CC BY
22
ОБРАЗОВАНИЕ
МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В ПРОТИВОРЕЧИВЫХ УСЛОВИЯХ
МАЗУРОВ Вл.Д.
Обработка знаний может быть основана на математических методах. Возможно, что весь мир в некотором смысле бесструктурен и инертен, и только сознание (человека) наделяет его условной упорядоченностью. Сознание наделяет вещи значением, и это позволяет человеку использовать объекты.
MODEL OF ECONOMIC DYNAMICS IN THE CONTRADICTORY CONDITIONS
VL. D. MAZUROV
Knowledge processing can be based on mathematical methods. Probably the whole world is structureless and inert to some extent, and only consciousness (of a human) gives him relative order. Consciousness gives value to things, and it allows a person to use the objects.
Так, реальная экономика неформализуе-ма, но в теоретической экономике есть, например, формальная и структурно организованная модель Неймана - Гейла. В ней существует технологическое множество Т-замкнутый выпуклый конус в пространстве (здесь п - число видов продуктов, -пространство затрат, - пространство выпуска, - пространство технологий, {х(^, t = 0,1,2, ...}- допустимая траектория, тоесть при данном t технологический процесс [х(^, х^+1] е Т.) Однако в случае противоречивых условий мы получаем несколько технологических конусов, отвечающих максимальным совместным подсистемам исходной системы. Тогда допустимая динамика образуется циклами переходов по конусам.
Итак, вместо одного допустимого конуса Т мы имеем несколько конусов Т1,..Тт.
Пусть g(i) - оптимальная траектория для конуса Т
g(i) = {м(0, t = о,1,2 ,...}. Существуют (неймановские) цены, по которым определяется оптимальность.
Тогда х^) существуют, и мы можем организовать цикл
{х1(0, i =1,...,т; t = 1,2,.}.
В противоречивой ситуации циклы действительно нужны. Дело в том, что, оставаясь в течение достаточно многих периодов в одном конусе, мы достаточно долго не будем выполнять некоторые условия, и может наступить коллапс.
Задачи оптимизации и диагностики очень часто встречаются в современной экономике. Существенно то, что в них могут встречаться противоречивые требования. Надо с ними работать, а не отбрасывать как брак.
При попытке подбора модели фиксированного класса для описания эллиптического (сжатого) материала может возникнуть противоречие, если упомянутый класс моделей слишком узок. Это противоречие выразится в том, что задача идентификации модели, имеющая вид системы соотношений, связывающих параметры модели, не будет иметь решения. В этом случае можно либо расширять класс используемых моделей, включая в него более сложные, либо использовать «коллективы» моделей. В данной работе реализуется второй путь, причм используются конструкции максимальных совместных и минимальных несовместных
ОБРАЗОВАНИЕ
подсистем, а также понятие р-комитета.
Напомним определения этих понятий [I] для случая системы соотношений вида
xeD- (\jeJ
(1)
где D■ - некоторые заданные множества (например, Dj может представлять собой-множество всех решений какого-либо неравенства).
Определение 1. Максимальной совместной подсистемой системы (1) называется такая совместная подсистема х е D] (У/ е 5),
где Я е 3, что для любого | е 3 \ Я система
х е D/ (у/ е Я и {I}) несовместна.
Определение 2. Минимальной несовместной подсистемой системы (1) называется такая несовместная подсистема
х е D] (У/ е Т),
где Т е 3 , что для любого | е Т система
х е D](У/ е Т\{1})
совместна.
Определение 3. Пусть 0 < р < 1. Конечное множество к называется р-комитетом системы (1) , если
\кПD \> р\к\(У/е 3), где |А[ означает число элементов множества а .
Приведем примеры использования этих понятий в противоречивых ситуациях моделирования.
Пример 1 (таксономия). Пусть а - некоторое подмножество пространства лп. Через В(х, г) обозначим шар радиуса г > 0 с центром х . Поставим задачу: найти х, для ко-торого А е В(х, г) или а е В(х, г)(Уа е А).
Если число г слишком мало, то эта система может быть несовместной. Пусть её j-я максимальная совместная подсистема имеет вид:
а е В(х, г)(Уа е А}.), А}. е А. Число всех различных максимальных подсистем обозначим через q: тогда множества А1,... А образуют покрытие множе-
ства A ; из этого покрытия можно выделить разбиение множества a на таксоны.
Пример 2 (дискриминация). Пусть A, B е Rn, F - выбранный класс разделяющих функций f (л), л e Rn. Поставим задачу нахождения f:
f e F, f (a) > 0(Va e A), f (b) < 0(Vb e B). (2) Если класс f слишком узок, то система (2) может быть несовместной. В этом случае мо-жно воспользоваться понятием разделяющего p-комитета, т. е. такого множества k = {f1,..., fq} е F , что каждому неравенству системы (2) удовлетворяет более чем p-я часть этого множества (более p q функций).
Пример 3 (оптимизация). Задача математического программирования:
sup {f (x); f (x) < 0(7 = 1,., m)}, x e Rn, может быть неразрешимой по причине несовместности системы ограничений
f,(x) < 0(j = 1,.,m).
(3)
При некоторых содержательных интерпретациях в эту задачу можно вложить следующий смысл. Пусть k - множество всех p-комитетов системы (3). Каждый p-коми-тет k = {x1,..., xq} определяет следующую смешанную стратегию: любой член комитета ис-пользуется с вероятностью -. Тгда можно отыскать p-комитет, которому отвечает наи-большее математическое ожидание значения функции f, т. е. решить задачу
sup I]1 Z f (x): k e A .
I|k| xek J
Пример 4 (регрессия). При построении поверхности регрессии мы пытаемся подобрать функцию заданного класса такую, чтобы
f (x!) = yt (i = 1, ... , m ), (4)
где - материал наблюдений. Обычно система несовместна. Можно искать её приближённое решение (например, методом наименьших квадратов). Другой подход состоит в отыскании максимальных совместных подсистем системы . Пусть - решение i-й максимальной совместной подсистемы (). Тогда можно построить функцию, кото-
вестник уральского института экономики, управления и права
89
модель экономической динамики в противоречивых условиях
Вл. Д.
рая в j-й области совпадает с, и которая описывает материал наблюдений.
Рассмотрим в общем виде вопрос о применении комитетов в противоречивых ситуациях моделирования. Пусть некоторая ситуация или объект отражается моделью вида , где, например, - вектор состояния объекта - множество всех векторов, допустимых по j-му ограничению. Система может быть несовместной (т.е. соответствующая модель - противоречивой) по следующим причинам:
1) ограничение является чрезмерной абсолютизацией, ужесточением или просто неточным отражением некоторого действительного требования, как, например, в случае, если к моделированию некоторого нового явления мы пытаемся приспособить данный априори класс средств моделирования;
2) требование одновременного выполнения всех соотношений системы - абсолютизация некоторого более слабого условия на выполнимость ограничений;
3) вектор состояния имеет слишком ма-
лую размерность, так что в модели не учтены измерения важных факторов состояния;
4) система состоит из нескольких подсистем. Каждая подсистема отражает соотношения некоторой модели, и их «стыковка» приводит к противоречивой модели. Противоречия данного типа возникают и в случае, когда в единой модели пытаются учесть требования и сведения, поступающие из различных источников.
Можно предложить различные способы анализа противоречивых моделей, пытаясь вносить минимальные изменения в систему, делающие её совместной: можно рас-ши-рять множества (так можно получить, например, чебышевские приближения); сужать множество (получая, например, максимальные совместные подсистемы); вводить коллективные решения типа комитет-ных конструкций. Такого рода приемы позволяют конструктивно использовать противоречивые модели, которые часто возникают в практике и имеют реальные интерпретации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мазуров Вл.Д. Методы математического программирования и распознавания образов в решении задач планирования и управления // Математические методы в планировании промышленного производства. Свердловск, УНЦ АН СССРБ, 1977.
