CC BY
1
УДК 519.6
А. Э. Бакир1, Ю. А. Повещенко2, В. О. Подрыга2, П. И. Рагимли2
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 2Институт прикладной математики им. М В. Келдыша РАН
Модель фильтрации в гидратосодержащей среде при наличии переноса насыщенностей с неклассическим законом движения
Рассматривается пространственная фильтрационная задача в трехфазной (газ, гидрат, вода) гидратно-равновесной зоне. Представляется математическая модель, позволяющая исследовать двумерные течения флюидов при наличии твердой гидратной фазы в областях с нерегулярной структурой пластов. Для определения скорости флюидов используется неклассическая форма закона движения (с учетом его нелинейности), которая применима в том числе в условиях пониженной проницаемости при невысоких перепадах давления. На основе метода опорных операторов предлагаются эффективные вычислительные алгоритмы, выделяющие гиперболическую (при наличии переноса насыщенностей) и диссипативную подсистемы задачи. Данные алгоритмы программно реализованы на сетках нерегулярной структуры, что дает возможность проводить моделирование пространственно двумерных многофазных и многокомпонентных процессов диссоциации газовых гидратов в пористой среде осадочных бассейнов. Тестирование разработанной программы проводилось на модельных расчетах пьезопро-водных процессов при наличии переноса насыщенностей. Проведенные расчеты показали, что внутри пространственных областей при использовании нелинейных законов движения депрессионные процессы выражены в меньшей степени, чем в случае классического закона Дарси. При этом процессы гидратного растепления сопутствуют задаваемому в расчетной области депрессионному отбору газа. Таким образом, представленные в данной работе математическая модель и соответствующие ей вычислительные алгоритмы дают возможность корректно описывать физику низкопроницаемых коллекторов.
Ключевые слова: математическое моделирование, газовые гидраты, метод опорных операторов, нерегулярные сетки, нелинейный закон фильтрации, перенос насыщенностей
А.Е. Bakeer1, Yu. A. Poveshchenko2, V. О. Podryga2, P. I. Rahimly2
1 Moscow Institute of Physics and Technology 2Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS
Model of filtration in a hydrate-containing medium in the presence of saturation transfer with a non-classical law of
motion
The spatial filtration problem in a three-phase (gas, hydrate, water) hydrate-equilibrium zone is considered. A mathematical model is presented that makes it possible to study two-dimensional fluid flows in the presence of a solid hydrate phase in areas with an irregular strata structure. To determine the velocity of fluids, a non-classical form of the law of motion is used (taking into account its nonlinearity), which is applicable, including under conditions of reduced permeability with low pressure drops. Based on the support operator method, effective computational algorithms are proposed that distinguish the hyperbolic (in the presence of saturation transfer) and dissipative subsystems of the problem. These
@ Вакир А. Э., Повещенко Ю. А., Подрыга В. О., Рагимли П. И., 2024
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024
algorithms are implemented in software on the meshes of irregular structure, which makes it possible to model spatially two-dimensional multiphase and multicomponent processes of gas hydrate dissociation in the porous medium of sedimentary basins. The developed program was tested using model calculations of piezoconductive processes in the presence of saturation transfer. The calculations showed that within spatial regions, when using nonlinear laws of motion, depression processes are less pronounced than in the case of the classical Darcy law. In this case, the processes of hydrate thawing accompany the depression gas extraction specified in the computational domain. Thus, the mathematical model and corresponding computational algorithms presented in this work make it possible to correctly describe the physics of low-permeability reservoirs.
Key words: mathematical modeling, gas hydrates, support operator method, irregular meshes, nonlinear filtration law, saturation transfer
1. Введение
В последние годы газовые гидраты вызывают большой интерес как потенциальные источники углеводородов. По имеющимся данным, количество углеводородного газа в гидратах значительно превышает все остальные запасы. Чтобы полностью извлечь огромные запасы углеводородов в залежах газовых гидратов, необходимы технологии добычи, основанные на физико-химических процессах в пористой среде. Это подчеркивает актуальность изучения таких процессов [1-3].
Газогидратные месторождения, как правило, представляют собой слоистые пористые структуры, наполненные гидратами, водой и углеводородами. Необходимо научиться моделировать геомеханические, гидродинамические и физико-химические процессы, происходящие в таких структурах, для того чтобы изучить вопросы оптимизации методов добычи углеводородов, обеспечения безопасности работы с газогидратными залежами и анализа связанных с этим вопросов экологии. Для решения этих задач необходимо провести компьютерное моделирование процессов многофазной фильтрации в месторождении газогидратов с учетом температуры и физико-химических процессов разложения гидратов.
В работе рассматривается случай двумерной многофазной фильтрации. Такие модели представляют адекватную информацию, а стоимость пространственно двумерного моделирования существенно меньше трехмерного. В работе будет описана двумерная модель для многофазной фильтрации. Исходная система уравнений разбивается на два блока, каждый из которых описывает определенный физический процесс [4-7]. Первый блок состоит из гиперболических уравнений, определяющих вод о- и гидратонасыщенности. Второй блок содержит уравнение пьезопроводности, которое определяет давление в пласте. Такое разбиение упрощает создание и использование вычислительной схемы ImPeS (Implicit Pressure Explicit Saturation). Эта схема повышает скорость вычислений, что особенно актуально при развитии метода на многомерный случай и при проведении серии расчетов с различными параметрами со сравнением результатов.
В работе изучается процесс растепления газового гидрата на примере двумерной модели. Термин растепление гидратов означает процесс, при котором гидраты, т.е. соединения газа и воды, распадаются на составляющие их компоненты. Процесс растепления представляет собой переход из состояния, в котором присутствуют гидраты, в состояние, где гидраты отсутствуют.
Также рассматривается двухкомпонентная (Н2О, СН4) трехфазная флюидодинамиче-ская эволюция системы в гидратно-равновесной зоне (ГРЗ). Этот процесс характеризуется одной термодинамической степенью свободы с зависимостью вида Т = T^is(P), где T<ns — функция давления [8,9]. В качестве газа, образующего гидраты, используется метан.
2. Математическая модель пространственных задач фильтрации с твердофазными гидратными включениями
Рассматривается фильтрационное течение двухкомпонентной смеси, содержащей воду и газ (метан). Эти компоненты могут содержаться как в подвижных фазах, так и образовывать неподвижный газовый гидрат, который заполняет часть порового пространства.
Уравнения сохранения массового баланса (для воды и газа) при наличии гидратов, а также уравнение сохранения энергии всей системы (включая скелет) записываются следующим образом:
д
— {т [вивыр™ + (1 - ви)риРъ,]} + V™] + д™ = 0, (1)
д
— {т (1 - )Рд + (1 - )ри(1 - )]} + &у[рдУд] + дд = 0, (2)
д
— {т [ви (Бы ры£ы + (1 - вы )рд £д) + (1 - в») р„ £у ] + (1 - т)р3£3 } +
+ ё1У {Ры + Рд £дУд + [Р ( Уш + Уд)] } + & =0. (3)
Здесь индексы д, 'ш, V, 8 относятся к газу, воде, гидрату, скелету пористой среды; Р — давление, Ь — время, т = т(г, Р) — пористое ть, г — радиус-век тор, — водонасыщенность, Бд = 1-— газонасыщенность, = 1—V — растепленность, V — гидратонасыщенность, — массовая доля воды в гидрате, р1 = р1(Р,Т), е1 = ег(Р,Т) — плотности, внутренние энергии компонент (I = дТ — температура, V« — скорость фильтрации фазы а = 'ш,д, ды,дд,де — соответствующие плотности источников.
Для исследования течения многофазного и многокомпонентного флюида при наличии газовых гидратов в пористой среде можно использовать классический закон Дарси, который является традиционным для задач подземной гидродинамики [10]:
V« = - — (УР -ы>а), а = (4)
Ра
Здесь § — вектор ускорения свободного падения, к = к(г,Р) — абсолютная проницаемость, кга = кга(Зы) — относительные фазовые проницаемости, р = ра(Р,Т) — динамические вязкости воды и газа.
Для исследуемого класса задач также можно использовать неклассический закон движения (с учетом его нелинейности), который предложен для двухфазной модели в работе [11] и корректно описывает физику процессов, в том числе в условиях пониженной проницаемости при невысоких перепадах давления. Данный закон движения также называется законом движения с начальным градиентом и имеет вид
(-( ^-Сппп,а А ур, | >С
V« = 1 ^ V |+с« ) ' а = 'Ш,д, (5)
[0, |УР | < СтЫ,а,
_ Сраеис1о,а ^тт,а ^ _
^тах,а ^рвеи((о,а
где Ст\п«а — минимальный градиент давления, который необходимо флюиду преодолеть при прохождении через пористую среду; Стах>а — максимальный стартовый градиент давления, который должен преодолеть флюид при прохождении через пористую среду; Срзеи(1о,а — псевдоначальный (квазиначальный) градиент давления. Данные константы определяются из экспериментов и могут быть различными для воды и газа. В случае, когда са = 0 и Ст\па = 0, уравнение (5) представляет собой классическую модель течения Дарси.
Зависимость переменных от давления и температуры в зоне фазового равновесия в итоге сводится к зависимости от давления, так как это обусловлено законами термодинамики и фазовым равновесием [8]:
Tdia (Р) = A ln Р + В, (6)
где А, В — эмпирические константы.
Энтальпия единицы массы гидрата определяется как сумма энтальпий газа и жидкости, которые входят в его состав:
Pwiw + (1 - Pw) ig = iv + h, (7)
где h — скрытая теплота фазового перехода единицы массы гидрата,
h = £l + P/Pl (8)
— энтальпия, ei(Р,Т) — внутренняя энергия фаз, индекс I = g,w,v,s указывает фазу. Отсюда получается выражение для внутренней энергии гидрата:
^ = Pw£w + (1 - Pw) eg + p(— + - - h. (9)
g \pw pw Pv/
Уравнения состояния для газа, воды и гидрата имеют вид
РМ
Pg = , Pw = const, pv = const. (10)
R1
Здесь R — универсальная газовая постоянная, M — молярная масса газа.
Итак, предложенная в этом разделе математическая модель включает в себя систему уравнений, описывающую балансы сохранения масс воды и газа (при наличии гидратов), а также энергии системы при наличии различных физических процессов: диффузия тепла, конвекция, растепление гидратов, фильтрация многокомпонентной системы в пористой среде. С точки зрения решения уравнений (1) - (3) базовыми переменными являются величины Sw , S^ при температуре, которая является функцией от давления.
3. Расщепление по физическим процессам
Поставленная задача, включающая уравнения (1) - (3), (6) и закон определения скорости, является сложной системой уравнений математической физики, которая относится к квазилинейным уравнениям смешанного типа. В случае задачи двухфазной фильтрации применяется расщепление системы уравнений на два блока (для насыщенности и для давления) [10]. В рассматриваемой задаче также возможно подобное расщепление, которое позволяет значительно упростить процесс математического исследования.
Таким образом, получившаяся система уравнений состоит из сатурационного блока, который отвечает за процесс переноса насыщенностей при фиксированном давлении (уравнения (1) и (2)), и блока, описывающего диссипативно-пьезопроводные процессы при фиксированных насыщенностях, учитывая твердофазные включения:
m5E{ S,
Sw(^ + (1 - Sw) +(1 - Я) ^ + ^ +
+ ^ im isv [Sw pw (£w )t + (1 - Sw )Pg (eg )t] + (1 - Sv )Pv (£V )t} + (11)
где
+[(1 - m)ps£s]t} + 5£DIG + ^DIGe = 0,
DIG = —div[pwVw ] + —div[pgVg ] + — + ^, (12)
Pw Pg Pw Pg
DIGs = [div (pwew\w) - ewdiv(pwVw)] + [div (pg£gVg) - egdiv(pgVg)] +
+div[ P(Vw + Vg)] + (q£ - SwQw - ).
Здесь
Ф ( ßw , (1 -ßw)
-= (p--) > 0, p =--1--
mpv Pu Pw pg
(13)
(14)
скачок удельного объема (на единицу массы) и суммарный объем гидратных фаз после
разложения,
4 = ßw^w + (1 - ßw) Sg - Sy > 0
(15)
— скачок удельной внутренней энергии (на единицу массы).
4. Дискретная модель пространственных задач фильтрации,
содержащих газогидратные включения, на основе нерегулярных сеток
Рис. 1. Метрические сетки
Для двумерных метрических сеток метода опорных операторов (МОО) [12-16], состоящих из четырехугольных и треугольных ячеек (Q) (рис. 1), образованных узлами (и) и ребрами (А) с соответствующими им ориентированны ми векторами e(A), характерно наличие замкнутой центроидной «сдвинутой» сетки, состоящей из доменов d(u) вокруг узлов (и). Центроидные точки ячеек (Q) определяются как средние арифметические радиус-векторов узлов, образующих эти ячейки. Ячейки двумерной сетки фактически являются упрощением трехмерных призматических ячеек с единичными высотами и основаниями.
Рассмотрим сетку ( А).(p), состоящую из ребер А с соответствующими ориентированны-e( А) p
Уравнения сохранения массы для водной и газовой компонент в разностном виде представляются следующим образом:
{m [SySwPw + (1 - Sy )pyßw ]}t + DIN (pw Vw) <C = 0, (16)
{m [Sy (1 - Sw )pg + (1 - Sy )pv (1 - ßw)]} + DIN (Pg Vg) = 0. (17)
Здесь символом [ ] ~обозначается возможная интерполяция по времени, m представляет собой объем порового домена d(u) (см. рис. 1). Потоки воды (pw Vw) ~и газ a (pg Vg) ~ используя оператор GRAD, аппроксимируются в базисах сетки p, с учетом дискретизации законы движения (4) - (5) на неявном слое по времени принимают следующий вид:
( Л Т I ^ • \
(pa Va )р = -[pa-
V ^a J Ap
GRADP ~, a = w,g,
(18)
(PaVa) J ~ = - Pa
V pa / д„ V
|G RA DР-Gr,
Pa IGRADP + Ca
GRADP "
a = w,g.
(19)
Здесь под символами ( ) понимаются аппроксимации соответствующих выражений на сетке с применением некоторой временной интерполяции. Операции DIN и GRAD являются некоторыми разностными аппроксимациями дифференциальных аналогов div и grad, представленными, например, в [4,7].
Дискретный аналог пьезопроводно-диссипативного уравнения (11) - (15), разделенный по физическим процессам с блоком насыщенности (16) - (17), представляется в виде
#){[(mSv)SW+ \(mSv) (1 - Sw) Jfi^ +
(p4 ){Sv )
+[m (1 -Su+ (m)t} + Ш ~{[(mS„)Swpw](1-i") (ew)t +
mpv
+[(mSv) (1 - Sw) P9](1--) (£ä)t + [m (1 - Sv) pv](1-s") (£„)t + (1 - m)ps£s } +
-9Jt
+s£Sv )DIG
Ф
DIG ~ = 0,
mpv
Ö£ = [ßw£w + (1 - ßw) £9] - £u,
[ф/(mpv)] ~= [ßw/(Pw)(K) + (1 - ßw)/(Pä)(K)] - 1/(p,)(<^), DIG~= DIN (pwVwDIN (PäVäqZ + q~
(Pw )(S ")
(Pä )(Sv ) (Pw ) (Pä )(Sv )
(20)
(21) (22)
(23)
DIG 7 =
DIN{ (efr ))up( Pw Vw ) ~} - (£w )(&v )DIN ( PwVw )
+
DIN I(ef))up(PäVä)~) - (£ä)DIN (PäVä)
+ +
+DIN {[P (Vw + Vä)] ~} + (q~£ - £w(S*)qZ - ^(Sv)
(24)
В выражении DIG £, которое входит в (24), используется монотонное (вверх по потоку) энергетическое приближение для ¿Wv^ и égv^ в соответствующих комбинациях дивергентных выражений с этими величинами. Здесь под разностной производной по времени и интерполяцией с весом 5 понимаются сц = (а — а)/т, a(ô) = Sa + (1 — ô)a при
S = Sv = д/(m Sv)Л/ (y(mS„)Л + ^(mSv)) , 0 < Sv < 1.
Таким образом, рассматриваемая разностная система уравнений состоит из двух частей: гиперболический блок (16) - (17) и параболический блок (20). Гиперболическая часть отвечает за распространение величин водонасыщенности Sw и растепленности Su, причем в выражениях для относительных проницаемостей Sw берется вверх по потоку, а Sv при аппроксимации абсолютной проницаемости - вниз по потоку. Параболическая часть — это уравнение пьезопроводности относительно давления, учитывающее конвективный перенос массы, внутренних энергий, работу сил давления и диссипацию тепловой энергии.
5. Двумерное решение полной модельной задачи
Рассматривается задача фильтрации в среде, включающей газовые гидраты, свободные газ и воду, в двумерной постановке. Предполагается, что исходное поровое пространство горизонтального пласта частично заполнено газовым гидратом, а остальная часть — газом и водой. Начальное давление в пласте Ро составляет 3 МПа, начальные насыщенности = 0.5, = 0.6 соответственно. Температура выражается через давление по выражению (6) в силу наличия в системе одной термодинамической степени свободы.
Решается система уравнений (1) - (3) в отсутствие гравитации, с классической (4) и неклассической (5) (са = 0, для воды Gmin,w = 0.3 МПа/м, для газа Gmin,g = 0.15 МПа/м) формами закона движения. Для расчета были выбраны значения параметров, характерные для Мессояхского газогидратного месторождения [17].
Для решения сформулированной полной задачи в пространственной области вводится семейство нерегулярных сеток с соответствующими метрическими свойствами. Используется вычислительная схема ImPeS. Для дискретной формы уравнения пьезо-проводности (20) и сатурационного блока (16), (17) производится линеаризация соответствующей нелинейной алгебраической системы уравнений одной из модификаций метода Ньютона. Элементы разреженной матрицы линеаризованной системы уравнений представляются в Йельском формате (сжатое хранение строкой, CSR — Compressed Sparse Row). Обращение алгебраической матрицы производится методом сопряженных градиентов с предобуславливанием для несимметричных задач ORTOMIN [18].
На рис. 2 представлена расчетная область из восьми секторов, характеризующихся длиной внешних сторон в 2 м и внутренних — 2/5 м, образующих внешнюю и внутреннюю границы области. Каждая из внешних сторон этой границы была разделена на семь равных сегментов, а каждая из внутренних сторон — на пять равных сегментов. Область, ограниченная этими сегментами, впоследствии была разбита неструктурированной сеткой, суммарно содержащей 608 ячеек. Для трех нижних граничных ребер участка (см. рис. 2) задавался депрессионный отбор массы газа в следующей форме:
Яд = аРд(1 - Sw)(Р - Pi), Qw = 0, q£ = £wQw + sg%,
где a = 10-iOM • с/кг, Pi = 0.1 МПа (см. рис. 2).На остальных границах область считается непротекаемой. Расчеты проводились с переменным шагом по времени. Начальный шаг составлял т = 100 с и изменялся в соответствии с количеством итераций в методе Ньютона.
X
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2. Расчетная область. На выделенных трех нижних граничных ребрах задается депрессия давления ^ {а = 10-10м • с/кг, Р1 =0.1 МПа), на остальных граничных ребрах — условия непротекания
На рис. 3-6 показано распределение давления с классическим и неклассическим законами движения в моменты времени £ = 0.0625, 0.6875 ч. Из рисунков по линиям уровня давления (Р\ — Р6) видно, что депрессия давления внутри области с нелинейным законом фильтрации (неклассический закон движения) меньше, чем в случае классического закона Дарси. На рис. 5 давления в верхней части пространственной области постоянны и равны их начальным значениям 3 МПа. При этом, исходя из пространственного расположения маркеров градиента давления, возможно провести оценку извлекаемости углеводородных ресурсов при различных конфигурациях пространственной области.
Рис. 3. Распределение давления с классическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Рп — значение давления (МПа) на разных линиях уровня. Р1 = 2.9699, Р2 = 2.76304, Рз = 2.55618, Р4 = 2.34932, Р5 = 2.14245, Ре = 1.93559
X
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
Рис. 4. Распределение давления с классическим законом движения в момент времени £ = 0.6875 ч. Рп — значение давления (МПа) на разных линиях уровня. Р1 = 2.5898, Р2 = 2.32558, Рз = 2.06135, Р4 = 1.79713, Р5 = 1.53291 Ре = 1.26869
Рис. 5. Распределение давления с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Рп — значение давления (МПа) на разных линиях уровня. Р1 = 3, Р2 = 2.77117, Рз = 2.54234, Р4 = 2.3135, Р5 = 2.08467. Маркеры в виде «+» соответствуют модулю градиента для газа (^тт,д = 0.15 МПа/м), маркеры В виде «О» — ДЛЯ ВОДЫ = 0.3
Рис. 6. Распределение давления с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.6875 ч. Рп — значение давления (МПа) на разных линиях уровня. Р1 = 2.72186, Р2 = 2.4046 Рз = 2.08735 Р4 = 1.77009 Р5 = 1.45284, Ре = 1.13558. Маркеры в виде «+» соответствуют модулю градиента для газа (^тт,д = 0.15 МПа/м), маркеры в виде «о» — ДЛЯ ВОДЫ (^тт = 0.3
Рис. 7. Распределение температуры с класси- Рис. 8. Распределение температуры с классическим законом движения в момент времени ческим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Тп — значение температуры (К) £ = 0.6875 ч. Тп — значение температуры (К) на разных линиях уровня. Т1 = 278.2746, на разных линиях уровня. Т1 = 277.0003, Т2 = 277.6139, Тз = 276.9532, Т4 = 276.2924, Т2 = 276.0273, Т3 = 275.0542, Т4 = 274.0811, Т5 = 275.6317 Т5 = 273.1081 Те = 272.135
Рис. 9. Распределение температуры с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Тп — значение температуры (К) на разных линиях уровня. Т1 = 278.2748, Т2 = 277.5755, Т3 = 276.8763, ТА = 276.177, Тъ = 275.4777
Рис. 10. Распределение температуры с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.6875 ч. Тп — значение температуры (К) на разных линиях уровня. Т1 = 277.362, Т2 = 276.15, Т3 = 274.9379, Т4 = 273.7259, Тъ = 272.5138, Т6 = 271.3018
Рис. 11. Распределение водонасыщенности с классическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. — значение водонасыщенности на разных линиях уровня. = 0.6001, ^2 = 0.6053, ^з = 0.6105, = 0.6157, = 0.6209, = 0.6261
X
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
Рис. 12. Распределение водонасыщенности с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. — значение во-
донасыщенности на разных линиях уровня. 5^1 = 0.6001 5^2 = 0.6048, = 0.6094, Би,4 = 0.6141 вш5 = 0.6187, вш6 = 0.6233
Рис. 13. Распределение растепленности с классическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Буп — значение растепленности на разных линиях уровня. Бу1 = 0.5006, 5^2 = 0.5118, 5^3 = 0.5229, = 0.5341, 6^5 = 0.5453, = 0.5565
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
Рис. 14. Распределение растепленности с неклассическим законом движения в момент времени £ = 0.0625 ч. Буп — значение растепленности на разных линиях уровня. Бу1 = 0.5005, 5^2 = 0.5101 = 0.5196, = 0.5291, 6^5 = 0.5387, 6 = 0.5482
Аналогично на рис. 7-10 представлены температурные пространственные распределения в области на те же моменты времени. На рис. 9 температура в верхней части пространственной области постоянна и равна ее начальному значению 278.2748 К. Аналогично депрессии давления в нижней части пространственной области происходит понижение температуры в соответствии с выражением (6).
На рис. 11-14 показаны распределения водонасыщенности (Sw), и растепленности (Sv) с классическим и неклассическим законами движения в момент времени t = 0.0б25 ч. В связи с отбором газа на нижней границе области водонасыщенность Sw внутри области больше, чем на этой границе. Наблюдаемый на рис. 13 и 14 процесс гидратного растепления Sv сопутствует задаваемому в граничной части области депрессионному газовому отбору. Поэтому значения растепленности вблизи нижней границы области больше, чем ее внутренней части.
6. Заключение
В работе представлена пространственно двумерная математическая модель двухкомпо-нентной (ЩО, СН4) трехфазной фильтрации в гидратно-равновесной зоне с твердофазными гидратными включениями. Для определения скорости флюида используется неклассическая формулировка закона Дарси (учитывающая его нелинейность), применимая в том числе при пониженной проницаемости и небольших перепадах давления. При моделировании используется расщепление по физическим процессам. Исходная система уравнений разделяется на уравнение пьезопроводности, описывающее термодинамическую эволюцию в задаче, и блок уравнений насыщенности, отвечающий за процессы их переноса в модели. Численное решение модельной задачи демонстрирует применимость разработанного алгоритма в практически значимом диапазоне пластовых параметров. Результаты этого исследования позволяют решать сложные задачи математической физики, используя разработанные алгоритмы на основе явных и неявных схем численного решения, хорошо адаптируемые и применимые для вычислений с крупным временным шагом.
Список литературы
1. Englezos P. Clathrate hydrates // Ind. Eng. Chem. Res. 1993. V. 32. P. 1251-1274.
2. Бык С.Ш., Макогон Ю.Ф., Фомина В.И. Газовые гидраты. Москва : Химия, 1980.
3. Басниев К.С., Конина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. Москва : Недра, 1993.
4. Повещенко О.Ю., Гасилова И.В., Галигузова И.И., Ольховская Е.Ю., Казакевич Г.И. Об одной модели флюидодинамики в пористой среде, содержащей газогидраты // Математическое моделирование. 2013. Т. 25, № 10. С. 32-42.
5. Казакевич Г.И., Клочкова Л.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф. Математическое исследование системы уравнений газогидратных процессов в пористой среде // Журнал Средневолжского математического общества. 2011. Т. 13, № 1. С. 7-11.
6. Гасилов В.А., Гасилова П.В., Клочкова Л.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф. Разностные схемы на основе метода опорных операторов для задач динамики флюидов в коллекторе, содержащих газогидраты // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55, № 8. С. 1341-1355.
7. Рагимли П.П., Повещенко Ю.А., Рагимли O.P., Подрыга В.О., Казакевич Г.П., Гасилова П.В. Использование расщепления по физическим процессам для численного моделирования диссоциации газовых гидратов // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 7. С. 133-144.
8. Бондарев Э.А., Бабе Г.Д., Гройсман А.Г., Каниболотский М.А. Механика образования гидратов в газовых потоках. Москва : Наука (Сибирское отд.), 1976.
9. Дегтярев Б.В., Бухгалтер Э.Б. Борьба с гидратами при эксплуатации газовых скважин в северных районах. Москва : Недра, 1976.
10. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. Москва, Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004.
11. Su, Н., Wang D., Zhang P., An Y., Fu Y., Lu, J., Huang F., Zhang H., Ren Z., Li Z. A new method to calculate the relative permeability of oil and water in tight oil reservoirs by considering the nonlinear flow // Geofluids. 2022. V. 2022. Art. 9450967(14p).
12. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Использование метода опорных операторов для построения разностных аналогов операций тензорного анализа // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 7. С. 1251-1256.
13. Хруленко А.Б., Фаворский А.П., Карпов В.Я. Векторные и тензорные модели. Москва : МАКС Пресс, 2009.
14. Shashkov М. Conservative finite-difference methods on general grids. Boca Raton, FL : CRC Press, 1996.
15. Lipnikov K., Manzini G., Shashkov M. Mimetic finite difference method // Journal of Computational Physics. 2013. V. 257(B). P. 1163-1227.
16. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск : ЗАО «Критерий», 1996.
17. Казакевич Г.И., Повещенко Ю.А., Подрыга В.О., Рагимли П.П., Рагимли О.Р. Численное моделирование характерных задач диссоциации газовых гидратов в пористой среде. Одномерная постановка // Препринты 1111 \! им. М.В. Келдыша. 2019. № 22.
18. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. Москва : Мир, 1986.
References
1. Englezos P. Clathrate hydrates. Ind. Eng. Chem. Res. 1993. V. 32. P. 1251-1274.
2. Byk S.Sh., Makogon Yu.F., Fomina V.I. Gas hydrates. Moscow : Khimiva, 1980. (in Russian).
3. Basniev K.S., Kochina I.N., Maksimov V.M. Underground hydromechanics. Moscow : Nedra, 1993. (in Russian).
4. Poveshchenko O.Yu., Gasilova I.V., Galiguzova I.I., Dorofeeva E.Yu., Olkhovskaya O.G., Kazakevich G.I. About one model of fluid dynamics in a porous medium containing gas hydrates. Mathematical Modeling. 2013. V. 25, N 10. P. 32-42.
5. Kazakevich G.I., Klochkova L. V, Poveshchenko Yu.A., Tishkin V.F. Mathematical study of the system of equations of gas hydrate processes in a porous medium. Journal of the Middle Volga Mathematical Society. 2011. V. 13, N 1. P. 7-11.
6. Gasilov V.A., Gasilova I. V., Gasilova L.V., Poveshchenko Yu.A., Tishkin V.F. Difference schemes based on the support operator method for fluids dynamics problems in a collector containing gas hydrates. Comput. Math, and Math. Phvs. 2015. V. 55, N 8. P. 1341-1355.
7. Rahimly P.I., Poveshchenko Yu.A., Rahimly O.R., Podryga V.O., Kazakevich G.I., Gasilova I. V. The use of splitting with respect to physical processes for modeling the dissociation of gas hydrates. Mathematical Models and Computer Simulations. 2017. V. 29, N 7. P. 133144.
8. Bondarev E.A., Babe G.D., Groysman A.G., Kanibolotsky M.A. Mechanics of hydrate formation in gas flows. Moscow : Nauka (Sibirskove otd.), 1976. (in Russian).
9. Degtyarev B. V., Accountant E.B. Fighting hydrates during the operation of gas wells in the northern regions. Moscow : Nedra, 1976. (in Russian).
10. Aziz H., Settari E. Mathematical modeling of reservoir systems. Moscow, Izhevsk : Institute of Computer Research, 2004. (in Russian).
11. Su H., Wang D., Zhang P., An Y., Fu Y., Lu J., Huang F., Zhang H., Ren Z., Li Z. A new method to calculate the relative permeability of oil and water in tight oil reservoirs by considering the nonlinear flow. Geofluids. 2022. V. 2022. Art. 9450967(14p).
12. Samarsky A.A., Tishkin V.F., Favorsky A.P., Shashkov M.Yu. Using the support operator method to construct difference analogues of tensor analysis operations. Differents. equations. 1982. V. 18, N 7. P. 1251-1256.
13. Khrulenko A.B., Favorsky A.P., Karpov V.Ya. Vector and tensor models. Educational manual in 2 hours. Moscow : MAKS Press, 2009. (in Russian).
14. Shashkov M. Conservative finite-difference methods on general grids. Boca Raton, FL : CRC Press, 1996.
15. Lipnikov K., Manzini G., Shashkov M. Mimetic finite difference method. Journal of Computational Physics. 2013. V. 257(B). P. 1163-1227.
16. Samarsky A.A., Koldoha A.V., Poveshchenko Yu.A., Tishkin V.F., Favorsky A.P. Difference schemes on irregular grids. Minsk : JSC «Criterion», 1996. (in Russian).
17. Kazakevich G.I., Poveshchenko Yu.A., Podryga V.O., Rahimly P.I., Rahimly O.R. Numerical modeling of typical problems of gas hydrate dissociation in a porous medium. One-dimensional formulation. KIAM Preprint. 2019. N 22. (in Russian).
18. Hageman L., Young D. Applied iterative methods. Moscow : Mir, 1986. (in Russian).
Поступим в редакцию 16.12.2023
