Многоволновое взаимодействие в системе «Активная среда волновое поле» Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 7 (362). Физика. Вып. 20. С. 55-59.

ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА

С. П. Чернявский

МНОГОВОЛНОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В СИСТЕМЕ «АКТИВНАЯ СРЕДА — ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ»

Представлены новые результаты в области моделирования класса сигналов, имеющих неоднородную пространственно-временную конфигурацию. Методами вычислительного эксперимента проведено исследование формирования мод в волновом поле, а также влияние модуляции гофры на данный процесс.

Ключевые слова: нелинейная динамика, хаос, распределенные колебательные системы, колебательное поле.

Изучение формирования пространственно-временных структур в распределенных колебательных нелинейных системах представляет интерес для различных областей естествознания и прикладных задач. Взаимодействие активной среды и волнового поля имеет место в работе приборов сильноточной электроники со сверхразмерными электродинамическими структурами [1]. Использование простых эталонных моделей позволяет качественно исследовать поведение систем, а также получить численные результаты [2; 3].

В работах [3; 4] был получен новый класс сигналов, пространственно-временная конфигурация которых является неоднородной. Сигналы такого типа имеют высокую упорядоченность во временной области и демонстрируют хаотическую динамику в пространственной области. Этот класс сигналов требует изучения. Целью данной работы является исследование распределения пространственных мод волнового поля, а также формирования режимов динамического хаоса в данном типе сигналов.

В данной работе рассматривается дискретная по времени и пространственным координатам модель волнового поля, взаимодействующего с ансамблем активных осцилляторов [2-5]. Колебательное поле представляет собой двумерную область в виде кругового кольца. Внешняя граница области имеет радиус г0, а внутренняя граница — г.. Модель колебательной среды представлена в виде связанных дискретных осцилляторов.

Динамика поля описывается системой уравнений в конечных разностях:

и(х, у,t +1) = а1и(х,у, t) - а2и(х,у, t -1) +

+ ЬЖ (х Э1, ^ Э1, X) + gF (х, X), (1)

где и(х,у,Х) — функция дискретных аргументов, определяющая состояние поля в точке с ко ординатами х,у в момент времени Х; g — коэффициент связи волнового поля с составляющими активную среду автогенераторами.

Коэффициенты al и a2 уравнения (1) выражаются следующим образом:

ax = 2(1 - 2v2)exp(-y), a2 = exp(-2y),

b = v2exp(-y), (2)

где v — фазовая скорость волны, у — декремент затухания.

Решение уравнения (1) при g = 0 с коэффициентами (2) для неограниченной области имеет вид

u(x, y, t) = exp(-yí)sin(kxx + kyy - rat), где ra = vk — дисперсия в области длинных волн.

Функция W в уравнении (1) определяет связь осцилляторов колебательной среды следующим образом:

W(x ± 1, y ± 1, X) = u (x -1, y, X) + u (x +1, y, X) + + u (x, y -1, t) + u(X, y + 1, t).

Функция F(x,y,t), определяющая действие осцилляторов на поле, имеет вид

F(x, y, t) = x - x(n))5(y - y(n))z(n, t), где 5(s) =<

описывает состояние

n=1

[1, s = 0;

[0, s * 0, z(n, t)

осциллятора в точке с координатами x(n), y(n) в момент времени t

Пространственная конфигурация ансамбля осцилляторов в волновом поле задается последовательностью {x(n),y(n)}, где n = 1,...Д.

Динамика активного источника, воздействующего на поле в точке с координатами x(n), y(n) в момент времени t, описывается уравнением

z(n, t +1) = d1 (z)z(n, t) - d2 (z)z(n, t -1) +

g Au( x(n), y(n), t), (3)

где Au(x(n),y(n),t) = u(x(n),y(n),t) - u(x(n),y(n),t - 1).

Коэффициенты уравнения (3) нелинейно зависят от состояния осциллятора

^ = 2ехр(в(1 - az 2(п, г )))соб(Р), й2 = = ехр(2в(1 -а 2(п, г))),

При малой нелинейности (в ^ 1, ва ^ 1) уравнение (3) переходит в дискретную модификацию уравнения Ван-дер-Поля, рассмотренную в [6; 7]. При этом в является частотой колебаний осциллятора.

Записи реализаций функции и(хру,г) (где i = 1... М, М = 21 равномерно распределенных по поверхности кольца) позволяют получить спектральные и энергетические характеристики изменения волнового поля во времени.

Параметр упорядоченности Н позволяет оценить когерентность колебаний во времени и регулярность пространственной структуры [8]:

1 ь~х

Н,, (т) = — ^, * (к > т)1п( ^, , (к, т)),

к=1

где Ь — объем выборки, к — номер гармоники дискретного преобразования Фурье, т — номер точки колебательного поля, в которой произведена запись для спектральной плотности временной реализации ^(к,т))). Для St(k,m) т — время записи распределения поля. Для 0,7 < Н < 1 колебательный режим можно считать синусоидальным, для Н < 0,6 можно говорить о хаотическом режиме системы. Спектральные плотности и параметр упорядоченности вычислялись на последних Ь = 1200 отсчетах стационарной части огибающей.

Гофрированная внутренняя граница определяется следующим образом:

г (ф) = г + Л$\пА(пс ф),

где А — амплитуда гофры, пс — число вариаций по азимутальному углу. На границе колебательного поля приняты нулевые граничные условия.

Исследование влияния амплитуды гофры на формирование колебательных режимов основано на изменении параметра А в эталонном колебательном процессе и анализе результатов. В качестве такого процесса примем вариант, показанный в работе [3] под номером 6. Обозначим его 2.

На рис. 1 изображена огибающая режима 2 и его пространственная картина. Данный режим получен при А = 7. Исследуем зависимость максимальной амплитуды колебательного режима от амплитуды гофры. Возьмем эталонный процесс 2 при А = 0 и будем увеличивать амплитуду гофры до 50 с единичным шагом. График на рис. 2 показывает, что увеличение амплитуды гофры влияет на максимальную амплитуду огибающей до определенного значения. Значение А достигло ширины колебательной среды при А = 24. Однако ее изменение оказывало влияние на амплитуду гофры до А = 33.

5 6 I, 103

Рис. 1. Огибающая режима Z и его пространственная картина

А

в 55 50 45 40 35 30 25 20 15

0 10 20 30 40 50

Ап

е

Рис. 2. График зависимости амплитуды, огибающей от гофры

В этом промежутке при А = 29 был найден колебательный режим, представляющий особый интерес. Значение А превышает допустимый, поэтому установим г. = 64. На рис. 3 под номером 2 представлена огибающая при А = 29. Сравнивая ее с режимом 2 под номером 1, можно сказать, что полученный режим является более стационарным. Временная энтропия режима Н = 0,8130, пространственная Н = 0,4868. Как видно, присутствует не только достаточно большая разница между пространственной и временной энтропией (которая была отмечена в [3; 4]), но и показатель пространственной энтропии является ниже, чем в эталонном режиме 2. Можно с уверенностью говорить о наличии хаотического режима в текущем колебательном процессе. Спектральные характеристики данного режима приведены на рис. 4-5. Полученный режим обозначим Q.

А(Х)

60

50

40

30

20

10

S(n)

1 _

2

. \ и

1 /

1 2 3 4 5 6 Х, 103

Рис. 3. Огибающие режимов: 1 — режим Z; 2 — огибающая при А = 29

10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80

S(n)

0 100 200 300 400 500

п

Рис. 4. Временной спектр

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

0

50

100 150 200 250

Рис. 5. Пространственный спектр

На исследование формирования мод в колебательных режимах решающее значение оказывает расположение активных элементов в волновом поле. Для возбуждения одной из мод с заданным числом вариаций по азимуту п и радиусу т (собственная (п,т)-мода) необходимо определить координаты и частоту в в коэффициентах уравнения (3) нужным образом. При возбуждении собственной моды воздействие поля на активные элементы примем нулевым, g = 0. Распределение волнового поля по координатам для собственной (п,т)-моды мало отличается от круглой области для принятых в работе параметров и определяется как

Д X, У) = Jn

<УИ) ^ ^

где г = д/Х2 + у2,

. у

Ф = аго8т— г

8т(Яф),

цт — т-й корень

функции Бесселя Jn(Ц) = 0. Осцилляторы были расположены на окружности радиусом г который соответствует максимум радиальной зависимости моды:

К = Г„т =

г Vеп)

'(V т

ц(п)

гщ

где Vmn) — т-й корень производной функции Бесселя Т(ц) = 0. Частоты осцилляторов р^ были в среднем равны частоте моды Рпт = vц(m)/г0:

в, =впт +ЛРС, где величина Др определяет разброс частот, а случайная величина ^ равномерно распределена

в интервале [ -1,11. В работах [2; 5] описанный

выше способ задания параметров ансамбля называется настройкой на (п,т)-моду, а колебательные режимы, формируемые ансамблями, — (п,т)-модами. Будем придерживаться данной терминологии.

Используя описанный метод расстановки осцилляторов покажем возможность получения в данной колебательной системе «чистой» моды. Под чистой модой понимаем наличие в текущей реализации одной доминирующей (п,т)-моды. Такой режим показан на рис. 6 вместе с пространственным портретом системы. Так как волна в текущей реализации стоячая, при прохождении амплитуды волны через 0 происходит кратковременное переключение моды. Возможность формирования «чистой» моды колебательного режима говорит о высокой степени синхронизации ансамбля осцилляторов при данном расположении активных элементов.

Введя воздействие поля на активные осцилляторы, мы получаем чередование пространственных мод в процессе колебаний. Эталонный пример показан на рис. 7.

Покажем, как увеличение модуляции гофры, рассмотренное выше, влияет на пространственную конфигурацию колебательной системы. Рассмотрим чередование мод режима 2 при А = 0 и режима Q. На рис. 8 и 9, соответственно, показаны эти варианты. Видно, что ввод модуляции гофры увеличивает количество мод, которые присутствуют в системе. Учитывая, что при А = 29 пространственная энтропия Н = 0,4868, можно сказать, что введение модуляции гофры увеличивает количество энергии, которую может поглощать система.

20

Modest) 30

25

20

15

10

_i_i_I-

20 40 60 80 100 120 140

Рис. 6. Зависимость моды от времени («чистая» мода)

Mode (t)

20 40 60 80 100 120 140

t

Рис. 7. Зависимость номера моды от времени (эталонный пример)

Modest) " 20

15

10

—5

20 40 60 80 100 120 140

t

Рис. 8. Зависимость номера моды от времени (режим 2 при А = 0)

Mode (t)

20

15

10

20 40 60 80 100 120 140

Рис. 9. Зависимость номера моды от времени (режим Q при А = 0)

5

0

5

0

Исследование возможности настройки на «чистую» моду, а также получение режимов с большим количеством чередующихся мод демонстрирует широкий диапазон режимов работы систем, связанных ансамблей осцилляторов. Зависимость поведения колебательной системы от модуляции внутренних границ показало, что вводя дополнительную размерность мы можем увеличить количество энергии внутри системы. Был получен режим динамического хаоса, который демонстрирует высокий показатель пространственного хао-

са и может быть использован в практических приложениях. Этот сигнал также относится к классу сигналов, показанных в [3; 4]. Он имеет высокую упорядоченность во времени и демонстрирует хаотическое поведение в пространстве.

Список литературы

1. Черепенин, В. А. Научная сессия отделения физических наук Российской академии наук (19 апреля 2006 г.). Релятивистские многоволно-

вые генераторы и их возможные применения / В. А. Черепенин // Успехи физич. наук. 2006. Т. 176. № 10. С. 1124.

2. Корниенко, В. Н. Возбуждение волн круглой мембраны ансамблем автогенераторов / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55, № 3. С. 362-368.

3. Корниенко, В. Н. Возбуждение ансамблем автогенераторов когерентных многоволновых структур в двумерном волновом поле / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57, № 2. С. 211-218.

4. Корниенко, В. Н. Формирование пространственно-временных структур в системе активная среда — волновое поле в области с полупрозрачной границей / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56, № 4. С. 417-422.

5. Корниенко, В. Н. Многоволновое взаимодействие ансамбля автогенераторов в дву-

мерном волновом поле с неоднородной границей / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56, № 4. С.417-422.

6. Зайцев, В. В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван-дер-Поля / В. В. Зайцев, С. В. Давыденко, О. В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехн. системы. 2000. Т. 3, № 2. С. 64.

7. Зайцев, В. В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В. В. Зайцев, О. В. Зайцев, А. В. Карлов, А. В. Карлов (мл) // Физика волновых процессов и радиотехн. системы. 2008. Т. 11, № 4. С. 98-103.

8. Корниенко, В. Порядок и хаос в динамике интенсивного потока пространственного заряда / В. Корниенко, А. Привезенцев. Saarbrücken : LAP, 2012. 112 с.