Модальная и интегральная формы математических моделей газотурбинных двигателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518.54

В.Ф.Миргород, В.М. Грудинкин ОАО «Элемент», г. Одесса, Украина

МОДАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Предложена модальная форма математических моделей динамики газотурбинных двигателей, отличающаяся аппроксимацией сопровождающей матрицы траекторий собственных значений характеристического полинома. Исследованы свойства и установлены преимущества модальной формы. Рассмотрено обобщение математических моделей в виде интегральных уравнений Вольтерра второго рода, имеющих большую общность и преимущества в численной реализации по сравнению с известными дифференциальными моделями. Выполнена идентификация предложенных математических моделей для одного из типов двигателей.

Математическая модель, компьютерная реализация, газотурбинный двигатель.

Введение

Газотурбинный двигатель (ГТД) является одним из наиболее совершенных и наиболее сложных объектов энергетики, в котором рационально объединено взаимодействие термогазодинамических процессов для достижения высоких технико-экономических и экологических показателей. Информационным обеспечением всех этапов жизненного цикла ГТД является его математическое моделирование. Компьютерно реализованные математические модели (ММ) высокого уровня сопровождают двигатель в течение его жизненного цикла, представляя собой его информационный портрет. Поэтому проблема усовершенствования математических моделей в направлении повышения уровня адекватности с допустимым уровнем сложности имеет важное научное и прикладное значение.

1. Постановка проблемы и цель исследования

Применяемые модели ГТД имеют значительное разнообразие и отличаются различными областями применения [1]. Среди таких моделей самостоятельное значение и существенную важность имеют имитационные ММ статики и динамики, для которых ГТД представляется единым объектом с совокупностью внешних воздействий и выходных координат. Имитационные модели ГТД в настоящее время являются необходимой составной частью ТЗ на ЭСУ профиля БАЛЕС и используются в стендах-имитаторах, позволяя на этапе проектирования совершенствовать алгоритмы контроля состояния, управления

режимами и диагностики. Как правило, имитационные ММ представляют собой совокупность нелинейной статической и кусочно-линейной динамической моделей (КЛДМ) [1,2], таким образом, в каждой точке рабочего режима ММ является линейной. Успешность применения КЛДМ обусловила разработку ряда их модификаций, среди которых наиболее важными представляются стохастические Марковские ММ [3] и ММ с неопределенными собственными значениями [2]. Однако предложенные модификации КЛДМ имеют недопустимо высокий уровень сложности при компьютерной реализации, что затрудняет их прикладное применение. Практика применения ММ ГТД требует отыскания таких их эквивалентных форм, которые бы без снижения уровня адекватности имели допустимую компьютерную сложность, имея в виду в перспективе реализацию в бортовой ЭСУ.

Целью настоящего исследования является усовершенствования КЛДМ ГТД на основе их модальной формы и разработка эквивалентных форм ММ ГТД в классе интегральных уравнений Вольтерра.

2. Основные результаты исследований

2.1 Модальная форма математических моделей ГТД

Переход к модальной форме ММ ГТД путем диагонализации векторно-матричных уравнений динамики предложен Р.Л. Лейбовым [2] для решения задачи на неопределенные собственные

© В.Ф.Миргород, В.М. Грудинкин , 2008

значения сопровождающей матрицы характеристического полинома, которая сводится к совокупности задач линейного и нелинейного программирования. Размерность последней задачи столь велика, что теряет содержательное значение для практики. Тем не менее, предложение перехода к модальной форме имеет весьма важное значение, ввиду следующих ее преимуществ:

— упрощение численной реализации и необходимых вычислительных ресурсов в п раз, где п- порядок системы,

— достижение возможности качественного исследования ММ, ее фундаментальных свойств, а именно устойчивости, управляемости и наблюдаемости.

Такой переход, в отличие от [2], предлагается осуществить таким образом, чтобы исключить весьма существенный недостаток КЛДМ — разрывность ускорений в точках сопряжения диапазонов, являющийся неблагоприятным фактором, особенно при моделировании турбовальных ГТД.

Для классической формы уравнений состояния, которыми описывается динамика ГТД в каждой точке рабочего режима

4 г „г

—х = Ах + Ви, Ж

у = Сх + Би, (1)

модальной является следующая их форма

= 8$ + В4и,

у = Сау + Би, (2)

где 8 = УАУ-1 — диагональная матрица из собственных значений матрицы А, V — матрица диагонализации V = [[, ^,..., Уп ], являющаяся решением задачи на собственные значения

А^к = . (3)

Собственные значения удовлетворяют уравнению

ёе* (Е - А ) = 0. (4)

Поскольку обычно матрицы в (1) заданы некоторой совокупностью в зависимости от значений режимного параметра г, где} — номер уча-

стка дискретизации, возникает естественное предложение их непрерывной аппроксимации. Теоретические основы такого представления известны в матричной алгебре в виде теории Х-мат-риц [4], то есть матриц, элементы которых являются многочленами от параметра Х.

Можно видеть, что для предлагаемой аппроксимации имеются глубокие основания. Действительно, трудно полагать, чтобы в реальной динамической системе при изменении режимного параметра собственные значения перемещались по разрывным траекториям (случай переключения КПВ рассматривается отдельно). Такие траектории должны быть непрерывными и иметь точки бифуркации, в которых происходит изменение кратности и разделение на комплексно-сопряженные пары. В КЛДМ (1) координаты состояния представляют собой отклонения оборотов турбин от их статических значений в каждой точке рабочего режима, поэтому переход между соседними участками аппроксимации сопровождается возникновением разрыва первого рода для производной оборотов, то есть, ускорения, что противоречит физической сущности динамики ГТД. Поэтому форма (2), представленная через Х - матрицы, является более совершенной аппроксимацией реальной динамики нелинейной системы и ГТД, в частности.

Следуя теории Х-матриц [4], если А(Х) является регулярной матрицей (ёй(А(Х) ф 0), то она эквивалентна диагональной матрице с элементами, которые являются инвариантными многочленами А(Х). Эта диагональная Х - матрица называется канонической формой Смита. Известный [4] путь приведения Х-матрицы к канонической форме Смита состоит в построении унимодальных матриц преобразования, которые, в свою очередь, представляются в виде произведения конечного числа элементарных Х-матриц. Громоздкость и неудобство для компьютерной реализации известного алгоритма затрудняют его практическое применение. Поэтому предлагается осуществить переход к модальной форме уравнений динамики ГТД на основе решения траек-торной задачи на собственные значения в виде

А(Х)ук (Х) = ^ (Х)ук (Х), (5)

которая эквивалентна следующей задаче

А (Х^ (Х) = V (Х)Б (Х), (6)

где А(Х) является известной, 8 (Х) определяется (4), а неизвестными являются траектории элементов собственных векторов.

Если найдется решение траекторной задачи на собственные значения (6), то модальная фор-

ма уравнений динамики ГТД приобретает следующий вид

jv = S(A)v + Bd (Х)И,

y = Cj (A)v + D(Л)

(7)

V-1 (Л)

v.

(8)

Re(u) —W

!Vi(u)L Г^

Re(u)

IVi(u)

nJS

«-0

S(lambda

X ^(lambda)

I [piki)-

^ S(iambda)2

'[nbst]

'[nhst]

a

[nbdst]

Рис. 1. Компьютерная модель динамики трехвального ГТД в модальной форме

Вторая проблема состоит в определении такой совокупности собственных векторов, которые бы образовывали непрерывные траектории.

Стандартное программное обеспечение универсальных программных пакетов такой возможности не предоставляет. Однако такие проблемы носят непринципиальный технический характер и вполне преодолимы. Тестирование предлагаемой ММ выполнено на данных полетной регистрации трехвального ТРДД в режимах приемистости — встречная приемистость и его результаты иллюстрирует рисунок 2.

а изменения координат состояния определяются соотношением

Преимущества формы (7) достаточно очевидны, поскольку достаточно прозрачными становятся запасы устойчивости, в численном виде могут быть определены показатели управляемости и наблюдаемости в виде параметров обусловленности матриц В^(Х) и С^(Х) на режимах, имеет место непрерывность ускорений.

Траекторная задача на собственные значения (6) имеет нетривиальный характер и недостаточно полно рассмотрена в теории Х - матриц. Первая проблема в виде комплексного характера матрицы диагонализации решается использованием блочно-диагональной формы Шура. Компьютерная модель на рисунке 1 иллюстрирует такую форму.

0 50 100 150 200 250 300 time s*10

Рис. 2. Результаты компьютерного моделирования в сопоставлении с реальными данными

На рисунке представлены изменения оборотов турбин и их модельные значения по форме (1) C.B. Епифанова и определенные по модальной форме. Как это следует из результатов компьютерного моделирования в сопоставлении с реальными данными, различия не являются существенными.

2.2 Интегральная форма математических моделей ГТД

Рассматривая решение (1)

t

Ax (t ) = |ф(, s )B (s )AU (s )ds

(9)

где Ф — переходная матрица (1), можно заметить, что решение задачи на собственные значения и построение их траекторий в зависимости от режимного параметра по сути является аппрокси-

н

мацией ядра интегрального преобразования (9) разностным экспонентным ядром, так как для каждой из участков аппроксимации матрицы А, В, С, О являются фиксированными.

Отсюда следует предположение, что основные термогазодинамические параметры ГТД могут быть связаны более общей, в сравнении с (1), (7) математической моделью, а именно ММ в виде интегральных уравнений Вольтерра. Такая ММ первоначально построена для установившихся режимов ГТД, а в последующем и для динамических режимов.

Исходной гипотезой для построения ММ для установившихся режимов ГТД является предположение, согласно которому энергетический параметр двигателя в виде степени повышения давления, определяющий тяговые характеристики ГТД, аддитивно связан с оборотами его турбин

П(Gt) = Ха(GT)• n (GT),

(10)

i=1

а градиенты оборотов турбин по расходу топлива в свою очередь определяются этим энергетическим параметром

dni -(GT )

dGT i = 1, N,

в (Gt)nk (GT ),

(11)

где |аг- • (х)}, { • (х)} — системы некоторых линейно независимых функций.

Из (10), (11) непосредственно вытекает эквивалентная ММ в виде интегрального уравнения Вольтерра 11-го рода с сепарабельным ядром.

Идентификация ММ (12) выполнена по статическим характеристикам и базам данных испытаний того же двигателя и дала приемлемые результаты [5]

П (0т ) = £а (От ) (вн) +

г=1

2а (от )0 в (5к (5)ж. (12)

i=1

Gh

Преимущества ММ (12) представляются достаточно значительными: основные характеристики ГТД определяются небольшой совокупно-

стью линейно независимых функций, которые имеют ясное физическое содержание и довольно несложно определяемых в численном виде по экспериментальным данным.

Заключение

Таким образом, практика проектирования современных электронных систем измерения параметров, управление и диагностики требует создания адекватных компьютерно-ориентированных математических моделей авиационных двигателей. Адекватность модели ГТД должна быть обеспечена ее соответствием реальным данным испытаний, а возможности компьютерной реализации удовлетворять требованиям к бортовой и наземной диагностирующей аппаратуре. Предлагаемые новые ММ авиационных ГТД имеют ряд важных преимуществ, в сравнении с известными дифференциальными моделями благодаря большей общности интегральных уравнений Вольтерра и возможностями их численной реализации. Обучение разработанных ММ выполнено с применением современных алгоритмических и программных средств и позволяет индивидуализировать их параметры относительно конкретного экземпляра двигателя. На основе предлагаемых ММ может быть решенн широкий круг задач оптимизации, что и определяет перспективы дальнейших исследований.

Литература

1. Епифанов С.В. Синтез систем управления и диагностирования газотурбинных двигателей / Епифанов С.В., Кузнецов В.И., Богаенко И.И. и др. // - К.: Техника, 1998.- 312 с.

2. Лейбов Р.Л. Системы с неопределенными собственными значениями — М.:Изд. асс. строит. вузов, 2006. — 184 с.

3. Куликов Г.Г. Марковские модели сложных динамических систем: идентификация, моделирование и контроль состояния / Куликов Г.Г., Флеминг П.Дж., Брейкин Т.В и др. // — Уфа.: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1998. — 104 с.

4. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. // — М.: Наука, 1984. — 320 с.

5. Миргород В.Ф. Виртуальный стенд моделирования систем авиационных двигателей / Миргород В.Ф., Грудинкин В.М // Искусственный интеллект. — 2006. — №3. — С. 186 — 191

Поступила в редакцию 01.07.08

Рецензент: д-р техн. наук, проф. С.Г. Антощук Одесский национальный политехнический университет, г. Одесса.

Запропоновано модальну форму математтних моделей динамши газотурбтних дви-гушв, яка вгдргзняеться апроксимащею супроводжувальног матрищ траекторш власних значень характеристичного полному. Дослгджено властивостг та встановлено переваги модальноi форми. Розглянуто узагальнення математичних моделей у виглядг ттегральних ргвнянь Вольтерра другого роду, як мають быьшу спыьшсть та переваги у кыьшснш реалгзацП у поргвнянш з вгдомими диференцшними моделями. Виконана iдентифкащя запропонованих математичних моделей для одного з титв двигутв.

The modal form of the mathematical models for gas turbine dynamics, which differ by approximation of an accompanying matrix of the trajectories of characteristic polynomial is offered. The properties are investigated and the advantages of the modal form are established. Generalization of еру mathematical models in the form of Volter's integral equations of second type, which have the greater generality and the advantages in numerical realizations in comparison with known differential models are considered. Identification of the offered mathe matical models for one of types of engines is executed.