CC BY
16ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ FUNDAMENTAL RESEARCHES
УДК 537.9 DOI: 10.24151/1561-5405-2019-24-4-331-341
Модель аномальной диффузии для описания импеданса литий-ионного аккумулятора
11 12 Р.Т. Сибатов , Е.В. Морозова , Б.М. Костишко , В.В. Светухин ,
2 3
Е.П. Кицюк , А.А. Павлов
1 Ульяновский государственный университет, г.Ульяновск, Россия
2
2НПК «Технологический центр», г. Москва, Россия Институт нанотехнологий микроэлектроники Российской академии наук, г. Москва, Россия
ren_sib@bk.ru
В последние годы в компонентах литий-ионных аккумуляторов (ЛИА) обнаружен аномально-диффузионный характер ионного транспорта. Несмотря на это, отсутствуют микроскопические модели ЛИА, последовательно учитывающие суб- или супердиффузию и перколяцию ионов лития в ЛИА. Все большее распространение получают полуэмпирические модели ЛИА на основе импедансов дробного порядка, что обусловлено аномальной диффузией ионов в неупорядоченной среде перколяционного типа. В работе проведена оценка влияния аномальной диффузии на спектры импеданса в рамках субдиффузионного обобщения электрохимической модели. С помощью субдиффузионных уравнений для электродных частиц и электролита с производными по времени дробного порядка модифицирована электрохимическая модель ЛИА. С применением свойств преобразования Фурье дробно-дифференциальных операторов обоснована эквивалентная схема, обобщающая известные схемы ЛИА. Показано, что наклон прямолинейного участка диаграммы Найквиста на низких частотах не всегда однозначно определяет показатель субдиффузии а и может быть как больше, так и меньше наклона, соответствующего нормальной диффузии. Установлена связь деградации свойств аккумулятора с изменением типа диффузии в компонентах ЛИА.
Ключевые слова: субдиффузия; литий-ионный аккумулятор; импеданс; эквивалентная схема
Финансирование работы: работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 18-51-53018, 18-42-732002) и Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 3.2111.2017/4.6).
© Р.Т. Сибатов, Е.В. Морозова, Б.М. Костишко, В.В. Светухин, Е.П. Кицюк, А.А. Павлов, 2019
Для цитирования: Модель аномальной диффузии для описания импеданса литий-ионного аккумулятора / Р.Т. Сибатов, Е.В. Морозова, Б.М. Костишко и др. // Изв. вузов. Электроника. - 2019. - Т. 24. - № 4. - С. 331-341. DOI: 10.24151/15615405-2019-24-4-331-341
Anomalous Diffusion Model for Description of Lithium-Ion Cell Impedance
R.T. Sibatov1, E.V. Morozova1, B.M. Kostishko1, V. V. Svetukhin2, E.P. Kitsyuk2, A.A. Pavlov3
Ulyanovsk State University, Ulyanovsk, Russia 2SMC «Technological Center», Moscow, Russia
Institute of Nanotechnology of Microelectronics of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
ren_sib@bk.ru
Abstract: Recently, in the components of the lithium-ion accumulators (LIA) an anomalously diffusion behavior of ion transport has been discovered. Currently, the microscopic models LIA, consecutively taking into account sub- or superdiffusion and percolation of lithium ions into LIA, are unavailable. The semi-empirical LIA models, using the fractional-order impedances, based on the impedances of fractional order, which are substantiated by the anomalous diffusion of ions in a percolative disordered medium are becoming popular. In the work an assessment of the influence of anomalous diffusion on the impedance spectra within the framework of sub-diffusion generalization of the electrochemical model has been carried out. Using the subdivision equations with the time derivatives of fractional order, the LIA electrochemical model has been modified. Within the framework of this model, using the Fourier transform of fractional differential operators, an equivalent circuit, generalizing popular LIA circuit models has been derived. It has been shown that the slope of a rectilinear low-frequency part of the Nyquist diagram does not always unambiguously determine the subdivision coefficient a and can be both larger and smaller than the slope corresponding to normal diffusion. It has been stipulated that the degradations of the battery properties is associated with a change of the diffusion type in the LIA components.
Keywords: subdiffusion; lithium-ion battery; impedance; equivalent circuit
For citation: Sibatov R.T., Morozova E.V., Kostishko B.M., Svetukhin V.V., Kitsyuk E.P., Pavlov A.A. Anomalous diffusion model for description of lithium-ion cell impedance. Proc. Univ. Electronics, 2019, vol. 24, no. 4, pp. 331-341. DOI: 10.24151/1561-54052019-24-4-331-341
Funding: the work has been supported by Russian Foundation for Basic Research (project № 18-51-53018, 18-42-732002) and the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project № 3.2111.2017/4.6).
Введение. Моделирование литий-ионных аккумуляторов (ЛИА) осуществляется для оптимизации конструкции и режимов эксплуатации ЛИА, а также для тестирования состояния работающих устройств, т.е. оценки надежности батареи, состояния заряда и
прогноза работоспособности. В настоящее время широко применяются модели ЛИА на основе импедансов дробного порядка [1], что обосновано аномальной диффузией ионов в неупорядоченной среде перколяционного типа. В работе [2] с использованием феноменологической модели учтена аномальная диффузия ионов в катоде на основе LiCoO2 для описания низкочастотной части спектра импеданса, имеющей более крутой наклон, чем предсказывается нормальной диффузией. С помощью субдиффузионного обобщения [3] электрохимического импеданса в [2] показано, что аномально-диффузионная модель хорошо описывает импеданс литий-ионных ячеек LiCoO2 - графит при нормальных рабочих потенциалах и температурах. При этом вклад аномальной диффузии уменьшается с ростом температуры. Экспериментальные исследования с помощью ядерного магнитного резонанса показали, что диффузия ионов и молекулярных комплексов в некоторых средах характеризуется особенностями, описываемыми в рамках теории аномальной диффузии [4-6].
Несмотря на аномально-диффузионный характер транспорта лития в компонентах ЛИА, в настоящее время отсутствуют электрохимические модели ЛИА, последовательно учитывающие суб- или супердиффузию и перколяцию ионов лития в пористых электродах, оксидных пленках, частицах электрода. Цель настоящей работы - оценка влияния аномальной диффузии на спектры импеданса в рамках субдиффузионного обобщения электрохимической модели.
Дробно-дифференциальное уравнение диффузии. Аномальную диффузию часто связывают с наблюдением дробно-степенного закона роста среднего квадрата смещения частиц (А г )\ х t7 . В основе классической диффузии ( у = 1) лежат гауссова ста-
тистика и второй закон Фика. В случае 0 < у < 1 ширина диффузионного пакета увеличивается со временем медленнее (субдиффузия), при у > 1 - быстрее (супердиффузия), чем в нормальном случае. В [7] показано, что математическую основу аномальной автомодельной (самоподобной) диффузии образуют уравнения с производными дробного порядка.
Для описания нелокальной по времени диффузии частиц, т.е. с задержкой, связанной с временами локализации, часто применяется интегро-дифференциальное уравнение вида [7, 8]
где Q(t) - ядро памяти; с(г, t) - концентрация частиц.
Требование автомодельности (самоподобия) функций Грина уравнения (1) приводит к дробно-дифференциальному уравнению диффузии [7]:
(1)
8t 0 t 4 7 Здесь дробная производная Римана - Лиувилля [9] имеет вид
^^ = к а од^ф, о-
(2)
Фундаментальные решения уравнения (2) можно найти в [7]. Дробно-дифференциальное уравнение (2) может быть получено как асимптотика уравнения скачкообразных случайных блужданий с непрерывным временем в случае степенного распределения случайных времен локализации т: Р{т > t} гс t(а > 0). Средний квадрат смещения в данном случае ^Дr2(tгс tа.
Степенное распределение времен локализации может быть получено в рамках модели случайной энергии активации. Пусть частота перескока ионов определяется квазиклассическим выражением W = Лв~Д lkT, а условное распределение времени ожидания, соответствующее заданной энергии активации ДЕ = s, является экспоненциальным: P{T > 11 s} = e~w(s)t. Если энергия активации есть случайная величина с плотностью распределения p(е) = s01e_e/e°, то после усреднения приходим к распределению степенного типа:
ад ад
P{T > t} = J P{T > 11 s}p(s)ds = J exp[o(Ле~dkT )t]d(e^10) = а Г(а)(At)°°,
о 0
где a = kT / s0; s0 - параметр, характеризующий флуктуации энергии активации.
С увеличением степени беспорядка (s0 растет) при выполнении условия kT < s0
транспорт ионов носит субдиффузионный характер.
Уравнение (2) может быть обосновано и в рамках других моделей переноса [10]. В электродах на основе нанопористых и наноструктурированных материалов существует много альтернативных путей «протекания», транспорт ионов часто носит перколяцион-ный характер. Для изучения диффузии в перколяционных кластерах используется гре-бешковая модель [11]. В простейшей из таких моделей [11] порядок дробной производной в уравнении (2) равен a = 1/2. В более сложных версиях, например в иерархической гребешковой модели [12], могут быть получены отличные от 1/2 значения параметра субдиффузии.
Субдиффузионная модель аккумулятора. В одночастичной модели ЛИА предполагается, что электроды состоят из сферических частиц радиусом гр и гп для катода и
анода соответственно. В работе [13] показано, что распределение тока в пористом электроде из-за электрохимической реакции достаточно однородное. В [14] получено аналитическое выражение для импеданса с учетом диффузии внутри твердой фазы, переноса заряда, зарядки двойного слоя, образования анодной пленки, градиентов концентрации внутри электролита и его омического сопротивления. В [15] учтен энергетический баланс в рамках одночастичной модели и описано тепловое поведение ЛИА в процессе гальваностатических режимов заряда-разряда. Отметим, что существующие модификации обсуждаемой модели не учитывают аномально-диффузионного характера транспорта ионов лития в аморфных анодных пленках, в пористых электродах и др.
Коэффициент диффузии - ключевой параметр, характеризующий ионный перенос в электроактивных материалах и электролитических растворах. Электрохимическая импедансная спектроскопия позволяет отделить вклад диффузии от других физико-химических процессов. Часто встречаются ситуации с «неидеальным» диффузионным поведением, когда прямые участки на диаграммах Найквиста имеют наклон, отличающийся от 45° [16]. Такое поведение объясняется в рамках теории импеданса аномальной диффузии [3].
Будем считать, что диффузия лития в сферических частицах описывается субдиффузионным уравнением
at Kj 0Д r2 ar
f
dc( r, t)
dr
0 < a; < 1,
(3)
где индекс } определяет электрод (= р для катода и 7 = п для анода); - концентрация лития внутри частицы; г 0, Щ J - радиальная координата; K; - коэффициент субдиффузии; 0 Б) ^ - оператор дробной производной порядка 1 - а ..
Начальное условие следующее: с ^ = 0) = , граничные условия имеют вид
0 А
1-а,
к
до, (r,t)
ar
_ 0;
0 A
1 -а;
J r=0
к
aOs,( (r,t)
дr
_- J L'
J r=R,
Первое граничное условие означает отсутствие тока в центре частицы, второе - ток равнораспределен между частицами электрода и молярная плотность тока определяется выражением = I / ^^, где I - ток, протекающий через ЛИА; Е - постоянная Фа-
радея; А - площадь активной поверхности электрода.
Плотность тока ионов 3;Ь1 связана с перенапряжением соотношением Батлера -Волмера:
= J0,(1 -)(«)(jexp
0,5F t "
R"n j(t)
exp
0,5F t '
--RF n j(t)
где = с0,5; kj - константа скорости реакции; 0,5 - значение коэффициентов
переноса катодного и анодного зарядов; R и Т - соответственно газовая постоянная и температура; Ху - доли, определяющие состояние заряда:
j
x, _——
j max
0s,j
о
x'm _
j max
cs,j
csurf
xsurf _ j max
cs,j
Здесь cssUJf = (^, t) - концентрация лития вблизи поверхности электродной частицы. Связь фундаментальных решений уравнения субдиффузии с решением уравнения нормальной диффузии может быть получена после представления процесса в виде подчиненного броуновского движения [8] с помощью интеграла
^ х, ^)=|; ^ (х, кat ат-а) * ^) ^х,
где с - решение стандартного уравнения диффузии с единичным коэффициентом; ^ - коэффициент субдиффузии; ^а (t) - односторонняя устойчивая плотность Леви [8].
Преобразование Фурье приводит уравнения (2) к выражению
(7 ш) = КАс(х, ш).
При этом модификация имеданса в случае субдиффузии не сводится к простой замене
(/ш) на (/ш)а. Связано это с тем, что стандартный закон Фика в случае аномальной
диффузии не выполняется. Для переноса, описываемого уравнением (2), справедливо выражение
3 (X, X) = К0 ЯГ ^^ • (4)
ах
В частности, субдиффузионное обобщение импеданса Варбурга для полубесконечной среды имеет вид [3]
г (» ^ (/ш)-(1-а/2).
Для сферических частиц преобразование Фурье уравнения субдиффузии (3) приводит к дифференциальному уравнению
(7Ш) С\ (/'. (!)) ——
1 д( 2дс (г, (й)
—— г ——--
г дг дг
0 < а ^ 1, 0 < г < г. (5)
С помощью стандартной процедуры [17], соответствующих граничных условий и с учетом обобщенного закона Фика для тока (4) из уравнения (5) получаем обобщенное выражение для импеданса, иногда называемого фарадеевским:
п
г.,. = к.,. +-^-
' ^К,,^^[тК,(гшГ2}- 1'
Импеданс г; представляет собой последовательно соединенные сопротивление переноса заряда п и импеданс, связанный с субдиффузией в твердой фазе:
ЯТ т. КГ
Ъ.. =—- к • - ;
FJj s 1 F2KtJcff (1 -kjCSUf )
Далее предполагается, что перенос ионов в электролите осуществляется за счет субдиффузии порядка Р.. Импеданс двойного электрического слоя на поверхности
сферической частицы находится путем линеаризации уравнения переноса с применением преобразования Фурье:
Pjz 1 д(г2дс.ш,(г,а>р
(/cof'cej(r,co) = Kej 2
r дг
дг
г > г. (6)
Решая уравнение (6) [18], приходим к субдиффузионному импедансу двойного слоя (БЬ) на сферической частице:
г RTF 2 K-1
7 =_1_e-d__(7)
1 + г,К-,У2(/Ш)
Выражение (7) можно рассматривать как импеданс системы, состоящей из параллельно соединенных элемента постоянной фазы (CPE) и резистора:
yCPE _ ZDL —
RT
2 j^l/2
F2 K
(id)'
-(l-P j ' 2)
rdl -
rRT
F2 K ,
Импеданс изоляционной пленки на электродных частицах находим согласно процедуре, приведенной в [18], с учетом обобщения закона Фика на случай субдиффузии. Результат представляет собой параллельное соединение сопротивления пленки Я/ и субдиффузионного обобщения «открытого» импеданса Варбурга:
Zf (ш) - C,ff (jd)-(1-Y/2) tanh [8fK/2 (jd)1'2 ],
(8)
где у и Ку - соответственно показатель и коэффициент субдиффузии в анодной пленке.
Отметим, что толщина анодной пленки составляет обычно несколько нанометров и диффузионный предел может не выполняться на таких масштабах. Поэтому справедливость выражения (8) остается под вопросом.
Модификация схемы замещения. В предположении о независимом параллельном протекании тока заряда двойного электрического слоя и тока интеркаляции на поверхности активного материала [17], после компоновки импедансов электродов, сепаратора и токосъемника приходим к эквивалентной схеме, показанной на рис. 1. Схема обобщает основные схемы ЛИА [1, 17] и в целом согласуется с предложенной в работе [17], где введены три элемента постоянной фазы, что обосновывается шероховатостью электродных частиц и фрагментированной структурой анодной пленки. В рассматриваемом случае схема получена в рамках методологически последовательной модели в предположении о субдиффузии в электролите, заполняющем пористую среду, и активных электродных частицах.
Рис. 1. Модель эквивалентной схемы ЛИА на основе субдиффузионного уравнения
для электрохимической одночастичной модели Fig.1. The LIA equivalent circuit model obtained on the basis of the subdiffusion equation for the electrochemical single particle model
Рассмотрим влияние аномальной диффузии в электродах ЛИА и возможность оценки субдифузионных показателей с помощью импедансной спектроскопии. На рис.2 приведены диаграммы Найквиста для четырех пар значений субдиффузионных показателей (ап,ар): (1;1), (1; 0,5), (0,5;0,5) и (0,5;1) и упрощенная схема. Используемые
параметры имеют следующие значения: Ь = 0,12 мкГн; Я = 0,31 Ом; Соь = 0,026 Ф;
СОЬп„ = 0,0066 Ф; Я = 0,12 Ом; Яоь р + Яс, р = 0,11 Ом; Я^ п + Яс, „ = 0,26 Ом.
О 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 Re Z, Ом
Рис. 2. Изменение наклона прямолинейного участка диаграммы Найквиста при вариации показателей субдиффузии в аноде и катоде Fig.2. The change in slope of the rectilinear portion of the Nyquist diagram with variations in the subdiffusion indices in the anode and cathode
Из диаграмм видно, что субдиффузия ионов в катоде и аноде оказывает совместный эффект на наклон годографа импеданса на низких частотах. Таким образом, по наклону этого участка нельзя однозначно определить показатели субдиффузии ап и а
отдельно друг от друга.
Побочные реакции и процессы деградации могут приводить к ряду нежелательных эффектов, связанных с потерей емкости ЛИА. Обычно деградация свойств ЛИА происходит из-за множества процессов и реакций, одновременно протекающих в различных областях ЛИА. Уменьшение емкости ЛИА при деградации часто связывают с процессами, происходящими на отрицательном графитовом электроде в ЛИА. Реакция образования аморфной анодной пленки (SEI) приводит к необратимой потере циклируемого лития, увеличению внутреннего сопротивления ЛИА и уменьшению объема пор, доступного для электролита.
Однако существует еще один фактор, связанный при циклировании ЛИА с увеличением доли активных частиц, в которых преимущественной является аномальная диффузия ионов. Оценить повышение роли аномальной диффузии вследствие разупо-рядочения кристаллической решетки или образования аморфной пленки можно путем введения параллельно соединенных элементов (рис.3, схема). Предположим, что в процессе циклирования увеличивается доля 8 частиц, характеризующихся аномальной диффузией лития в твердой фазе. Выберем в качестве примера катод. На рис.3 для разных значений s приведены диаграммы Найквиста. Параметры модели те же, что и на рис.2, RpL + Rltn = 0,024 Ом, элементы и RDL умножены на в, элементы Z] и
Rdl р - на (l - в) 1. Доле (1 - s) частиц свойственна нормальная диффузия.
Из диаграмм видно, что наклон прямолинейного участка на низких частотах не всегда однозначно определяет показатель субдиффузии а и может быть как больше, так и меньше наклона, соответствующего нормальной диффузии.
-lm Z, Ом
~~7Г V / '/
0,06
0,08
0,04
0,02
0
0,3 Re Z, Ом
Рис. 3. Диаграммы Найквиста для разных значений доли е активных частиц в катоде, характеризующихся субдиффузионным переносом ионов Fig.3. Nyquist diagrams for différent values е of the proportion of active particles in the cathode, characterized by subdiffusion ion transfer. The fraction 1 - е of particles is characterized by normal diffusion
Заключение. Последовательное обобщение электрохимической одночастичной модели на случай аномальной диффузии в активных частицах катода и анода, а также в элетролите, заполняющем поры, и оценка влияния субдиффузии на импеданс ЛИА показали следующее. Субдиффузия в твердой фазе электродов и электролите ухудшает свойства ЛИА. Представленная эквивалентная схема обобщает основные схемы ЛИА. Наклон прямолинейного участка диаграммы Найквиста на низких частотах не всегда однозначно определяет показатель субдиффузии а и может быть как больше, так и меньше наклона, соответствующего нормальной диффузии. Деградация свойств аккумулятора связана и с изменением типа диффузии в компонентах ЛИА.
1. Osaka T., Momma T., Mukoyama D., Nara H. Proposal of novel equivalent circuit for electrochemical impedance analysis of commercially available lithium ion battery //Journal of Power Sources. - 2012. -Vol. 205. - P. 483-486.
2. Erol S., Orazem M.E. The influence of anomalous diffusion on the impedance response of LiCoO2| C batteries //Journal of Power Sources. - 2015. - Vol. 293. - P. 57-64.
3. Bisquert J., Compte A. Theory of the electrochemical impedance of anomalous diffusion // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2001. - Vol. 499. - No. 1. - P. 112-120.
4. Anomalous diffusion of water in [BMIM][TFSI] room-temperature ionic liquid / A.L. Rollet, P. Porion, M. Vaultier et al. // The Journal of Physical Chemistry B. - 2007. - Vol. 111. - No. 41. - P. 11888-11891.
5. Weber H.W., Kimmich R. Anomalous segment diffusion in polymers and NMR relaxation spectroscopy // Macromolecules. - 1993. - Vol. 26. - No. 10. - P. 2597-2606.
6. Hayamizu K., Aihara Y., Price W.S. Correlating the NMR self-diffusion and relaxation measurements with ionic conductivity in polymer electrolytes composed of cross-linked poly (ethylene oxide-propylene oxide) doped with LiN (SO2CF3)2 // The Journal of Chemical Physics. - 2000. - Vol. 113. - No. 11. - P. 4785-4793.
7. Uchaikin V.V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws // Physics-Uspekhi. - 2003. -Vol. 46. - No. 8. - P. 821-849.
8. Sibatov R. T., Uchaikin V. V. Fractional and differential kinetics of transfer of a charge in the unregulated semiconductors // Semiconductors. - 2007. - Vol. 41. - No 3. - P. 335-340.
Литература
9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. -N.Y.-London: Gordon and Breach Science Publishers, 1993. - 976 p.
10. Uchaikin V. V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics, and nanosystems. - Singapore: World Scientific, 2013. - 276 p.
11. Архинчеев В.Е., Баскин Э.М. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяци-онных кластеров // ЖЭТФ. - 1991. - Т. 100. - №. 1. - C. 292-300.
12. Архинчеев В.Е. Случайные блуждания на иерархических фрактальных (гребешковых) структурах // ЖЭТФ. - 1999. - Т. 115. - №. 4. - C. 1285-1296.
13. Newman J.S., Tobias C.W. Theoretical analysis of current distribution in porous electrodes // Journal of The Electrochemical Society. - 1962. - Vol. 109. - No. 12. - P. 1183-1191.
14. Meyers J.P., Doyle M., Darling R.M., Newman J. The impedance response of a porous electrode composed of intercalation particles // Journal of The Electrochemical Society. - 2000. - Vol. 147. - No. 8. -P. 2930-2940.
15. Sikha G., White R.E. Analytical expression for the impedance response of an insertion electrode cell // Journal of the Electrochemical Society. - 2007. - Vol. 154. - No. 1. - P. A43-A54.
16. Huang J. Diffusion impedance of electroactive materials, electrolytic solutions and porous electrodes: Warburg impedance and beyond // Electrochimica Acta. - 2018. - Vol. 281. - P. 170-188.
17. Li S.E., Wang B., Peng H., Hu X. An electrochemistry-based impedance model for lithium-ion batteries // Journal of Power Sources. - 2014. - Vol. 258. - P. 9-18.
18. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical symmetry // Electrochimica acta. - 1995. - Vol. 40. - No. 2. - P. 255-262.
Поступила в редакцию 28.03.2019 г.; после доработки 28.03.2019 г.; принята к публикации 14.05.2019 г.
Сибатов Ренат Тимергалиевич - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования диффузионных процессов Научно-исследовательского технологического института им. С.П. Капицы Ульяновского государственного университета (Россия, 432700, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), ren_sib@bk.ru
Морозова Екатерина Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Ульяновского государственного университета (Россия, 432700, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), kat-valezhanina@yandex.ru
Костишко Борис Михайлович - доктор физико-математических наук, ректор Ульяновского государственного университета (Россия, 432700, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42), contact@ulsu.ru
Светухин Вячеслав Викторович - доктор физико-математических наук, директор НПК «Технологический центр» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шо-кина, 1), svetukhin@mail.ru
Кицюк Евгений Павлович - кандидат физико-математических наук, начальник сектора НПК «Технологический центр» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), Hedgeshot@gmail.com
Павлов Александр Александрович - кандидат технических наук, заместитель директора по научной части Института нанотехнологий и микроэлектроники Российской академии наук (Россия, 119991, г. Москва, Ленинский проспект, 32А), pavlov.a@inme-ras.ru
References
1. Osaka T. et al. Proposal of novel equivalent circuit for electrochemical impedance analysis of commercially available lithium ion battery. Journal of Power Sources, 2012, vol. 205, pp. 483-486.
2. Erol S., Orazem M.E. The influence of anomalous diffusion on the impedance response of LiCoO2| C batteries. Journal of Power Sources, 2015, vol. 293, pp. 57-64.
3. Bisquert J., Compte A. Theory of the electrochemical impedance of anomalous diffusion. Journal of Electroanalytical Chemistry, 2001, vol. 499, no. 1, pp. 112-120.
4. Rollet A.L. et al. Anomalous diffusion of water in [BMIM][TFSI] room-temperature ionic liquid. The Journal of Physical Chemistry B, 2007, vol. 111, no. 41, pp. 11888-11891.
5. Weber H.W., Kimmich R. Anomalous segment diffusion in polymers and NMR relaxation spectroscopy. Macromolecules, 1993, vol. 26, no. 10, pp. 2597-2606.
6. Hayamizu K., Aihara Y., Price W.S. Correlating the NMR self-diffusion and relaxation measurements with ionic conductivity in polymer electrolytes composed of cross-linked poly (ethylene oxide-propylene oxide) doped with LiN (SO2CF3)2. The Journal of Chemical Physics, 2000, vol. 113, no. 11, pp. 4785-4793.
7. Uchaikin V.V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws. Physics-Uspekhi, 2003, vol. 46, no. 8, p. 821-849.
8. Sibatov R.T., Uchaikin V.V. Fractional and differential kinetics of transfer of a charge in the unregulated semiconductors. Semiconductors, 2007, vol. 41, no. 3, pp. 335-340.
9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. New York and London, Gordon and Breach Science Publishers, 1993, 976 p.
10. Uchaikin V.V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics, and nanosystems. World Scientific, 2013, 276 p.
11. Arkhincheev V.E., Baskin E.M. Anomalous diffusion and drift in a comb model of percolation clusters. Sov. Phys. JETP, 1991, vol. 73, no. 1, pp. 161-300.
12. Arkhincheev V.E. Random walk on hierarchical comb structures. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1999, vol. 88, no. 4, pp. 710-715.
13. Newman J.S., Tobias C.W. Theoretical analysis of current distribution in porous electrodes. Journal of the Electrochemical Society, 1962, vol. 109, no. 12, pp. 1183-1191.
14. Meyers J.P. et al. The impedance response of a porous electrode composed of intercalation particles. Journal of The Electrochemical Society, 2000, vol. 147, no. 8, pp. 2930-2940.
15. Sikha G., White R.E. Analytical expression for the impedance response of an insertion electrode cell. Journal of The Electrochemical Society, 2007, vol. 154, no. 1, pp. A43-A54.
16. Huang J. Diffusion impedance of electroactive materials, electrolytic solutions and porous electrodes: Warburg impedance and beyond. Electrochimica Acta, 2018, vol. 281, pp. 170-188.
17. Li S.E. et al. An electrochemistry-based impedance model for lithium-ion batteries. Journal of Power Sources, 2014, vol. 258, pp. 9-18.
18. Jacobsen T., West K. Diffusion impedance in planar, cylindrical and spherical symmetry. Electrochimica acta, 1995, vol. 40, no. 2, pp. 255-262.
Received 28.03.2019; Revised 28.03.2019; Accepted 14.05.2019.
Information about the authors:
Renat T. Sibatov - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Leading Researcher of the Laboratory for Modeling Diffusion Processes, S.P. Kapitsa Technological Research Institute, Ulyanovsk State University (Russia, 432700, Ulyanovsk, Leo Tolstoy, 42), ren_sib@bk.ru
Ekaterina V. Morozova - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof. of the Theoretical Physics Department, Ulyanovsk State University (Russia, 432700, Ulyanovsk, Leo Tolstoy, 42), kat-valezhanina@yandex.ru
Boris M. Kostishko - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Rector, Ulyanovsk State University (Russia, 432700, Ulyanovsk, Leo Tolstoy, 42), contact@ulsu.ru
Vyacheslav V. Svetukhin - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Director of SMC «Technological Center» (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), svetukhin@mail.ru
Evgeny P. Kitsyuk - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Head of SMC «Technological Center» (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), Hedgeshot@gmail.com
Alexander A. Pavlov - Cand. Sci. (Eng.), Deputy director by scientific part, Institute of Nanotechnology of Microelectronics of the Russian Academy of Sciences (Russia, 119991, Moscow, Leninsky Prospect, 32A), pavlov.a@inme-ras.ru
