МОДАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ОЦЕНИВАТЕЛЯ НЕИЗМЕРЯЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА СУДНА Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Вестник АГТУ. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 4

ISSN 2Q72-95Q2 (Print), ISSN 2224-9761 (Online) Vestnik ASTU. Series: Management, computer science and informatics. 2022. N. 4

ISSN 2Q72-95Q2 (Print), ISSN 2224-9761 (Online)

УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, АВТОМАТИЗАЦИЯ

CONTROL, MODELING, AUTOMATION

Научная статья УДК 681.5

https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-4-7-17 ББК БдКРУ1

Модальный синтез оценивателя неизмеряемых переменных состояния для системы стабилизации курса судна

Владимир Васильевич Сахаров, Александр Александрович Чертков* , Ярослав Николаевич Каск

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова, Санкт-Петербург, Россия, chertkov51@mail.ru

Аннотация. Цель работы состоит в применении технологий автоматизации и цифровизации процесса оценивания неизмеряемых переменных состояния судовой системы стабилизации курса при управлении высокотехнологичным программно-аппаратным оборудованием судна в целях интенсификации использования судов на качественно новом уровне, а также повышения надежности и эффективности их эксплуатации. Отмечается, что возможность оценивания вектора переменных состояния в реальном времени требует использования методов и вычислительных алгоритмов стохастической и, в частности, биномиальной фильтрации. Подчеркивается, что для повышения надежности и точности оценивания параметров системы стабилизации курса судна при воздействии возмущений, а также шумов измерений необходимы компромиссные решения, учитывающие требуемые значения быстродействия системы и ее устойчивости. Показано, что цифровизация математических и физических моделей судов, получение адекватных реальным процессам решений, возможность учета широкого спектра воздействий внешней среды и условий плавания позволяют синтезировать судовые управляющие комплексы в классе цифровых предиктивных систем с переходом к управлению безэкипажными объектами. Рассмотрен модальный метод синтеза оценивателя вектора состояния полной размерности (наблюдателя Калмана), характеризующийся тем, что он позволяет получать оценки неизмеряемых переменных состояния судовой системы стабилизации по измеряемым выходу и входу системы путем построения модели состояния расширенной системы «объект - наблюдатель», обеспечивающей устойчивость судна на курсе. Предложены модель и алгоритм оценивания неизмеряемых переменных состояния с использованием алгоритмов биномиальной фильтрации, компьютерных технологий и инструментария моделирования в среде МЛТЬЛБ. Предложенный алгоритм синтеза оценивателя вектора неизмеряемых переменных состояния реализован в виде программы, составленной в кодах МЛТЬЛБ, и демонстрируется на примере расчета двухмерного динамического наблюдателя для неустойчивого объекта управления. Полученные оценки неизмеряемых переменных, а также результаты моделирования динамических реакций системы стабилизации курса соответствуют заданному быстродействию и требуемой устойчивости судового объекта при переходе его в установившееся состояние при новых начальных условиях.

Ключевые слова: алгоритм синтеза, динамический наблюдатель, модальный метод, модель, оцениватель переменных состояния, моделирование, переходные процессы

Для цитирования: Сахаров В. В., Чертков А. А., Каск Я. Н. Модальный синтез оценивателя неизмеряемых переменных состояния для системы стабилизации курса судна // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 4. С. 7-17. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-4-7-17. ББМ БдКРУТ.

© Сахаров В. В., Чертков А. А., Каск Я. Н., 2022

! Original article

H Modal synthesis of estimator of unmeasured state variables

| for ship course stabilization system

к

Vladimir V. Sakharov, Alexandr A. Chertkov' , Yaroslav N. Kask

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, Saint-Petersburg, Russia, chertkov51@mail.ru

| Abstract. The purpose of the study is to apply automation technologies and digitalization in estimating the unmeasurable

§ variables of the ship course stabilization system to control the high-tech software and hardware and, thus, to intensify the g use of ships at a qualitatively new level, as well as to improve the reliability and efficiency of their operation. It has been g stated that estimating the vector of state variables in real time requires to use methods and computational algorithms £ of stochastic and, in particular, binomial filtering. It is emphasized that for improving the reliability and accuracy of esti-§ mating the parameters of the system under perturbations of the roll angle, angular rotation speed or measurement noise | there are required compromise solutions that take into account the required values of the system's speed and stability. It is ^ shown that digitalization of mathematical and physical ship models, producing the adequate decisions, taking into acts count a wide range of environmental influences and navigation conditions allow to synthesize ship control complexes in

3 the class of digital predictive systems with a transition to the control of unmanned objects. There has been considered the g modal method of synthesis of the vector estimator of the state of full dimension (Kalman observer) which can obtain es-& timates of unmeasured state variables of the course stabilization system with measured output and input of the system by g developing a model of the state of the extended system 'object-observer', which ensures stability of the ship on the » course. A model and an algorithm for estimating unmeasured state variables by using binomial filtering algorithms, mall trix laboratory tools and computer modeling technologies in the MATLAB environment are proposed. The proposed alii gorithm for the synthesis of a vector evaluator of unmeasured state variables is implemented in the form of a program a compiled in MATLAB codes and demonstrated in calculating a two-dimensional dynamic observer for an unstable object ^ of control. The obtained estimates of unmeasured variables, as well as the results of modeling the dynamic reactions <3 of the course stabilization system correspond to the specified speed and stability transient processes of the ship object § when transferring it into the steady state under the new initial conditions.

o

3 Keywords: synthesis algorithm, dynamic observer, modal method, model, state variable evaluator, modeling, transits ent processes

^ For citation: Sakharov V. V., Chertkov A. A., Kask Ya. N. Modal synthesis of estimator of unmeasured state variables for ship course stabilization system. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, Computer Science and Informatics. 2022;4:7-17. (In Russ.). https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-4-7-17. EDN BQKPYI.

и Введение метода синтеза, к динамической модели судовой

< Современный подход к решению задач оцени- системы стабилизации курса, что позволит путем

< вания неизмеряемых переменных состояния слож- вариации осуществлять выбор требуемых парамет-§ ных динамических объектов, в том числе судов, ров авторулевых комплексов, обеспечивающих

& базируется на использовании цифровых техноло- устойчивость судна на курсе. С целью преодоления

гий и инструментов построения интеллектуальных этих сложностей предлагается использовать наря-щ систем. Искусственные нейронные сети и аппарат ду с инструментальными математические датчики § нечеткой логики позволяют на качественно новом информации, которые строятся на динамических $ уровне решать проблемы управления динамиче- наблюдателях и оценивателях. В системах реаль-о скими объектами высокой размерности с плохо ного времени наиболее распространены оценки формализуемыми моделями. Однако их примене- типа «фильтрация», которые характерны для оце-ние в задачах синтеза оптимальных систем ограни- нивателей полного порядка, предложенных чивается наличием существенного недостатка, свя- Р. Калманом. Основу этих оценивателей составля-занного со сложностью процесса обучения, требу- ет подсистема в виде идентификатора состояния, ющего большого объема экспериментальных дан- включающего модель объекта управления, входных об объекте управления [1-3]. ными сигналами которой являются то же управляВ концепции интегрированных систем управ- ющее воздействие и сигнал невязки между выхо-ления флотом актуальное значение имеет решение дами объекта и модели, служащий сигналом об-проблемы стабилизации судов на курсе с исполь- ратной связи по ошибке восстановления вектора зованием цифровых технологий. В частности, состояния. За счет его влияния динамика модели в работах [4, 5] предложено применение цифровых приобретает качественно новые свойства, когда технологий, реализуемых на основе модального свободные движения объекта и модели различают-

ся, но вынужденные - асимптотически сходятся. Это позволяет заменить переменные состояния объекта переменными состояния модели, т. е. их оценками. Построенные на этой основе оценивате-ли обладают свойствами динамической системы и называются динамическими компенсаторами. Необходимыми условиями реализации алгоритма оценивания вектора состояния объекта и возмущений, а также восстановления неизмеряемых переменных состояния, согласно [6-10], служат текущие измерения его входов и выходов и использование параметрической информации о модели объекта. Актуальность проблемы синтеза оценивате-лей состояния широко освещена в российской [11, 12] и зарубежной [13, 14] литературе. Однако на практике, при разработке алгоритма синтеза оценивателей, необходимо учитывать специфику динамических свойств конкретных объектов [15].

Методы и материалы

Рассмотрим в общем случае алгоритм синтеза оценивателя и покажем его реализацию на конкретном объекте. С этой целью выбираем модель управляемого объекта в виде системы матричных уравнений, заданных в форме пространства состояний:

|X (t ) = AX (t ) + BU (t ), IY (t) = CX (t) + DU (t ),

(1)

для начальных условий: Х(^) = Х0, t > Ь. Здесь Х(0еЯп, и^еЯ1" и У(г)еЯ1 - векторы состояния, управления и выхода соответственно; А, В, С, Б -матрицы состояния, управления, выхода и связи вход - выход линейной стационарной системы соответственно.

Процесс синтеза алгоритма оценивания переменных состояния этого объекта заключается в формировании такой структуры наблюдателя, переменные состояния которого могли бы служить оценками переменных состояния объекта управления.

Предположим, что Б = 0. Тогда алгоритм оценки переменных состояния Х(1) по измеряемым переменным управления и(0 и выходным переменным У^), описываемый уравнениями

I X (t ) = AX (t ) + BU (t ) + N [Y (t ) - Y (t )],

lY (t ) = cX (t ),

(2)

где N = [пь п2, ..., пп] - вектор коэффициентов усиления наблюдателя, будет отображать работу наблюдателя в составе обобщенной системы управления, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Структура системы управления объектом с наблюдателем: X(t) е Rn - вектор переменных состояния наблюдателя, служащий оценкой состояния объекта; N - (n • l) - вектор коэффициентов усиления (настройки) наблюдателя, подлежащих определению; Y(t) = CX(t) - вектор выхода наблюдателя, служащий оценкой вектора выхода объекта; матрица D = 0; К = [fe1, k2, • • •> kn]

Fig. 1. Structure of the object control system with an observer: X(t) е Rn - a vector of the observer's state variables, which serves as an estimate of the state of an object; N - (n • l) - vector of gains (setting) of the observer under determination; Y(t) = CX(t) - the observer's output vector, which serves as an estimate of the object's output vector; matrix D = 0;

К = [ki, k2, •.., kn]

.

V

О h

a

pr

pr

с o.

i

в

&

&

я я я rt

п

я

ц

я

ч «

я я

5

6

я

&

S

п

я я

Представленный моделью (2) регулятор является уже динамической системой, порядок которой совпадает с порядком объекта управления. Такой регулятор называют динамическим компенсатором.

Объединив уравнения (2), получим:

1 (Г) = АХ (Г) - ЫСХ (Г) + ви (Г) + ЫСХ (Г) = = (А - ЫС)X (Г) + Ви (Г) + ЫСХ (Г).

Если в уравнении (2) заменить выход У(Г) = СХ(г), то динамическую модель наблюдателя можно записать в следующем виде:

| X (t) = HX (t) + BU (t) + NCX (t),

\y (t) = CX (t),

(3)

где Н = (А - ЫС) - матрица динамических свойств наблюдателя, Б = 0.

Поскольку наблюдатель (оцениватель) строят, как правило, в системе модального управления объектом (см. рис. 1), то вектор управления и(Г) принимает вид

U(t) = -KX(t), K = [kl, k2,..., kn],

(4)

« я

К t* и о rt W

<d ш

0

1 &

Ш Ш

x О

где К - вектор коэффициентов усиления цепи обратной связи в системе модального управления.

Для расчета численных значений коэффициентов к1, к2, ..., кп находят характеристический многочлен модального регулятора с собственными числами матрицы А = А - ВК и приравнивают его коэффициенты при степенях оператора s к коэффициентам при тех же степенях s стандартного полинома того же порядка, но с желаемым распределением корней.

Выбором элементов матрицы N наблюдателю также можно придать любое желаемое распределение корней (собственных чисел матрицы Н) характеристического уравнения

D(s) = det [sI - H],

(5)

где I =

1 0 0 1

- единичная матрица, при

0 0 ... 1

котором процесс оценивания (3) асимптотически

устойчив и £ = Х — Х ^0, т. е. при Г ^ да оценочные переменные состояния наблюдателя стремятся к переменным состояния объекта при любых начальных значениях Х0, Х0.

Для выбора распределения корней характеристического уравнения наблюдателя обычно пользуются одной из стандартных форм, например

где а, I = 0, 1, ..., п - 1 - коэффициенты стандартного полинома, выбранного в качестве желаемой формы характеристического полинома Б(У) замкнутой системы.

При этом так же, как и при расчете модального регулятора, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях оператора s в уравнениях (5) и (6) и находят выражения для определения элементов матрицы N наблюдателя через параметр ю стандартных форм.

Параметры наблюдателя и параметры регулятора могут рассчитываться независимо. Понятно, что процессы в наблюдателе должны протекать более быстро, чем переходный процесс в системе. Эмпирически установлено [5], что наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2-4 раза превышающим быстродействие системы.

С учетом полученных оценок формируется расширенная (композитная) модель динамической системы (объект, наблюдатель) управления. Полученный с ее помощью вектор состояния системы содержит численные значения как самих переменных состояния, так и их оценок.

При объединении двух независимых систем (объекта и наблюдателя), описываемых уравнениями состояния (1) и (3) с учетом (4), матрицы

А, В, С обобщенной (композитной) системы имеют блочную структуру (см. [3]):

C = [C -C]. (7)

Для восстановления вектора состояния в расширенной системе (7) размерности п = п1 + п2 предложен наблюдатель следующей структуры:

\ Х (Г) = АХ (О - ВКХ (Г) + N (У (Г) - У (Г)), \у(г) = СХ(Г), Х(О = Х0, Г>г0,

где Х (Г) = [ Х (Г) Х (г)] е Яп, У (Г) = [У (Г) У (Г )]е Я1 -векторы, служащие оценками соответственно состояния и выхода расширенной системы «объект -наблюдатель».

Покажем реализацию представленного выше алгоритма синтеза на примере упрощенной модели стабилизации судна для оценивания его переменных состояния.

Пусть упрощенная модель объекта управления (судна) задана в пространстве состояний матрицами

" А - BK ' ' в"

А = ; в =

NC H-BK в

А =

' 0 1" ' 0"

; в =

-2 3_ 1

; C = [1 0]; D = 0.

sn + an-1sn-1+ ... + a0 =

0,

(6)

Для анализа устойчивости заданной модели судна получим с применением инструментария среды МЛТЬЛБ собственные числа матрицы А:

<< eig(A) ans = 1 2

Поскольку собственные числа матрицы А положительны, объект управления будет неустойчивым. Поэтому синтез оценивателя для неустойчивого объекта можно осуществить только решив задачу модального управления объектом, т. е. обеспечения заданного расположения корней характеристического многочлена. Отсюда следует,

что все компоненты вектора состояния X могут быть измерены.

Матрица свободного движения замкнутой системы находится в виде

А = А - ВК.

С учетом размерности объекта управления п = 2 характеристический многочлен модального регулятора с собственными числами матрицы А будет иметь вид

о <

О h

О)

Я я*

о <

K

s

det(si2 - A) = det(si2 - A + BK) = det

= det

s -1 " + " о о " л

2 s - 3 _ kl k2 2

v L

1 о о 1

о 1

-2 3

[ kl k2

= s + (k2 - 3)s + kl + 2,

(8)

в h

где 5 - операторная переменная; кх, к2 - коэффициенты усиления цепи обратной связи по переменным хх и х2 соответственно.

Для выбора желаемого распределения корней характеристического уравнения модального регулятора воспользуемся одной из стандартных форм, например квадратным двучленом вида

D(s) = (Ts + l)n,

(9)

' ^.жел Z 3n

где п = 2, Т-

Задавшись заданным быстродействием системы, например ¿р.жел = 0,3 с, рассчитываем параметр Т = 0,3 / (3 • 2) = 0,05 с. После приведения стандартной формы к каноническому виду получим

ОД) = 52 + 405 + 400.

Для расчета коэффициентов усиления кх, к2 модального регулятора приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях оператора 5 в уравнениях (8) и (9) и находят выражения для их численной оценки:

(к2 - 3) = 40; (кх + 2) = 400,

отсюда

kl = 398; k2 = 43.

При известных значениях вектора коэффициентов K найдем, используя инструментарий MATLAB, собственные числа матрицы A замкнутой системы управления заданным объектом

<< eig(A_)

ans =

-20

-20

Получили отрицательные значения собственных чисел, что свидетельствует об устойчивости замкнутой модальным регулятором системы управления заданным объектом. Следовательно, можно приступить к синтезу наблюдателя (оценивателя) вектора неизмеряемых переменных состояния.

Для расчета наблюдателя нужно найти матрицу Н = (А - N0) динамических свойств наблюдателя:

H =

" о 1" nl

_-2 3_ n2

[1 о] =

" о 1" " nl о" -п1 1

_-2 3_ n2 о -2 - n2 3

det( si2 - H ) = det

"1 о" -nl 1 л

s -

v о 1 -2 - n2 3

= det

s + nl 2 + n2

-1 s - 3

(Ю)

= s2 + (nl - 3)s - 3nl + n2 + 2.

с

e

o.

i

С учетом размерности объекта управления п = 2 характеристический многочлен динамического наблюдателя с собственными числами матрицы Н будет иметь вид

в

Для выбора желаемого распределения корней характеристического уравнения наблюдателя воспользуемся одной из стандартных форм, например тем же квадратным двучленом вида

ОД) = (Т5 + 1)п,

где п = 2; Т = ^ел / 3п.

Поскольку наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2-4 раза превышающим быстродействие системы, задаемся для него желаемым значением ¿р.жел = 0,15 с. Тогда параметр

&

&

я я я

rt

п

я

ц

я

Тп = 0,15 / (3 • 2) = 0,025 с. После приведения стандартной формы к каноническому виду получим

Dn(s) = s2 + 80s + 1 600.

(11)

При этом так же, как и при расчете модального регулятора, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях оператора s в уравнениях

(10) и (11) и находят выражения для определения элементов матрицы N наблюдателя:

(п1 - 3) = 80; (п2 - 3п1 + 2) = 1 600,

отсюда П1 = 83; П2 = 3п - 2 + 1 600 = 1 847.

На основании известного вектора коэффициентов наблюдателя N = [83; 1 847] найдем матрицу Н динамического наблюдателя (оценивателя):

ч «

я я

" 0 1" " 83 " [1 0] = " 0 1" " 83 0" " -83 1"

H = A - NC = - - =

-2 3_ 1 847_ -2 3_ 1847 0_ -1849 3_

Сформируем на основании (7) композитные (составные) матрицы расширенной системы как совокупности двух подсистем - объекта с модаль-

ным регулятором и динамического наблюдателя (оценивателя):

s &

я

&

S

п

я я

" 0 1 0 0 " "0"

-2 3 -398 -43 1

Ae = ; Be =

83 0 -83 1 0

1847 0 -2 247 -40 _ 1

>я я

К ^

и о rt И

<d ш

0

1 &

ET

ш ш

о

Найдем собственные числа матрицы Ae и покажем, что обобщенная модель системы модального управления объектом с наблюдателем будет устойчивой. С этой целью, используя набор команд MATLAB

Ae = [0 1 0 0; -2 3 -398 -43; 83 0 -83 1;

1847 0 -2 247 -40];

eig(Ae)

можно получить следующие результаты их численных оценок: ans =

-40.0000 + 0.0000i -40.0000 - 0.0000i -20.0000 + 0.0000i -20.0000 - 0.0000i

По отрицательным значениям вещественных и нулевым значениям мнимых частей собственных чисел можно судить о том, что синтезированная система модального управления объектом с наблюдателем (оценивателем) будет обладать высокой астатической устойчивостью.

Зададимся начальными условиями X(0) для переменных x1(t) и x2(t), определяющими заданную траекторию свободного движения (в отсутствие входного воздействия g(t)) наблюдаемого объекта

X(0) = [0.05, 0.2]',

а также начальными условиями X (0) для оценок переменных X1(t) и X2(t), определяющими траекторию свободного движения расширенной (с наблюдателем) системы

C = [1 0 -1 0]. (12)

X (0) = [0 , 0].

Для получения численных значений вектора Xe = [Xj(i), x2(t), x1(t), X2(t)] неизмеряемых переменных состояния при измеряемом векторе выхода Y и известном входе G системы и моделирования реакции динамической системы на произвольные входы воспользуемся функцией lsim из инструментария MATLAB, полный синтаксис которой имеет вид

[Y, X] = lsim (SYS, G, T, X0).

Данная функция, наряду с вектором выхода Y возвращает матрицу X, число строк в которой определяется размерностью массива временных отсчетов T, а число столбцов - числом переменных состояния, описывающих траекторию движения системы.

Результаты

Фрагмент программы, которая составлена в кодах среды MATLAB, позволяющей выполнить расчет и моделирование системы (12), выполнено с применением инструментария матричной лаборатории:

%Файл "cheest4722.m"

A = [0 1;-2 3]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = 0;

k1 = 398; k2 = 43; % Коэффициенты усиления модального регулятора

K = [k1 k2];

Ap = A-B*K_

% Dn=sA2+80*s+1600

n1 = 83; n2 = 1847; % Коэффициенты усиления наблюдателя (оценивателя)

N = [n1;n2]

H = A-N*C % Матрица динамического наблюдателя (оценивателя) eig(H_) t = 0:0.01:1;

g = zeros(size(t)); % Входное воздействие системы % Составные матрицы расширенной системы (объект - наблюдатель)

Ae = [A,-B*K;N*C,H-B*K] eig(Ae)

Be = [B;B]; Ce = [C -C];

% Начальные условия для переменных состояния x0_= [0,0]'; x0 = [0.05,0.2]'; xe0 = [x0; x0_];

% Моделирование временной реакции на произвольные входы

[y,xe] = lsim(Ae, Be, Ce, 0, u, t, xe0) % График кривой реакции выхода системы на произвольные входы plot(t, y, 'b'),grid figure

% Графики кривых реакции системы по каждой переменной состояния и ее оценки plot(t,xe (:,1),'-.b', t, xe(:,3),'b'),grid figure

plot(t,xe(:, 2), '-.m', t, xe(:,4),'m'),grid Согласно синтаксису приведенной выше функции lsim, ниже выведены численные оценки вектора выхода Ye, а также вектора Xe, элементы которого в виде четырех столбцов отражают численные значения переменных состояния x1(t) и x2(t) в порядке их нумерации, а затем в том же порядке значения их оценок.

>> estvar1 У =

0.0500 0.0204 0.0049 -0.0026 -0.0057 -0.0064 -0.0061 -0.0053 -0.0043 -0.0034 -0.0027 -0.0020

-о.ооо3 -о.ооо2 -о.ооо2 -о.ооог -о.ооог -о.ооог -о.оооо -о.оооо -о.оооо

xe =

о.о5оо о.о513 о.о497 о.о449 о.о377 о.о292 о.о2о5 о.о122 о.оо49 -о.оо13 -о.оо62 -о.оо99 -о.о125 -о.о141 -о.о15о -о.о153 -о.о152

о.2ооо о.ою6 -о.3275 -о.62оо -о.8о36 -о.8766 -о.8613 -о.7859 -о.6762 -о.5522 -о.428о -о.3127 -о.2114 -о.126о -о.о569 -о.оо29 о.о376

о

о.о3о9 о.о448 о.о475 о.о434 о.о357 о.о266 о.о175 о.оо92 о.оо22 -о.оо35 -о.оо78 -о.опо -о.о13о -о.о142 -о.о147 -о.о147

-о.ооо1 -о.ооо1 -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо

о.оо12 о.оою о.ооо9 о.ооо7 о.ооо6 о.ооо5 о.ооо4 о.ооо4 о.ооо3 о.ооо3 о.ооо2 о.ооо2 о.ооо1 о.ооо1

-о.ооо1 -о.ооо1 -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо -о.оооо

о

о.4386 о.3361 о.о774

-о.1668

-о.3362 -о.423о -о.4412 -о.41о9 -о.3514 -о.2781 -о.2о19 -о.13о2 -о.о67о -о.о142 о.о278 о.о595

о.оо12 о.оою о.ооо9 о.ооо7 о.ооо6 о.ооо5 о.ооо4 о.ооо4 о.ооо3 о.ооо3 о.ооо2 о.ооо2 о.ооо1 о.ооо1

-о.оон -о.ооо8 -о.ооо6 -о.ооо4

На рис. 2 приведены графики траекторий свободного движения (динамики) системы стабилизации судна, определяемые различными начальными условиями для переменной состояния хх(?) (пунктирная кривая) и ее оценки Хх(?) (сплошная кривая), а на рис. 3 - аналогичные графики, но по переменной состояния х2(0; на рис. 4 приведен график реакции выхода Уе(г) расширенной на изменившиеся начальные условия.

о h

Я

рг

рг

с о.

i

в

У

0.06 0.05

s

1 0.04 Я о о

О 0.03 к

53 g 0.02

Э

о

§ 0.01 S сп

о

-0.01 -0.02

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Время, t

Рис. 2. Заданная (пунктирная) и фактическая (непрерывная) кривые динамики системы по первой переменной состояния

Fig. 2. Target (dashed) and actual (continuous) curves of system dynamics in terms of the first state variable

A / vJ^ YlA(l)

H u

u rt

t\ u

\\ \

\ \

Рис. 3. Заданная (пунктирная) и фактическая (непрерывная) кривые динамики системы по второй переменной состояния

Fig. 3. Target (dashed) and actual (continuous) curves of system dynamics in terms of the second state variable

Рис. 4. Реакция выхода Ye системы управления с оценивателем на произвольные входы Fig. 4. Response of the output Ye of a control system with an estimator to arbitrary inputs

Обсуждение

Как видно из представленных выше результатов расчета, получены численные значения неиз-меряемых переменных Хх(0 и х2(Г) состояния объекта управления и их оценок Х1(Г), Х2(Г). Таким образом, поставленная цель успешно достигнута.

Кроме того, результаты моделирования реакции (динамики) судовой системы стабилизации с оцени-вателем переменных ее состояния (см. рис. 2 и 3) на различные начальные условия для каждой переменной и ее оценки указывают на асимптотическую сходимость траекторий, описываемых этими переменными и их оценками по завершении переходных процессов.

Как следует также из графика динамики обобщенной системы стабилизации судна (см. рис. 4), время переходного процесса в ней не превышает 0,3 с, что соответствует заданному значению ¿р.жел = 0,3 с. Полученные графики отражают специфику объекта, из которой следует, что время переходного процесса зависит не только от численных значений параметров модели, но и от правильного выбора собственных чисел матриц модального регулятора и динамического наблюдателя (оценивателя) значений переменных состояния.

Заключение

В работе приводятся результаты исследований авторов, связанные с построением алгоритма наблюдателя (оценивателя) полной размерности с использованием модели расширенной системы «объект - наблюдатель», что позволяет получить оценки векторов неизмеряемых переменных состояния по доступному измерениям вектору выхода, в качестве которого может быть принята, например, угловая скорости крена. Корректность предлагаемых технических решений демонстрируется на примерах расчета оптимальных траекторий системы

стабилизации судна с динамическим наблюдателем.

Модальный метод синтеза наблюдателя и алгоритм его реализации в приложении к модели судна с заданной структурой позволяют получить простые решения для управления свободными составляющими движения, однозначно определяемыми по совокупности собственных значений матрицы замкнутой системы. Для линейной модели наблюдателя устойчивость гарантируется обоснованным выбором характеристического многочлена второго порядка, корни которого обеспечивают наблюдателю быстродействие в два раза выше быстродействия системы. Метод и алгоритм позволяют синтезировать наблюдатели с требуемым спектром для полного восстановления вектора состояния при любых способах перекладки руля.

Выбор структуры расширенной системы наблюдателя путем введения векторов Х1(Г) и х2(0 позволяет предложить способ мониторинга датчиков угловой скорости и угла дрейфа, являющихся переменными состояния объекта. Наблюдатели фактически являются математическими датчиками информации и могут использоваться как для восстановления неизмеряемых переменных состояния, так и других переменных, измерение которых в судовых условиях затруднено.

Предложенный алгоритм численной оценки вектора состояний средствами математического программирования может эффективно применяться на судах для управления технологическими процессами, плохо формализуемыми в математической форме. Алгоритмы оптимизации судовых объектов и систем средствами математического программирования содержат модели динамических объектов в форме уравнений в пространстве состояний, которые образуют систему ограничений на каждом шаге итерационного процесса.

Список источников

1. Tomera M. Nonlinear controller design of a ship autopilot // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2010. V. 20. Iss. 2. P. 271-280. DOI: 10.2478/v10006-010-0020-8.

2. Дерябин В. В. Использование нейронных сетей для стабилизации судна на траектории // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2018. Т. 10. № 4. С. 665-678. DOI: 10.21821/2309-5180-2018-10-4-665-678.

3. Лукашкин Г. Е. Построение системы автономного адаптивного управления судном на основе нечеткой логики // Транспортное дело России. 2019. № 5. С. 177-180.

4. Сахаров В. В., Чертков А. А., Сабуров С. В. Алгоритмизация и синтез систем управления судовыми динамическими объектами средствами математического программирования // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2016. № 3 (37). С. 201-211. DOI: 10.21821/2309-5180-2016-7-3-201-211.

5. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев C. В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

о h

я я*

я*

с

e

о.

i

в

6. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

7. Witkowska A., Smierzchalski R. Designing a ship course controller by applying the adaptive backstepping method // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2012. V. 22. Iss. 4. P. 985-997. DOI: 10.2478/v10006-012-0073-y.

8. Сахаров В. В., Шергина О. В., Чертков А. А. Синтез оптимального оценивателя для системы управления судовым динамическим объектом // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2013. № 1 (20). С. 26-31.

9. Чертков А. А. Синтез наблюдателя на основе фильтра Калмана для системы управления динамическим объектом // Информационные технологии и системы: управление, экономика, транспорт, право. 2014. № 1 (12). С. 66-71.

10. Никитин Е. Д., Тимочкина Т. В., Миклуш А., Яготинцева Н. В. Анализ и структура систем динамического позиционирования судов // Информационные технологии и системы: управление, экономика, транспорт, право. 2017. № 3 (21). С. 85-90.

&

&

я я я rt

п

я s я

11. Гофман А. Д. Динамика корабля. СПб.: Изд-во СПГУВК, 2003. 150 с.

12. Жеребцов В. М., Клепач Д. П. Системы автоматического управления движением судна // Новая наука: современное состояние и пути развития. 2016. № 11-2. С. 159-162.

13. Powell J. Da., Franklin G. F. Feedback Control of Dynamic Systems. Pearson, 2014. 880 p.

14. Dhaliwal S. S. State Estimation and Parameter Identi-

fication of Continuous-time Nonlinear Systems: Master thesis. Ontario, Canada: Queen's University Kingston, 2011. 83 p.

15. Чертков А. А., Загрединов В. А., Михайлов Ю. Б. Алгоритм наблюдателя системы управления курсом судна для оценки возмущений и шумов измерений // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2016. Т. 8. № 6 (40). С. 221-227. DOI: 10.21821/2309-5180-2016-8-6-221 -227.

References

ч «

я я

И

<d <d

1. Tomera M. Nonlinear controller design of a ship autopilot. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2010, vol. 20, iss. 2, pp. 271-280. DOI: 10.2478/v10006-010-0020-8.

2. Deriabin V. V. Ispol'zovanie neironnykh setei dlia stabi-lizatsii sudna na traektorii [Using neural networks to stabilize vessel on trajectory]. Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2018, vol. 10, no. 4, pp. 665-678. DOI: 10.21821/2309-51802018-10-4-665-678.

3. Lukashkin G. E. Postroenie sistemy avtonomnogo adaptivnogo upravleniia sudnom na osnove nechetkoi logiki [Constructing autonomous ship adaptive control system based on fuzzy logic]. Transportnoe delo Rossii, 2019, no. 5, pp. 177-180.

4. Sakharov V. V., Chertkov A. A., Saburov S. V. Algo-ritmizatsiia i sintez sistem upravleniia sudovymi dinamich-eskimi ob"ektami sredstvami matematicheskogo programmi-rovaniia [Algorithmization and synthesis of control systems for ship dynamic objects by means of mathematical programming]. Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2016, no. 3 (37), pp. 201-211. DOI: 10.21821/2309-51802016-7-3-201-211.

5. Veremei E. I., Korchanov V. M., Korovkin M. V., Po-gozhev C. V. Komp'iuternoe modelirovanie sistem upravleniia dvizheniem morskikh podvizhnykh ob"ektov [Computer modeling of motion control systems for marine moving objects]. Saint-Petersburg, Izd-vo NII Khimii SPbGU, 2002. 370 p.

6. Andrievskii B. R., Fradkov A. L. Izbrannye glavy te-orii avtomaticheskogo upravleniia s primerami na iazyke MATLAB [Selected chapters of theory of automatic control with examples in MATLAB language]. Saint-Petersburg, Nauka Publ., 2000. 475 p.

7. Witkowska A., Smierzchalski R. Designing a ship course controller by applying the adaptive backstepping method. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2012, vol. 22, iss. 4, pp. 985-997. DOI:

10.2478/v10006-012-0073-y.

8. Sakharov V. V., Shergina O. V., Chertkov A. A. Sintez optimal'nogo otsenivatelia dlia sistemy upravleniia su-dovym dinamicheskim ob"ektom [Synthesis of optimal estimator for control system of ship dynamic object]. Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2013, no. 1 (20), pp. 26-31.

9. Chertkov A. A. Sintez nabliudatelia na osnove fil'tra Kalmana dlia sistemy upravleniia dinamicheskim ob"ektom [Synthesis of observer based on Kalman filter for control system of dynamic object]. Informatsionnye tekhnologii i sistemy: upravlenie, ekonomika, transport, pravo, 2014, no. 1 (12), pp. 66-71.

10. Nikitin E. D., Timochkina T. V., Miklush A., Iagotintse-va N. V. Analiz i struktura sistem dinamicheskogo pozitsion-irovaniia sudov [Analysis and structure of ship dynamic positioning systems]. Informatsionnye tekhnologii i sistemy: upravlenie, ekonomika, transport, pravo, 2017, no. 3 (21), pp. 85-90.

11. Gofman A. D. Dinamika korablia [Ship dynamics]. Saint-Petersburg, Izd-vo SPGUVK, 2003. 150 p.

12. Zherebtsov V. M., Klepach D. P. Sistemy avtomaticheskogo upravleniia dvizheniem sudna [Systems of automatic control of vessel movement]. Novaia nauka: sovremennoe sostoianie i puti razvitiia, 2016, no. 11-2, pp. 159-162.

13. Powell J. Da., Franklin G. F. Feedback Control of Dynamic Systems. Pearson, 2014. 880 p.

14. Dhaliwal S. S. State Estimation and Parameter Identification of Continuous-time Nonlinear Systems: Master thesis. Ontario, Canada, Queen's University Kingston, 2011. 83 p.

15. Chertkov A. A., Zagredinov V. A., Mikhailov Iu. B. Algoritm nabliudatelia sistemy upravleniia kursom sudna dlia otsenki vozmushchenii i shumov izmerenii [Algorithm of observer of ship heading control system for estimating disturbances and measurement noises]. Vestnik Gosudar-stvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2016, vol. 8, no. 6 (40), pp. 221-227. DOI: 10.21821/2309-5180-2016-8-6-221-227.

Статья поступила в редакцию 29.08.2022; одобрена после рецензирования 23.09.2022; принята к публикации 11.10.2022 The article is submitted 29.08.2022; approved after reviewing 23.09.2022; accepted for publication 11.10.2022

Информация об авторах / Information about the authors

Владимир Васильевич Сахаров - доктор технических наук, профессор; заведующий кафедрой электротехники и автоматики; Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова; saharov_@rambler.ru

Vladimir V. Sakharov - Doctor of Sciences in Technology, Professor; Head of the Department of Electrical Engineering and Automation; Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; saharov_@rambler.ru

Александр Александрович Чертков - доктор технических наук, доцент; профессор кафедры электротехники и автоматики; Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова; с1геГ:коу51 @шаП.ги

Ярослав Николаевич Каск - кандидат технических наук; доцент кафедры электротехники и автоматики; Государств енный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова; rgam2010@yandex.ru

Alexandr A. Chertkov - Doctor of Sciences in Technology, Assistant Professor; Professor of the Department of Electrical Engineering and Automation; Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; chertkov51@mail.ru

Yaroslav N. Kask - Candidate of Sciences in Technology; Assistant Professor of the Department of Electrical Engineering and Automation; Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; rgam2010@yandex.ru