Многоуровневый подход при построении расчетных моделей динамического состояния объектов авиационной техники при среднескоростном ударе о твердую преграду Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7.069.001.25:531.66

МНОГОУРОВНЕВЫЙ ПОДХОД ПРИ ПОСТРОЕНИИ РАСЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ ПРИ СРЕДНЕСКОРОСТНОМ УДАРЕ О ТВЕРДУЮ ПРЕГРАДУ

В.В. ТИШКОВ, В.В. ФИРСАНОВ

Предлагаются модели расчета динамического состояния объектов авиационной техники при внештатных ситуациях. В качестве внештатной ситуации выбрано динамическое контактное взаимодействие (продольный удар) объекта с твердой преградой.

Ключевые слова: модель расчета динамического состояния, контактное взаимодействие объекта с преградой, внештатная ситуация.

Введение

В жизненном цикле объектов авиационной техники (ОАТ) могут возникать внештатные ситуации (ВШС), приводящие к их падениям и столкновениям, что влечет за собой различные негативные последствия, в том числе катастрофического характера. Современные авиационные комплексы (АК) являются масштабными и энергонасыщенными системами, поэтому даже единичные аварии и катастрофы с их участием способны привести к тяжелым последствиям. В связи с этим одним из важнейших требований, предъявляемых к АК, является способность системы обеспечить безопасность экипажа и своих подсистем при выполнении целевых задач.

По некоторым данным [1] статистика летных происшествий показывает, что 60 % из них приходятся на этап «взлет-посадка», т.е. происходят вблизи бетонных взлетно-посадочных полос аэродромов, городских сооружений, коммуникаций и т.п. Далее рассматривается процесс динамического контактного взаимодействия ОАТ с твердой преградой, последствия которого могут привести к повреждению взрывопожароопасных элементов, входящих в состав ОАТ.

Для оценки последствий, подобных ВШС, важно иметь информацию о распределении параметров динамического состояния, например, перегрузок по длине объекта в различные моменты времени.

Для решения поставленных проблем разработаны модели различной степени сложности, описание которых приводится ниже.

Расчетно-экспериментальные модели

Одним из путей получения закономерностей протекания динамического процесса при ударе ОАТ о твердую преграду являются экспериментальные исследования. Очевидно, что для крупногабаритных объектов проведение подобных исследований связано с техническими трудностями и большими материальными затратами, так как требует имитации динамического контактного взаимодействия на скоростях до 100 м/с (по классификации ударных процессов этот диапазон скоростей относится к среднескоростному удару). Для решения указанной проблемы был предложен [3] подход, заключающийся в построении регрессионных моделей на основе экспериментальных данных, полученных в результате испытаний среднегабаритных ОАТ, подлежащих утилизации. При построении регрессионных моделей привлекался аппарат теории подобия и размерности [2].

Факторы, влияющие на процесс динамического контактного взаимодействия (скорость ОАТ, угол встречи с преградой и т.п.) и внутренние параметры самой системы (масса, геометрические размеры и т. д.), группируются в виде безразмерных величин (симплексов и

комплексов). Получение зависимости отклика от безразмерного параметра предоставляет возможность прогнозировать поведение системы при таких внешних воздействиях, которые в экспериментальном плане трудно реализуемы. Кроме того, указанный подход позволяет прогнозировать динамические параметры системы на ранних этапах проектирования, когда отсутствует габаритно-массовый макет объекта.

В рамках фундаментальных и поисковых НИР были проведены экспериментальные исследования и получены данные для построения регрессионных моделей. Суть эксперимента состояла в придании ОАТ требуемой скорости, которая достигалась разгоном объекта на специальной платформе. При достижении требуемой скорости ОАТ отделялся от платформы и в свободном полете ударялся о твердую преграду (железобетонную плиту). В ходе экспериментов фиксировались перегрузки, возникающие в различных точках ОАТ при его ударе о твердую преграду. В серии экспериментов варьировалась скорость подхода, масса объекта и ряд других параметров. Построенная модель [3] позволяет прогнозировать значение виброускорений, возникающих в ОАТ при рассматриваемых ВШС, которые являются верхними границами искомых параметров. Так зависимость продольной составляющей виброускорения, возникающей в поперечных сечениях ОАТ, от координаты сечения имеет вид

апР,ср(^11) = 572,579рЦ - 1038,926р/7 + 952,227, где Жи безразмерный симплекс, определяемый как отношение текущей координаты объекта к длине объекта.

Рис. 1. Зависимость относительного виброускорения от координаты сечения

На рис. 1 показана зависимость типа а = а(х), где под а понимается виброускорение, отнесенное к максимальному значению, а под х - относительная координата ОАТ.

1. Аналитическая модель

В рамках инженерного подхода была построена аналитическая модель, позволяющая оценивать перегрузки, возникающие в ОАТ при ВШС типа «столкновение» объекта с твердой преградой [4]. Модель базировалась на представлении ОАТ в виде незакрепленного стержня с участками кусочно-постоянной жесткости. При построении модели вводились следующие допущения: рассматривался продольный удар; не учитывался «отскок» стержня от преграды после начального контактного взаимодействия; не рассматривался процесс отражения волн при прохождении участков разной жесткости; стержень считался выполненным из изотропного материала, но при этом «внутренняя начинка» приводилась к эквивалентной жесткости.

В пределах каждого участка продольные перемещения описывались уравнениями продольных колебаний. Для решения задачи применялся аппарат операционного исчисления. Система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка сводилась к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При переходе от изображения к оригиналу решение раскладывается в бесконечный ряд. Однако на практике соотношения между длинами участков таковы, что большинство членов ряда обнуляется и получающиеся зависимости становятся приемлемы для инженерных расчетов.

Например, если рассмотреть ОАТ как двухсоставной стержень, то перемещение, возникающее в конструкции на участке, который контактирует с твердой преградой, определяется соотношением

и =

шЬУ(

а

1 - е

а !

--------1 I-

шЬ I

Ь—х

V У

где Ь - длина ОАТ; т - параметр, определяющий соотношение масс неподвижной преграды и ОАТ; У0 - скорость подхода ОАТ к преграде; а - скорость распространения звука в среде; / -

текущее время; х - текущая координата.

Расчеты с помощью аналитической модели в виде двухсоставного стержня дают значения относительных перегрузок по длине ОАТ, представленные на рис. 2.

а

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Рис. 2. Г рафик перегрузки по длине объекта

Полагается, что в объекте выделены два участка длиной 0,43Ь и 0,57Ь (Ь - длина

объекта). Жесткость носового участка составляет 1,26 ГН, а хвостового - 2,84ГН . х -относительная координата сечения.

Аналитическая модель работает в рамках упругого материала. Это является вполне правомерным, так как анализ эксперимента показал, что после контакта с твердой преградой ОАТ разрушается на части, каждая из которых представляет собой функциональный отсек объекта, и разделение происходит по стыкам отсеков. Это же подтверждается и процессом кинофоторегистрации эксперимента. Так, на рис. 3 представлен ОАТ после процесса динамического контактного взаимодействия с твердой преградой.

Рис. 3. ОАТ после процесса динамического контактного взаимодействия с твердой преградой

Вместе с тем данные кинофоторегистрации (рис. 4) отчетливо показывают, что головная область объекта находится в рамках неупругих деформаций, поэтому в развитии аналитической модели она была дополнена пластически деформируемой оболочкой вращения, моделирующей носовую часть ОАТ.

Рис. 4. Кинофоторегистрация процесса деформирования головной части ОАТ 2. Комбинированная аналитическая модель

Анализ данных экспериментальных исследований (рис.3, 4) позволяет сделать вывод, что при среднескоростном соударении деформации носовой области ОАТ носят пластический характер, в то время как остальные области остаются в рамках упругих деформаций. Для учета особенностей деформирования ОАТ в аналитической модели необходимо учесть влияние формы носовой части ОАТ и ее пластических деформаций. Полагаем, что геометрически носовая область ОАТ представляет собой оболочку вращения, размеры и масса которой достаточно малы в сравнении с соответствующими параметрами всей конструкции.

В соответствии с этим допущением задача решается в статической постановке и приводится к расчету упруго-пластического напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки вращения, нагруженной сосредоточенной силой в полюсе. Оболочка рассматривается как безмоментная. Считается, что она подвергается пластическим деформациям на всю толщину, материал оболочки несжимаем (V = 0,5) и справедливы основные гипотезы теории упруго-пластических деформаций [5]. Полагается так же, что материал оболочки при растяжении и сжатии ведет себя одинаково и вместо реальных диаграмм растяжения рассматриваются схематизированные диаграммы.

Поверхность вращения (рис. 5) описывается следующим образом

г = Л-хт, (1)

где г - расстояние от оси вращения до поверхности, а 1 и ¡и - действительные числа, определяющие плоскую кривую.

Рис. 5. Оболочка вращения, нагруженная силой в полюсе

Так как сосредоточенная сила перпендикулярна плоскости параллелей, проведенных в оболочке, то оболочка деформируется симметрично относительно оси вращения Ох (осесимметричный случай) и дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях в соответствии с [6] имеют вид

dx (rsv)-r se=о,

rr

G0+Gq = 0,

(2)

где Sj, Gq - нормальные напряжения в оболочке (рис. 5).

К уравнениям (2) следует добавить уравнение равновесия для части оболочки, расположенной выше горизонтальной плоскости x = const. Оно имеет следующий вид (рис. 5)

2р

\Njr cos j dfi + Px = ^ (3)

j

о

где j - угол наклона касательной к меридиану в точке x = const к оси вращения Ox, косинус которого можно найти из соотношения

x1-m

cos j = , .

VlV + x 2(1-m)

Упругое решение задачи приведено в [7].

3. Упруго-пластическое НДС оболочки вращения из материала с линейным упрочнением

Зависимости между напряжениями и деформациями за пределами упругости [5] для рассматриваемой оболочки можно записать в виде

2si ( )

а -ао (£г-£о);

3£

_ 2° ( )

ав~°0 _ \£в -£о );

3£

ар О0

I

2а

3£

- £р-£о),

(4)

где а - величина интенсивности напряжений; £ - величина интенсивности деформаций; О) - среднее напряжение; £о - средняя линейная деформация.

Так как материал оболочки несжимаем, то в инженерных расчетах можно полагать

¿0 _ 0. (5)

Учитывая, что в безмоментной оболочке вращения на основании гипотез Кирхгофа-Лява радиальное относительное удлинение равно нулю £г _ 0), условие несжимаемости (5) позволяет записать

£в=~£р. (6)

Остальные величины, входящие в уравнения (4), определяются из следующих соотношений теории пластичности

а _-^л! (аг-ав)2 + °е-ар}+(ар-аг)2;

42

42

3

£р -£вУ + £8 -ег )2 + £г -£рУ ;

(7)

(8)

а0 _

аг +ав+ ар

3 (9)

Примем, что диаграмма растяжения может быть схематизирована ломаной линией (рис. 6).

Рис. 6. Схематизированная диаграмма растяжения с линейным упрочнением

Тогда зависимости напряжений от деформаций определяются следующими соотношениями при 0<£<£т — ат/Е а — Е е; (10)

при £>ет а — ат + Ет (е-ет). (11)

В соотношениях (10), (11) £т - деформация, соответствующая пределу текучести материала; Ет - модуль упрочнения материала.

Можно показать, что на основании равенства (5) первого уравнения системы (4) и формулы (9) имеет место зависимость

а

ар + ав 2

(12)

с учетом которой оставшиеся неиспользованными уравнения системы (4) приводятся к виду

ав - ар

ар ав —

в

4а

3£

4а

---- £

Зе £р

(13)

Преобразуем уравнения (13), используя значения величин (7) и (8). Формула (7) с учетом формулы (12) преобразуется к виду

а „ (ар ав) .

2

Аналогично формула (8) на основании равенства (6) дает

2л/3

£■ —------£

е з £р.

Далее, согласно зависимости (11), имеем

а — кат + Ет£,-

где К - параметр упрочнения, определяемый равенством

Ет

К— 1 — т

Е

Связь между ав и аР принимает вид

ав

ап _ 2/3

р 3

а.

Учитывая первое уравнение равновесия системы (13), зависимости (1) и (16), находим

dаф 2д/3

(кат + Ет£() — 0

(14)

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

ёх 3 х

где интенсивность деформаций определяется формулой (15).

В соответствии со свойством аддитивности [5] интенсивностей деформации и на основании равенства (15) можно записать

2/3 £!

3 £р ■

и привести уравнение (19) к виду

£

п

ёаф 2л13

ёх

3 х

каТ +-

2л/3

п

Т£р

Ет £

— 0.

(20)

3

Величину £у , входящую в уравнение (20), согласно диаграмме на рис. 6, можно представить в виде суммы

" У (21)

РП = е +еУ

ьр ~ ЬТ + ьр ,

где е^р - переменная величина, представляющая собой деформацию, связанную с упрочнением материала.

В свою очередь, в соответствии с рис.6 можно найти

<7,- — (7^

£У = ■

Б.

(22)

т

Принимая во внимание второе уравнение равновесия системы (2) с учетом формулы (1), из соотношения (16) находим

43 + х 2(1—1

о,- =

о,

п

2 IV + х2(1-т ф'

Подставляя последнее равенство в выражение (22), а полученный результат в формулу (21), определяем

п

43 + х2(1-т) оП

2 Л2т2 + X2(1-т) Бт

От

Бт

Тогда на основании (23) уравнение (19) запишется как

Лорп + 243 т 1т+х2(1-т) оП

орр = ——

, 43 '

1-------К

2

о

(23)

(24)

dx 3 х Л2т2 + х2(1—1 ф ч у

В частном случае параболической оболочки вращения (т = 12) уравнение (24) принимает вид

ЛоП 2д/з 112 + 2 х

Оп = 21

П 3 х

1 л/3 '

1--------К

2

о

dx 3 х I2 + 4 х ч у

Для конической оболочки вращения (т = 1) уравнение (24) преобразуется к виду

41

3 х

ЛорП 2д/3 орП = 4 1 (л 43

Лх

3

х

1------К

2

о

(25)

(26)

Решение каждого из уравнений (24)-(26) удобно искать с помощью систем компьютерной математики, например Мар1е 7.0. Тогда общее решение уравнения (24) имеет вид

л/3

оП (х) = с1х 3 +т

3

43

3(1 -т)

43'

1 -т

х

2 (1-т)

2 ..2

(2 -43к)с

(27)

где через hg обозначена гипергеометрическая функция [8].

Аналогично общее решение для остальных уравнений принимает вид: - для уравнения (25) (параболическая оболочка, ¡1 = 1/2 )

оП(х)=С1

л/3

12 + 4 х ^ 9

1

+ — 6

V

43 243 з , з

1 +

243

-44

1

Л

х

У

(28)

х

{24З - 3к)от

3

Т

2

3

х

для уравнения (26) (коническая оболочка, т = 1)

-2-

(х )=С1х 9 +

3

-к

@т .

(29)

Отметим, что в выражениях (27)-(29) Сх — произвольная постоянная.

Последующая задача заключается в определении произвольных постоянных Сх и хт из граничных условий

П е

Р = ^ р

П _!Є

= °в.

при х = хт,

(30)

где Хт - координата, определяющая границу пластической области оболочки, а индексом " е" помечены упругие напряжения, приведенные в [7].

Например, из первого граничного условия (30) для параболической оболочки можно найти

3^3-2 ^

С =

ґ Л2 + 4хт Ї 6^

АжЛку х

х(2л/3 - 3к)ат,

2 т

'т

л/3 2/3

3 , 3

і+

2л/3’

3

.4 хт_ Л2

х

что позволяет определить

і(х )=

4pЛh

3л/3-2 Л 6л/3

х

+

1

+ -6

хт V Л У

т У

2^ /

hg

х

(2л/3 - 3к)с

л/3 2/3 3 , 3

2

Л2 + 4 х

1 +

2л/3

л

.4 хт_ Л2

х

у

Тэ

л/3 2/3

3 ,

3

х

1+

+

2л/3

л

44

Л2

х

У

л/3

х

(2л/3 - 3к)<

Л2 + 4 х Л2 ,

(31)

9

<

2

9

3

9

т

3

9

т

После того, как определена функция (7^ (х), с помощью второго уравнения системы (2), можно найти и окружное напряжение. Не выписывая формулу для Од, отметим следующее:

при х = 0, т.е. на носке оболочки имеем 7^ = 7^ , при х ® Ь и характерных значениях 1

для носовых оболочек ОАТ 7^ << 7^.

В дальнейшем, без нарушения общности, все нижеследующее будем относить к параболической оболочке.

Постоянная величина хТ определяется из второго граничного условия (30), что приводит к

кубическому уравнению относительно данной величины, т. е.

3 2

хт + а2 хт + а1 хт + а0 = 0, (32)

где постоянные коэффициенты а{ ( = 0,2 ) определяются равенствами

а-

Л2 = — + -

a

4 2Л

2 ’

3P2

а1 =-

128 (7 + 4л/з p2 h 2 1-W3 + 3 k2 Л

a

Л

2

a

Предположим, что пластическая область деформирования захватывает всю оболочку. Для определения предельных напряжений достаточно положить в выражении (31) xT = L .

Для определения предельной силы РПр, приходящейся от носовой оболочки на остальную часть ОАТ, воспользуемся уравнением (3), преобразовав его к виду

= -X^\7jV cos j] dp, (33)

P n

PX P

где для параболической оболочки справедливо равенство

, \i 2AL

(r cosj) =

■Л2

+ 4L

При использовании формулы (33) возможны два случая. Если в результате решения кубического уравнения (32) получается значение х < Ь, то в формулу (33) следует подставить напряжение 7у, полученное для упругой области [7]. В том случае, когда хт = Ь, т.е.

пластическая область захватывает всю оболочку, в выражении (33) 7у = 7^р - предельному

напряжению, полученному из (31) подстановкой хт = Ь .

Далее сила РПр прикладывается в поперечном сечении на стыке носовой части с остальной

частью объекта (или на стыке пластической и упругой областей). Затем по новому значению силы удара проводится расчет динамического состояния ОАТ с помощью аналитической модели.

Заключение

1. Построены расчетные модели различного уровня сложности для оценки динамического состояния ОАТ при продольном ударе о твердую преграду.

2. Первая (расчетно-экспериментальная) модель, построенная на основании применения методов теории подобия и размерности к данным полигонных испытаний, позволяет оценить перегрузки ОАТ при средних скоростях соударения с твердой преградой.

>

0

3. Вторая (аналитическая) модель дает возможность исследовать динамическое состояние отсеков ОАТ, моделируемого стержнем кусочно-постоянной жесткости, нагруженного продольной силой на торце. С помощью волновой теории и аппарата операционного исчисления получены расчетные зависимости для определения перемещений, скоростей и ускорений. Эта модель может применяться самостоятельно, если известны характеристики динамического процесса, определяющие нагружение торца стержня.

4. Модель ступенчатого стержня можно трактовать как вспомогательную модель при построении третьей (комбинированной) модели, которая представляет собой модель второго уровня, дополненную пластически деформируемой оболочкой вращения эквивалентной жесткости, нагруженной силой в полюсе. Учет формы и пластических деформаций носового отсека ОАТ позволили существенно приблизить [7] значения перегрузок, полученных расчетным путем, к соответствующим экспериментальным данным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Безопасность полётов: учебник для вузов / Р.В. Сакач, Б.В. Зубков, М.Ф. Давиденко и др. / под ред. Р.В. Сакача.

- М.: Транспорт, 1989.

2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - 10-е изд., доп. - М.: Наука,1987.

3. Тишков В.В., Фирсанов В.В. Расчетный метод для прогнозирования безопасности авиационных объектов при внештатных ситуациях // Труды МАИ, 2007. - Вып. 26. http://www.mai.ru

4. Тишков В.В., Фирсанов В.В. К вопросу о построении модели продольного удара по составному стержню для исследования безопасности авиационных комплексов в аварийных ситуациях // Вестник МАИ, 2004. - Т. 11. - № 2.

5. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: учебник для студентов вузов.

- М.: Машиностроение, 1968.

6. Власов В.З. Избранные труды: в 3-х т. Очерк научной деятельности. Общая теория оболочек. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - Т.1.

7. Фирсанов В.В., Тишков В.В. Комбинированная аналитическая модель динамического состояния объекта авиационной техники при ударе о твердую преграду // Научный Вестник МГТУ ГА, 2007.- № 123.

8. Математическая энциклопедия / ред. коллегия: И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1977 -1985. - Т.1. А-Г.

THE MULTILEVEL APPROACH AT CONSTRUCTION DESIGNING MODELS OF AN AERONAUTICAL ENGINEERING OBJECT AT MEDIUM-RATE IMPACT ABOUT A FIRM BARRIER

Firsanov V.V., Tishkov V.V.

Models of aeronautical engineering object dynamic condition calculation at a non-staff situation are offered. Dynamic contact interaction (lengthwise impact) of object with a firm barrier as a non-staff situation is selected. The first model is constructed on the basis of similarity and dimension theory methods application and generalization of natural experiments results. The second model is grounded on object introducing as the loose rod of variable rigidity loaded in a back with direct force. The third model is addition to the second and is to be taken of the contact zone plastic deformations. In this case the contact area is considered as the rotation shell loaded with force in a pole. The specified models can be applied at design stages and for the non-staff situations consequences estimation arising at maintenance of air transport.

Key words: aeronautical engineering, non-staff situation, contact interaction.

Сведения об авторах

Фирсанов Валерий Васильевич, 1943 г.р., окончил Ростовский-на-Дону государственный университет (1965), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Московского авиационного института, автор более 130 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность авиационных конструкций.

Тишков Виктор Васильевич, 1967 г.р., окончил МАИ (1991), кандидат технических наук, доцент Московского авиационного института, автор 20 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность авиационных конструкций.