Модель диагностируемых умножителей частоты системы траекторных измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.317

МОДЕЛЬ ДИАГНОСТИРУЕМЫХ УМНОЖИТЕЛЕЙ ЧАСТОТЫ СИСТЕМЫ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

КРИВЕНКО С.А.

Теоретически обосновывается использование класса периодически коррелированных случайных процессов для построения указанных моделей. Показывается, что для нестабильности умножителей частоты, а следовательно, и для флуктуаций фазы, характеризующих техническое состояние умножителей, свойственна стохастическая периодичность, что послужило основанием применения их для описания математического аппарата периодически коррелированных случайных процессов.

При ухудшении параметров сигнала одного из каскадов умножителя в амплитудно- и фазочастотных спектрах, полученных путем анализа последовательностей временных интервалов между равноотстоящими значениями разности фаз двух умножителей, появляются субгармоники. Исследование начальных фазовых углов этих субгармоник позволяет не только делать вывод о неисправности одного из каскадов работающего умножителя, но и указывать, какой именно из каскадов вышел из строя.

При построении математической модели нестабильности умножителей частоты полагалось, что фаза выходного СВЧ сигнала определяется следующим образом:

ф = Ф0 + Wot +фд(0, (1)

где ф0 — начальная фаза, которая при измерении скорости изменения направляющих косинусов является несущественным параметром и поэтому может быть принята равной нулю; w0 — средняя угловая частота, определяемая соотношением w0 =2nnf; n— коэффициент умножения; f— средняя частота входного сигнала; фдД) — девиация угловой модуляции СВЧ сигнала умножителя.

Функция фд(і) носит случайный характер и представляет собой флуктуацию фазы выходного СВЧ сигнала в момент времени t. Именно эта функция фд (t) подлежит изучению, поскольку несет в себе информацию о нестабильностях умножителя частоты, а следовательно, о причинах, их вызывающих, — шумах дробового эффекта, тепловых, низкочастотных (фликкер-эффекта), побочных составляющих и др. Из выражения (1) видно, что для нестабильности умножителя частоты, а значит, и для флуктуаций фазы, характеризующих техническое состояние умножителей, свойственна стохастическая периодичность. Это послужило основанием применять для их описания математический аппарат периодически коррелированных случайных процессов.

Периодически коррелированный случайный процесс (ПКСП) — это периодически нестационарный в широком смысле случайный процесс с инвариантными относительно сдвигов на T математическим ожиданием, когда оно не равно тождественно нулю, и корреляционной функцией [1].

Если для описания корреляционных связей значений случайного процесса ввести новые функции соотношением

K(t,s) = K(s,t-s) = K(t,s-t), то функции K(s,t) и K(t,x) будут периодическими с периодом Tпо s, t при всех te«. В дальнейшем будем использовать функцию K(t,x).

Итак, случайный процесс периодически коррелирован, если его математическое ожидание mi(t) и функция корреляции K(t,x) периодические по t с периодом Т, называемым периодом коррелирован -ности процесса:

mi(t+T) =mi(t); Ki(t+T,x) = Ki(t,x), t, x є ЭТ.

Функции Ki(t,x) можно поставить в соответствие переменный параметрический спектр Si(t,A), A с ЭТ, который является комплекснозначной функцией, в частном случае стационарного процесса—действительной [2].

Для случайного процесса из класса П существуют средние характеристики: а) средняя корреляционная функция Ki (t); б) средний спектр (A), такой что

K^(t) = Jexp(ixw)p? (dw).

При этом K§(t)=Mt{ K§(t,t)}, S§(A)=Mt{ pi(t,A)|, и эти характеристики являются корреляционной функцией и спектром стационарного приближения к процессу из класса П.

Стационарный гильбертов случайный процесс при этом совпадает со своим стационарным приближением. Для ПКСП в силу периодичности их вероятностных характеристик усреднение по всей переменной оси заменяется усреднением на отрезке длины периода коррелированности, и тогда

1 т

= - J K 5 (Е0)Ф; т 0

K 5 (t) = T J к 5 (t, т)dt. т 0

ПКСП, для которых Pi < ж , образуют класс ПТ,

являющийся подклассом класса П: ПТсП.

Параметрическая корреляционная функция ПКСП K(t,x) как периодическая по параметру t с периодом Т допускает представление в виде ряда Фурье:

К(Е т) = ^ kk (т )exp

f „ Л 2 п

ik-

T

коэффициенты которого kk(x), кє2 называют [3] корреляционными компонентами процесса. Для стационарного процесса все kk(x)^0 при k^0, а корреляционная функция стационарного приближения к ПКСП равна нулевому его корреляционному компоненту К i(x)=k0(x).

Если корреляционные компоненты представить в виде интеграла Фурье-Стилтьеса:

kk (x)Jexp(ixw)pk (dw),

ЭТ

то двухчастотная спектральная функция ПКСП как гармонизируемого процесса будет иметь вид [2,4]

РИ, 1998, № 4

9

Pi (dw1;dw2) =

= X^<(dw2)ст(wi - w2 - k— )dwi , (2)

keZ T

в случае ПКСП коррелированными будут лишь гармоники, частоты которых удовлетворяют условию

w2 - w1 = k -2^, k є Z,

при этом S|(A,A)=S0(A). Разложение в ряд Фурье параметрического спектра имеет вид

S| (t, A) = Y Sk (A) exp(ik -2-П t), A с Я, (3)

kєZ T

функция Sk(A) в представлении (2) является амплитудой k-й гармоники переменного спектра. Справедливо также соотношение

1 т

- J S5 (t, A)dt = So (A) > 0.

T 0

Пусть S^(w1,w2)= p^(dw1,dw2)/(dw1dw2)— двухчастотная спектральная плотность гармонизируемого ПКСП; S|(t,w)= p|(t,dw)/dw — его переменная (параметрическая) спектральная плотность, а Sk(w)= р k(dw)/ dw (производные здесь понимаются в смысле теории обобщенных функций). Тогда на основе (2) и (3) получаются соотношения

S5 (w1,w2) = Y Sk (w 1 )ст(w 1 - w2 - к^П)

kєZ T

и

S| (t, w) = Y Sk (w) exp(ik -T-1).

kєZ T

Если ввести представление в виде двойного интеграла Фурье-Стилтьеса параметрической корреляционной функции

K? (t, т) = JJexp[i(tQ + tw)]р? (dQ, dw),

я2

то функция S|(A,B) будет непрерывной по второму аргументу w и дискретной по первому Q:

Pi (dQ,dw) = Y^k (dw)

(

Q-k

2 n T

dQ.

Таким образом, непосредственным следствием гармонизуемости ПКСП является существование переменного частотно-временного спектра—непрерывного по t и дискретного по A, а также среднего спектра S|(A)=S0(A), эквивалентного спектру стационарного приближения к исходному ПКСП.

Из характеристического свойства (2) ПКСП, эквивалентного определению периодической коррелированное™, имеем, что его ковариация

K (t,s) = Jj(exp [i(tw1 - sw2) ]x

я2

2 п

xP k (dw 2 )ст( w 1 - w 2 - k—)

dw1 =

= Y exp

k,jєZ

где обозначено

^[kt - js]

Kk,(t - s),

Pkj(dw) = Sk-j

f

d

V

, 2 n

k------+ w

T

/

Kkj(t) = J exp(iTw)Pkj (dw),

я

обладает представлением

K(t,s) = Y Kkj (t

k^Z

s) exp

i^jn (kt - js)

Поскольку K(t,s) — функция положительно определенного типа, то K(t)=[Kkj (T)]kj є Z может рассматриваться как корреляционная матрица некоторого бесконечномерного (счетномерного) векторного стационарного случайного процесса |(t) ={|k(t),k^Z},

пРичем M|k(t)10 (s) = Kkj (t - s).

Ограниченность средней мощности ПКСП означает, что эта матрица с конечным в нуле следом: trK(0)=k0(0)=P^<ro, а сам ПКСП поэтому обладает представлением

I (t) = Y1 k (t)exp

( „ A

ik — t

V т У

через стационарные компоненты |k(t), kєZ с конечной суммарной дисперсией

Y D = Y M

i k(t)

= YKkk(0) є K(0)

< *.

Если назовем классом PT класс функций положительно определенного типа, удовлетворяющих, кроме ограниченности среднего M|{K(t,t)}<*, еще и условию периодичности относительно совместных сдвигов аргументов, то изложенные выше положения кратко формулируются так: периодическая кор-релированность случайного процесса из класса П и принадлежность его ковариации классу PT эквивалентны.

Для ковариации K|(t,s) и процесса |(t) в зависимости от того, задан ли спектр на всей оси или он сосредоточен лишь на конечном отрезке [0,2п/Т], существуют представления

K | (t,s) = Y exp

l,^Z

i -2^ (lt - ns)

т

x

x J exp[i(t - s)Pin(dw)];

я

I(t) = Yexp ^ it |Jexp(itw)pi (dw)

(4)

(5)

Здесь

M| 1 (A)|n(B) = ph (A n B), trS(Я) = P| < *

10

РИ, 1998, № 4

или

K5 (t,s)

Z exP

k,jeZ

i-Tjr(kt - js)

2 п/T г

x I exp|i(t

0

x

(6)

( 2 П 1 2 п/T

I(t) = ZexP iZLkt І IexP(itw)Zk (dw), (7)

keZ V T J 0

где случайные меры Zk(A) заданы на отрезке [0,2п/ T] и таковы, что M Zk(A) Zj(B) = Gkj (A^B), причем Gkj(dw) = Sk-j (d[k-2n/T+w]) и tr G([0,2n/T]0=P|<0.

Выражения (4) и (5) соответствуют спектру, заданному на оси, а (6) и (7) — на отрезке. Существует переход от одного представления к другому.

Линейная оболочка выбранного множества элементов некоторого пространства — это множество всевозможных их линейных комбинаций с числовыми коэффициентами, а ее замыкание получается присоединением к ней всех пределов таких комбинаций. Понятно, что эти пределы должны существовать и принадлежать рассматриваемому пространству. Для гильбертова пространства в силу его полноты такое замыкание автоматически возможно.

Пусть теперь H|(t) — замыкание линейной оболочки значений стационарных компонентов ПКСП в момент времени t: H|(t)=<|k(t),keZ>.

Размерности всех таких пространств при различных te^ одинаковы. Назовем эту общую размерность рангом ПКСП, что запишется как rank | = dim H|(t) [5]. Если ранг ПКСП равен m, то по аналогии с рангом системы (т.е. множества) векторов понятно, что существует такой m-мерный векторный стационарный случайный процесс n(t)={nj(t),j=1,m}, значения которого в каждый момент времени te^ образуют базис в каждом пространстве H|(t) при том же самом значении t размерности m, и такая постоянная N0xm — матрица со счетным числом строк длины m, что значения процесса |(t) выражаются через значения процесса |(t) при всяком te^ в виде |(t)=cn(t) или в компонентах

m

1 k (t) = Z c kj n j (t),k e Z.

j=1

А это значит, что тогда исходный процесс допускает представление

I(t) = Z Pj (t)П j (t), t e Q , (8)

j=i

где введены новые модулирующие стационарные компоненты процесса функции:

Pj (t) = Z С kj exP

( ~ A

ik — t

v T J

j = 1, m,

являющиеся периодическими периода T функциями. Для ПКСП из класса Пт они таковы, что

m I 1

ZKl (0)тIP, (t)P, (t)dt <«,

},n=1 1 0

Kn(T) — корреляционная матрица векторного n-мерного стационарного процесса n(T).

Понятие периодической нестационарности и периодической коррелированности встречается в ряде работ по преобразованиям сигналов, где они трактовались как стохастические; рассматривались технические устройства их преобразования, содержащие периодические операции, в частности импульсные модуляции (обзор таких работ см. в [6]).

Л.И.Гудзенко [3] впервые рассматривал задачу нахождения статистических оценок характеристик ПКСП: он оценивал их компоненты при помощи биортогонально-сопряженных функционалов.

ПКСП является моделью природного процесса, которая соединяет в одном математическом объекте стохастичность и повторяемость, является логическим развитием и обобщением известных результатов по теории стохастических колебаний.

Прежде всего она развивает теорию колебаний с непрерывным спектром, основывающуюся на базе модели стационарно случайного процесса, в которой учитывается его разложимость на гармоники, распределение мощности по гармоникам [7].

Идея описания стохастических колебаний математической моделью в виде периодически коррелированного случайного процесса была высказана в связи с потребностью найти средства учета не только стохастичности колебаний (имеющейся в стационарной модели), но также их повторяемости. Повторяемость понимается как результат закономерного (в вероятностном смысле) повторения циклов, взаимосвязанной последовательности фаз в развитии исследуемой системы. Поэтому ПКСП служит стохастической моделью простой ритмики, вероятностные характеристики которой являются периодическими функциями. Строгая повторяемость значений вероятностных характеристик будет порождать соответствующую этим колебаниям фазовую структуру и в значениях реализаций случайных процессов. Этот факт находит воплощение и в коррелированности составляющих случайный процесс гармоник. Для стационарных процессов они некоррелированы, что является, как подчеркивает А.Н. Колмогоров [7], автоматическим следствием стационарности процесса. Справедливо и обратное утверждение: из некоррелированности гармонических составляющих следует стационарность случайного процесса, т.е. некоррелированность гармонических составляющих и стационарность процесса равносильны. Тип изменения характеристик процесса связан с типом коррелированности его гармонических составляющих.

Принадлежность процесса к классу ПКСП эквивалентна тому, что коррелированными являются лишь гармоники, отстоящие одна от другой на величину, кратную частоте, соответствующей периоду коррелированности процесса. Такой тип коррелированности выражает наличие явной фазовой структуры в корреляционных связях значений процесса.

РИ, 1998, № 4

11

Поскольку наличие в разложении периодической функции, кроме основной гармоники, еще и “обертонов” не означает, что данное колебание — продукт наложения гармонических колебаний, порожденных осцилляторами всех имеющихся в этом разложении частот, то тем более наличие в процессе гармонических составляющих ничего не говорит о характере изменения его вероятностных характеристик. О закономерности этого изменения свидетельствует тип коррелированности гармоник. Стационарный процесс с некоррелированными гармониками никакого колебательного механизма его порождения описывать не может.

Так называемые “скрытые периодичности” естественно описывать в терминах периодичности вероятностных характеристик случайного процесса и принять за модель “скрытых периодичностей” периодически коррелированный случайный процесс.

При использовании модели ПКСП для исследования нестабильности умножителя частоты основным моментом является определение оценки периода ПКСП. Такая модель предусматривает для измерения угловых частот применение аппаратуры типа “ Вега”, которая содержит в своем составе два СВЧ умножителя частоты, разность фаз выходных сигналов которых переносится на сигнал подставки с частотой 4 кГц. В этом случае отпадает необходимость в оценке периода, так как при проведении измерений реализаций ПКСП на выходе системы средняя частота сигнала подставки не зависит от нестабильностей умножителей частоты и определяется структурной схемой системы “Вега”. Располагая значением периода, производят измерение любой вложенной последовательности отсчетов ПКСП, которые представляют собой исходную статистику для определения нестабильностей умножителя частоты.

При исследованиях этой неравномерности изучались угловые частоты

wt = = wo +^0(t)

и угловое ускорение

w't = ф“ = ф“о (t)

Девиацию угловой модуляции фа(Г) можно представить выражением

ФаСО = ФаС(^ + ШХ

где фас(Г)—детерминированная составляющая, обусловленная структурной схемой умножителей, |(t) — случайная составляющая, для описания которой используется ПКСП.

При экспериментальном определении w0, ф0(Г), ф0'Д) и ф“0Д) использовалась аппаратура “Вега”, стойка НИ204 ее вырабатывала последовательность импульсов, по которой находились оценки указанных характеристик. Период следования этих импульсов измеряется случайным образом соответственно нестабильности умножителей частоты.

В процессе работы умножителей частоты на выходе стойки НИ204 формируется поток импульсов n(t) (рисунок).

При исследовании нестабильности диагностируемых умножителей частоты основной интерес представляет последовательность {©j, j = 1, m }, которая определяется как временной интервал между отсче-

n(t)

©j t

ti ji

Формирование последовательности отсчетов

тами. Таким образом, наблюдается последовательность значений интервалов времени {©j, j = 1,1200 } между равноотстоящими значениями разности фаз

двух умножителей частоты. Число значений j = 1,1200 определяется количеством нулей сигнала подставки на интервале наблюдения 0,28 с, присущим испытуемой системе “Вега”. Частота сигнала подставки выбрана исходя из заданного диапазона изменения измеряемых параметров.

Последовательность мгновенных угловых частот Wj, мгновенных скоростей их изменений Awj и разность фаз СВЧ сигналов умножителей частот к некоторому моменту времени t определяется выражением

2 п

w. =--------

j 600© j 5

2 ПІ© j -© j+1 I

Awj = (wj+1 - wj )600 =-©©-------- , (9)

tj<t

ф t =At Z wj , ф1 = 0.

Выражение (9) представляет собой отсчеты ф“0(1)— девиации ускорения, которая в установившемся режиме состоит из суммы детерминированной компоненты девиации d/dt [ф'аД)] и ПКСП ^“(t) с периодом Т. Так как период ^“(t) совпадает с периодом, свойственным умножителю частоты исследуемой системы “Вега”, то отсчеты фДД), взятые через этот период Т,

|Awj+1200k ,k = 0,ZN - 1| ,

где N — число циклов; j — фиксированное число 1 < j < 1200, представляет собой реализацию стационарного эргодического процесса, по которой можно строить оценки математических ожиданий мгновенных ускорений фазы, состоятельных и более точных с ростом N:

____ 1 N-1

Awj = IN ZAwj + 1200 k

N k = 0

N-1

= ф a (tj ) + j + 1200 k ,

k = 0

(10)

12

РИ, 1998, № 4

j = 1,1200 , Awj — оценки фаД).

Выход из строя одного каскада или узла диагностируемого умножителя приводит к изменению угловых ускорений фазы на соответствующих участках СВЧ сигнала. При частотном анализе полученных последовательностей (10) с использованием дискретного преобразования Фурье согласно выражениям

2 1200___

С" = Ї200 ZAwj exp(-i2njn/m°). (11)

Ап = A/(Re(Cn)2 + (Im(Cn ))2; (12)

фп = Arg [Cn], n = 1,2,...,1200 , (13)

где Re — действительная часть комплексного числа; Im — его мнимая часть; Arg — аргумент, наряду с основной гармоникой, характерной для исправного умножителя частоты, появляются еще и субгармоники.

Использование выражений (11)-( 13) позволяет осуществлять диагностику состояния умножителей частоты. Это реализуется следующим образом. Последовательность Awj всегда имеет период, равный Т, выраженный в дискретных единицах, Т соответствует 1200 отсчетам. Если все функциональные узлы работают исправно, появляется период Тр = T/р, который в отсчетах определяется как 1200/р, где р— число квантов энергии, передаваемых за полный цикл работы умножителя частоты. Для 16-каскадного умножителя частоты, на котором проводились данные исследования, р=16. Таким образом, отсутствие гармоники на частоте w=2п/Т свидетельствует об исправной работе каскадов и умножителя частоты в целом.

При ухудшении параметров сигнала одного из каскадов умножителя в амплитудно- и фазо-частотных спектрах, полученных при анализе (10), появляются субгармоники. Исследование начальных фазовых углов этих субгармоник позволяет не только делать вывод о неисправности одного из каскадов работающего умножителя, но и указывать, какой именно из каскадов вышел из строя.

Проверка предложенного способа диагностики умножителя частоты осуществлена с использованием методов имитационного моделирования, а также с помощью экспериментов.

Литература: 1. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат. 1987. 288 с. 2. Драган Я.П. О спектральных свойствах периодически коррелированных случайных процессов. Отбор и передача информации. 1971. № 30. С.16-24. 3. Гудзенко Л.И. О периодически нестационарных процессах. Радиотехника и электроника. 1959. Т.4. Вып.6. С.1026-1064. 4. Драган Я.П. К обоснованию стохастической ритмики модели// Отбор и передача информации. 1972. №34. С.12-14. 5. Драган Я.П. О гармонизуемости случайных процессов с конечной энергией // Отбор и передача информации. 1984. №69. С.10-17. 6. Papoulis A. Random modulation: a rewier. IEEE Trans, Acoust., Speech and Signal Processing, 1983. ASSSP-31. №1. Р.96-105. 7. КолмогоровA.H. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром. В кн.: Юбилейный сборник АН СССР. Ч. 1. М: Изд-во АН СССР. 1947. С.242-249.

Поступила в редколлегию 16.09.1998 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пресняков И.Н.

Кривенко Станислав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, начальник сектора АО НИИРИ. Научные интересы: радиотехнические системы технической диагностики. Адрес: Украина, 310054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-60.

УДК 621.396.67

РАСЧЕТ РЕЗОНАТОРНО-ЩЕЛЕВОЙ АНТЕННЫ С ПРОВОЛОЧНЫМ ВОЗБУДИТЕЛЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

МАСЛАМАНИ Т. М.

Описывается решение задачи о возбуждении резонаторно-щелевой антенны (РЩА). Приводятся результаты численного расчета частотных зависимостей входного сопротивления и коэффициента стоячей волны РЩА.

1. Постановка и общее решение задачи

Резонаторно-щелевая антенна изображена на рис. 1. Внутренняя область резонатора определяется неравенствами 0 < x < a ,0 < y < b ,0 < z < c , внешняя — полупространством z > c.

Излучающая щель (апертура) находится на торцевой стенке z = c и ее размеры

(a1 - a0) х (b1 - b0). При z = 0 расположена короткозамкнутая стенка. Все стенки идеально прово-

дящие. Возбудитель представляет собой кусочнолинейный излучатель, состоящий из N прямолинейных, произвольно ориентированных проводников круглого сечения с диаметром d << X , соединенных друг с другом. В рассечку одного (n-го) отрезка (или в общем случае нескольких)

включен 5 — источник напряжения V0n . Электрический ток имеет только продольную составляющую и она аксиально симметрична.

Общая схема решения задачи следующая. Используя тензорные функции Грина для прямоугольного резонатора [ 1], определяют полные поля

РИ, 1998, № 4

13