CC BY
16
УДК 51-74 DOI: 10.17213/0321-2653-2016-2-21-27
МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ГОТОВНОСТИ НА БАЗЕ АРХИТЕКТУРЫ С РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ СЕРВЕРОВ
RELIABILITY EVALUATION MODEL OF HIGH AVAILIBILITY INFORMATION SYSTEM WITH REDUNDANT SERVERS ARCHITECTURE
© 2016 г. Р.К. Литвяк, С.П. Воробьев, А.А. Кацупеев
Литвяк Роман Константинович - ст. преподаватель, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Воробьёв Сергей Петрович - канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: [email protected]
Кацупеев Андрей Александрович - аспирант, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. E-mail: snake77795@mail. ru
Litvyak Roman Konstantinovich - senior lector, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Vorobyev Sergey Petrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: vsp1999@ yandex.ru
Katsupeev Andrey Alexandrovich - post-graduate student, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Дается постановка задачи исследования надежности информационной системы высокой готовности на базе архитектуры с резервированием сервером. Предлагается решение задачи в виде построения стационарного марковского процесса, описывающего структурную деградацию информационной системы, обусловленную отказами ее элементов. Подробно рассматривается алгоритм формирования инфинитезимальной матрицы рассматриваемого марковского случайного процесса. Для получения стационарного распределения вероятностей марковского случайного процесса формируется система линейных алгебраических уравнений. Приводятся аналитические выражения для расчета коэффициентов готовности и простоя информационной системы.
Ключевые слова: модель информационной системы; информационная система; надежность; модель надежности; резервные сервера; марковский процесс.
The paper is devoted to formulation of the problem of reliability evaluation of high availability information system with redundant servers architecture. The solution of the problem is provided by constructing .stationary markov stochastic process corresponding to the information system structural degradation because of refusals of its elements. The paper contains detailed description of stationary markov stochastic process infinitesimal matrix formation algorithm. The linear algebraic equations system is formed for getting the probability distribution of the markov stochastic process. The mathematical expressions for evaluation of availability indicator and non-availability indicator of high availability information system are included.
Keywords: information system model; information system; reliability; reliability model; redundant servers; markov process.
В работе [1] с единой точки зрения излагаются методы повышения структурной и функциональной живучести информационных систем, для которых критерии высокой готовности и доступности являются определяющими. Весьма актуальным для теории и практики представля-
ется создание на единой методологической основе моделей оценки эффективности использования предлагаемых инструментов обеспечения высокой готовности, обусловливающих теоретические, методологические и прикладные императивы структурно-функциональной организации
информационных систем высокой готовности. Поставленная задача предполагает на начальном этапе выделение признаков типизации на основе анализа структурной, информационной и процедурной общности существующих отказоустойчивых информационно-вычислительных архитектур. Для рассматриваемой математической модели исследования надежности информационной системы высокой готовности на базе архитектуры с резервированием серверов классификационные признаки имеют следующие значения: программно-техническая платформа = клиент-серверная/ резервирование серверов = есть/ топология информационно-вычислительной сети = {кольцевая, звездообразная, шинная, иерархическая}/ тип пользовательской транзакции = {информационный запрос, запрос на модификацию}/ способ организации дисковой подсистемы = {единичный диск, дисковый массив со страйпингом, дисковый массив со страй-пингом и контролем четности на выделенном диске тома, дисковый массив со страйпингом и контролем четности на распределенном томе, дисковый массив с зеркалированием, дисковый массив с первоначальным страйпингом и последующим зеркалированием}/ способ резервирования структурных компонентов информационно-вычислительных узлов = {отсутствие структурной избыточности, резервирование процессоров}.
В качестве исходных данных модели используются:
1) множество пользователей информационной системы высокой готовности
P = P P2, ..., P};
2) множество узлов пользовательской вычислительной сети информационной системы высокой готовности
PU = {PUi, PU2, ..., PUl };
3) множество серверов информационной системы высокой готовности
U = {Ui, U2, ..., Uk};
4) множество типов процессоров серверов информационной системы высокой готовности
CPUT = {CPUT, CPUT, ..., CPUTm};
5) множество интенсивностей отказов и сбоев типов процессоров серверов инфор-
мационной системы высокой готовности -XCPU = {XcpU, xcpU, ..., xcpU}, время работоспособного состояния процессора типа CPUT представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
fCPU (t) = xCPUe-xCPUt, i = \T ;
6) множество типов устройств внешней памяти серверов информационной системы высокой готовности
HDT = {HDT, HDT, ..., HDT};
7) множество интенсивностей отказов и сбоев типов устройств внешней памяти серверов информационной системы высокой готовности -
XHD = {^HD, X HD, ..., X HD}, время работоспособного состояния устройства внешней памяти типа HDT представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
fHD(t) = ¿HDe~^, i = Щ;
8) множество типов устройств оперативной памяти серверов информационной системы высокой готовности
MT = {MT, mT, ...,MTZ };
9) множество интенсивностей отказов и сбоев типов устройств оперативной памяти серверов информационной системы высокой готовности - Xм = {Xм, Xм, ..., Xм }, время работоспособного состояния устройства оперативной памяти типа Mi представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
wM/.ч Л M -XiMt ■ , fi (t) = Xi e ' , i = 1, z ;
10) матрица процессорной структуры серверов информационной системы высокой готовности размера m*k - BCPU , элемент матрицы
CPU T
bij равен количеству процессоров типа CPU j
в аппаратно-технической структуре сервера Ui ;
11) матрица структурной организации внешней памяти серверов информационной сис-
HD
темы высокой готовности размера n*k - B ,
элемент матрицы Ьн равен количеству устройств внешней памяти типа HDj в аппаратно-
технической структуре сервера Ц ;
12) матрицы структурной организации внешней памяти серверов информационной сис-
темы высокой готовности размера ^ b
j=i
HD Pj
x n -
L
HD,U p THD,U
_i, i_i, zbj,j_i, n, p_i, к
j=i
если на 7-м месте дискового стеллажа сервера ир размещается устройство внешней памяти
иглТ ^Цр
типа пDj ; в противном случае Ь^ г = 0 ;
13) матрицы зеркалирования распределенных логических томов серверов информационной системы высокой готовности размера
п п Тггмт
ЪЬ7 X пь™ - , ]=1 ]=1
,HD,U
=i, i=i, zbj , j=i, zbj, p=i, к
j=i
j=i
мационной системы высокой готовности -
PHD _ { pHD _HD _HD }; рсб -\Рсб, 1, Рсб, 2, ..., Рсб, n };
18) множество интенсивностей возвращения из сбоя типов процессоров серверов инфор-
CPU t CPU CPU CPU -. мационной системы - ц _{ц1 , ц2 , ..., цт },
время нахождения в состоянии сбоя процессора типа CPUT представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
CPU /,ч CPU -ufPUt ■ \
gi (t)e * , i _1,m ;
19) множество интенсивностей возвращения из сбоя типов устройств оперативной памяти серверов информационной системы высокой
готовности - цм _ {цм, , . ., Ш }, время нахождения в состоянии сбоя устройства оперативной памяти типа MT представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
/ М — Ц7 / ■ л
§7 (О=ц е , 7=1,2;
20) множество интенсивностей возвращения из сбоя типов устройств внешней памяти серверов информационной системы высокой
готовности -цни = {ц^, ц, ..., ц}, время нахождения в состоянии сбоя устройства внешней памяти типа HDT представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону с плотностью вероятности
_,,Me-»ft i _
если на i-м месте дискового стеллажа сервера Up размещается устройство внешней памяти,
которое является зеркальным для устройства внешней памяти, размещенного на j-м месте дискового стеллажа; в противном случае
RHDUJp _ 0; ij
14) матрица структурной организации оперативной памяти серверов информационной
системы высокой готовности размера z*k - BM , элемент матрицы bM равен количеству устройств оперативной памяти типа Mj в аппарат-
но-технической структуре сервера Ut ;
15) множество вероятностей сбоев типов процессоров серверов информационной системы
UCPU I CPU CPU высокой готовности - P(j6 _ {Рсб 1 , Рсб 2, . .,
pCPU };
-г сб, m > '
16) множество вероятностей сбоев типов устройств оперативной памяти серверов информационной системы высокой готовности -
Рм _ {м м м };
Рсб, q~ {Рсб, 1, Рсб, 2, ..., Рсб, z };
17) множество вероятностей сбоев типов устройств внешней памяти серверов инфор-
¿г« ^, 7=т.
Концептуальная модель надежности рассматриваемой информационной системы представляет собой систему с постепенной отказообу-словленной деградацией структуры [2], таким образом, очевидна целесообразность применения аппарата теории случайных функций [3 - 9] для создания аналитических моделей, позволяющих оценить показатели надежности информационной системы высокой готовности и оценить эффективность использования рассматриваемого инструмента обеспечения высокой доступности.
Состояние сервера ир информационной
системы высокой готовности задается вектором
f
ip _
i,i ,'••' ii,m, 'i,i
i,m, i2,i
2,z' '2,i'
2 ,z'
jP jP
/зд, ..., j
3, £ bj
1=1
HD
* p * p j3p ' i n
HD
f
длины 2
r HD
\
V
m + г + £ bpJ
1=1
3, £ br]
1=1
, где ipr - количество
/ 2 p =
1,r
процессора г-го типа, в противном случае 1ХРГ = 0;
¡рг - индикаторная переменная отказа устройства оперативной памяти г-го типа в аппаратно-технической структуре сервера ир (г = 0, г ),
¡2рг = 1, в случае отказа данного устройства, в
„ p
i2 r - индикаторная
противном случае ¡2г = 0 переменная сбоя устройства оперативной памяти г-го типа сервера и , ¡2р = 1, если имеется сбой устройства оперативной памяти г-го типа сервера ир, в противном случае ¡*р = 0 ; ¡р,, - индикаторная переменная отказа устройства внешней памяти, размещенного на ,-м месте дискового
п „п
стеллажа сервера ир (, = 0, 2 Ь „ ), ¡р , =1, в
j=1
случае отказа данного устройства, в противном случае ¡3, = 0 ; ¡*рг - индикаторная переменная сбоя устройства внешней памяти г-го сервера ир,
i*pr =1, если имеется сбой устройства внешней
памяти r-го типа, в противном случае /3'
p -
= 0.
Формирование фазового пространства состояний многомерного марковского случайного
процесса
(
¡¿(О,.., С(0,/*р(г),..., Чрт(0, ¡р,М..., ¡р2(0,
i2p (t),.., i2PZ (t), ipl(f)..., i
Л
(а &... ¡\ нп (о
3, 2 ьНН° 3,2 ьНН°
]=1 ]=1
осуществляется в следующей последовательности шагов:
1) генерация полного векторного пространства состояний путем варьирования каждой из компонент вектора состояний
ip =
ip Г i' ^ f i r i
'U''"' 1,m> 1,1 >•••■> '1, m ' '2,1' "•> *2,z > '2,1' "V'
j-p
p ,-p
p
отказавших процессоров г-го типа в аппаратно-технической структуре сервера ир (г = 0, т );
¡*р - индикаторная переменная сбоя процессора
г-го типа сервера ир .
/p /p i *p i *p
'3 1> •••J» n , '3 1 I •••, ' n
3, 1 3,£ bHD 3 1 3,£ b5°
j=1 j=1 у
с учетом естественных ограничений:
а) 0 < i1r < bfrPU, Vr = 1m;
б) 0 < i2r < htf, Vr=1Z;
в) 0 <i3,r < b
HD
Vr = 1, n;
г) ¡2? е{0,1}, V ¡ = 1, 3, V г = 1,2 ЬН°;
у=1
2) сужение полученного векторного пространства состояний с учетом дополнительных условий, вытекающих из представлений о полной и частичной работоспособности сервера информационной системы, специфичных для конкретной аппаратно-технической реализации (ограниченный объем данной работы не позволяет здесь полно изложить алгоритм сужения пространства состояний системы).
Разработку модели целесообразно проводить аналитико-численным методом [10]. Для исследуемой информационной системы высокой готовности событиями, приводящими к изменению ее состояния с точки зрения надежности, являются: устойчивый отказ процессора любого типа, сбой процессора любого типа, устойчивый отказ устройства оперативной памяти любого типа, сбой устройства оперативной памяти любого типа, устойчивый отказ устройства внешней памяти любого типа, сбой устройства внешней памяти любого типа, возвращение из состояния сбоя этих структурных компонентов информационной системы.
Для каждого из этих событий определяются элементы инфинитезимальной матрицы
Я*
где
i , и,,..., i
n HD 3,1' n H
p £ bHD 3, £ bH
j=1 j=1
q/p ip /'p /'p ip ip /'p /'p ip ip /'p /'p
i1, 1, ..., i1,m ,i1, 1, ..., i1,m , i2,1, .", l2,z, i2,1, .", l2,z, l3,1, .",i n , l3, 1, ..., i n
3, £ bHD 3, £ bHD
j=1 j=1
интенсивности перехода из состояния
f
ip =
ip ip ip i r r r i *
1,1 >"•> 1m' '2,1' •••>'2,z > '2,1'
pp
p
i*p /p /p i*p j*p
hz , /3Д' ... г3,Ьг , /3Л ' ... 13,£ь-
jjу
2,z
в состояние
(
jP =
jpi,
j * p J2,z -
jP j P
J\,m> J\,\ '
jP jP
j=1
' j\,m , J2,1, ... j2,z , J2,1,
Л
j * p j * p
'J3,\""'J3,b™
j=\
У
за бесконечно малый промежуток времени & .
В таблице для каждого из этих событий приведены их вербальные описания, векторные условия их инициации и значения интенсивно-стей соответствующих переходов однородного марковского случайного процесса с непрерывным временем и сложным дискретным фазовым пространством.
Условия конструирования элементов инфинитезимальной матрицы
Аналитическое задание условий перехода Интенсивности переходов
1. Устойчивый отказ процессора типа СРиТ (V = 0,т ). Устойчивые отказы и сбои остальных работоспособных процессоров и устройств внешней памяти сервера и отсутствуют. Подсистема оперативной памяти сервера и работоспособна
1.1. Вид процессорного резерва = холодный резерв
j\pv=\, hpv =0, j-;,p =i\p =0, j\pr =i\pr =0, j-;,p =i\,p =0, r = 0m, r ф v; J2pr =i2pr =0 , j*Pr =i*Pr =0,r = 0~z; J3pr = , j;Pr = , r = 0, XbHD J=\ (\-PC6P U )x x bfvU xCPU
1.2. Вид процессорного резерва = горячий резерв
J\p = i\pv +!, j*,vp = ¿\,Vp, J\pr = i\pr, = r=0-m- r ф v; -p =ip =0 / p =i* p =0 J2,r -12,r 5 J2,r -12,r 5 r = ^z; J3pr = , J3pr = ¿з*,^ , r = 0, ibj j=\ (\-pZ )x x(bCCPU - i^r
2. Сбой процессора типа СРиТ (V = 0,т ). Отказы и сбои остальных работоспособных процессоров, устройств внешней памяти сервера и отсутствуют. Подсистема оперативной памяти сервера и работоспособна
2.1. Вид процессорного резерва = холодный резерв
j;p =\ i*,p =0, jp =ipv =0, j\pr =i\pr =0, j-*,^ =i*,ip =0, r=°-m, r ф v; JP, r =iJpp, r =0, hPr = ¿*Рг =0, r = 0Z; J3pr = 3pr, J3;,^r = &, r=0, XX ь;^ j=\ CPU, CPU1 CPU pc6, vbpv X v
Продолжение таблицы
Аналитическое задание условий перехода
Интенсивности переходов
2.2. Вид процессорного резерва = горячий резерв
j' p = j' p J\,r ~ J\,r>
Г = °,m, r ф v; j2pr = i2pr =0, jiPr = hPr =0,
r = 0,z; j3pr = Cr, jZ = h?r, r = 0, X bj
j=\
pcm x
ibc;u -
3. Отказ устройства оперативной памяти типа Мтд
(д=0^). Отказы и сбои остальных устройств оперативной памяти сервера и отсутствуют. Подсистемы процессоров и устройств внешней памяти сервера и работоспособны
■p = ¿p r ~h,r
=0,
jpa =\ ¿4 =0, ti = # =0, j
jp = i*p =0, r=0,z, r Фq; j\pr =£ , J*p = ('
r = 0,m ; jpr = 3pr, J*p =3Pr, r = 0, X bj
j=\
(\-p«5, q) bM,K
4. Сбой устройства оперативной памяти типа МТ
(д = 0,z ). Отказы и сбои остальных устройств оперативной памяти сервера и отсутствуют. Подсистемы процессоров и устройств внешней памяти сервера и работоспособны
jp = \ p =0 jp = ip =0 J-P = iP =0
J2q _i> (2q J2q ~ ^й ' J2,r ~ h.,r
j* p = ,■* p = 0 r = n~Z r ф й jp = ip
J\,p = \p , r = 0,m
-p = ip J p = f p J3,r ~ fä,r> J3,r ~ h,,r
r = 0, X bH
j=\
pM iM \ M -Роб, qbpqKq
5. Отказ устройства внешней памяти, размещенного на и-м месте дискового стеллажа сервера и
п нп
(и = 0, X ЬН" ). Отказы и сбои устройств оперативной
j=\
памяти сервера ир отсутствуют. Процессорная подсистема сервера и работоспособна
-p =\ ip =0 - p = {P -p = iP
J3,u '3, u J3,u ~h,w J3,r ~h,r'
hpr = Z, r = 0, X bj, r Фu; j\pr = \pr j=\
j\;,p = r=öm ; J2pr = ij?r =0,
j*Pr = Й =0, r = 07
X с
j=\
HD
'j
6. Сбой устройства внешней памяти, размещенного на и-м месте дискового стеллажа сервера ир
(и = 0, X Ьн" ). Отказы и сбои устройств оперативной
j=l
памяти сервера и отсутствуют. Процессорная подсистема сервера и работоспособна
p
x
Окончание таблицы
Аналитическое Интенсивности
заданиеусловий перехода переходов
7. Возвращение из состояния сбоя устройства опера-
тивной памяти типа МТ ( д = 0,г )
,* p = о 1* p =1 jp = ip = о jp = ip =o J2q -2 q _1, J2q ~ hq ~0, J2 ,r ~ h,r~
j2,p = hpr =0, r=0,z, r*q; jp = \pr ,
j\Pp = С , r = 0,m ; J3p,r = 13ppr, jZ = 3P , V-q
r = 0, Zbj j=1
8. Возвращение из состояния сбоя устройства внешней памяти, размещенного на и-м месте дискового стел-
п лажа сервера и (и = 0,1 Ьв. )
1р =0 1*р -1 ¡р = 1Р 1р = 1*р Л, и (3, и Л,г _(3, г = Л,г _'3, г ,
Г - 0,^™, г * и ; ¡р = 1рг , # = м PJ , , , 1P, Z^p j
r = 0,m ; jp r = С r =0, j^ = # =0, j=1
r = 0, z
9. Возвращение из состояния сбоя процессора типа
СРи^ (V = 0,т ) в случае холодного процессорного ре-
зерва
j*p =0, i*,p =1, jZ =i& =0, jpr =1 ir =0,
hPp =# =0, r = 0,m, r *v; jp;r =122; r =0 ,
# =ЬРг =0, г = 0, г; ¡р = 1р ,* р = 1* р П,г ~ Г3,г' Л,г _ Г3,г ' ^cpu
г = 0, Ъ™ 1=1
10. Возвращение из состояния сбоя процессора типа
СРиV (V = 0,т ) в случае горячего процессорного резерва
,* p = ,* p 1 jp = ;p j1,v = 11,v " 1, j1,v = 11,v,
jp = ip ,* p = ,* p 1, r 1, r 1, r 1, r
r = 0,m, r * v; jpr ^r =0 , jJ^r =12*Рг =0 , r = 0Z; jp,r = Cr, j3,p = , i*,p^vp"
r = 0, Zbj j=1
11. Преб^1вание сервера и информационной систе-
ма! высокой готовности в текущем состоянии
j1pr = hpr, jZ = 1'1'^p, r=0,m; jP ,r = Cr ,
jlPr = hPr , r = ^z; j3pr = Cr , j3*,^ r = 0, Zbj j=1 =3p, - Z q-r r ,r *i
Остальные элементы матрицы
равны нулю.
j=i J
Стационарное распределение вероятностей марковского случайного процесса с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством
p \ pip ip *p ,*p ip ip ,*p ,*p 4,11,m,i1,1 i1,m' г2,1i2,z, i21 i2,z,
. p .p p p 14,,..., i , bf, ..., i
3,1 n Я-П 3,1 n „n
3, Z bHD 3, Z bHD
Г ^ rj
1=1 j=1
находится из решения системы линейных алгебраических уравнений
'1,1'
. И , Ч 1 , ' 1,m 2,1'
12,z, 13,1'
3, Z b 1=1
HD
J1,V-' J1,m' J2 ,V"'J2,z' J3,1 '■"'■>
3, Z b j =1
HD 'ü
= 0
совместно с нормирующим условием
Z pp =1.
1р
Стационарный коэффициент готовности узла представляет собой вероятность нахождения сервера и информационной системы высокой
готовности в работоспособном состоянии в произвольный момент времени:
<Р = I Р~р ,
— и 1 греяир
где ^и_р - множество состояний работоспособности сервера ир.
Вероятность простоя сервера ир информационной системы высокой готовности:
Quvp = Z p~P, — u i
где Я_р - множество неработоспособных состояний сервера и .
q
p
Коэффициенты готовности и простоя в целом информационной системы на базе архитектуры с резервированием серверов определяются следующими выражениями соответственно:
к р = 1 -п (1 - ки)=1 ,
i=1
i=1
Qr = П (1 - K U) = nQU
i=1
i=1
Эффективность выбранного инструмента повышения готовности и доступности информационной системы можно оценить так (в сравнении с вариантом с отсутствием резервирования для информационной системы на базе единственного сервера и р):
1 -П (1 - K U)
E = -
i=1
Таким образом, системные аналитики и архитекторы информационных систем получают аналитико-численный инструмент исследования надежности информационной системы на базе архитектуры с резервированием серверов и требованиями высокой готовности и доступности
данных. Дальнейшие исследования авторов будут посвящены построению моделей, в которых будут смягчены ограничения «экспоненциально-сти» вероятностных распределений исходных данных модели.
Литература
1. Somasundaram G., Shrivastava A. Information Storage and
Management. Indianapolis, Whiley Publishing, Inc., 2009.
2. Barlow R.E., Proschan F., Hunter L.C. Mathematical theory of reliability. London, John Wiley and Sons, Ltd. 1965.
3. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1. Wiley, 1968.
4. Bailey N.T.J. The Elements of Stochastic Processes with Applications to the Natural Sciences. Wiley, New York; London, 1964.
5. Kai Lai Chung. Markov chains with stationary transition probabilities. Springer, 1967.
6. Bocharov P.P., C. D'Apice, Pechinkin A.V. Queueing theory.
VSP, 2004.
7. Medhi J. Stochastic models in queuing theory. ACADEMIC
PRESS, 2002.
8. Cooper R.B. Introduction to Queueing Theory. North Hol-
land, 1981.
9. Prabhu N.U. Stochastic Storage Processes: Queues, Insurance
Risk, Dams, and Data Communication. Springer, 1998.
10. Черноморов Г.А. Теория принятия решений. Новочеркасск, 2005. 448 с.
References
1. Somasundaram G., Shrivastava A. Information Storage and Management. Indianapolis, Whiley Publishing, Inc., 2009.
2. Barlow R.E., Proschan F., Hunter L.C. Mathematical theory of reliability. London, John Wiley and Sons, Ltd. 1965.
3. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume 1. Wiley, 1968.
4. Bailey N. T. J. The Elements of Stochastic Processes with Applications to the Natural Sciences. Wiley, New York-London, 1964.
5. Kai Lai Chung. Markov chains with stationary transition probabilities. Springer, 1967.
6. Bocharov P.P., D'Apice C., Pechinkin A.V. Queueing theory. VSP, 2004.
7. Medhi J. Stochastic models in queuing theory. ACADEMIC PRESS, 2002.
8. Cooper R.B. Introduction to Queueing Theory. North Holland, 1981.
9. Prabhu N.U. Stochastic Storage Processes: Queues, Insurance Risk, Dams, and Data Communication. Springer, 1998.
10. Chernomorov G.A. Teoriyaprinyatiya reshenii [Operation Research]. Novocherkassk, 2005, 448 p.
Поступила в редакцию 2 февраля 2016 г.
