающими распределениями, которые в силу своей природы являются нормально распределенными. Задача распределения ресурсов с вероятностными ограничениями примет вид:

' ( - „ч Л '

м

а

иг (і) --

У г - У г (і ) 5 (і)

I

у, - У, (>) і

+ (1 - а)

п 1 У, У, (О11

2

Vг=1 V

Уг

00

00

Р1 її аЦ] (і) < Сг (1,°)\> аl, 0,5 < а1 < 1

(17)

(18)

_]■=1

р> {Уг (г +1) = Уг (г) + 5 (г,©)и, (г) + (г,©)}> а2, 0,5 <а2 <1; (19)

У, (1) > 0, У, (г) > У, (г -1), 5 (г,©) > 0, с (г,©) > 0, ц (г) > 0; у, > у-(г); (20)

г=1д ге[1,т]. (21)

0 <Р (г) = у, (г +1) £ у,; р (г) > р (г -1); (22)

г=1л г е[1,4 (23)

где а.- детерминированные параметры, с, = с,(г,©) - случайные величины с заданным распределением, компоненты uj - независимые нормально распределенные величины, т.е. и. е N (т. ,о]).

Математические ожидания т. и дисперсии ст;2 решающего распределения подлежат вычислению.

Теорема 4 Задача стохастического программирования по распределению ресурсов с априорными решающими распределениями (17) - (23) с детерминированной матрицей ограничений и случайным вектором с может быть сведена к детерминированной задаче выпуклого программирования.

В силу принятых допущений решение двойственной стохастической

задачи представимо в виде: цг =^аг]и] е N(V,,wг), где Vг =^а.т

]=1

]=1

I а,2 О

]=1

Ограничения (18) переписываются в виде

Н

^г (і) > а1г,

г = 1,..., п

(24)

0

где Ф(г) - функция распределения гауссовской случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а Р (г)- функция

=1

распределения компоненты с1 (©) вектора ограничений с.

Если неравенство (24) рассматривать как условие, ограничивающее выбор vi и wi, то следует добавить ограничение wi > 0 . Если неравенство (25) ограничивает выбор т. и а., то необходимо учесть дополнительные ограничения а, > 0, . = 1,п .

Вычисление статистических параметров упрощается в случае, когда неравенства (24) высекают выпуклые множества.

Таким образом, согласно теореме 5 сформулированная стохастическая задача с априорными распределениями (17) - (23) может быть сведена к единственному детерминированному эквиваленту на выпуклом множестве.

Список использованных источников

1. Быкова И.Ю., Коротеев С.В. Особенности изучения потребительского поведения и потребительского выбора в условиях рыночной экономики // Информационные технологии моделирования и управления. Выпуск 14. - Воронеж: Научная книга, 2004, С. 10-18.

2. Быкова И.Ю. Исследование проблем принятия решений в условиях неполноты информации. - Санкт-Петербург: СПбГУ, 1999.

3. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора выриантов систем. - М.: Наука, 1986.

4. Мутанов Г.М., Коротеев С.В., Быкова И.Ю. Задачи многокритериальной оптимизации // Международная конференция «Автоматизация и управление: перспективы, проблемы, решения»: Сборник трудов. - Алматы: КазНТУ, 2007, С.79 - 82.

Корчагин А.С., Погодаев А.К.

ТЕХНОЛОГИЯ ПОШАГОВОЙ ДЕТАЛИЗАЦИИ ПРИ ОПЕРАТОРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА КОРРЕКТНОСТИ

ПРОГРАММ

Липецкий государственный технический университет

Проблема операторного моделирования при доказательстве корректности программ рассматривалась в [1], идея пошаговой детализации - в [2]. В настоящей статье рассмотрена технология пошаговой детализации при операторном моделировании для доказательства корректности программ.

Пошаговая детализация и соответствие выполнения

В этом разделе мы описываем пошаговую детализацию, простейшее понятие моделирования. Чтобы доказать семантическую непротиворечивость пошаговой детализации, мы также вводим вспомогательное понятие соответствия выполнения. Это понятие играет ключевую роль в данной статье, специальные леммы, которые мы доказываем, будут периодически использоваться в последующих публикациях.

Пошаговая детализация

Пусть А и В - автоматы. Пошаговая детализация из А в В - частично вычислимая функция г из sIaIes(A) в £Шге£(В), удовлетворяющая следующим двум условиям:

1. Если £ esIaгI(A), то £ ес1отат(г) и г£ е £Шг1(В).