Научная статья на тему 'МОДЕЛЬ ЭЛАСТИЧНОЙ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНОЙ НЕОРИЕНТИРОВАННОЙ СЕТИ'

МОДЕЛЬ ЭЛАСТИЧНОЙ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНОЙ НЕОРИЕНТИРОВАННОЙ СЕТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
3
2
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шергин Вадим Леонидович, Лымаренко Дмитрий Владимирович, Полиит Максим Русланович

Рассматривается модель графа, обладающего разными скоростями относительного прироста числа рёбер и вершин. Такой граф называется эластичным. Рассматриваются свойства показателя эластичности и его связь с фрактальной размерностью. Базовые концепции масштабно-инвариантной сети роста и преимущественного присоединения дополняются концепцией эластичности. В результате получена модель эластичной неориентированной масштабно-инвариантной сети. Такой подход позволяет распространить рассматриваемый класс моделей на плотные сети, для которых степени вершин распределены по закону Ципфа или близкому к нему.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шергин Вадим Леонидович, Лымаренко Дмитрий Владимирович, Полиит Максим Русланович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «МОДЕЛЬ ЭЛАСТИЧНОЙ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНОЙ НЕОРИЕНТИРОВАННОЙ СЕТИ»

Heavens O.S. Measurement of the Optical Constants of Thin Films // CRC Press. 1995. 195 p. 4. CarrollF., Joseph H., Oxley, Blocher J. M. Powell Vapor Deposition. The Electrochemical Society series //New York: Wiley, 1966. 158 p. 5. Mattox Handbook ofPhysical Vapor Deposition (PVD) Processing: Film Formation, Adhesion, Surface Preparation and Contamination Control / Mattox, M. Donald // Westwood, N.J.: Noyes Publications, 1998. 944 p. 6. Mahesh Gowda, N.M., Kiran, Y. andParthasarthy, S.S. Modelling ofbuck DC-DC converter using Simulink // International Journal of Innovative Research in Science, Engineering and Technology. July. Vol. 3. No. 7. P. 14965-14975. 7. HorovitsP., Hill W. The Art of Electronics. -Moscow: Mir, 1995. 154 p. 8. Steve Roberts. DC/DC book ofknowledge / Steve Roberts // RECOM Group Gmunden, 2014. -234 p. 9. Mude, N.R. and Sahu, A. Adaptive control schemes for DC-DC buck converter // International Journal of Engineering Research and Applications. Vol. 2. No. 3. P. 463-467.

Hadiuwna do редкonегii 15.04.2019

Михальов О.1., д-р техн. наук, професор, завщувач кафедри шформацшних технологш i систем Нацюналью! Металургшно! Академи Украши. Науковi штереси: сучасш проблеми управлшня та моделювання складних систем. Адреса: Украша, 49600, м. Дншро, пр. Гагарша, 4.

Зимогляд А.Ю., асистент кафедри шформацшних технологий i систем Нацюнально! Мета-лургшно! Академи Украши. Науковi штереси: вакуумна техшка; тонкоплiвковi покриття; автоматизащя виробництва; електрошка; високовольтш прилади. Адреса: Украша, 49600, м. Дшпро, пр. Гагарша, 4.

Гуда А.1., д-р техн. наук, професор кафедри шформацшних технологш i систем Нацюнально! Металургшно! Академii Украши. Науковi штереси: моделювання та iдентифiкацiя динашч-них систем, хаотична динашка. Адреса: Украша, 49600, м. Дншро, пр. Гагарша, 4.

УДК 519.171 DOI: 10.30837/0135-1710.2019.176.027

В.Л. ШЕРГИН, Д.В. ЛЫМАРЕНКО, М.Р. ПОЛИИТ

МОДЕЛЬ ЭЛАСТИЧНОЙ МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНОЙ НЕОРИЕНТИРОВАННОЙ СЕТИ

Рассматривается модель графа, обладающего разными скоростями относительного прироста числа рёбер и вершин. Такой граф называется эластичным. Рассматриваются свойства показателя эластичности и его связь с фрактальной размерностью. Базовые концепции масштабно-инвариантной сети - роста и преимущественного присоединения - дополняются концепцией эластичности. В результате получена модель эластичной неориентированной масштабно-инвариантной сети. Такой подход позволяет распространить рассматриваемый класс моделей на плотные сети, для которых степени вершин распределены по закону Ципфа или близкому к нему.

1. Введение

Модели масштабно-инвариантных сетей (МИС, SF - scale-free networks) считаются наиболее адекватным отражением свойств сетей реального мира, таких как всемирная паутина, сети цитирования и т.п.[1]. Развитие и применение таких моделей для сетей реального мира является перспективным направлением научных исследований.

Теория масштабно-инвариантных сетей основывается на двух фундаментальных концепциях: концепции роста и концепции преимущественного присоединения [2]. Однако, несмотря на очевидную полезность таких моделей, они имеют определенные недостатки и ограничения. Например, для классических моделей МИС значение показателя распределения степеней вершин превышает два, в то время как существуют такие сети, для которых этот показатель равен двум (что соответствует закону Ципфа) или меньше [3]. Кроме того, существует широкий класс сетей, для которых средняя степень вершин имеет тенденцию к увеличению по мере роста времени наблюдения, но эта зависимость или не рассматривается вообще, или рассматривается как внешний фактор модели. Более того, показатель распределения степеней вершин в классических моделях МИС напрямую зависит от среднего значения этой степени, то есть от параметра, имеющего масштаб. Во избежание указанных ограничений было предложено [4] расширить список базовых концепций (рост и преимуще-

ственное присоединение) концепцией различной относительной скорости увеличения количества рёбер и вершин,то есть концепцией эластичности.

В данной работе предлагается модификация модели масштабно-инвариантной сети, построенной с использованием неединичной эластичности.

2. Показатель эластичности графа

Пусть граф G(V, Е) изначально содержит две вершины, соединённые ребром. В каждый момент времени к дереву добавляется одна вершина и одно ребро, таким образом, V(г) = t +1, Е(г) = t, ДV(0 = 1; ДЕ(г) = 1 .

Сравним относительные скорости прироста количества вершин 5V(г) = ДV(t)/V(t) и рёбер 8Е(/) = ДЕ(г)/ Е (г):

5E(t) = (г -1). (1)

Рассмотрим другой крайний случай - полный граф. При тех же начальных условиях ( V(1) = 2 , Е(1) = 1) добавляемая вершина соединяется со всеми существующими, то есть ДЕ(г) = Е(г +1) - Е(г) = г +1, Е(г) = г(г +1) / 2 . Таким образом, для полного графа

8Е(г) = 2■8V(г-1) . (2)

Рассмотренные крайние случаи проиллюстрированы на рис.1.

Дерево

• 2.

А

1 I

1—1.

Х =

5Е,

ЬК

= ]

1-\

/Л\

М

Полный граф

I 1

5Е =

1 + ] 2

ЙЕ

ьк

=2

Рис. 1. Соотношения между относительными приростами числа рёбер и вершин Очевидно, что выражения (1) и (2) можно обобщить на промежуточный случай 1 < X < 2 :

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8Е (г) = (г)

г +1

-1) .

(3)

Параметр х является эластичностью, то есть отношением относительного прироста количества рёбер к относительному приросту количества вершин:

X =

5Е(г)

t^x8V(г -1) • (4)

Стоит отметить, что в теории сетей термин "эластичность" применяется в другом смысле - как мера устойчивости сети при удалении узлов [5]. Однако в более общем математическом смысле этот термин широко употребляется именно как отношение относительных скоростей приростов функции и аргумента [4], чем и обосновывается применение этого термина в данной работе.

Одним из важных и полезных приложений понятия эластичности является то, что она устанавливает соответствие между скоростью прироста количества рёбер ДЕ (г) и текущим средним значением этого количества е(г). Если коэффициент эластичности X фиксирован, а количество вершин служит, как обычно, мерой времени ( Д V (г) = 1), то, согласно (3), получим:

г

AE(t) = X E(t) • — «X-e(t) (5)

V(t) t ■ v'

Таким образом, значение X > 1 показывает, что каждая новая вершина добавляет в среднем больше ребер, чем имеется в данный момент времени. Следует отметить, что во всех существующих моделях МИС это соотношение равняется единице ( X = 1).

Из (4)-(5) следует, что количество рёбер в сети составляет

E(V) Г(У + X-1) 1

E(V) =-1-— =--(6)

Т(У- 1)Г(Х +1) X-B(V-1,X) • w

X

Можно отметить, что в предельном случае

E(V) ^ CV, что соответствует степенному закону распределения.

Очевидно, что коэффициент эластичности можно использовать как безмасштабную меру плотности сети (графа).

Более того, согласно [6], коэффициент эластичности растущей сети является его фрактальной размерностью в том случае, если измерять размер сети количеством вершин, а под единичным множеством понимать ребро.

Так, фрактальная размерность Минковского (box-counting dimension) для растущего объекта, определяется как

d log N(R)

d = lim —2—^^ (7)

R^ log R ' ^

где N(R) - количество кубов с единичной стороной, необходимых для покрытия объекта диаметром r .

Согласно правилу Лопиталя, граница растущего объекта (7) в случае существования таковой равна

, d (log N (R)) . dN / N

d = lim —= lim--(8)

r^ d(logR) R^ dR / R ■ w

Для дискретных структур выражение (8) приобретает вид

, 5N

d = lim — (9)

r^SR ' у '

Представляется целесообразным применить концепцию эластичности (то есть различной относительной скорости увеличения количества рёбер и вершин) к модели масштабно-инвариантной сети.

3. Модель эластичной масштабно-инвариантной неориентированной сети

Наиболее известной моделью неориентированной МИС со степенным распределением является модель Барабаши-Альберт (БА), которая основана на следующих правилах: граф является неориентированным; начальное количество вершин и рёбер ограничено; на каждом шаге к графу добавляется одна новая вершина (концепция роста), которая связана с существующими; концы добавляемых рёбер (то есть связи) распределяются между имеющимися вершинами в соответствии с правилом преимущественного присоединения: вероятность того, что новое ребро инцидентно некоторой вершине i, пропорциональна её степени ki [2].

Предположим, что начальный граф состоит из двух вершин и одного ребра. Обозначим количество вершин, имеющих степень к , как V(к, t), их общее количество в данный момент времени t как V(t), а общее количество рёбер как E(t). Рассматривая процесс добавления дуг как процесс Бернулли, получим балансовое уравнение

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V(к,t +1) = V(к,t) + m(t) (-w(к,t) + w(k -1,t}) , (10)

где w(k) - вероятность того, что новое ребро соединяется с некоторой вершиной степени к :

k

w(k) = — P(k). (11)

2m

Согласно (5), если коэффициент эластичности отличен от единицы, то среднее число дуг m(t) , которые добавляются в сеть, будет зависеть от текущего количества рёбер и будет расти с течением времени. В этом проявляется отличие предлагаемой модели от классической (то есть БА-модели).

Уравнение (10) имеет асимптотически стационарное решение V(k, t) = t • Pk , причём из (5) и

(11) следует, что вероятности распределения степеней вершин Pk удовлетворяют уравнению

-

Pk = - (- kPk + (k - 1)Pk-i ) . (12)

Из (12) следует, что степени вершин распределяются по закону Юла-Саймона, который является дискретным аналогом степенного закона [2] и асимптотически совпадает с ним:

Pk =(е-i)B(k, е) = С ГГ^, (13)

где B(x, y), Г(x) - соответственно, бета- и гамма-функции Эйлера. Показатель распределения (12) (скейлинг-фактор) имеет вид

2

е =1. (14)

В то же время, для стандартной БА-модели ( - = 1+0 и m = const ) этот показатель имеет существенно иной вид:

е = 2 + 1/m . (15)

Из сопоставления (14) и (15) следует, что использование концепции эластичности позволяет применять масштабно-инвариантные модели для сетей, которые имеют показатель распределения степеней вершин, близкий к двум, что соответствует закону Ципфа.

4. Выводы

Рассматривается коэффициент эластичности как безмасштабная мера плотности растущего графа, устанавливающая соотношение между скоростями прироста числа вершин и рёбер. Этот показатель может рассматриваться как фрактальная размерность графа. Представлена модель масштабно-инвариантной неориентированной сети. Использование различных относительных темпов роста количества рёбер и вершин позволяет применять масштабно-инвариантные модели для плотных сетей, что существенно расширяет область применения таких моделей. Список литературы: 1. Choromanski, K.; Matuszak, M.; MieKisz, J. Scale-Free Graph with Preferential Attachment and Evolving Internal Vertex Structure // Journal of Statistical Physics. 2013. .№ 151 (6). С. 11751183. 2. Albert, R., Barabasi A.-L. Statistical mechanics of complex networks // Rev. Mod. Phys. 2002. V. 74. Р. 42-97. 3. Newman, M.E.J. Power laws, Pareto distributions and Zipfs law // Contemporary Physics. 2005. No. 46 (5). P. 323-351. 4. Shergin V.L., ChalaL.E. The concept of elasticity of scale-free networks // Problems of Infocommunications. Science and Technology (PIC S&T). 2017. V. 62. P. 254-258. 5. Снарский А.А., ЛандэД.В. Моделирование сложных сетей. К.: НТУУ «КПИ», 2015. 212 с. 6. Shergin V.L., ChalaL.E., Udovenko S.G. Fractal dimension of infinitely growing discrete sets // Advanced trends in rsdioelectronics, telecommunications and computer engineering (TCSET-2018) . 2018. No. 348

Надтшла до редколегИ' 14.01.2019

Шергин Вадим Леонидович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры искусственного интеллекта ХНУРЭ. Научные интересы: интеллектуальный анализ данных, хаос и фракталы. Адрес: Украина, 61166, г. Харьков, пр. Науки, 14. Тел.: (057)702-13-37. Лымаренко Дмитрий Владимирович, аспирант кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: моделирование масштабно-инвариантных сетей. Адрес: Украина, 61166, г. Харьков, пр. Науки, 14. Тел.: (057)702-13-37.

Полиит Максим Русланович, аспирант кафедры искусственного интеллекта ХНУРЭ. Научные интересы: теория графов и ее прикладные аспекты. Адрес: Украина, 61166, г. Харьков, пр. Науки, 14. Тел.: (057)702-13-37.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.